三、计算题
1、利用初等变换法求矩阵321315323A ?? ?
= ? ???
的逆矩阵.
2. 用初等变换求021=112111A -??
?
? ?---??
的逆矩阵.
3. 求矩阵X ,使其满足AX B =,其中100210321A ?? ?= ? ?
-??
,110110B ?? ?
= ? ?-??.
4、求解矩阵方程X A AX 2+=，其中????
? ??-=321011330A
5.设????? ??----=213352242A ，????
?
??--=121001B ，求矩阵X ，使得B AX =.
6、求解非齐次线性方程组123412341234
21
422221x x x x x x x x x x x x +-+=??
+-+=??+--=?
7、利用初等变换法求矩阵???
?
? ??---=012012111A 的逆矩阵.
8、求解非齐次线性方程组???
??-=+-+=-+-=--+2
5343423124321
43214321x x x x x x x x x x x x
9、已知线性方程组???
??=+--=+++=+++a
x x x x x x x x x x x x 4321
432143219105363132，a 为何值时方程组有解？
10、求解非齐次线性方程组123412412
34221232573
x x x x x x x x x x x ++-=??
+-=??--+=?
11、设3111131111311113A -?? ?-
?= ?- ?-??
，求()R A 和*()R A 。 12、确定a 的值，使方程组12312312
311
x x x a ax x x x x ax ++=??
++=??++=?有解，并求其通解。
13、当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
???
??-=++-=++-=++2
2332`
1321321ax x x x ax x a x x ax
14、求矩阵X ,使其满足AX B =,其中????? ??=100210321A ???
?
?
??=204367B .
15、设110011,2101A AX X A -?? ?
=-=+ ? ?-??，求矩阵X 。
16、求方程组123412341
2343133445980
x x x x x x x x x x x x +--=??
--+=??+--=?的通解。
第四章 向量组的线性相关性
一、填空题
1、向量组T T T -=-==)1,2,1(,)0,3,1(,)0,0,1(321a a a ，则他们线性 （填相关或无关）
2、向量组1(1,1,1)T α=-,2(1,1,1)T α=-,3(1,1,1)T
α=-线性相关性为 ． 3. 设=(100)α，，，=(001)β，，，=(3 0 4 )γ-，，，则γ由,αβ线性表示的表达式_____.
4. 已知向量组1=(11)a α，，，2=(11)a α，，－，3=(11)a α，－，线性相关，则a =_____. 5、设=(100)α，，，=(010)β，，，=(2 3 0 )γ-，，，
则γ由,αβ线性表示的表达式_________ 6. 设121101101A t t t ?? ?
= ? ???
，齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有2个线性无关的
解向量，则t =_____. 7、设122210, =13011a A α-???? ? ?
= ? ? ? ?????，已知A α与α线性相关，则a =_________
8. 设A 是64?矩阵，线性方程组0=AX 的解空间的维数是2，则)(A R =_____.
二、选择题
1、设向量组r A ααα,...,,:21可由向量组s B βββ,...,,:21线性表示，则 。 （A ）当s r >时，向量组B 线性相关 （B ）当s r >时，向量组A 线性相关 （C ）当s r <时，向量组B 线性相关 （D ）当s r <时，向量组A 线性相关
2、下列集合 不构成一个向量空间。 （A ）},...,,)0,,...,,{(1211211R x x x x x x V n n ∈=--
（B ）},...,,,0...),...,,{(2121212R x x x x x x x x x V n n n ∈=+++= （C ）},...,,)1,,...,,{(1211213R x x x x x x V n n ∈=-- （D ）},...,,)0,0,,...,,{(2212214R x x x x x x V n n ∈=--
3、n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系含（ ）个解向量.
()A n ()B r ()C -r n ()D -n r
4、若n 维向量129,,,αααL 是一组两两正交的非零向量，则（ ） )(A 129,,,αααL 线性无关 )(B 129,,,αααL 线性相关
)(C 120αα≠
)(D 110T αα≠
5. 设()1R A n =-，n 元线性方程组(0)Ax b b =≠有三个互不相同的解,αβ和γ，则导出组基础解系为_____.
A. ,,αβγ
B.α-β
C. α+β
D. ,αβ
6. 设=(21)t β-，，可由1=(143)α，，
， 2=(231)α-，，线性表示，则t =_____. A. 1 B. -2 C. 3 D. -3
7、设12,,,s αααL 均为n 维向量，下列结论不正确的是_________
（A ）若对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k L ，都有1122s s k k k +++≠αααL 0，则12,,,s αααL 线性无关
（B ）若12,,,s αααL 线性相关，则对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k L ，有1122s s k k k +++=αααL 0
（C ）12,,,s αααL 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s （D ）12,,,s αααL 线性无关的必要条件是任意两个向量线性无关
8、设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ） A ．α1，α3线性无关 B ．α1，α2，α3，α4线性无关 C ．α1，α2，α3，α4线性相关 D ．α2，α3，α4线性无关 9、向量组1,,k ααL 线性无关等价于（ ）
（A ）存在一组不全为0的数，使其组合不为零向量 （B ）其中任意两个向量线性无关
（C ）存在一个向量不能用其他向量线性表示 （D ）任何一个向量均不能用其他向量线性表示
10.设非齐次线性方程组b AX =的增广矩阵)|(b A B =为m 阶方阵, 且其行列式0)|(≠b A ，则该方程组( ) (A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解 (D)解的情况无法确定
11、向量组k ααα,......,,2
1线性无关等价于（ ）
（A ）存在一组不全为0的数，使其组合不为零向量； （B ）其中任意两个向量线性无关
（C ）存在一个向量不能用其他向量线性表示 （D ）任何一个向量均不能用其他向量线性表示； 12. 若向量组s ααα,....,,21的秩为r ，则（ ）
（A ）必定r
三、计算题
1、求向量组1(1,1,3,1)T α=,2(1,1,1,3)T α=--,3(5,2,8,9)T α=--,4(1,3,1,7)T α=- 的秩和一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。
2、设线性齐次方程组0Ax =有非零解，其中系数阵12321132211t A ?? ?
?= ?- ?--??
， (1)确定常数t ；(2)求出所给方程组的通解。
3、设矩阵21112112144622436979A --?? ?-
?= ?-- ?-??
，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示．
4.已知向量组123,,ααα线性无关，112232313,,βααβααβαα=+=+=+，试证明向
量组123,,βββ线性无关.
6、设123,,ααα线性无关，1123βααα=+-，2123βααα=-+，3123βααα=-++，证明123,,βββ线性无关。
7、 已知βααα,,,321线性无关，令βαβ+=11,2,22βαβ+=βαβ333+=，试证
ββββ,,,321线性无关.
8、设向量组123,,ααα线性无关，1122233312,23,3=+=+=+βααβααβαα.
求证：向量123,,βββ线性无关.
9、设123,,ααα线性无关，证明向量组112123123,,b b b =α=α+α=α+α+α线性无关.
10、 设,11α=b Λ,212αα+=b ,r r b ααα+++=Λ21, 且向量组r ααα,,,21Λ
线性无关，证明：向量组1b ,2b ,r b ,Λ线性无关.
11、设向量组()12,,,1m m ααα>L 线性无关，且12m βααα=+++L ，证明向量组
12,,,m βαβαβα---L 线性无关
12、 设,23211αααβ++=,23212αααβ++= 32132αααβ++=，且向量组321,,ααα线性无关， 证明：向量组321,,βββ线性无关.
13、已知向量组123,,ααα线性无关，1123223313,2,3βαααβααβαα=++=+=+，
判定向量组123,,βββ的线性相关性，说明理由。
14、求向量组???
?
? ??-=????? ??-=????? ??-=????? ??=423,111,402,0214321a a a a 的极大线性无关组，并把
其余向量用极大线性无关组线性表示。
15、设()T 1,1,3,11=α，()T 23,1,1,1--=α，()T
39,8,2,5--=α，()T 47,1,3,1-=α;求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个极大无关组；（3）用选定的极大无关组表示该向量组中的其余向量。
16、求1=(2 11 ,1 )T α，，
，，2=( 1 1 7 ,10 )T α－，，，3=(3 11 , 2 )T α-，，，－，4=(8 59 11 )T α，，，，的一个最大线性无关组，并用最大线性无关组表示其余向量. 17、求1=(1 11 ,1 )T α--，
，，，2=(0 21 , 1 )T α，，，－，3=(1 11 , 1 )T α－，，，－，4=(0 01 ,2 )T α，，，，5=(20 0 ,0 )T α，，，的一个最大线性无关组，并用最大线性无关组
表示其余向量.
18、求向量组12345
1031213011, , , , 21725421406ααααα?????????? ? ? ? ? ?
-- ? ? ? ? ?===== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????
的秩和一个最大线
性无关组
19、求向量组12345
1122102151, , , , 2031311041ααααα?????????? ? ? ? ? ?
- ? ? ? ? ?===== ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?-??????????
的秩和一个最大线性
无关组，并把不属于最大线性无关组的向量用最大线性无关组表示
20、设矩阵??????
?
? ??----=202261305211225
4102
1A ，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并 把
不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示
21、????
??
? ??------=97963422644121121112A 设矩阵
.性表示列向量用极大无关组线关组的，并把不属于极大无大无关组列向量组的秩和一个极的求矩阵A 7.
22、求方程组1241234123264133
x x x x x x x x x x +-=-??
---=??--=?
的通解，并写出导出组的基础解系.
23、求方程组12
12341
234522153223
x x x x x x x x x x +=??
+++=??+++=?的一个解及对应齐次方程组的基础解系
24、（10分）求非齐次线性方程组12341234
123423423
23883295234
x x x x x x x x x x x x x x x +++=??-++=??-+--=-??--=-?的通解及所对应的齐次线
性方程组的基础解系.
25、求非齐次线性方程组123123
12312323424538213496x x x x x x x x x x x x ++=??-+=-??+-=??-+=-?的通解.
26、求齐次线性方程组???
??=++--=-++-=++-0
32042305324321
43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及其通解。
27．求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示
??????
? ??-=??????? ??=??????? ??=??????? ??=2001,1211,1111,43214321αααα
28、 求方程组?????
????=+-=--+=++---=-+=+++1336
21
592 8 2323 425
32 434
32143214214321x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解，并写出导出组的基础解系.
29 、求向量组????
?
?
??????-=????????????=????????????=????????????--=022132102104114014321αααα,,,的秩和一个最大线性无关
组，并把不属于最大线性无关组的向量用最大线性无关组表示
30、设123451210012010(,,,,)024*******A ααααα-?? ?- ?== ?-- ?-??
，求12345,,,,ααααα的秩和一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示。
第五章内积、正交、特征值与特征向量
一、填空题
1、设3阶方阵A 的行列式8=A ，已知A 有2个特征值-1和4，则A 的另一特征值为 。
2、设3阶方阵A 的特征值为1,2,3，则1A -=（ ）. 3. 设三阶方阵A 的特征值为0，2，3，则=A 4、设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则=A __________. 5、设三阶方阵A 的特征值为2,3,4，则A =_________
6. 设3阶方阵A 的特征值分别为1－,1 ,2 ，则22A A +=_____.
7. 若A 是正交矩阵且0>A ,则=A _____.
8、设3阶方阵A 的特征值为2、3，4，则A 的对角元素之和为_________
二、选择题
1. 已知0是矩阵10102010A a ?? ?
= ? ???
的特征值，则a =_____.
A. 0
B. －1
C. 1
D. 2
2 设123,,ααα为标准正交向量组，则123474α-α+α_____. A. 9 B. 81 C. 8 D. 28
3、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下面为反对称矩阵的是（ ）
()A AB ()B BAB ()C ABA ()D 2BA B
4、设?????
?????=??????????=11,101λβα,若α与β正交，则λ等于（ ） (A) 1 ； (B) 0 ； (C) 1- ；（D ） 2 .
5、设A 是n 阶方阵，满足2A E =，则（ ）
（A ）A 的行列式为1； （B ）,A E A E -+不同时可逆； （C ）A 的伴随矩阵*1A A -=； （D ）A 的特征值全是1；
三、计算题
1. 求矩阵123213336A ?? ?
= ? ???
的特征值与特征向量.
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
第一章行列式练习题目及答案
第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 = -0 10000200 0010 n n . 3．行列式 =--0 01) 1(2211)1(111 n n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221131211 ，则=---=32 323331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λλλ 111 1 11111 . 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 .
第1章行列式自测题(答案)
内容提要： 一、行列式的定义 1、2阶和3阶行列式 2112221122 21 1211a a a a a a a a D -== 31231232211333221133 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a --- 2、排列与逆序 定义 由n ,,3,2,1 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列． 3、n 阶行列式定义 定义 称∑ -== n n n p p p np p p p p p nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (2 1 22221 11211 )1(τ )det(ij a = 为n 阶行列式，记作D 或n D ．也记作)det(ij a ． 4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。 二、行列式的性质 性质1 D D ='． 性质2 互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号． 推论 若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零． 性质3 行列式某行（列）的各元素乘以k ，等于用数k 乘以行列式． 推论 行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘． 推论 若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零．
性质4 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21 21 1121121 21112112 1 2211112 11βββαααβαβαβα+=+++ 性质5 将行列式的某行（或列）各元素乘以数k 加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变． 三、行列式的展开定理 定义 在n D 中划掉ij a 所在的行和列（即第i 行和第j 列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（1-n ）阶行列式，称为ij a 的余子式，记作ij M ． ij j i ij M A +-=)1( ——ij a 的代数余子式 定理1 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 行展开 或 ni ni i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 列展开 推论 02211=+++jn in j i j i A a A a A a （j i ≠） 或 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （j i ≠） 四、Cramer 规则 ?????? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* （1） 定理 当0≠D 时，方程组（1）有唯一解 D D x 11= ，D D x 22=，……，D D x n n =．
第一章行列式与矩阵的计算的练习(含答案)
行列式及矩阵的计算（课堂练习） 、填空 1 ?已知三阶方阵A 的行列式为3,贝U 2A = -24 1 2 ,g(x) 0 1 3 .设， ,为3维列向量， 记矩阵 A ( , , ),B ( A 3, 则B 3 = ,,丨 6 1 1 1 4?行列式 1 1 x 的展开式中，X 的系数是 2 . 1 1 1 1 0 1 0 5.设A 则A k 。（k 为正整数）. 2 1 2k 1 7.已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1 , 3 , 别为3, 2, 1 , 1，则行列式D =二3 24 4 (1) 1 , 2, 3, 2 16m n 2.设A 则 g(A )= n ，则 1 , 2, 3,2 1 2 16m n 2, 2，它们对应的余子式分
(X ) 解：D = 1 X 3+ 3X(— 2) + (— 2)X 1 + 2X 1 = — 3 二、判断题 1. 设A 、B 均为n 阶方阵, |AB | [AB AB A|B. (V ) 二、行列式计算 3 3 3 3 4 3 3 4 (1) D n 3 3 4 3 3 3 3 4 3n 1 3 Cl C 2 3n 1 4 解: Ci C 3 D n 3n 1 3 G C n 3n 1 3 1 1 1 1 1 2 3 1 (2 D 1 4 9 1 1 8 27 1 2. 设A 、B 均为n 阶方阵, 解：（范得蒙行列式）=（— 3 3 3 1 =3n 1 1 0 0 0 1 3 3 3n 1 3 3 D n 0 「3 A 4 3 ——0 3 4 r n r 1 ax 1 X 2 X 3 2 五、 a 为何值时， 线性方程组： X 1 ax 2 X 3 2 有唯一解？ X 1 X 2 ax 3 3 a a 1 1 解: det A 1 a 1 (a 2)(a 1)2 a 2且a 1时，有唯一解 1 1 a 1)=— 240 1 — 3) (— 1 + 2) (— 1— 1) (3+ 2) ( 3— 1) ( — 2—
第一章行列式作业及答案
第一部分 行列式作业 （一）选择题(15分) １．在5阶行列式展开式中，12335544i j a a a a a 是其中带有正号的一项，则,i j 之值为（ ） (A) 1,2i j == (B) 2,3i j == (C) 1,3i j == (D) 2,1i j == ２．在5阶行列式展开式中，包含1325,a a 并带有负号的项是（ ） (A) 1325344251a a a a a - (B) 1325314254a a a a a - (C) 1325324154a a a a a - (D) 1325314452a a a a a - ３．已知行列式11 121321 222331 3233a a a a a a m a a a =，则行列式2122 1331113212331 311211222 1323 222222a a a a a a a a a a a a a a a ---=+++（ ） (A)－４m (B)－２m (C)２m (D)４m ４．已知4101 1111 11111111 x D ---=----，则4D 中x 的系数是（ ） (A)4 (B)-4 (C)-1 (D)1 ５． 设方程组12312312 3112 x x x x x x x x x λλλ--=?? ++=??-++=? ，若方程组有惟一解，则λ的值应为（ ） (A)0 (B)1 (C)-1 (D)异于0与1±的数 （二）填空题(15分) １．排列(1)(2)321n n n -?-??? 的逆序数为 。 ２．排列12n a a a 与排列121n n a a a a - 的逆序数之和等于 。 ３．行列式D 中第2行元素的代数余子式之和21222324A A A A +++= ，其中 1111 1111 11111111 D -= --。
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得
线性代数第一章行列式试题及答案
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn
第一章行列式与矩阵计算练习(含答案)
行列式及矩阵的计算（课堂练习） 一、填空 1．已知三阶方阵A 的行列式为3，则 2A -= -24 2. 设12,01A -?? = ???1()32x g x x -= -+，则()g A =0800-?? ??? 3．设,,αβγ为3维列向量，记矩阵(,,),(,,)A B αβγαββγγα==+++，若 3,A B =则=,,,,6αβγ βγα+= 4.行列式1 1 1 11 1 11 ---x 的展开式中,x 的系数是 2 . 5．设???? ??=1201A 则=k A 1021k ?? ??? 。（k 为正整数）. 6．设321,,ααα,21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式1123,,,m αααβ=， 1232,,,n αααβ=,则12312,,,2αααββ-=16m n + 解：11231232,,,2,,,D αααβαααβ=+- 14412312322,,,(1),,,16m n αααβαααβ=+-=+ 7. 已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们对应的余子式分 别为3，-2，1，1，则行列式D =－3 .
解：D ＝1×3＋3×（－2）＋（－2）×1＋2×1＝－3 二、判断题 1．设A 、B 均为n 阶方阵，则A B A B =. （ × ） 2．设A 、B 均为n 阶方阵，则AB A B =. （√ ） 三、行列式计算 （1）4 3 3 3 34333 343 3334 Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛ=n D 解： n D n c c c c c c +++13121M 4 3 3 1 334313334133331 3Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++n n n n 1 1312r r r r r r n ---M 1 01000 0103 3313Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ+n =13+n （2）11111231 149118271 D --=-- 解：（范得蒙行列式）＝（－1－3）（－1＋2）（－1－1）（3＋2）（3－1）（－2－ 1）＝－240 五、a 为何值时，线性方程组：??? ??-=++=++=++a ax x x x ax x x x x a 322321 321321有唯一解？ 解：2 )1)(2(11111 1det -+==a a a a a A ，2-≠a 且1≠a 时，有唯一解.
第一章 行列式 习题及答案
第一章 行列式习题 1. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。 （1(1)n c --） 2. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的所有元素改变符号，得到的行列式值为 。 （(1)n c -） 3. 2 (1) (2,1,21,2,,1,)(21)0(23)012 2 k k N k k k k k k k k --+=-++-+++=+ ?。 4. 由行列式的定义计算行列式 41333123362 6 x x x x x x 展开式中4x 和3 x 的系数。 （3412, 12x x -） （分析：4 x 的系数：四个元素中必须全都包含x 。第一行只能取11a ，第三行只能取33a ，这样第二、四 行只能取22a 和44a ，则此项为(1234) 4 11223344(1) 4312N a a a a x x x x x -=???=。 3 x 的系数：(2134) (4231) 333 1221334441223314(1) (1)3912N N a a a a a a a a x x x -+-=--=-。） 5. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式 17033159097510 959 的值，证明他是13的倍数。 证明： 1234 1701703170170341000131531593153159410021309709750979754103 10 9 5 10 9 5 9 10 9 5 10959 l c c l c c l c c l +?+?=? +?，能被13整除。 注意，以下两个行列式： 1703170370331593159159097597597510 9 5 910959 9 5 9 ≠ ，所以一定要加到最后一列上。 6. 设行列式3112523420111 3 3--= --D ，求11213141243A A A A +--及2123242-++M M M 。 （0和-5） 解：112131412 1124234243010113 3 3 A A A A -+--= =----。
(完整版)第一章行列式试题及答案
第一章 行列式试题及答案 一 选择题 (每小题3分，共30分) ⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( ) (A) n (B) n /2 (C) 2n (D) n (n -1)/2 ⑵ 在函数()x x x x x x f 21421 12---=中，x 3的系数是( ) (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4 ⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2 ⑷ 设 n n λλλλλλN O 21 2 1 = ，则n 不可取下面的值是( ) (A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17 ⑸ 下列行列式等于零的是( ) (A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 2614226 13- ⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++1 11 22 2c bc ac bc b ab ac ab a ( ) (A) 1 000100 01222 +c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222 +++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (C) 101011122 22 2 +++++c bc bc b ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (D) 1 1122 2 bc ac bc ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a + ⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则02 22=+++c b a c b a b a a c c b 的充要条件是( ) (A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0 ⑼ 四阶行列式 =4 4 3 322 1 1 a b a b b a b a ( ) (A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2) ⑽ 齐次线性方程组??? ??=-+=+-=-+03020 223 21321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条 件是( ) (A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1 二 填空 (每小题3分，共15分) ⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。 ⑵ 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 ⑶ 设7 3 4 369 02 111 1875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 ⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 ⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=1 32213 3 21 x x x x x x x x x __。 三 计算行列式 (每小题6分，共30分) ⑴ 0 1 1 2 2 1032101132 221 13 132 11----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2 22 2 222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ⑶ y y x x -+-+11 1 1 111111111111 ⑷ a c b a c b a c b a c b a ⑸ x b b b a x b b a a x b a a a x D n Λ ΛM M O M M Λ Λ =(a ≠b ) 四 证明题 (每小题10分，共20分) ⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n ⑵ 设平面上三条不同的直线为 000 =++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ， 证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a
第一章行列式作业
第一章行列式作业 一、填空题 1、设行列式D=3332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 31312322212113 12 1111 252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） 2、 045 000002001 00-=（ ） 3、行列式600 300301398200199 204 100 103=__________. 4已知4阶行列式D 中第1行的元素分别为1，2，0，-1，第3行的元素的余子式依 次为5，x ，17，1，则x=__________. 5.已知,1 21112 3111211 )(x x x x x f -= 则3x 的系数=____________. 6.排列36715284的逆序数为（ ） 7.行列式=--2 22 2510 211 （ ） 8. 2009 2008 2007 200620052004 2003 20022001 =（ ） 二、选择题 1、若方程组???=-=+0x kx 0 x x 21 21有非零解，则k=（ ） A. -1 B. 0 C.1 D.2 2、设D= 3 465 312186427 931-， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ,则4443424132A A A A +++= （ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 4
3、设D = 3 4 653021864212 963， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ,则44424132A A A ++=（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 4.设D= 3 465 312186427 931-， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ,则44434241793A A A A +++-= （ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 三、计算题 1.计算下列行列式 （1） 6 741 212060311512 -----（2） 2111121111211112 （3）12341012311 01 2 5 D = ---（4） .0 1 1 2 12120112 110-----= D 2. 设D= 2 211765144334 321， D 中元素ij a 的代数余子式ij A ，试求44434241A A A A ++与. 3. 设,3 142 3 1 3 150111253 ------= D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A , 求（1）14131211A A A A +++； （2）41312111M M M M +++.
第一章行列式
第一章行列式 第一节 n阶行列式 更多资料信息联系QQ：3324785561 一．数学概念 1．逆序数 对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序(例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 2．奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。 3．对换 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换) 4．n阶列式 定义设有n2 个数，排成n行n列的数表 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)τ，得到形如 的项，其中p1,p2,…,p n,为自然数1,2,…,n的一个排列，为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n!个，因而形如上式的项共有n!项。所有这n!的代数和 称为n阶行列式，记作
简记作det()。数称为行列式det()的元素。 5. 转置行列式 设 行列式D T称为行式列D的转置行列式。 二．基本原理公式 定理1.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 定理1.2n阶行列式也可定义为 其中t为行标排列的逆序数。 公式1 公式2
公式3 三、行列式基本性质 性质1行列式与它的转置行列式相等。 性质2互换行列式的两行(列)，行列式变号。 推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。 推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。 性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和： 则D等于下列两个行列式之和
线性代数第一章行列式练习题
第一章第一次练习题 一）填空题 1）计算(1465372)τ＝________；[135(21)246(2)]n n τ-L L ＝________； 2）写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项及符号__________； 3）在四阶行列式中，21143243a a a a 的符号为__________； 4）设12134453k l a a a a a 在五阶行列式中带有负号，则k ＝________；l ＝________. 二）解答题 5）计算三阶行列式 2 221 11a b c a b c .
6）用定义证明 1 (1) 2 12 1 00 000 (1) 00 00 n n n n n λ λλλλ λ - - =- L L L L L .
个元素为零，证明这个行列式为零. 7）设n阶行列式中有多于2n n
班级__________ 姓名__________ 学号_______ 第一章第二次练习题 一）填空题 1）把行列式1 11222 a b c a b c ++定出两个行列式之和______________________； 2）把行列式13 24 1 2 34 0000a a a a x y b b z w b b 写成两个行列式之积_________________________________； 3）提取行列式第二行公因子后11 12132122 2331 3233333a a a a a a a a a ＝__________________________； 4）行列式22 3456 7 89a b c d a ab ac ad ＝_________________________________. 二）解答题 5）化简行列式1 11122 223 333x y x a z x y x a z x y x a z +++
行列式习题答案
线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一．选择题 1．若行列式x 52231 5 2 1- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组?? ?=+=+4733 221 21x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--） 3．方程09 3 142 112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式 1 2 21--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠- 2．排列的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2
线性代数第一章行列式试题及答案
线性代数第一章行列式 试题及答案 https://www.wendangku.net/doc/aa16287184.html,work Information Technology Company.2020YEAR
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n ……… . a n1 a n2 … a nn 如果行列式的列向量组为α1, α2, … ,αn,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 1
第一章 行列式
第一章 行列式 一、 填空题 1、行列式1+1 1 1111 1 1a b b +=- ． 2、按自然数从小到大为标准次序,排列的逆序数为_____. 3、三阶行列式124 221342 ----中元素4的代数余子式32A = . 4、已知五阶行列式1 23453 2011111112 14035 4321=D ，=++++4544434241A A A A A 。 5. 在五阶行列式ij a 的展开式中含4213355421a a a a a 的项前面是 _____号(正号或负号). 6. 排列的逆序数是 7、排列24153的逆序数为_________ 8. 设一排列为，则其逆序数为 _____. 9、按自然数从小到大为标准次序,排列12345的逆序数为_____. 10. 若方程组1212 30 20x x x x λ+=??+=?有非零解，则λ=_____. 11. 若 122 21 1211=a a a a ，则=1 6 030 32221 1211 a a a a 12、按自然数从小到大为标准次序,排列的逆序数为_____. 13、设行列式D= 3 4 653021864212963，则44424132A A A ++=_____. 14.确定排列的奇偶性_____（奇排列/偶排列）. 15.若 122 21 1211=a a a a ，则=1 5338 332221 1211 a a a a _____.
16、设3521 1105 13 1 3 2 413 D --= ----，其(),i j 元的代数余子式为ij A ，则2122232433A A A A -+++=__ ____ 二选择题 1、设3512 ()1,1 2x f x x x bx x ==++L L 则b =( ) （A ）5 （B ）-5 （C ）1 （D ）-1 2、若11 12 132122 233132 33 1a a a a a a a a a =，则111213 21 222331 32 33 333a a a a a a a a a ---_________ （A ） 1 （B ） 0 （C ） -3 （D ）3 3．已知3332 312322 211312 11a a a a a a a a a =3，那么33 32 3123222113 1211222222a a a a a a a a a ---=（ ） A.-24 B.-12 C.-6 D.12 4. 设五阶行列式ij a m =，依下列次序对ij a 进行变换后，其结果是（ ）． 交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于 第三列，最后用4除第二行各元素． （A ）m 8； (B)m 3-； (C)m 8-； (D)m 4 1 ． 三、计算题 1．行列式15 7811 112 09 634 3 7 D --= --，求1424445A A A ++（其中4i A 为第i 行第4列元素的代 数余子式）。 2.计算行列式2341341241231234 .
