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(完整word版)matlab回归分析方法

第八章回归分析方法

当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型.如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。

变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是:一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系,变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来.例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系,人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下：（1）收集一组包含因变量和自变量的数据;

（2)选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数；

（3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型;

(4)判断得到的模型是否适合于这组数据；

(5）利用模型对因变量作出预测或解释。

应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据,工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上.运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能.MATLAB等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MATLAB统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时,其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理,主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB软件.没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，

按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等.

8.1 一元线性回归分析

回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型.非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题,可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。

8。1.1 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现

01y x ββε=++ 2~(0,)N εσ

其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。

假设对于x 的n 个值i x ，得到y 的n 个相应的值i y ，确定01ββ，的方法是根据最小二乘准则，要使

201011

(,)[()]n n

i i i i i Q y x ββεββ====-+∑∑

取最小值。利用极值必要条件令

0,0Q Q ββ∂∂==∂∂，求01ββ，的估计值01ˆˆββ，，从而得到回归直线01ˆˆy x ββ=+.

只不过这个过程可以由软件通过直线拟合完成，而无须进行繁杂的运算。 (1）参数的区间估计

由于我们所计算出的01ˆˆββ，仍然是随机变量，因此要对01

ˆˆββ，取值的区间进行估计,如果区间估计值是一个较短的区间表示模型精度较高. （2）对误差方差的估计

设ˆi y

为回归函数的值，i y 为测量值,残差平方和 21ˆ()n

i i i Q y y

==-∑ 剩余方差22

s n =

（3)线性相关性的检验

由于我们采用的是一元线性回归，因此，如果模型可用的话，应该具有较好的线性关系.反映模型是否具有良好线性关系可通过相关系数R 的值及F 值观察（后面的例子说明）。 (4）一元线性回归的MATLAB 实现

MATLAB 工具箱中用命令regress 实现，其用法是： b=regress(y ，x)

［b ,bint ， r ，rint ， s]=regress （y ， x , alpha)

输入y （因变量,列向量）、x （1与自变量组成的矩阵，见下例），alpha 是显著性水平（缺省时默认0.05）.

输出01

ˆˆ(,)b ββ=，注意：b 中元素顺序与拟合命令polyfit 的输出不同，bint 是01ββ，的置信区间，r 是残差（列向量），rint 是残差的置信区间，s 包含4个统计量:决定系数2R （相关系数为R ）；F 值；F(1，n —2)分布大于F 值的概率p ；剩余方差2s 的值（MATLAB7。0以后版本）。2s 也可由程序sum （r 。^2）/(n-2)计算。

其意义和用法如下：2R 的值越接近1，变量的线性相关性越强，说明模型有效;如果满足1(1,2)F n F α--<，则认为变量y 与x 显著地有线性关系,其中1(1,2)F n α--的值可查F 分布表，或直接用MATLAB 命令finv （1—α,1, n —2）计算得到；如果p α<表示线性模型可用.这三个值可以相互印证。2s 的值主要用来比较模型是否有改进，其值越小说明模型精度越高. 8.1.2身高与腿长

例1 测得16名成年女子身高y 与腿长x 所得数据如下：

表8—1 16名女子身高（cm ）腿长(cm)数据

首先利用命令plot （x,y,’r＊'）画出散点图，从图形可以看出,这些点大致分布在一条直线的左右，因此,可以考虑一元线性回归。可编制程序如下：

y=［143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]; x=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]; n=16;

X=[ones(n,1),x’］；

［b ，bint,r ，rint ，s]=regress （y',X,0。05)； b ，bint,s, rcoplot(r ，rint) 运行后得到

b = 31.7713 1。2903 bint = 12。3196 51。2229 1。0846 1.4960

s = 0。9282 180.9531 0。0000 3。1277

2R =0。9282,由finv(0。95，1,14)= 4。6001，即1(1,2)F n α--= 4.6001

s = 0.9527 261.6389 0.0000 1.9313

2R =0.9527，由finv （0.95,1，13)= 4.6672，即1(1,2)F n α--= 4.6672〈F=261.6389，p 〈0.0001，说明模型有效且有改进，因此我们得到身高与腿长的关系17.6549 1.4363y x =+。

当然，也可以利用直线拟合得到同一方程。只不过不能得到参数置信区间和对模型进行检验。拟合程序

如下:

y=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164］; x=［88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102］;

a=polyfit （x,y,1） temp=polyval （a,x)；

plot （x,y ，'r*’,x,temp）

注意：函数相同,但输出一次函数参数顺序与回归分析(升幂排列)中不同.另一个差别是拟合不能发现奇异数据。

8.2 多元线性回归分析

8。2.1 多元线性回归模型的建模步骤及其MATLAB 实现

如果根据经验和有关知识认为与因变量有关联的自变量不止一个，那么就应该考虑用最小二乘准则建立多元线性回归模型。

设影响因变量y 的主要因素（自变量）有m 个，记1(,

,)m x x x =，假设它们有如下的线性关系式：

011m m y x x βββε

=++

++ ， 2~(0,)N εσ

如果对变量y 与自变量12,,,m x x x 同时作n 次观察（n 〉m ）得n 组观察值，采用最小二乘估计求得

回归方程

011ˆˆˆˆk m

y x x βββ=+++。

建立回归模型是一个相当复杂的过程,概括起来主要有以下几个方面工作(1）根据研究目的收集数据和预分析；(2）根据散点图是否具有线性关系建立基本回归模型；（3）模型的精细分析；（4）模型的确认与应用等。

收集数据的一个经验准则是收集的数据量（样本容量）至少应为可能的自变量数目的6～10倍。在建模过程中首先要根据所研究问题的目的设置因变量,然后再选取与该因变量有统计关系的一些变量作为自变量。我们当然希望选择与问题关系密切的变量，同时这些变量之间相关性不太强,这可以在得到初步的模型后利用

MATLAB 软件进行相关性检验。下面通过一个案例探讨MATLAB 软件在回归分析建模各个环节中如何应用。多元线性回归的MATLAB 实现

仍然用命令regress （y ， X)，只是要注意矩阵X 的形式，将通过如下例子说明其用法。

8.2.2 某类研究学者的年薪

1. 问题

例2 工薪阶层关心年薪与哪些因素有关，以此可制定出它们自己的奋斗目标。

某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪Y 与他们的研究成果（论文、著作等）的质量指标X 1、从事研究工作的时间X 2、能成功获得资助的指标X 3之间的关系，为此按一定的实验设计方法调查了24位研究学者，得到如下数据(i 为学者序号）：

表8-2 从事某种研究的学者的相关指标数据

4 5 6 7

1i x 3。5 5。3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5。5 3.1 7。2 4。5 4。9 2i x

18 33 31

3i x 6。1 6.4

7.4 6.7 7.5 5。9 6.0 4。0 5.8 8.3 5。0 6。4 i y

33。2 40.

3 38.7 46.8 41。

4 37.

5 39.0 40。7 30.1 52。9 38.2 31.8 i

15 16

22 23

1i x 8。0 6.5 6.6 3.7 6。2 7。0 4.0 4。5 5.9 5.6 4.8 3。9 2i x

3i x 7。6 7.0 5。0 4.4 5。5 7.0 6。0 3。5 4。9 4。3 8.0 5。8

i y

43.

44.1

42。5

33。6

34。2

48.0

38。0

35。9

40。4

36。8

45.2

35.1

试建立Y 与123,,X X X 之间关系的数学模型，并得出有关结论和作统计分析。

2. 作出因变量Y 与各自变量的样本散点图

作散点图的目的主要是观察因变量Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学模型形式。下图分别为年薪Y 与成果质量指标1X 、研究工作时间2X 、获得资助的指标3X 之间的散点图，

subplot （1,3，1),plot （x1,Y ，'g*'），% subplot 是MATLAB 中的函数。［1]

使用方法：subplot （m,n,p ）或者subplot （m n p ）。

subplot 是将多个图画到一个平面上的工具.其中，m 表示是图排成m 行,n 表示图排成n 列，也就是整个figure 中有n 个图是排成一行的，一共m 行，如果m=2就是表示2行图。p 表示图所在的位置，p=1表示从左到右从上到下的第一个位置。

subplot （1,3，2），plot （x2，Y ，'k+'）， subplot(1，3，3)，plot （x3，Y ，’ro')，

从图可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此，有比较好的线性关系，可以采用线性回归。

35404550

Y 与x1的散点图 Y 与x2的散点图 Y 与x3的散点图

图8。1 因变量Y 与各自变量的样本散点图

3。利用MATLAB 统计工具箱得到初步的回归方程

设回归方程为:0112333

ˆˆˆˆˆy x x x ββββ=+++。

建立m-文件输入如下程序数据：

x1=[3.5 5.3 5.1 5。8 4.2 6。0 6。8 5。5 3.1 7.2 4.5 4。9 8.0 6。5 6。5 3。7 6。2 7.0 4。0 4。5 5.9 5。6 4.8 3.9]；

x2=［9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15］;

x3=[6。1 6.4 7。4 6.7 7。5 5.9 6.0 4。0 5.8 8。3 5.0 6。4 7.6 7。0 5.0 4。0 5。5 7。0 6。0 3.5 4.9 4。3 8.0 5。0];

Y=［33.2 40。3 38.7 46。8 41。4 37。5 39。0 40。7 30。1 52。9 38.2 31。8 43。3 44.1 42。5 33.6 34。2 48。0 38。0 35.9 40.4 36。8 45。2 35.1］； n=24; m=3;

X=［ones(n,1)，x1',x2’,x3'］；

[b,bint,r,rint,s ］=regress （Y'，X ，0.05）； b,bint ，r,rint,s,

运行后即得到结果如表8—3所示。

表8—3 对初步回归模型的计算结果

2R =0。9106 F=67。9195 p 〈0.0001 2s = 3.0719

计算结果包括回归系数b=(0123,,,ββββ）=（18.0157, 1。0817 ， 0.3212 ， 1.2835），且置信区间均不包含零点，；残差及其置信区间；统计变量stats ,它包含四个检验统计量：相关系数的平方2R ，假设检验统计量Ｆ，与F 对应的概率p,2s 的值（7。0以前版本2s 也可由程序sum(r 。^2）/(n —m-1）计算）。因此我们得到初步的回归方程为：

123ˆ18.0157 1.08170.3212 1.2835y

x x x =+++

由结果对模型的判断:

回归系数置信区间不包含零点表示模型较好，残差在零点附近也表示模型较好,接着就是利用检验统计量

Ｒ，Ｆ，p 的值判断该模型是否可用。

（１)相关系数Ｒ的评价:一般地，相关系数绝对值在0.8~1范围内，可判断回归自变量与因变量具有较强的线性相关性.本例Ｒ的绝对值为0.9542，表明线性相关性较强。

（２）F 检验法：当1(,1)F F m n m α->--，即认为因变量y 与自变量12,,,m x x x 之间显著地有线性相关关系；

否则认为因变量y 与自变量12,,

,m x x x 之间线性相关关系不显著。本例Ｆ＝67。919>10.05(3,20)F -= 3。

10 （查F 分布表或输入命令finv(0。95,3,20）计算).

（３）p 值检验:若p α<（α为预定显著水平），则说明因变量y 与自变量12,,,m x x x 之间显著地有线性相

关关系。本例输出结果,p<0。0001，显然满足P 〈α=0。05。

以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量y 与自变量之间显著地有线性相关关系，所得线性回归模型可用。2s 当然越小越好，这主要在模型改进时作为参考。

4. 模型的精细分析和改进（1）残差分析

残差ˆ(1,2,,)i i i e y y i n =-=，是各观测值i y 与回归方程所对应得到的拟合值ˆi y

之差，实际上，它是线性回归模型中误差ε的估计值.2~(0,)N εσ即有零均值和常值方差，利用残差的这种特性反过来考察原模型的合理性就是残差分析的基本思想。利用MATLAB 进行残差分析则是通过残差图或时序残差图。残差图是指以残差为纵坐标,以其他指定的量为横坐标的散点图。主要包括：(1）横坐标为观测时间或观测值序号；（2)横坐标为某个自变量的观测值；(3）横坐标为因变量的拟合值.通过观察残差图，可以对奇异点进行分析,还可以对误差的等方差性以及对回归函数中是否包含其他自变量、自变量的高次项及交叉项等问题给出直观的检验。

以观测值序号为横坐标,残差为纵坐标所得到的散点图称为时序残差图,画出时序残差图的MATLAB

语句为rcoplot （r ，rint)(图8。2）。可以清楚看到残差大都分布在零的附近，因此还是比较好的，不过第4、12、19这三个样本点的残差偏离原点较远,如果作为奇异点看待，去掉后重新拟合，则得回归模型为:

123ˆ19.08080.86160.3176 1.3463y

x x x =+++

且回归系数的置信区间更小均不包含原点，统计变量stats 包含的三个检验统计量：相关系数的平方2R ，假设检验统计量Ｆ,概率Ｐ ,分别为:0.9533 ； 115.5586 ; 0.0000 ，比较可知R ，F 均增加模型得到改进。

图8。2 时序残差图（2）变量间的交互作用讨论

变量间的交互作用包括:不同自变量之间的交互作用以及同一变量的自相关性。

不同自变量之间的交互作用：有时,在实验中不仅单因素对指标有影响，而且因素间还会联合起来对指标产生影响，常称这种联合作用为交互作用.处理两个因素间交互作用的一个简单办法是加入这两个自变量的乘积项。本文案例如果加入交互项则为：

0112333412513623

ˆˆˆˆˆˆˆˆy x x x x x x x x x βββββββ=++++++

用表8.2的数据，利用MATLAB 统计工具箱得到回归系数分别为：27.0727 ，1。1147，-0。0215 ，—0。1843 ，0.0033 ，—0.0054 ,0.0511 。但它们的置信区间均包含原点,其他指标也不理想,因此，本例中其交互作用并不显著,该模型不如前面两个模型好。

自相关性的诊断和处理：若数据是以时间为序的，称为时间序列数据。在时间序列数据中，同一变量的顺序观测值之间出现的相关现象称为自相关。一旦数据中存在这种自相关序列，如果仍采用普通的回归模型直接处理，将产生不良后果，使预测失去意义。自相关的诊断主要有图示检验法、相关系数法和DW 检验法。图示检验法是通过绘制残差t e 散点图观察，如果散布点1(,),2,3,

,t t e e t n -=大部分点落在第Ⅰ，Ⅲ象限，表

明存在着正的序列相关；如果大部分点落在第Ⅱ，Ⅳ象限，表明存在着负的序列相关。对DW 检验法可以利用MATLAB 软件编程计算统计量：

1ˆˆ2(1),n

t t e e

DW ρ

ρ-≈-=∑,

然后查阅DW 检验上下界表,以决定模型的自相关状态。

当一个回归模型存在序列相关性时，首先要查明序列相关产生的原因。如果是回归模型选用不当，则应改用适当的回归模型；如果是缺少重要的自变量,则应增加自变量；如果以上方法都不能消除序列相关性,则需要采用差分法、迭代法等处理，更详细内容参见相关概率统计参考文献。

8。2。3 逐步回归方法建模

逐步回归就是一种从众多自变量中有效地选择重要变量的方法。逐步回归的基本思路是,先确定一个包含若干自变量的初始集合，然后每次从集合外的变量中引入一个对因变量影响最大的,再对集合中的变量进行检验,从变得不显著的变量中移出一个影响最小的，依此进行，直到不能引入和移出为止.引入和移出都以给定的显著性水平为标准。

MATLAB 统计工具箱中逐步回归的命令是stepwise,它提供了一个人机交互式画面，通过此工具可以自由地选择变量进行统计分析。该命令的用法是：

stepwise （X ， Y ， inmodel , alpha)

其中X 是自变量数据,排成n m ⨯矩阵(m 为自变量个数，n 为每个变量的数据量），Y 是因变量数据，排成1n ⨯向量，inmodel 是自变量初始集合的指标，缺省时为全部自变量，alpha 为显著水平,缺省时为0.05。

运行stepwise 命令时产生图形窗口:Stepwise Plot , Stepwise Table ， Stepwise History 。当鼠标移到图形某个区域时，鼠标点击后产生交互作用。Stepwise Plot 窗口中的虚线表示回归系数的置信区间包含零点，即该回归系数与零无显著差异，一般应将该变量移去；实线则表明该回归系数与零有显著差异，应保留在模型中(蓝色表示该变量已进入模型，红色表示该变量已移出模型）。引入和移出变量还可参考Stepwise History 窗口中剩余标准差RMSE 是否在下降，剩余标准差RMSE 最小的就是最好的模型。Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差RMSE 、相关系数R

—square 、F 值、与F 对应的概率。

关于本节案例2,如果引入新的自变量412513623,,x x x x x x x x x === 。也可以采用逐步回归法解决,源程序如下：

A=[3.5 5.3 5.1 5。8 4.2 6。0 6。8 5.5 3。1 7.2 4。5 4。9 8。0 6.5 6.5 3。7 6。2 7.0 4。0 4。5 5.9 5。6 4.8 3.9；9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15；6.1 6.4 7。4 6.7 7。5 5。9 6。0 4.0 5.8 8.3 5。0 6.4 7.6 7。0 5.0 4.0 5.5 7。0 6.0 3.5 4。9 4。3 8。0 5.0]'；

Y=［33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39。0 40。7 30。1 52。9 38.2 31.8 43.3 44。1 42.5 33.6 34。2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45。2 35.1］'； x1=A （：，1)； x2=A(:，2)； x3=A(:,3）; x4=x1。＊x2； x5=x1。＊x3； x6=x2。＊x3; X=[A ，x4，x5,x6]； stepwise(X ，Y)

运行并按上述步骤操作后可以得到本文前面线性回归相同的结论,即不含交互项的模型是最好的。在此只介绍操作过程，其交互界面,只要在MATLAB 软件上一试便知。

8.2.4 多项式回归

多项式回归仍然属于多元线性回归，可以是一元多项式回归或多元多项式回归. 一元多项式回归模型的一般形式为

01m m y x x βββε=++++

用MATLAB 求解一元多项式回归，除了使用命令polyfit(x ，y ，m ）外，还可以使用如下命令：

Polytool(x,y，m，alpha)

输入x，y，m同命令polyfit，alpha是显著性水平（默认0。05），则输出一个交互式画面，画面显示回归曲线及其置信区间,通过图左下方的export下拉式菜单，还可以输出回归系数估计值及其置信区间、残差等.

下面通过一个用多元多项式回归的实例说明什么时候用多项式回归以及如何通过MATLAB软件进行处理。

例3为了了解人口平均预期寿命与人均国内生产总值和体质得分的关系，我们查阅了国家统计局资料，北京体育大学出版社出版的《2000国民体质监测报告》，表8—4是我国大陆31个省市的有关数据.我们希望通过这几组数据考察它们是否具有良好的相关关系，并通过它们的关系从人均国内生产总值(可以看作反映生活水平的一个指标）、体质得分预测其寿命可能的变化范围。体质是指人体的质量，是遗传性和获得性的基础上表现出来的人体形态结构，生理机能和心理因素综合的、相对稳定的特征。体质是人的生命活动和工作能力的物质基础。它在形成、发展和消亡过程中，具有明显的个体差异和阶段性。中国体育科学学会体质研究会研究表明，体质应包括身体形态发育水平、生理功能水平、身体素质和运动能力发展水平、心理发育水平和适应能力等五个方面。目前，体质的综合评价主要是形态、机能和身体素质三类指标按一定的权重进行换算而得。

表8-4 31个省市人口预期寿命与人均国内生产总值和体质得分数据

4 71.20

65.125 10060 15 65.96

62。9 5382 26 76。

10 69.345 47319 5 73。91

69.99

29931

16 72。37 66。1 19070

27 74.9

68。415 40643 6 72。54

65。765 18243 17 70。07 64.51 1093

5 28 72。

91 66。495 11781 7 70.66

67.29

10763

18 72。55 68。385 22007 29 70。

17 65。765 10658 8 71.85

67.71 9907

19 71。65 66.205

13594

30 66.0

63。28 11587 9 71。08

66.525 13255 20 71.73， 65.77 1147

4 31 64。

62.84

9725

10 71.29, 67.13

9088

21 73.10 67。065 14335

74.70

69 .505

33772

67.47

63。605 7898

模型的建立和求解作表8-4数据12(,),(,)x y x y 的散点图如图8。3

图8.3 预期寿命与人均国内生产总值和体质得分的散点图

从图8。3可以看出人口预期寿命y 与体质得分2x 有较好的线性关系，y 与人均国内生产总值1x 的关系难以确定,我们建立二次函数的回归模型.

一般的多元二项式回归模型可表为 0111,m m jk j k j k m

y x x x x ββββε≤≤=++

+∑

MATLAB 统计工具箱提供了一个很方便的多元二项式回归命令：

Rstool(x,y ， 'model'，alpha)

输入x 为自变量（n ×m 矩阵),y 为因变量（n 维向量)，alpha 为显著水平，model 从下列4个模型中选择一个：

linear （只包含线性项）

purequadratic （包含线性项和纯二次项） interaction （包含线性项和纯交互项) quadratic(包含线性项和完全二次项) 输出一个交互式画面，对例3，编程如下：

y=[71.54 73。92 73。27 71。20 73.91 72。54 70.66 71.85 71.08 71.29，74。70 65。49 68。95 73。34 65.96 72。37 70。07 72。55 71。65 71.73，73.10 67.47 69。87 67.41 78。14 76。10 74.91 72。91 70.17 66。03 64.37］;

x1=[12857 24495 24250 10060 29931 18243 10763 9907 13255 9088 33772 8744 11494 20461 5382 19070 10935 22007 13594 11474 14335 7898 17717 15205 70622 47319 40643 11781 10658 11587 9725］；

x2=［66.165 71.25 70。135 65。125 69。99 65.765 67。29 67。71 66.525 67.13,69。505 56。775 66.01 67。97 62。9 66。1 64.51 68。385 66.205 65.77,67。065 63。605 64.305 60.485 70.29 69。345 68.415 66。495 65.765 63。28 62.84]; x=[x1’，x2']；

rstool （x,y',’purequadratic'）

得到一个如图8。4的交互式画面

图8。4 预期寿命与人均国内生产总值和体质得分的一个交互式画面

左边一幅图形是2x 固定时的曲线1()y x 及其置信区间，右边一幅图形是1x 固定时的曲线2()y x 及其置信区间.移动鼠标可改变1x ,2x 的值,同时图左边给出y 的预测值及其置信区间。如输入1x =128757,2x =66.165，则y =70.6948，其置信区间70.6948±1.1079.

图的左下方有两个下拉式菜单，上面的菜单Export 用于输出数据（包括：回归系数parameters,残差residuals,剩余标准差RMSE 等)，在MATLAB 工作空间中得到有关数据。通过下面的菜单在上述4个模型中变更选择，最后确定RMSE 值较小的模型.例3则是包含线性项和完全二次项（quadratic ）的模型最佳，即

011223124152y x x x x x x ββββββε=++++++

剩余标准差为1.2622，因此,所得回归模型为：

5922

121212

195.360.0045 5.5753 6.733810 3.3529100.055556y x x x x x x --=+--⨯+⨯+ 利用此模型我们可以根据国内生产总值及体质得分,预测寿命。

8。3 非线性回归分析

8.3.1 非线性最小二乘拟合

线性最小二乘拟合与线性回归中的“线性"并非指y 与x 的关系,而是指y 是系数01,ββ或

01(,,,)m ββββ=的线性函数。拟合如201y x ββ=+的函数仍然是最小二乘拟合；如果拟合如1

0x y e ββ=的

曲线，y 对01,ββ是非线性的，但取对数后ln y 对系数01,ββ是线性的,属于可化为线性回归的类型。下面讨

论非线性拟合的情形。

非线性最小二乘拟合问题的提法是：已知模型

101(,),(,,),(,,,)m k y f x x x x βββββ===，

其中f 对β是非线性的,为了估计参数β，收集n 个独立观测数据

1(,),(,)i i i i im x y x x x =(1,,),i n n m =>.记拟合误差()(,)i i i y f x εββ=-，求β使误差的平方和

221

()()[(,)]n n

i i i i i Q y f x βεββ====-∑∑

最小。

作为无约束非线性规划的特例，解非线性最小二乘拟合可用MATLAB 优化工具箱命令lsqnonlin 和lsqcurvefit.

8.3.2 非线性回归模型

非线性回归模型记作

101(,),(,,),(,,,)m k y f x x x x βεββββ=+==

其中f 对回归系数β是非线性的，2~(0,)N εσ。求得回归系数β的最小二乘估计。 MATLAB 统计工具箱中非线性回归的命令是：［b,R,J ］=nlinfit(x ，y, 'model'，bo)

输入x 是自变量数据矩阵，每列一个向量；y 是因变量数据向量；model 是模型的函数名（M 文件），形式为(,)y f b x =，b 为待估系数β；b0是回归系数β的初值。输出b 是β的估计值，R 是残差，J 是用于估计预测误差的Jacobi 矩阵.这个命令是依据高斯—牛顿法求解的。

将上面的输出作为命令 Bi=nlparci （b ，R,J)

的输入，得到的bi 是回归系数β的置信区间。用命令

nlintool （x,y, 'model’,b)

可以得到一个交互式画面，其内容和用法与多项式回归的Polytool 类似。

例4 酶促反应速度与底物浓度

酶促反应动力学简称酶动力学，主要研究酶促反应速度与底物（即反应物）浓度以及其它因素的关系。在底物浓度很低时酶促反应是一级反应;当底物浓度处于中间范围时，是混合级反应；当底物浓度增加时，向零级反应过渡。某生化系学生为了研究嘌呤霉素在某项酶促反应中对反应速度与底物浓度之间关系的影响，设计了两个实验,一个实验中所使用的酶是经过嘌呤霉素处理的，而另一个实验所用的酶是未经嘌呤霉素处理的。所得实验数据见表8—5.试根据问题的背景和这些数据建立一个合适的数学模型，来反映这项酶促反应的速度与底物浓度以及嘌呤霉素处理与否之间的关系。

表8—5 嘌呤霉素实验中的反应速度与底物浓度数据

分析与假设

记酶促反应的速度为y ,底物浓度为x ,二者之间的关系写作(,)y f x β=，其中β为参数(β可为一向量)。由酶促反应的基本性质可知，当底物浓度很低时酶促反应是一级反应，此时反应速度大致与底物浓度成正比；而当底物浓度很大，渐近饱和时,反应速度将趋于一个固定值（即零级反应）。下面的两个简单模型具有这种性质：

Michaelis-Menten 模型

(,)y f x x

12β=β=

β+

指数增长模型

(,)(1)x y f x e 2-β1=β=β-

非线性模型的求解

首先作出给出的经过嘌呤霉素处理和未经处理的反应速度与底物浓度的散点图,可以看出，上述两个模型与实际数据得到的散点图是大致符合的。

我们将主要对前一模型即Michaelis-Menten 模型进行详细的分析。首先对经过嘌呤酶素处理的实验数据进行分析，在此基础上，再来讨论是否有更一般的模型来统一刻画处理前后的数据，进而揭示其中的联系。

我们用非线性回归的方法直接估计模型的参数12ββ，，模型的求解可利用MATLAB 统计工具箱中的命令进行，使用格式为：

［beta ，R,J]=nlinfit （x,y,'model'，beta0）

其中输入x 为自变量数据矩阵，每列一个变量；y 为因变量数据向量；model 为模型的M 文件名，M 函数形式为y=f (beta ，x)，beta 为待估计参数；beta0为给定的参数初值.输出beta 为参数估计值，R 为残差，J 为用于估计预测误差的Jacobi 矩阵。参数beta 的置信区间用命令 nlparci （beta ，R ，J ）得到.

首先建立函数M 文件huaxue 。m ，非线性模型参数估计的源程序如下： x=[0.02 0.02 0。06 0。06 0。11 0.11 0.22 0.22 0.56 0.56 1。10 1。10]; y=［76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200]; beta0=［195.8027 0.04841];

［beta ，R,J ］=nlinfit(x,y,'huaxue’,beta0)； betaci=nlparci （beta ，R ，J)； beta,betaci

yy=beta （1)*x 。/(beta （2)+x ）; plot(x ，y,'o’,x，yy ，’m+'）,pause nlintool （x,y,’huaxue’，beta) 得到的数值结果见表8-6。

Nlintool 用于给出一个交互式画面,可以得到因变量y 的预测值和预测区间，左下方的Export 可向工作区传送剩余标准差等数据。

表8-6 模型参数的估计结果

从上面的结果可以知道,对经过嘌呤霉素处理的实验数据,在用Michaelis-Menten 模型进行回归分析时，最终反应速度为1β=212。6818,反应的半速度点（达到最终反应速度的一半时的底物浓度x 值)恰为

2β=0.06412。混合反应模型

由酶动力学知识我们知道，酶促反应的浓度依赖于底物浓度,并且可以假定,嘌呤霉素的处理会影响最终反应速度参数1β,而基本上不影响半速度参数2β.表8-5的数据也印证了这种看法。Michaelis —Menten 模型的形式可以分别描述经过嘌呤霉素处理和未处理的反应速度与底物浓度的关系（两个模型的参数β会不同),为了在同一个模型中考虑嘌呤霉素处理的影响，我们采用对未经嘌呤霉素处理的模型附加增量的方法，考察如下的混合反应模型：

11212221

(,)))y f x x x x x +(β=β=

(βγ+γ+

其中自变量1x 为底物浓度， 2

为一示性变量(0-1变量），用来表示是否经嘌呤霉素处理,

=1表示经过

处理，

=0表示未经处理;参数1β是未处理的反应的最终反应速度,1γ是经处理后最终反应速度的增长值,

2β是未经处理的反应的半速度点， 2γ是经处理后反应的半速度点的增长值。混合模型的求解和分析

为了给出初始迭代值，从实验数据我们注意到，未经处理的反应速度的最大实验值为160，经过处理的最大实验值为207,于是可取参数初值0011170,60βγ==；又从数据可大致估计未经处理的半速度点约为0.05，

Matlab多变量回归分析教程

本次教程的主要内容包含: 一、多元线性回归2# 多元线性回归:regress 二、多项式回归3# 一元多项式：polyfit或者polytool 多元二项式：rstool或者rsmdemo 三、非线性回归4# 非线性回归：nlinfit 四、逐步回归5# 逐步回归：stepwise 一.多元线性回归多元线性回归：确定回归系数的点估计值K b=regress(Y, X ) ③无的表达式x=

2、[b t bint,r,rint,stats]=regress(Y t X,alpha) 求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归术 ®bint表示回归系数的区间估计. ②r表示残差 ③tint表示置信区间 ④stats表示用于检验回归模型的统计量.有三个数值：相关系数J、F值、与F对应的概率p 说明：相关系数*越接近1,说明回归方程越显著；时拒绝HO, F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p>x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]1: 2.»X=[ones(16,1) x]: 3.»Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'；复制代码 (2)回归分析及检验 1.>> [b, bi nt,r,rint,stats]=regress(Y,X) 2. 2. b = 4. 3.-16.0730 4.0.7194 7. 8. 5.bint = 10. 6.-33.7071 1.5612 7.0.6047 0.8340 13. 14. 8.r = 16. 17. 1.2056 1& -3.2331 19.-0.9524 20. 1.3282

Matlab多变量回归分析教程

本次教程的主要内容包含：一、多元线性回归2# 多元线性回归：regress 二、多项式回归3# 一元多项式：polyfit或者polytool 多元二项式：rstool或者rsmdemo 三、非线性回归4# 非线性回归：nlinfit 四、逐步回归5# 逐步回归：stepwise 一、多元线性回归多元线性回归： 1、b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值

2、[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模 ①bint表示回归系数的区间估计. ②r表示残差 ③rint表示置信区间 ④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p 说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p<α时拒绝H0 ⑤alpha表示显著性水平(缺省时为0.05) 3、rcoplot(r,rint)画出残差及其置信区间具体参见下面的实例演示 4、实例演示，函数使用说明 (1)输入数据 1.>>x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; 2.>>X=[ones(16,1) x]; 3.>>Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; 复制代码 (2)回归分析及检验 1.>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 2. 3. b = 4. 5.-1 6.0730 6. 0.7194 7. 8. 9.bint = 10. 11.-33.7071 1.5612 12. 0.6047 0.8340 13. 14. 15.r = 16. 17. 1.2056 18.-3.2331 19.-0.9524 20. 1.3282 21. 0.8895 22. 1.1702

Matlab技术回归分析方法

Matlab技术回归分析方法简介：回归分析是一种常用的数据分析方法，用于建立变量之间的关系模型。Matlab 是一种功能强大的数值计算软件，提供了丰富的函数和工具包，用于实现回归分析。本文将介绍几种常见的Matlab技术回归分析方法，并探讨其应用场景和优缺点。一、线性回归分析：线性回归分析是回归分析的经典方法之一，用于研究变量之间的线性关系。在Matlab中，可以使用`fitlm`函数来实现线性回归分析。该函数通过最小二乘法拟合出最优的线性模型，并提供了各种统计指标和图形展示功能。线性回归分析的应用场景广泛，例如预测销售额、研究市场需求等。然而，线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，当数据呈现非线性关系时，线性回归会失效。为了解决非线性关系的问题，Matlab提供了多种非线性回归分析方法，如多项式回归、指数回归等。二、多项式回归分析：多项式回归分析是一种常见的非线性回归方法，用于建立多项式模型来描述变量之间的关系。在Matlab中，可以使用`fitlm`函数中的`polyfit`选项来实现多项式回归分析。多项式回归在处理非线性关系时具有很好的灵活性。通过选择不同的多项式次数，可以适应不同程度的非线性关系。然而，多项式回归容易过拟合，导致模型过于复杂，对新数据的拟合效果不佳。

为了解决过拟合问题，Matlab提供了正则化技术，如岭回归和Lasso回归，可以有效控制模型复杂度。三、岭回归分析：岭回归是一种正则化技术，通过添加L2正则项来控制模型的复杂度。在Matlab中，可以使用`fitlm`函数的`Regularization`选项来实现岭回归分析。岭回归通过限制系数的大小，减少模型的方差，并改善模型的拟合效果。然而，岭回归不能自动选择最优的正则化参数，需要通过交叉验证等方法进行调优。四、Lasso回归分析： Lasso回归是另一种常用的正则化技术，通过添加L1正则项来控制模型的复杂度。在Matlab中，可以使用`fitlm`函数的`Regularization`选项来实现Lasso回归分析。与岭回归相比，Lasso回归可以自动选择最优的正则化参数，并具有变量选择的特性。即Lasso回归可以将不相关的自变量的系数压缩为零，实现提取关键变量的功能。然而，Lasso回归在存在高度相关的自变量时，往往会选择一个相关变量作为代表，而忽略其他相关变量。因此，在变量选择问题中，需要根据具体情况选择使用岭回归还是Lasso回归。五、其他回归方法：除了上述介绍的回归方法外，Matlab还提供了其他一些回归分析方法，如局部加权回归、核岭回归等。这些方法通过引入局部性和非线性映射等手段，对特定问题进行了改进和拓展。

Matlab_多元的线性回归

1、多元线性回归 Matlab 多元线性回归在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（multivariable linear regression model ）多元线性回归模型的一般形式为： Y i =0+1 X 1i +2X 2i + …+k X ki +i ，i=1，2，…n （1）其中 k 为解释变量的数目， βj j ( j = 1，2，…k )称为回归系数（regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为： Y i =0+1 X 1i +2X 2i + …+k X ki , i=1,2, …n k j j 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。， 2、多元线性回归计算模型 Y=0+1 X 1+2X 2+ …+k X k +，~N(0,2) (3) （2）多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe) 为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。设( x 11,x 12,…,x 1p ,y 1)，…，(x n1,x n2,…,x np ,y n ) 是一个样本，用最大似然估计法估计参数：取,…,,当b 0 =,b 1 =,…,b p =时,Q=达到最小。（4）化简可得： ββββμ βββββββββεεδ,ˆ0b 1ˆb p b ˆ0ˆb 1ˆb p b ˆ2 1101)...(ip p i n i i x b x b b y ----∑=⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧-----=∂∂=-----=∂∂∑∑ ===n i ij ip p i i j n i ip p i i x x b x b b y b Q x b x b b y b Q 1011011100)(20)(2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-----=∂∂=-----=∂∂∑∑===n i ij ip p i i j n i ip p i i x x b x b b y b Q x b x b b y b Q 1011011100)(20)(2

MATLAB回归分析工具箱使用方法

MATLAB回归分析工具箱使用方法回归分析是一种用于探索变量之间关系的统计方法。它可以通过分析一个或多个自变量（也称为预测变量或解释变量）与一个因变量（也称为响应变量或预测变量）之间的关系来进行预测和解释。在MATLAB中，进行回归分析需要使用统计和机器学习工具箱。下面是使用MATLAB回归分析工具箱的一般步骤： 1.准备数据：首先，你需要准备你要进行回归分析的数据。数据应包括自变量和因变量。你可以将数据存储在MATLAB的工作空间中。 2. 导入数据：如果你的数据存储在外部文件中，如Excel文件或 CSV文件，你可以使用MATLAB的导入工具将数据导入到MATLAB中。 3.拟合模型：在回归分析中，你需要选择适当的模型来拟合你的数据。MATLAB提供了多种回归模型，如线性回归、多项式回归、广义线性模型等。你可以根据你的数据类型和需求选择适当的模型。 4. 拟合模型参数：一旦你选择了合适的模型，你需要拟合模型参数。在MATLAB中，你可以使用"fitlm"函数来拟合线性模型，使用"fitrgp"函数来拟合高斯过程回归模型。这些函数将返回一个拟合模型的对象。 5.模型评估：拟合模型后，你可以对模型进行评估。MATLAB提供了一些工具来评估模型的好坏，如决定系数（R²）、均方根误差（RMSE）等。你可以使用这些指标来判断你的模型是否满足你的需求。 6. 预测：一旦你拟合了你的模型并评估了模型的好坏，你可以使用模型来进行预测。你可以使用"predict"函数来预测新的自变量对应的因变量。

除了上述步骤外，MATLAB还提供了一些其他的回归分析工具箱的功能，如特征选择、模型比较、交叉验证等。你可以根据你的需求来选择适当的功能和方法。总结起来，使用MATLAB回归分析工具箱进行回归分析的一般步骤包括数据准备、数据导入、选择模型、拟合模型参数、模型评估和预测。通过合理使用MATLAB的回归分析工具箱，你可以对变量之间的关系进行分析和预测，并获得有价值的结果。

在MATLAB中进行分类和回归分析

在MATLAB中进行分类和回归分析在科学和工程领域，分类和回归分析是常见的数据分析方法。而MATLAB作为一种功能强大的数据分析软件，提供了丰富的工具和函数，使得分类和回归分析变得更加简单和高效。本文将介绍在MATLAB中进行分类和回归分析的方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这些技术。一、背景介绍分类和回归分析是基于已知数据的模式进行预测和分类的统计方法。分类分析用于将数据分为不同的类别，而回归分析则试图通过已知数据的模式预测未知数据的数值。这些方法在各个领域都有广泛的应用，如金融、医疗、市场营销等。二、数据准备在进行分类和回归分析之前，需要准备好相应的数据。一般来说，数据应当包含自变量（也称为特征或输入）和因变量（也称为标签或输出）。自变量是用来作为预测或分类的输入变量，而因变量是要预测或分类的目标变量。通常情况下，数据应当是数值型的，如果包含分类变量，需要进行相应的编码或处理。三、分类分析在MATLAB中进行分类分析，有多种方法和技术可供选择。其中最常见的方法包括K最近邻算法（K-nearest neighbors）和支持向量机（Support Vector Machines）等。这些方法都有相应的函数，可以用于在MATLAB中实现分类分析。 K最近邻算法基于训练样本和测试样本之间的距离，将测试样本分类为与其最近的K个训练样本所属的类别。而支持向量机则试图找到一个超平面，将不同类别的样本分开，并使得分类误差最小化。在MATLAB中，我们可以使用fitcknn和fitcsvm函数来实现K最近邻算法和支持向量机。

除了上述方法，还有其他的分类算法可以在MATLAB中使用，如决策树、随机森林等。根据数据的具体情况和需求，选择适合的分类算法非常重要。四、回归分析在进行回归分析时，我们需要首先选择适当的回归模型。常用的回归模型包括线性回归、多项式回归、岭回归等。根据数据的分布和特点，选择合适的回归模型能够提高分析的准确性。线性回归是最简单和常用的回归模型之一。它尝试通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和，来拟合一个线性模型。在MATLAB中，我们可以使用fitlm 函数进行线性回归分析。多项式回归则尝试通过多项式函数来拟合数据的曲线。通过增加多项式的次数，我们可以更好地拟合非线性关系。MATLAB中，可以使用polyfit函数实现多项式回归分析。岭回归是一种用于处理多重共线性的回归技术，它倾向于选择具有较小系数的模型。在MATLAB中，可以使用lasso函数来实现岭回归分析。除了上述方法，还有其他的回归分析方法可以在MATLAB中使用，如支持向量回归、弹性网络等。根据具体问题和数据的特点，选择适合的回归模型非常重要。五、模型评估和优化在进行分类和回归分析时，评估模型的准确性和性能是至关重要的。常见的评估指标包括准确率、召回率、精确率、F1分数（F1 score）等。MATLAB提供了相应的函数和工具，可以帮助我们对模型进行评估和比较。除了评估模型的准确性，还可以使用交叉验证等方法来优化模型。交叉验证可以评估模型的泛化性能，并帮助我们调整模型的参数和超参数。MATLAB提供了crossval函数用于实现交叉验证。

matlab 逻辑回归多元

matlab 逻辑回归多元（最新版）目录 1.逻辑回归简介 2.多元逻辑回归的概念和应用 3.MATLAB 中多元逻辑回归的实现 4.MATLAB 多元逻辑回归的示例 5.MATLAB 多元逻辑回归的优点和不足正文一、逻辑回归简介逻辑回归（Logistic Regression）是一种用于分类问题的线性模型，其基于二元逻辑函数，可以计算样本属于正类的概率。逻辑回归被广泛应用于信用风险评估、生物信息学、市场营销等领域。二、多元逻辑回归的概念和应用多元逻辑回归（Multiple Logistic Regression）是逻辑回归在多个自变量情况下的扩展。它通过引入多个逻辑函数，同时考虑多个自变量与因变量之间的关系，从而实现对数据的多元分析。多元逻辑回归被广泛应用于社会科学、医学、金融等领域。三、MATLAB 中多元逻辑回归的实现 MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数学软件，提供了丰富的函数和工具箱，支持用户进行多元逻辑回归分析。用户可以通过调用fitcnb 函数或者使用命令行界面进行多元逻辑回归的计算。四、MATLAB 多元逻辑回归的示例以下是一个使用 MATLAB 进行多元逻辑回归分析的示例：

假设我们有如下数据集，其中 x1、x2、x3 是自变量，y 是因变量：``` x1 x2 x3 y 1 2 3 0 2 3 4 0 3 1 2 1 4 1 3 1 5 2 4 0 ``` 我们希望通过多元逻辑回归分析，预测 y 的取值。首先，我们需要将数据集转换为 MATLAB 可以处理的格式： ```matlab x = [1 2 3; 2 3 4; 1 2 3; 1 1 3; 2 4 0]; y = [0 0 1 1 0]; ``` 然后，我们可以使用 fitcnb 函数进行多元逻辑回归分析： ```matlab model = fitcnb(x, y);

Matlab中的回归分析与多元统计分析

Matlab中的回归分析与多元统计分析 Matlab是一种功能强大的数值计算和科学编程软件，广泛应用于各个领域中数据处理和分析的任务。在统计学中，回归分析和多元统计分析是常见的方法，它们能够帮助我们揭示数据之间的隐藏关系和趋势。本文将探讨在Matlab环境下如何进行回归分析和多元统计分析。一、回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。它可以分析自变量（或称预测变量）与因变量之间的相关性，并通过建立数学模型来预测未知的观测值。在Matlab中，我们可以使用regress函数进行简单回归分析。假设我们有两个变量X和Y，我们想要探索它们之间是否存在线性关系。首先，我们需要导入数据，并绘制散点图以观察数据分布的趋势： ```matlab data = [X, Y]; % 导入数据 scatter(X, Y); % 绘制散点图 ``` 接下来，我们可以使用regress函数进行回归分析： ```matlab mdl = regress(Y, [ones(size(X)), X]); % 进行简单线性回归 ``` regress函数将返回一个线性模型对象mdl，我们可以使用该对象提取回归系数、残差等信息：

```matlab coef = mdl(1:end-1); % 提取回归系数 residuals = mdl(end); % 提取残差 ``` 此外，我们还可以使用mdl对象进行预测： ```matlab y_pred = [ones(size(X)), X] * coef; % 根据模型预测Y的值 ``` 二、多元统计分析多元统计分析是指研究多个变量之间关系的统计方法。与简单回归分析不同，多元统计分析考虑了多个自变量对因变量的影响。在Matlab中，我们可以使用fitlm函数进行多元线性回归分析。假设我们有三个自变量X1、X2和X3，一个因变量Y，我们想要研究它们之间的关系。首先，我们同样需要导入数据，并绘制散点图以观察数据分布：```matlab data = [X1, X2, X3, Y]; % 导入数据 scatter3(X1, X2, X3, Y); % 绘制散点图 ``` 接下来，我们可以使用fitlm函数进行多元线性回归分析： ```matlab mdl = fitlm([X1, X2, X3], Y); % 进行多元线性回归

matlab回归分析方法

第八章回归分析方法当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型.如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据,基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型—-统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。变量之间的关系可以分为两类:一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是:一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系,变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如,通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法.其解决问题的大致方法、步骤如下：（1）收集一组包含因变量和自变量的数据; (2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数；（3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； (4）判断得到的模型是否适合于这组数据；（5）利用模型对因变量作出预测或解释。应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大,所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上.运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MA TLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MA TLAB 统计工具箱,我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解,同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的,按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MA TLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等. 8.1 一元线性回归分析回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理;如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题,可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 8。1.1 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 01y x ββε=++ 2~(0,)N εσ 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。

MATLAB回归分析

MATLAB回归分析回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间的关系的统计方法。在MATLAB中，我们可以使用回归分析工具箱来进行回归分析。回归分析的目标是找到一个能够最好地描述自变量和因变量之间关系的数学模型。在这篇文章中，我们将介绍回归分析的基本原理、MATLAB中的回归分析工具箱的使用以及如何解释回归分析的结果。回归分析的基本原理回归分析建立在线性回归的基础上。线性回归假设因变量与自变量之间存在一个线性关系。回归分析通过找到最佳拟合线来描述这种关系。最常用的回归方程是一元线性回归方程，它可以表示为：y=β0+β1x+ε，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。 - regress函数：用于计算多元线性回归模型，并返回回归系数、截距和残差。例如，[B, BINT, R]=regress(y, X)用于计算因变量y和自变量矩阵X之间的回归模型。 - fitlm函数：用于拟合线性回归模型并返回拟合对象。例如，mdl = fitlm(X, y)用于拟合因变量y和自变量矩阵X之间的线性回归模型，并返回mdl拟合对象。 - plot函数：用于绘制回归分析的结果。例如，plot(mdl)用于绘制fitlm函数返回的拟合对象mdl的结果。 - coefCI函数：用于计算回归系数的置信区间。例如，CI = coefCI(mdl)用于计算拟合对象mdl中回归系数的置信区间。解释回归分析的结果

回归分析的结果通常包括拟合曲线、回归系数以及模型的可靠性指标。拟合曲线描述了自变量和因变量之间的关系。回归系数可以用来解释自变量对因变量的影响。模型的可靠性指标包括截距、回归系数的显著性检验以及相关系数等。拟合曲线可以通过调用plot函数来绘制。回归系数可以通过调用 coef函数来获取。对回归系数的显著性检验可以利用置信区间来判断，如果置信区间包含0，则说明回归系数不显著。相关系数可以通过调用corrcoef函数来计算。另外，MATLAB还提供了其他一些用于分析回归模型的函数和工具，例如anova函数用于进行方差分析，anova方法可以通过对不同的模型进行比较来判断模型是否显著。此外，还可以使用resid函数来计算残差，并利用残差图来检查模型是否适合。总结回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的方法。在MATLAB中可以使用回归分析工具箱进行回归分析。回归分析的结果包括拟合曲线、回归系数和模型的可靠性指标。拟合曲线可以通过plot函数绘制，回归系数可以通过coef函数获取，模型的可靠性指标可以通过anova函数计算。回归分析在实际应用中具有广泛的应用。它可以用于预测和模型建立，帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，以及预测未知变量的值。通过在MATLAB中进行回归分析，我们可以得到简单、快速和准确的分析结果，从而更好地进行数据分析。

matlab回归拟合

matlab回归拟合在机器学习和统计学中，回归分析是一种建立输入变量（自变量）和输出变量（因变量）之间关系的方法。回归拟合是回归分析的一种技术，旨在找到最佳的函数曲线来描述数据的趋势和关系。而MATLAB是一种功能强大的数值计算和科学计算软件，提供了许多用于回归拟合的函数和方法。在MATLAB中，可以使用多种回归方法进行拟合。下面是一些常用的回归拟合方法及其相应的MATLAB函数： 1. 线性回归拟合：线性回归是最简单和最常见的回归方法之一，试图通过直线来拟合数据。在MATLAB中，可以使用"polyfit"函数来进行线性回归拟合，该函数返回多项式系数。 2. 多项式回归拟合：多项式回归通过多项式函数来拟合数据。在MATLAB中，可以使用"polyfit"函数来进行多项式回归拟合，需要指定多项式的阶数。 3. 非线性回归拟合：非线性回归通过非线性函数来拟合数据，可以更好地适应复杂的数据模式。在MATLAB中，可以使用"lsqcurvefit"函数来进行非线性回归拟合，需要指定拟合函数和初始参数。 4. 支持向量机回归拟合：支持向量机（SVM）是一种常用的回归方法，通过寻找最佳超平面来拟合数据。在MATLAB中，可以使用"fitrsvm"函数来进行支持向量机回归拟合，需要指定核函数和相关参数。

5. 决策树回归拟合：决策树是一种基于树结构的回归方法，通过一系列决策节点来拟合数据。在MATLAB中，可以使用"fitrtree"函数来进行决策树回归拟合，可以指定树的最大深度和其他参数。在进行回归拟合之前，需要将数据加载到MATLAB中，并进行预处理，例如删除缺失值、标准化等。可以使用"readmatrix"函数来读取数据文件，使用"rmmissing"函数来删除缺失值，使用"zscore"函数来进行标准化。在使用上述回归拟合方法时，需要将输入变量和输出变量分别存储在不同的变量中，并将其作为参数传递给相应的拟合函数。拟合函数将返回拟合的模型或曲线，可以使用该模型或曲线对新的输入进行预测。除了上述方法外，MATLAB还提供了许多其他的回归拟合函数和工具箱，例如岭回归、主成分回归、局部加权回归等。可以根据具体问题和需求选择适合的方法进行回归拟合。总结起来，MATLAB提供了丰富的回归拟合方法和函数，可以用于解决各种回归分析问题。通过使用这些方法，可以根据数据的特点和要求，找到最佳的拟合模型或曲线，从而进行预测和分析。

使用Matlab技术进行回归分析的基本步骤

使用Matlab技术进行回归分析的基本步骤回归分析是统计学中一种用于研究变量间关系的方法，可以用来预测和解释变量之间的相关性。在实际应用中，使用计算工具进行回归分析可以提高分析效率和准确性。本文将介绍使用Matlab技术进行回归分析的基本步骤，并探讨其中的一些关键概念和技巧。一、数据准备在进行回归分析之前，首先需要收集和整理相关的数据。这些数据通常包括自变量和因变量。自变量是用来解释或预测因变量的变量，而因变量是需要解释或预测的变量。在Matlab中，可以将数据保存为数据矩阵，其中每一列代表一个变量。二、模型建立在回归分析中，需要建立一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。最简单的线性回归模型可以表示为：Y = βX + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β 是回归系数，ε是误差项。在Matlab中，可以使用regress函数来进行线性回归分析。三、模型拟合模型拟合是回归分析的核心步骤，它的目标是找到最佳的回归系数，使得预测值与实际观测值之间的差异最小。在Matlab中，可以使用OLS（Ordinary Least Squares）方法来进行最小二乘法回归分析。该方法通过最小化残差平方和来估计回归系数。四、模型诊断模型诊断是回归分析中非常重要的一步，它可以帮助我们评估模型的合理性和有效性。在Matlab中，可以使用多种诊断方法来检验回归模型是否满足统计假设，

例如残差分析、方差分析和假设检验等。这些诊断方法可以帮助我们检测模型是否存在多重共线性、异方差性和离群值等问题。五、模型应用完成模型拟合和诊断之后，我们可以使用回归模型进行一些实际应用。例如，可以使用模型进行因变量的预测，或者对自变量的影响进行解释和分析。在Matlab中，可以使用该模型计算新的观测值和预测值，并进行相关性分析。六、模型改进回归分析并不是一次性的过程，我们经常需要不断改进模型以提高预测的准确性和解释的可靠性。在Matlab中，可以使用变量选择算法和模型改进技术来优化回归模型。例如，可以使用逐步回归算法来选择显著的自变量，或者使用正则化方法将不重要的变量置零。综上所述，使用Matlab技术进行回归分析的基本步骤包括数据准备、模型建立、模型拟合、模型诊断、模型应用和模型改进。通过掌握这些基本步骤和相关技巧，我们可以更有效地进行回归分析，并且在实际应用中获得有意义的结果。需要注意的是，回归分析是一个复杂的统计方法，需要对各种模型和技术有深入的理解和应用经验。因此，在进行回归分析时，我们应该选择适当的方法和工具，并充分考虑数据的特点和实际问题的需求。

在MATLAB中使用高斯过程进行回归分析

在MATLAB中使用高斯过程进行回归分析随着数据科学和机器学习的发展，回归分析成为了一种非常常见和有用的数据分析工具。而高斯过程作为一种统计建模工具，在回归分析中具有广泛的应用。在本文中，我们将介绍如何在MATLAB中使用高斯过程进行回归分析。高斯过程，也被称为基于核函数的回归（Kriging）或者高斯过程回归（Gaussian Process Regression，简称GPR），是一种概率模型，广泛应用于回归分析中。它通过对数据进行建模，将数据与潜在函数之间的关系进行学习和预测。在MATLAB中，可以使用Statistics and Machine Learning Toolbox来进行高斯过程回归分析。首先，我们需要准备一些数据来进行回归分析。假设我们想要预测一个物体的重量，我们可以将物体的尺寸作为输入变量，将物体的重量作为输出变量。我们可以通过测量一系列物体的尺寸和重量来获得这些数据。在MATLAB中，我们可以使用`fitrgp`函数来进行高斯过程回归的建模和预测。首先，我们需要将数据拆分成输入变量和输出变量。假设我们的输入变量存储在一个名为`X`的矩阵中，输出变量存储在一个名为`Y`的向量中。我们可以使用以下代码进行拆分： ```matlab X = [尺寸1; 尺寸2; 尺寸3; ...; 尺寸n]; Y = [重量1; 重量2; 重量3; ...; 重量n]; ``` 接下来，我们可以使用`fitrgp`函数来建立高斯过程回归模型： ```matlab model = fitrgp(X, Y);

``` 在这个过程中，`fitrgp`函数将自动选择核函数和其他参数，来对输入变量和输出变量之间的关系进行建模。但是，我们也可以通过指定自定义的核函数和参数来调整建模的过程。建立了模型之后，我们可以使用`predict`函数来对新的数据进行预测。假设我们想要预测一个新物体的重量，我们可以将其尺寸作为输入变量传递给`predict`函数： ```matlab new_size = [新物体的尺寸]; predicted_weight = predict(model, new_size); ``` `predict`函数将返回一个预测的重量值，这个值可以帮助我们了解新物体的重量。除了对单个数据点进行预测之外，我们还可以对整个输入变量空间进行预测，并可视化预测结果。为了实现这一点，我们可以生成一组输入变量的网格，并使用`predict`函数对整个网格进行预测。然后，我们可以使用`meshgrid`函数将输入变量网格转换成三维坐标： ```matlab [X1, X2] = meshgrid(尺寸1的范围, 尺寸2的范围); ``` 接下来，我们可以将这些输入变量网格传递给`predict`函数，获得对整个网格上的输出变量的预测值： ```matlab

odr 正交距离回归 matlab

正交距离回归（ODR）是一种常用的多元统计分析方法，它在数据分析和建模中具有广泛的应用。通过使用MATLAB软件进行ODR分析，可以更加方便和高效地进行数据处理和模型拟合。本文将针对ODR正交距离回归在MATLAB中的应用进行详细介绍和分析，以帮助读者更好地理解和运用这一方法。一、ODR正交距离回归简介 1.1 ODR的原理和特点 ODR正交距离回归是一种针对多元变量之间关系进行建模的方法，其核心思想是通过最小化因变量与自变量之间的正交距离来拟合模型，从而得到更加可靠的回归结果。与传统的最小二乘法不同，ODR能够有效处理自变量之间存在相关性的情况，具有更高的鲁棒性和稳健性。 1.2 ODR在数据分析中的应用 ODR方法广泛应用于统计数据分析、回归分析、参数估计等领域，特别适用于数据存在多重共线性、异方差性等问题的情况。在实际应用中，ODR可以用于工程建模、市场预测、科学研究等方面，为研究人员和决策者提供数据分析和决策支持。二、MATLAB中ODR的实现 2.1 MATLAB工具箱

MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具箱和函数库，方便用户进行数据处理、统计分析、数值计算等操作。其中，MATLAB Statistics and Machine Learning Toolbox中包含了ODR 正交距离回归相关的函数和工具，可以实现对ODR方法的快速应用和实现。 2.2 MATLAB中ODR的调用在MATLAB中，可以通过调用ODR的相关函数和工具箱来进行数据分析和建模。用户可以首先准备好需要进行分析的数据集，并在MATLAB命令窗口中使用相关函数进行ODR分析，得到模型的拟合结果和参数估计。 2.3 MATLAB中ODR的参数设置在进行ODR分析时，用户可以设置一些参数和选项来控制模型的拟合过程和结果的输出。可以指定ODR方法的算法类型、拟合的约束条件、残差的权重设置等内容，来满足不同分析需求和模型假设。三、实例分析为了更加直观地展示ODR在MATLAB中的应用过程和效果，我们将通过一个具体的实例进行分析。假设我们有一组包含多个自变量和一个因变量的数据集，现在需要使用ODR方法来拟合回归模型，并对结果进行评估和解释。

用matlab做一元线性回归分析

用matlab做一元线性回归分析一元线性回归分析是在排除其他影响因素的假定其他影响因素确定的情况下，分析某一个因素（自变量）是如何影响另外一个事物（因变量）的过程，所进行的分析是比较理想化的。用SPSS可以做一元线性回归分析，但是当回归的自变量比较多的时候，一个一个的输入会比较麻烦，增加了计算量，本文中描述了如何用matlab语言来实现一元线性回归分析。在matlab中，regress命令是用来做回归的。假如有96个SNP，作为自变量，有一个因变量，比如说HDL，LDL等等，将它们以列导入matlab。值得注意的是：自变量前面必须有一列全为1的数据，看下面例子即可理解。 for i=1:96 z=[ones(2334,1), x(:,i)]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,z); c(i,:)=stats; end 在一元线性回归方程中，回归方程的显著性检验可以替代回归系数的显著性检验，并且F=T2

百度中的一个例子： X=[1 1 4 6 8 11 14 17 21]' Y=[2.49 3.30 3.68 12.20 27.04 61.10 108.80 170.90 275.50]' X=[ones(9,1), X] [b,bint,r,rint,stats]= regress(Y,X) 输出向量b，bint为回归系数估计值和它们的置信区间，r，rint 为残差及其置信区间，stats是用于检验回归模型的统计量，有三个数值，第一个是R2，其中R是相关系数，第二个是F统计量值，第三个是与统计量F对应的概率P，当P<α时拒绝H0，回归模型成立 regress Multiple linear regression Syntax b = regress(y,X)

MATLAB回归分析工具箱使用方法

MATLAB回归分析工具箱使用方法下面将详细介绍如何使用MATLAB中的回归分析工具箱进行回归分析。 1.数据准备回归分析需要一组自变量和一个因变量。首先，你需要将数据准备好，并确保自变量和因变量是数值型数据。你可以将数据存储在MATLAB工作区中的变量中，也可以从外部文件中读取数据。 2.导入回归分析工具箱在MATLAB命令窗口中输入"regstats"命令来导入回归分析工具箱。这将使得回归分析工具箱中的函数和工具可用于你的分析。 3.线性回归分析线性回归分析是回归分析的最基本形式。你可以使用"regstats"函数进行线性回归分析。以下是一个简单的例子： ```matlab data = load('data.mat'); % 从外部文件加载数据 X = data.X; % 自变量 y = data.y; % 因变量 stats = regstats(y, X); % 执行线性回归分析 beta = stats.beta; % 提取回归系数 rsquare = stats.rsquare; % 提取判定系数R^2 ```

在上面的例子中，"regstats"函数将自变量X和因变量y作为参数，并返回一个包含回归系数beta和判定系数R^2的结构体stats。 4.非线性回归分析如果你的数据不适合线性回归模型，你可以尝试非线性回归分析。回归分析工具箱提供了用于非线性回归分析的函数，如"nonlinearmodel.fit"。以下是一个非线性回归分析的例子：```matlab x=[0.10.20.5125]';%自变量 y=[0.92.22.83.66.58.9]';%因变量 f = fittype('a*exp(b*x)'); % 定义非线性模型 model = fit(x, y, f); % 执行非线性回归分析 coeffs = model.coefficients; % 提取模型系数 ``` 在上面的例子中，"fittype"函数定义了一个指数型的非线性模型，并且"fit"函数将自变量x和因变量y与该模型拟合，返回包含模型系数的结构体model。 5.绘制回归拟合曲线使用回归分析工具箱，你可以轻松地绘制回归拟合曲线。以下是一个绘制线性回归拟合曲线的例子： ```matlab

多元回归分析matlab

回归分析MATLAB 工具箱一、多元线性回归多元线性回归：p p x x y βββ+++=...110 1、确定回归系数的点估计值：命令为：b=regress(Y , X ) ①b 表示⎥⎥⎥⎥ ⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p b βββˆ...ˆˆ10 ②Y 表示⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n Y Y Y Y (2) 1 ③X 表示⎥ ⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢ ⎢⎣ ⎡=np n n p p x x x x x x x x x X ...1............ (1) (12) 1 2222111211 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：命令为：[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y ,X,alpha) ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差. ③rint 表示置信区间. ④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r 2、F 值、与F 对应的概率p. 说明：相关系数2 r 越接近1,说明回归方程越显著；)1,(1-->-k n k F F α时拒绝0H ,F 越大, 说明回归方程越显著；与F 对应的概率p α<时拒绝H 0,回归模型成立. ⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05) 3、画出残差及其置信区间. 命令为：rcoplot(r,rint) 例1.如下程序. 解：(1)输入数据. x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; (2)回归分析及检验. [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y ,X) b,bint,stats 得结果：b = bint =

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