等差数列知识点汇总
专题二 等差数列巩固
——等差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要站好这块地盘
一、明确复习目标
1．理解等差数列的概念和性质；
2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能用公式解决简单问题
二．建构知识网络
1．定义：)()(1?
+∈=-N n d a a n n 常数
2．通项公式：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+= d =
11--n a a n ，d =m
n a a m
n --是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)
1(2)(11-+=+=21()22
d d n a n =+- 变式：
21n a a +=n
S n
4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则 (1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q
(2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.
(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列.
(4)当n=2k-1为奇数时，S n =na k ；S 奇=ka k ，S 偶=(k-1)a k (a k =a 中) 6．等差数列的判定方法(n ∈N*)
(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a
(3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2
7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 三数:d a a d a +-,,, 四数d a d a d a d a 3,,,3-+-- 8.会从函数角度理解和处理数列问题.
三、双基题目练练手
1.（2006全国Ⅱ）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
3613s s =，则612
s
s = ( ) （A ）
310 （B ）13 （C ）18 （D ）1
9
2. (2006广东) 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是
( )
A 5
B 4
C 3
D 2
3.等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0且a 11＞|a 10|，S n 为其前n 项和，则 ( ) A. S 10小于0，S 11大于0 B. S 19小于0，S 20大于0 C. S 5小于0，S 6大于0 D. S 20小于0，S 21大于0
4.(2006天津)已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且
511=+b a ，1a 、*1b N ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于
A ．55
B ．70
C ．85
D ．100 （ ）
5.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15=p 是一常数，则S 13=
6.在等差数列{}n a 中,已知499,6,63n a a S ==-=,则n= .
简答:1-4.ACBC; 3. a 11＞|a 10|=－a 10，∴a 10+a 11=a 1+a 20＞0.
∴S 20=10（a 1+a 20）＞0.选 B
4.11110(1)(1)13,5(413)85n b n a a b a b n n S =+-=++--=-=+=
5. a 2+a 4+a 15=p （常数），∴3a 1+18d =p ，即a 7=3
1
p . ∴S 13=
2)(13131a a +?=13a 7=3
13
p .
6.设首项为1a ,公差为d ,则???-==??
?+=-+=3
18
8639111d a d a d a 得
76:)1(2
3
1863==--==∴n n n n n S n 或得
四、经典例题做一做
【例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390, 求这个数列项数.
(2)等差数列{}n a 的前10项的和,10010=S 前100项的和10100=S ,求前110项的和.110S 解(1)1231234,146n n n a a a a a a --++=++=Q 又
12132n n n a a a a a a --+=+=+Q
11:3()180,60n n a a a a +=+=两式相加得,13,3902
)
(1==+=
n a a n S n n 得由 (2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项1a 与公差d 的两个方程.
解法一:设{}n a 的首项为1a ,公差d ,则11
111110109100502:1109910010099102100d a d a d a ??
=-+??=????????+??==????
解得
1101091102
1
1101110-=??+=∴d a S
分析二:运用前n 项和变式: Bn An S n +=2
解法二: {}n a 为等差数列,故可设Bn An S n +=2
,
则1110101001000010010100-=+?
??=+=+B A B A B A 解得
110)110(1101101102110-=+=+=∴B A B A S
解法三：2902
90
)(100111001110100-=+∴-=?+=
-a a a a S S Θ
1102
110)(2)(110100*********
-=?+=+=∴a a a a S
方法提炼:本题是等差数列的基本计算,要求熟练准确.
题(1)利用了等差数列的性质和前S n 公式的特点;
题(2)法一:转化为两个基本量,是重要的方法;法二利用了前n 项和公式的函数式特征.
【例2】数列{a n }的前n 项和为S n =npa n （n ∈N *）且a 1≠a 2， （1）求常数p 的值；
（2）证明：数列{a n }是等差数列. 分析：（1）注意讨论p 的所有可能值.
（2）运用公式a n =???--11n n
S S S .2,1≥=n n 求a n .
解：（1）当n =1时，a 1=pa 1，若p =1时，a 1+a 2=2pa 2=2a 2，
∴a 1=a 2，与已知矛盾，故p ≠1.则a 1=0. 当n =2时，a 1+a 2=2pa 2，∴（2p －1）a 2=0.
∵a 1≠a 2，故p =21. （2）由已知S n =2
1
na n ，a 1=0.
n ≥2时，a n =S n －S n －1=21na n －2
1
（n －1）a n －1.
∴
1-n n a a =21--n n .则21--n n a a =32--n n ，…，23a a =12
.(n ≥3) ∴
2
a a n
=n －1.∴a n =（n －1）a 2， a n －a n －1=a 2. (n ≥3) 又a 2-a 1=a 2,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数. 故{a n }是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列.
提炼拓展: 证明等差数列的方法:1.由定义a n -a n-1=d, 2.等差中项,3.通项公式a n =pn+q,4.S n =Pn 2=qn
例3．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。
分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。
解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为{}n a ，则111=a
∵数列5，8，11，…和3，7，11…的公差分别为3与4{}
112,1243-=∴=?=∴n a d a n n 的公差
又因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别是302和399，
,,5.25302112*∈≤≤-=∴N n n n a n 又即所以两个数列有25个相同的项。
其和3875122
24
25251125=??+
?=S 分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。 解：设数列5，8，11，…和3，7，11…分别为{}{}14,23,,-=+=n b n a b a n n n n 则 设{}n a 中的第n 项与{}n b 中的第m 项相同，即
14)(,3,,,13
4
1423-=∈=∴∈-=
∴-=+**r n N r r m N n m m n m n 得设又 根据题意得：)(251:100
141100
31*∈≤≤???≤-≤≤≤N r r r r 解得
从而有25个相同的项，且公差为12，其和387512224
25251125=??+?=S
(另法:由m=3r 知第r 个相同的项为b 3r =12r-1…)
方法提炼：法1:设两数列中a n =b m ,求出n(或m)应满足的关系,再代回a n (或b m ) 法2:两等差数列中相同的项成等差数列,且公差是两等差数列公差的最小公倍数.
例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。
解法1:由已知2111
()
2332
()
772
m m m a a m a a --?+?=?
??+=?
? 又211m m a a a a -+=+,两式相除得
133
,7277
m m m -==, 从而由②得：a 1+a 7=22, 又已知 a 1-a 7=18,可解得 a 1=20,a 7=2.
公差d=-3, a n =-3n+23.
解法2:利用前奇数项和与中项的关系 令m=2n-1，n ∈N +
则 ???=-==-=-33a )1n (S 77
a )1n 2(S n n 1n 2偶
∴
33
77
1n 1n 2=
--, n=4, m=7, a n =11 ∴ a 1+a m =2a n =22, 又a 1-a m =18 ∴ a 1=20，a m =2 ∴ d=-3 ∴ a n =-3n+23
提炼拓展；利用求和公式和性质；转化为两个基本量行吗？行．
① ②
【研讨.欣赏】 已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；
（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；
（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.
[解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）()
)0(11010222030≠++=+=d d d d a a ，
???
?????+??? ??+=4321102
30
d a ，
当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞.
（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列.
解题回顾：方法是基本的——转化为基本量,利用通项公式.题(3)考查类比的能力.
五．提炼总结以为师
1.等差数列的概念和性质，证明数列{a n }是等差数列的方法：
2.等差数列的通项公式与前n 项和公式的求法与应用; 五个元素a 1，a n ，n ，d ，S n 中知三，可求另两个.
3.思想.方法 :转化为基本量,利用性质,方程的思想,
同步练习 等差数列 【选择题】
1.在等差数列{a n }中,a m =n,a n =m,则a m+n 的值为 （ ） （A ）m+n （B ）
)(21n m + （C ）)(2
1
n m - （D ）0 2. (2006全国Ⅰ)设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则
111213a a a ++= ( )
A 120
B 105
C 90
D 75
3.如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则 （ ）
（A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a
4.（2004重庆）若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是： （ ） A 4005 B 4006 C 4007 D 40084． 【填空题】
5.（2005天津）在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且)( )1(12*
+∈-+=-N n a a n n n 则S 100=__
6.（2003全国）已知方程（x 2－2x +m ）（x 2－2x +n ）=0的四个根组成一个首项为
4
1
的等差数列，则|m －n |=
简答.提示：1-4.DBBB; 5.2600; 6.设4个根分别为x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1+x 2=2，x 3+x 4=2∵m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q .设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列为41，43，45，47，∴m =167，n =16
15.∴|m －n |=
2
1
. 【解答题】
7.如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差；
分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n 项和公式中五个量n n a S n d a ,,,,1，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而d a ,1是基本量
解：设等差数列首项为1a ，公差为d ，则
{
111111
112121135421266354
216()652325205212766522
a d a d a a d d a d d a d
?+??=??+==????++?????-==??=
?+????? 8.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数 解：设数列共2m+1 （m ∈N *）把该数列记为｛a n ｝
依题意a 1+a 3+……+a 2m+1=44 且a 2+a 4+……+a 2m =33
即 2m
(a 2+a 2m )=33 （1） 2
1+m (a 1+a 2m )=44 （2）
（1）÷（2）得
4
3
1=+m m ∴m = 3代入（1）得a 2+a 2m = 22 ∴a m+1=
2
22m
a a +=11 即该数列有7项，中间项为11
9.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n ，b n =
n
a a a n
242+???++，
证明:数列{b n }是等差数列. 证明:S n =n 2－2n ，a 1=S 1=－1.
当n ≥2时，a n =S n －S n －1=n 2－2n －（n －1）2+2（n －1）=2n －3，a 1满足上式即a n =2n －3. ∵a n +1－a n =2（n +1）－3－2n +3=2，
∴数列{a n }是首项为－1，公差为2的等差数列.
∴a 2+a 4+…+a 2n =2
)
(22n a a n +
=
2
)
341(-+n n =n （2n －1），
即b n =n
n n )12(-=2n －1.
∴b n +1－b n =2（n +1）－1－2n +1=2.
又b 2=1
2a
=1，
∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列.
10．数列{}n a 的首项31=a ,通项n a 与前n 项和n S 之间满足)2(21≥=-n S S a n n n (1)求证:?
??
??
?n S 1是等差数列,并求公差; (2)求数列{}n a 的通项公式;
(3)数列{}n a 中是否存在正整数k,使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由. 解:(1)当1
111
11112,22,22
n n n n n n n n n n n n a S S n S S
S S a S S S S -----=-?≥?-=?
-=-?
=?时 111,3S =而
.2
1
,311的等差数列是首项为-=??????∴d S n (2)
1111536(1)(),2653n n n n S S S n
-=+-?-=∴=- 1118
2,2(35)(38)
n n n n a S S n n -∴≥==--当时
?????≥--==∴)
2()
183)(53(18),
1(3n n n n a n
(3)1108
0(32)(35)(38)
k k a a k k k +-=
>--- 1258
,3,333
k k k k k a a +?<<>∴≥>或当时有所求最小k=3. 【探索题】已知数列{a n }的各项均为正整数，且满足a n +1=a n 2－2na n +2（n ∈N *），又a 5=11. （1）求a 1，a 2，a 3，a 4的值，并由此推测出{a n }的通项公式（不要求证明）；
（2）设b n =11－a n ，S n =b 1+b 2+…+b n ，S n ′=|b 1|+|b 2|+…+|b n |，求∞
→n lim
'n
n
S S 的值. 解：（1）由a 5=11，得11=a 42－8a 4+2，即a 42－8a 4－9=0.解得a 4=9或a 4=－1（舍）. 由a 4=9，得a 32－6a 3－7=0. 解得a 3=7或a 3=－1（舍）. 同理可求出a 2=5，a 1=3.
由此推测a n 的一个通项公式a n =2n +1（n ∈N *）. （2）b n =11－a n =10－2n （n ∈N *），可知数列{b n }是等差数列.
S n =
2)(1n b b n +=2
)
2108(n n -+=－n 2+9n . 当n ≤5时，S n ′=S n =－n 2+9n ；
当n ＞5时，S n ′=－S n +2S 5=－S n +40=n 2－9n +40.
当n ≤5时，'n
n
S S =1； 备选题
6.在等差数列{a n }中，公差为
2
1
，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2+a 4+a 6+…+a 100=_________. 解析：由等差数列的定义知a 2+a 4+a 6+…+a 100=a 1+a 3+a 5+…+a 99+50d =60+25=85. 答案：85
3.（2004年春季上海，7）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则a n =___________________.
解析：将点代入直线方程得n a －1-n a =3，由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n ，即a n =3n 2.
答案：3n 2
7.（2003年春季上海，12）设f （x ）=
2
21+x
，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的
方法，可求得f （－5）+f （－4）+…+f （0）+…+f （5）+f （6）的值为________.
解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f （x ）+f （1－x ）=2
2
，即f （－5）+ f （6）=22，f （－4）+f （5）=22，f （－3）+f （4）=22，f （－2）+f （3）=22，f （－1）+ f （2）=2
2，f （0）+f （1）=2
2
，故所求的值为32.
答案：32
8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n 已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0
(Ⅰ)求公差d 的取值范围；
(Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由 解： (Ⅰ)依题意,有 02
)
112(1212112>?-?+
=d a S
02)
113(1313113
?<+>+)2(06)1(01121
1d a d a 由a 3=12,得 a 1=12－2d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ??
?<+>+0
30724d d ，∴3724
-<<-d
(Ⅱ)由d ＜0可知 a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13
因此,若在1≤n ≤12中存在自然数n,使得a n ＞0,a n+1＜0, 则S n 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值
由于 S 12=6(a 6+a 7)＞0, S 13=13a 7＜0，即 a 6+a 7＞0, a 7＜0
由此得 a 6＞－a 7＞0因为a 6＞0, a 7＜0,故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大
9.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为
85
9
，求这5个数 解：设三个数为a ，公差为d ，则这5个数依次为a-2d ，a-d ,a ,a+d ,a+2d 依题意：
(a-2d)2 +(a-d)2 + a 2 + (a+d)2 + (a+2d)2 =
9
85 且(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5
即 a 2+2d 2 =
917
且 a=1 ∴a=1且d=3
2
±
当d=32时，这5个数分别是－31、31、1、35、37；
当d=－32时，这5个数分别是37、35、1、313
1
（2006江苏）设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）
证明：必要性．设{a n }是公差为 d 1的等差数列，则
b n+1-b n = (a n+1-a n+3)-(a n -a n+2)=(a n+1-a n )-(a n+3-a n+2)=d 1-d 1=0 所以b n ≤b n+1 (n=1,2,3,…)成立.
又c n+1-c n =(a n+1-a n )+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2) =d 1+2d 1+3d 1=6d 1(常数)(n=1,2,3,…)， 所以数列{c n }为等差数列.
充分性。设数列{c n }是公差为d 2的等差数列，且b n ≤b n+1 (n=1,2,3,…). 证法一：
∵c n = a n +2a n+1+3a n+2 ① ∴c n+2= a n+2+2a n+3+3a n+4 ② ①-②得c n - c n+2=( a n - a n+2)+2(a n+1 - a n+3)+3(a n+2 - a n+4) = b n + 2b n+1 + 3b n+2.
∵c n - c n+2=( c n - c n+1)+( c n+1 - c n+2)=-2d 2.
∴b n + 2b n+1 + 3b n+2 =-2d 2. ③ 从而有
b n+1 + 2b n+2 + 3b n+3 =-2d 2. ④ ④-③得
(b n+1 - b n )+2(b n+2 - b n+1)+3(b n+3 - b n+2)=0. ⑤ ∵b n+1 - b n ≥0，b n+2 - b n+1≥0, b n+3 - b n+2≥0， ∴由⑤得b n+1 - b n =0(n=1,2,3,…).
由此不妨设b n =d 3(n=1,2,3,…)，则a n - a n+2 =d 3(常数). 由此c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2 = 4a n + 2a n+1 – 3d 3, 从而c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3d 3 = 4a n+1 + 2a n -5d 3. 两式相减得c n+1 - c n =2(a n+1 - a n )-2d 3, 因此a n+1 - a n =
21(c n+1-c n )+d 3=2
1
d 2+d 3（常数）(n=1,2,3,…), 所以数列{a n }是等差数列.
证法二：
令A n = a n+1- a n ，由b n ≤b n+1知a n - a n+2≤a n+1- a n+3, 从而a n+1- a n ≥a n+3 - a n+2,即A n ≥A n+2（n=1,2,3,…）.
由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = a n+1 + 2a n+2 + 3a n+3得 c n+1-c n =( a n+1- a n )+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即
A n +2A n+1+3A n+2=d 2. ⑥ 由此得
A n+2+2A n+3+3A n+4=d 2. ⑦ ⑥-⑦得
(A n -A n+2)+2(A n+1- A n+3)+3(A n+2- A n+4)=0. ⑧ 因为A n -A n+2≥0，A n+1- A n+3≥0，A n+2- A n+4≥0, 所以由⑧得A n -A n+2=0(n=1,2,3,…). 于是由⑥得
4A n +2A n+1=A n +2A n+1+3A n+2=d 2, ⑨ 从而
2A n +4A n+1=4A n+1+2A n+2=d 2. ⑩ 由⑨和⑩得4A n +2A n+1=2A n +4A n+1,故A n+1= A n ,即 a n+2- a n+1= a n+1- a n (n=1,2,3,…)， 所以数列{a n }是等差数列.
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+
等差数列知识点总结最新版
等差数列 1.定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字 母d 表示。 用递推公式表示为a .—a .」二d （ d 为常数）（n_2）； 2 ?等差数列通项公式 (1) a n (n -1)d =dn y -d(n N )(首项:a !，公差:d ，末项: 3. 等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即: 2a n = an-1 ■ an 1 (n — 2) = 2a . 1 二 a . a . .2 d 2 1 n (a 1 d )n 2 2 2 =An Bn 等差数列的证明方法 二d 或am-a n=d （常数「N ）= & 是等差数列. 「a, 是等差数列 = 2a . - a n-1 ' a . 1 （n 一 2） = 2a n 1 = a . ' a . 2 ? （3） 数列"a n *是等差数列二a n 二kn ? b （其中k,b 是常数）。 （4） 数列乩1是等差数列二&二A n 2 ? Bn ,（其中A 、B 是常数）。 注：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ， (2) a n "m (n —m)d . 从而d =勺屯; n —m a n ) （2 ） 等差 中 项 数列；、和是等差 等差数列的前n 项和公式: n(a 1 +a n ) Sn 厂 （其中A 、B 是常数） （当d M 0时，S 是关于n 的二次式且常数项为 0) （1）定义法：若a n -a n j
等差数列知识点总结最新版
等差数列 1. 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： （1）* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ） （2）d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （ 2 ） 等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1() 2 n n n a a s += 1(1) 2 n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n = +- 2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的证明方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （ 2 ） 等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，
等差数列讲义(学生版)
2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念、通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列的定义(重点)； 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题； 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点). 【要点整合】 1. 等差数列的概念 2. 等差中项 如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2 ，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项?A ＝a ＋b 2 3. 等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…. 练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列() A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 题型二等差中项 例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. 练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 题型三等差数列的通项公式及应用 例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？ （3）等差数列2,5,8,...,107共有项
高考数学知识点总结(文科)
高中数学知识点总结（文科） 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈--
数列题型及解题方法归纳总结
累加累积 归纳猜想证明 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了 典型 题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 (1)观察法。(2)由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 ⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ，q 为常数) 例1、 已知｛a n ｝满足a n+i =a n +2，而且a i =1。求a n 。 例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数 ??? ｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列 /? a n =1+2 (n-1 ) 即 a n =2n-1 1 例2、已知｛a n ｝满足a n 1 a n ，而a 1 2，求a n =? 佥 1 2 解■/^ = +是常数 .■-傀｝是以2为首顶，公比为扌的等比数 把n-1个等式累加得： .' ? an=2 ? 3n-1-1 ji i ? / ] — 3 ⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ，q 为常数) s 1 1 【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求％ 略解在如十冷)*的两边乘以丹得 2 严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n 召 则也€%乜于是可得 2 2 n b n 1 n 1 n b n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法，得：b n 3 2(—) ? a . n 3(—) 2(—) 3 3 2 2 3 ★说明对于递推式辺曲=+屮，可两边除以中叫得蹲= Q 計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用 (5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qa n 知识框架 数列 的概念 数列的分类 数列的通项公式 数列的递推关系 函数角度理解 (2)递推式为 a n+1=a n +f (n ) 1 2 例3、已知｛a n ｝中 a 1 a n 1 a n 1 ，求 a n . 4n 2 1 等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2) 等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 等差数列 等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na 1 n(n 1)d 2 2 等差数列的性质 a n a m a p a q (m n p q) 两个基 本数列 等比数列的定义 a n 1 q(n 2) 等比数列的通项公式 a n n 1 a 1q 数列 等比数列 a 1 a n q 3(1 q ) (q 1) 等比数列的求和公式 S n 1 q 1 q / n a 1(q 1) 等比数列的性质 S n S m a p a q (m n p q) 公式法 分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和 解：由已知可知a n 1 a n (2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n 令n=1，2，…，(n-1 )，代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) + 1广 K z 1】、 =-[(1-" + J J 5 _■ 冷(一 Jr ★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 ⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数) 1 a n a 1 (1 2 +?…+f 例 4、｛a n ｝中，ai 1，对于 n > 1 (n € N) 有a n (a 3-a 2) + ? + (a n -a n-1) L )也 2n 1 4n 2 (n-1 )是可求的，就可以由 a n+1=a n +f (n )以n=1，2，…， 3a n 1 2 ，求 a n ? 数列 求和 解法一： 由已知递推式得 a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3 (a n -a n-1) 因此数列｛a n+1-a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4 --a n+1 -a n =4 ? 3 - a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ? 3 即 a n =2 ? 3 -1 解法_ : 上法得｛a n+1-a n ｝是公比为 3 的等比数列，于是有： a 2-a 1=4， a 3-a 2=4 ? 3， a 4-a 3=4 ? 3 ? 3 ， 数列的应用 分期付款 其他
最新等差数列的讲义教学文稿
麟子教育 一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个 数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d 表示。 2、等差中项 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或b a A +=2 推广：-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥?=+ 3、等差数列通项公式 若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 推广：d m n a a m n )(-+=，从而m n a a d m n --= 。 4、等差数列的前n 项和公式 等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112 n n n S na d -=+． 5、等差数列的通项公式与前n 项的和的关系 11,1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++). 二、等差数列的性质 1、等差数列的增减性 若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列， 若公差0d =，则为常数列。 2、通项的关系 当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+， 特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=??? 三、等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定方法： （1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )?{}n a 是等差数 列； （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++?=+≥?=+；
高中数学数列复习题型归纳解题方法整理
数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。 （a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较
4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
等差数列知识点总结学习资料
第一讲 数列定义及其性质 一、基本概念： 1、通项公式：n a ； 2、前n 项和：n S 3、关系：1(2)n n n a S S n -=-≥ 二、性质： 1、单调性：增数列：1n n a a ->；减数列：1n n a a -<；常数列：1n n a a -= 2、最值： 77878789+++(0)0,00,=0,0,n n a S a a S S S a a a ???????---????>
1、已知数列{}n a 通项公式是231 n n a n =+，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2、已知数列{}n a 满足10a >，112 n n a a +=，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3、已知数列{}n a 通项公式是22n a n kn =++，若对任意*n N ∈，都有1n n a a +>成立，则 实数k 的取值范围是（ ） 4、已知数列{}n a 通项公式是10,21 n n n a T n +=+是数列{}n a 的前n 项积，即123n n T a a a a =L ，当n T 取到最大值是，n 的值为（ ） 5、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值是（ ）
等差数列知识点总结和题型归纳
等差数列 一．等差数列知识点： 知识点1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 知识点2、等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列 知识点3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数 知识点4、等差数列的前n 项和: ⑤2 )(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2) 1(1-+ = 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2 b a A += 或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2 n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。(K=d ，b=a1-d) （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列
小学奥数等差数列资料讲解
一、 等差数列的定义 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等 差数列． 譬如： 2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 关键词： 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、 三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 拓展公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 等差数列的基本概念及公式
11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)； 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 (思路1) 1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+?÷=?= 三、 一个重要定理：中项定理 1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?． 2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。和=中间项×项数． （1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。
等差数列常考题型归纳总结很全面
等差数列及其前n项和 教学目标： 1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。 知识回顾： 1. 定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等丁同一个常数，那么这个数列就叫等差数歹0,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为a n a n1 d(n 2)或a n1 a n d (n 1)。(证明数歹0是等差数歹0的关键) 2. 通项公式： 等差数列的通项为：a n a i (n i)d，当d 0时，a n是关丁n的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。推广：a n a m (n m)d 3. 中项： 如果a , A , b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；其中A J。 2 4. 等差数列的前n项和公式 S n座U na i虹皂d可以整理成&= Sn2+(a i d)n。当d』时是n的一个常数 2 2 2 2 项为0的二次函数。 5. 等差数列项的性质 (1) 在等差数歹0 a n中，若m , n , p , q N且m n p q ,则a m a n a p a q ；特别的，若m , p , q N 且2m p q ,则2a m a p a q。 (2) 已知数列a n , b n为等差数列，S n,T n为其前n项和，则冬 b n T2n 1 (3) 若等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n Sn,S3n S2n,也成等差数列，公差d' n2d ； S,(n 1) a n (4) S n & 1 , (n 2). (5)若数列｛%｝是公差为d的等差数列，则数列斜也是等差数列，且公差为 考点分析 考点一：等差数列基本量计算 例1、等差数列｛a n｝中，a i 3a8血120，贝U 3a’ a,的值为
等差数列知识点总结及练习(精华word版)
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2 n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈* N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列 （7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时， () 121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++???+= =奇 () 22246212 n n n n a a S a a a a na ++=+++???+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇
(完整版)等差数列知识点整理与经典例题解
等差数列复习 一、等差数列的有关概念： 1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833 d <≤） 3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2 n n n S na d -=+。 如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝ ＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答： 2*2*12(6,)1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 5、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即 d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；. 2.等差中项： （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 3.等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为： ()d n a a n 11-+= 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．
等差数列讲义(清晰打印版)
数列 1. 学习重难点 学习目标：掌握等差数列求和、求第n项、求项数的方法，学会找双重数列的规律和运用。 重点知识： （1）等差数列求和、求第n项、求项数； 2. 寻找下列数列的规律。 （1）1，4，7，10，13，（），19.这个数列有什么规律？ （2）1，2，3，1，2，3，1，（），3.这个数列有什么规律？ 3.等差数列定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。 例如： 1，3，5，7，9，11，13 100，90，80，70，60，50 9，9，9，9，9，9，9，9 【例题】判断下面数列是否为等差数列 （1）1，2,3,4,5,6,7, （2）0.0,0,0,0,0,0 （3）100,99,98,97,96 （4）1，3,4,6,7,8, 4．等差数列介绍.
5.第几项相关知识点 【核心公式一】 第n项 = 首项+公差×(项数-1)【例题】 1,3,5,7,9........这个数列中， （1）公差是多少 （2）首项末项分别是多少 （3）第99项是多少 （4）第101项是多少
6.项数知识点 【例题】仔细观察上面数列，2和2006相差多少个公差？【答案】2004÷3=668（个） 【例题】2006是第几项？ 【答案】668+1=669（项） 【核心公式】 项数=（末项 - 首项）÷公差 + 1 【例题】 在1,3,5,7,9,11……….99数列中， （1）共有多少项？ （2）99是第几项？ 7.等差数列求和 【例题】计算：2+4+6+8+10+12+14 【核心公式】 和=(首项+末项) ×项数 ÷2
小学四年级奥数班讲义(等差数列)
小学四年级奥数班讲义 等差数列姓名: 计算等差数列的相关公式： 项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2 例题1 小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？ 课堂练习1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 课堂练习2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？ 课堂练习3、体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 课堂练习4、一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
课堂练习1、建筑工地有一批砖，码成如下图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层398块砖，这堆砖共有多少块？ 课堂练习2、某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 例题3 有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次? 课堂练习1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次? 课堂练习2、四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？ 课堂练习3、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？ 例4、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下．问：时钟一昼夜打多少下？