降幂公式、辅助角公式应用
降幂公式、辅助角公式
应用
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
降幂公式、辅助角公式应用
降幂公式
(cosα)^2=(1+cos2α)/2 (sinα)^2=(1-cos2α)/2
(tanα)^2=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式如下
直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式： cos2α=(cosα)^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 cos2α=2(cosα)^2－1,(cosα)^2=(cos2α+1)/2
cos2α=1－2(sinα)^2,(sinα)^2=(1-cos2α)/2 降幂公式
例10、（2008惠州三模）已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-=
（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数??
?
???∈2,0)(πx x f 在的值域.
解：x x x x f cos sin sin 3)(2+-=x x 2sin 2
1
22cos 13+-?-= 232cos 232sin 21-+=
x x 23)32sin(-+=πx （I ）ππ
==2
2T （II ）∴2
0π
≤
≤x ∴
3
43
23
π
π
π
≤
+
≤x ∴ 1)32sin(23≤+≤-πx 所以)(x f 的值域为：??
?
???--232,3
点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。
例11、（2008广东六校联考）已知向量a ＝(cos 2
3x ，sin 2
3
x )，b ＝
(2
sin 2cos x x ，
-)，且x ∈[0，2π
]． （1）求b a
+
（2）设函数b a x f +=)(+b a
?，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。
解：（I ）由已知条件： 2
0π
≤
≤x ， 得：33(cos
cos ,sin sin )2222
x x x x a b +=+-
2 x x sin 22cos 22=-= （2）2
sin 23sin 2cos 23cos
sin 2)(x
x x x x x f -+=x x 2cos sin 2+= 2
3)21(sin 21sin 2sin 222+--=++-=x x x ，因为：20π
≤≤x ，所以：1sin 0≤≤x
所以，只有当： 21=x 时， 2
3
)(max =x f ，0=x ，或1=x 时，1)(min =x f
点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。
例12、（2008北京文、理）已知函数
2()sin sin()(0)2
f x x x x π
ωωωω=+的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23π
]上的取值范围.
解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222
x f x x ωω-=
+
=11cos 2222
x x ωω-+ =1
sin(2).62
x πω-+
因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω＞0，所以22π
πω
=
解得ω=1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得1
()sin(2).62
f x x π=-+
因为0≤x ≤23π
，
所以12-≤26
x π-≤7.6π
所以12-≤(2)6
x π
-≤1.
因此0≤1sin(2)62x π-+≤32
，即f (x )的取值范围为[0，3
2]
点评：熟练掌握三角函数的降幂，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。
辅助角公式与三角函数的图像变换
例9、（2008深圳福田等）已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ,函数
()21f x a b =?-
(1)求()f x 的最小正周期; (2)当[, ]62x ππ
∈时, 若()1,f x =求x 的值．
解：(1) 2()cos 2cos 1f x x x x =+-2cos 2x x =+2sin(2)6
x π
=+.
所以，T ＝π.
(2) 由()1,f x =得1sin 262x π?
?+= ??
?，
∵[,]62x ππ∈，∴72[,]626x πππ+∈ ∴5266
x ππ+= ∴ 3x π
=
点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点. 例10、（2007山东文）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为
tan a b c C =，，，
（1）求cos C ； （2）若5
2
CB CA ?=
，且9a b +=，求c ．
解：（1）sin tan cos C
C C
=∴=
又22sin cos 1C C +=
解得1
cos 8C =±．
tan 0C >，C ∴是锐角． 1
cos 8
C ∴=．
（2）由52CB CA ?=， 5
cos 2
ab C ∴=， 20ab ∴=．
又9a b += 22281a ab b ∴++=．
2241a b ∴+=．
2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．
点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。
例11、（2007湖北）将π
2cos 36x
y ??=+ ??
?
的图象按向量π
24
??
=-- ??
?
，
a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
Ａ．π
2cos 234
x
y ??
=+- ??
? Ｂ．π
2cos 234
x y ??
=-+ ??
?
Ｃ．π2cos 2312x y ??
=-
- ???
Ｄ．π2cos 2312x y ??
=+
+ ???
解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点()
''',P x y ，(),P x y ，
则π24??=-- ???
，
a ()
''',P P x x y y ==--'
',24x x y y π?=+=+，代入到已知解析式中可得选Ａ
点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为
中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移4
π
个单
位，再向下平移2个单位，误选Ｃ
例12、（2008广东六校联考）已知向量a ＝(cos 2
3x ，sin 2
3
x )，b ＝
(2
sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，2π]．
（1）求b a
+
（2）设函数b a x f +=)(+b a
?，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。
解：（I ）由已知条件： 2
0π≤
≤x ， 得：
22)2sin 23(sin )2cos 23(cos )2sin 23sin ,2cos 23(cos x x x x x x x x b a -++=-+=+
x x sin 22cos 22=-=
（2）2
sin 23sin 2cos 23cos
sin 2)(x
x x x x x f -+=x x 2cos sin 2+= 23
)21(sin 21sin 2sin 222+--=++-=x x x
因为：2
0π≤
≤x ，所以：1sin 0≤≤x
所以，只有当： 21=
x 时， 2
3)(max =x f 0=x ，或1=x 时，1)(min =x f
点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx 的取值范围，否则容易搞错。
降幂公式、辅助角公式题库
1.（2010浙江理）（11）函数2()sin(2)4f x x x π
=--的最小正周期是
__________________ . 解析：()242sin 22-???
?
?+=
πx x f 故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题
2.（2010浙江文）（12）函数2()sin (2)4
f x x π
=-的最小正周期是 。
答案 2π
1.（2010湖南文）16. （本小题满分12分） 已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。
(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
5.（2010北京文）（15）（本小题共13分） 已知函数2()2cos 2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3
f π
的值；
（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值
解：（Ⅰ）22()2cos sin 333f πππ=+=31
144
-+=-
（Ⅱ）22()2(2cos 1)(1cos )f x x x =-+- 23cos 1,x x R =-∈
因为[]cos 1,1x ∈-,所以，当cos 1x =±时()f x 取最大值2；当cos 0x =时，
()f x 去最小值-1。
6.（2010北京理）（15）（本小题共13分） 已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。 （Ⅰ）求()3
f π
=的值； （Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值。
解：（I ）2239
()2cos
sin 4cos 1333344
f ππππ=+-=-+=- （II ）22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+-- =23cos 4cos 1x x --
=227
3(cos )33x --,x R ∈
因为cos x ∈[1,1]-，
所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，()f x 取最小值7
3
- 9.（2010湖北文）16.（本小题满分12分）
已经函数22cos sin 11
(),()sin 2.224
x x f x g x x -=
=- (Ⅰ)函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象经过怎样变化得出
（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最小值，并求使用()h x 取得最小值的x 的集合。
10.（2010湖南理）16．（本小题满分12分） 已知函数2()322sin f x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （II ）求函数()f x 的零点的集合。
1.(2009年广东卷文)函数1)4
(cos 22--=π
x y 是
A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2
π的奇函数 D. 最小正周期为2π
的偶函数
答案 A
解析 因为22cos ()1cos 2sin 242y x x x ππ?
?=--=-= ???为奇函数,22T ππ==,
所以选A.
8.（2009安徽卷理）已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线
2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是A.5[,],1212
k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212
k k k Z ππππ++∈C.[,],3
6
k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6
3
k k k Z ππππ++∈
答案 C
解析 ()2sin()6f x x π
ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
得，,3
6
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈，故选C
9..（2009安徽卷文）设函数
，其中，则导数
的取值范围是 A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 21
(1)sin 3x f x x
θθ='=??sin 32sin()3
π
θθθ==+
520,sin(),1(1)2,21232f πθπθ???
??'∈∴+∈∴∈??????????，选D 10.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2
π 答案：A
解析 由()(13)cos cos 32sin()6f x x x x x x π
===+可得最小正周期为2π,
故选A.
11.（2009江西卷理）若函数()(13)cos f x x x =+，02
x π
≤<，则()f x 的最大值
为
A ．1
B ．2
C 31
D 32 答案：B
解析 因为()(13)cos f x x x =+=cos 3x x +=2cos()3x π
-
当3
x π
=
是，函数取得最大值为2. 故选B
24.（2009年上海卷理）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .
答案 1
解析 ()cos 2sin 21)14f x x x x π
=++=++，所以最小值为：127.（2009上海卷文）函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 。
答案 1
解析 ()cos 2sin 21)14f x x x x π
=++=++，所以最小值为：130.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ??
-????
上的最大值和最小值.
解析 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力． 解（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==， ∴函数()f x 的最小正周期为π.
（Ⅱ）由26
2
3
x x π
π
π
π-
≤≤
?-
≤≤，∴sin 21x ≤≤，
∴()f x 在区间,62ππ??
-????
上的最大值为1，最小值为
33.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f (x )=cos(2x +3
π
)+sin 2x . (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(2) 设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角，若cos B =31，1
()24
c f =-，且C 为锐角，求
sin A .
解: （1）f(x)=cos(2x+
3
π
)+sin 2x.=1cos 21cos 2cos sin 2sin 233222x x x x ππ--+
=-
所以函数f(x)的最大值为
13
2
+,最小正周期π. （2）()2c f =13sin 22C -=－41, 所以3sin 2C =, 因为C 为锐角, 所以3
C π=,
又因为在?ABC 中, cosB=31, 所以 2
sin 33
B =, 所以
2113223
sin sin()sin cos cos sin 2323A B C B C B C +=+=+=
?+?=. 34.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2
cos sin 2π???
<<-+x x x 在π=x 处取最小值.
（1） 求?.的值;
（2） 在?ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 2
3
)(=
A f ,求角C..
解: （1）1cos ()2sin cos sin sin 2
f x x x x ?
?+=?
+- sin sin cos cos sin sin x x x x ??=++- sin cos cos sin x x ??=+ sin()x ?=+
因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1π?+=-,由诱导公式知sin 1?=,因为
0?π<<,所以2π
?=
.所以()sin()cos 2
f x x x π
=+= （2）因为23)(=
A f ,所以3cos 2A =,因为角A 为?ABC 的内角,所以6
A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得
sin sin a b
A B
=
,也就是sin 12sin 222b A B a ===, 因为b a >,所以4π
=
B 或4
3π
=
B .
当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C πππ
π=--
=. 44.（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23
π． （Ⅰ）求ω的最小正周期．
（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移
2
π
个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．
解：（Ⅰ）
2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++
sin 2cos 222sin(2)24
x x x π
ωωω=++=++
依题意得2223ππω=
，故ω的最小正周期为3
2
. （Ⅱ）依题意得: 5()2sin 3()22sin(3)2244g x x x πππ?
?=-++=-+????
由5232()242k x k k Z π
ππ
ππ-
-
+∈≤≤
解得227()34312
k x k k Z ππππ++∈≤≤\
故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππ
ππ++∈
3、（2008广东）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
答案：D
解析 222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224x
f x x x x x x -=+===
4.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
3
2
D. －2，
32
解析 ∵()2
2
1312sin 2sin 2sin 22f x x x x ?
?=-+=--+ ??
?
∴当1sin 2x =时，()max 3
2
f x =，当sin 1x =-时，()min 3f x =-；故选Ｃ； 答案：C
6.（2007广东）若函数21
()sin ()2
f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ）
A ．最小正周期为π
2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
答案D
9.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在
4
π=
x 处取得最小值，则函数)4
3(
x f y -=π
是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(
π
对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 答案 D
11.（2005全国卷Ⅰ）（6）当2
0π
< x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值 为 B.32 D.34 答案 C 13.（广东理科卷）已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ． 答案：π 解析 21cos 21 ()sin sin cos sin 222 x f x x x x x -=-= -,所以函数的最小正周期22 T π π= =。 辅助角公式 一、教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 三、教学过程 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_________________________________ ()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα??+ ??? =_____________________ 反之, αα 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+ （2 ）sin αα 2、辅助角公式?推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ sin cos )) a b αααααβ+==+ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。 3、例题?反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （11cos 2αα- （2）ααcos sin + （3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。 例42)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02 x π-<<，求sin cos x x -的值。 4、小结?思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 5、作业布置 (1)3cos 66ππαα????+-+ ? ????? =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。 (3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。 (4)、利用辅助角公式化简： ()sin801cos50??? 四、教学反思 降幂公式、辅助角公式应用 降幂公式 (cosα)^2=(1+cos2α)/2 (sinα)^2=(1-cos2α)/2 (tanα)^2=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式如下 直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式： cos2α=(cosα)^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 cos2α=2(cosα)^2－1,(cosα)^2=(cos2α+1)/2 co s2α=1－2(sinα)^2,(sinα)^2=(1-cos2α)/2 降幂公式 例10、（2008惠州三模）已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2 +-= （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数?? ? ???∈2, 0)(πx x f 在的值域. 解：x x x x f cos sin sin 3)(2 +-=x x 2sin 2 1 22cos 13+-? -= 232cos 232sin 21-+= x x 23)32sin(-+=πx （I ）ππ ==2 2T （II ）∴2 0π ≤ ≤x ∴ 3 43 23 π π π ≤ + ≤x ∴ 1)32sin(23≤+≤-πx 所以)(x f 的值域为：?? ? ???--232,3 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。 例11、（2008广东六校联考）已知向量a ρ＝(cos 23x ，sin 23 x )，b ?＝(2 sin 2cos x x ， -)，且x ∈[0， 2 π ]． （1）求b a ? ?+ （2）设函数b a x f ??+=)(+b a ? ??，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。 解：（I ）由已知条件： 2 0π ≤≤x ， 得：33(cos cos ,sin sin )2222x x x x a b +=+-r r 辅助角公式及应用微课教案 单位：封开县江口中学 授课教师： 吴英欢 （授课内容属人教A 版必修4第3.2辅助角公式） 一、教学目标 （1）了解辅助角公式推导 （2）能利用辅助角公式进行简单的三角函数化简并求最值。 二、重点难点 （1）重点：能利用辅助角公式进行简单的三角函数化简并求最值。 （2）难点：辅助角公式推导 三、教学内容 1.学前测评 ________ )sin()1(=+βα ________ )sin()2(=-βα ________ )6sin()3(=+πx ________)65sin()4(=+ πx ________)6 5sin()5(=-πx ________)6sin()6(=-π x 2. 思考： 通过前面四个题目我们发现，是不是任何一个同角的异名函数可以转换成一个角的三角函数值呢？如果能，那么又是怎么转化的呢?那么这节课我们就来研究一下这个问题。 3.探究新知 例1：将 asinx+bcosx 化为一个角的三角函数形式 解：①若a=0或b=0时，asinx+bcosx 已经是一个角的三角函数形式 ，无需化简，故有ab ≠0. ②从三角函数的定义出发进行推导 在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b) 所示,则总有一个角 ,它的终边经过点P(a,b). 设OP=r,r= ,由三角函数的定义知 sin b r ? ==cos a r ?== 所以sin cos a x b x + sin cos x x ??=+ ? )x ?=+ 例4：求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大和最小值。 2)3(12222=+=+b a 分析： 解析：x x y cos 3sin += )23sin 21(2cox x + = )3sin sin 3(cos 2cox x π π += )3sin(2π +=x ， 所以函数周期为π2，最大值为2，最小值为-2. 4.课堂小结 （1）辅助角公式：sin cos a x b x + )x ?=+ （2）两个应用：利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题；⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题 5. 达标测评 （1）.把下列各式化为一个角的三角函数形式 x x cos 2 1sin 23+ x x cos sin -- x x cos sin +- )6cos(3)6sin(3ππ+-+ -x x (2).R x x x ∈+=,cos sin 3y 已知函数 （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由y ＝sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 辅助角公式Revised on November 25, 2020 推导 对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形 ，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则 ，因此 就是所求辅助角公式。 又因为 ，且-π/2<φ<π/2，所以 ，于是上述公式还可以写成 该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况） ，设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则 ，因此 同理， ，上式化成 若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则 再根据 得 记忆 很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。 其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。 例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。 疑问 为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。 提出者 ，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。 继之后，李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表。他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国，对促进近代科学的发展作出卓越贡献。[1] 公式应用 例1 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值 解：设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k ∴√[1+(-2k)2]sin(θ+α)=√5k 平方得k2=sin2(θ+α)/[5-4sin2(θ+α)] 令t=sin2(θ+α) t∈[0,1]则k2=t/(5-4t)=1/(5/t-4) 当t=1时有kmax=1 辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化 例2 化简5sina-12cosa 解：5sina-12cosa =13(5/13*sina-12/13*cosa) =13(cosbsina-sinbcosa) =13sin(a-b) 其中，cosb=5/13,sinb=12/13 例3 π/6≤a≤π/4 ,求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值 《辅助角公式应用》专题 2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 授之以鱼，不若授之以渔。 化下列代数式为一个角的三角函数 1sin 22 αα+； cos αα+； a sin x ＋ b cos x ＝a 2＋b 2x x ??+?? ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2 )． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝ a a 2＋ b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 【求周期】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最小正周期。 2.求函数y x x x =+ -+24432cos()cos()sin ππ 的最小正周期。 小结：将三角式化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。 【求值】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最大值。 2.函数y ＝2sin ????π3－x －cos ??? ?π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.2)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。 4.已知)4x y πθ+= +，)4x y π θ-=-，求证：221x y += 【求单调区间】 求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的单调递增区间。 （2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212 k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63 k k k Z ππππ++∈ 已知函数()3f x x x =-，求： （1）求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围. （2）求函数()f x 的单调区间、对称中心. （3）函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的？ 化一公式（第一课时） 一、教材分析 化一公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为化一公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。 二、教学重点 对特殊角的化一公式的应用，两角和正弦的逆应用。知道要从系数中提出22b a +. 三、教学难点 对22b a +的探究，理解为什么要提这个出来。 四、教学过程 （一）、知识回顾引入 前面我们学习了两角和的正弦公式，大家回顾一下应该等于： αββαβαcos sin cos sin )sin(+=+ 那我们看一下 ?? ? ??+απ3sin =απαπsin 3cos cos 3sin +ααsin 21cos 23+= 则那么请同学看下面两个题应该等于多少 例一：化简下面式子 （1）=+ααcos 2 2sin 22 （2）=+ααcos 2 3sin 21 解释：第一个式子中的2 2可以看成4cos ,4sin ππ,变式后利用两角和正弦的逆应用课进行化简。第二个式子中的21和2 3可以看成3sin ,3cos ππ。 （二）、新授知识 那么现在我们来看下一个题： 例二：化简下面式子 （1）=+ααcos 2sin 2 （2）ααcos 3sin += （提示学生和例一的关系，让学生自己转化到例一去） 解答：（1）??? ??+=??? ? ??+4sin 2cos 22sin 222πααα （2）??? ??+=??? ? ??+3sin 2cos 23sin 212πααα 为什么要提2出来呢？ 因为提出来后可以在里面创造出特殊角的三角函数，是我们想要的 那么刚才的这些题我们都比较容易看出他们和特殊角之间的关系，那么如果遇到较为复杂的系数我们该提多少出来呢？ 例三：化简下面式子 =+x b x a cos sin （让学生思考并讨论） 学生讨论后指出这里应该提出22b a +，因为里面剩下的 2222,b a b b a a ++刚好 可以构一个角的正弦与余弦。 所以)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a ，我们把这种把两三角函数变为一个三角函数的公式称为化一公式。 由此我们就可以处理任何类似的式子了 例三：化简下面式子 =+x x cos 53sin 153 解答：先观察，把153与53的公因式53先提出来，变为x x cos sin 3+，再利用公式，提出21322=+，可以变为??? ??+=??? ? ??+6sin 56cos 21sin 2356πx x x 练习：化简下面式子： （1）x x sin 23cos 23- （2）x x cos sin 3+ （3）x x cos 4 6sin 42+ （让学生上来做并讲解） （三）总结 同学们你们来说说这节课你收获到了什么？ 1，化一公式 2，逆向思维 3，化归的思想 （四）作业 练习册 辅助角公式在高考三角题中得应用 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。 上式中的 a a b 2 2 +与 b a b 2 2 +的平方和为1，故可记a a b 2 2 +=cos θ， b a b 2 2 +=sin θ，则 。 )x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2 2 22θ++=θ+θ+= 由此我们得到结论：asinx+bcosx= a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由 a a b b a b 2 2 2 2 +=+=cos , sin θθ来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多 个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。 一. 求周期 例1 求函数y x x x =+ -+244 32cos()cos()sin π π 的最小正周期。 解： ) 6 x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x 2sin 3)2 x 2sin(x 2sin 3)4x sin()4x cos(2y π +=+=+π +=+π +π+= 所以函数y 的最小正周期T=π。 评注：将三角式化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。 二. 求最值 例2. 已知函数f(x)=cos 4 x-2sinxcosx-sin 4 x 。若x ∈[, ]02 π ，求f(x)的最大值和最小值。 辅助角公式 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ +=_________________________________ ()sin αβ -=_________________________________ 利用公式展开s in 4πα?? + ?? ?=_____________________ 反之,in o s 2 2 αα + 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是 in o s 2 2 αα + =_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为) sin(βα +A ()0A >的形式 （11in c o s 2 2αα + （2）s in o s α α - 2、例题 例１、试将以下各式化为) sin(βα +A ()0A >的形式. （11in c o s 2 2 αα - （2）α αcos sin + （3in o s αα + （4）α αcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）in c o s αα- 例3、若s in (50)c o s (20)x x +++= 360 x ≤< ，求角x 的值。 例42in ()c o s ()12 12 3 x x π π + ++ = ，且 2 x π - <<，求sin cos x x -的值。 4、思考 （1）公式()sin co s a b α ααβ += +中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 辅助角公式应用 在三角函数的学习过程中，有一个和差角公式的变形式：辅助角公式要引起重视。. 为便于研究，下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式：()sin cos f x a x b x =+ sin cos x x ?=+ ()x ?=+，[,)?ππ∈- 其中cos ??= = （?几何意义：(),p a b 所在终边对应的中心角） 当定义域为R 时，( )f x ?∈?. 当定义域有限定时，要根据辅助角公式?的几何意义得到?的估计范围，再根据x ?+的区间范围及三角函数的单调性（或三角函数线）来作出判断，求出函数的最值或值域. 1.求函数()sin 2cos ,0, 2f x x x x π?? =+∈???? 的值域. 【解析】由辅助角公式可得：( )()f x x x x ?? =+=+?? ， （其中sin ??= =. sin 0,cos 00,2π?????? >>∴∈ ??? 为第一象限角，可令 0,,22x x ππ???????∈∴+∈+???????? ，又 +22ππ?π<<, [],0,2π? ?π?? ∴+????? ， 而 sin cos 2π????? = +== ???，()f x ?∴∈?? . 2.求函数()22sin 3cos ,,63f x x x x ππ?? =-∈? ??? 的值域. 【解析】解法一：辅助角公式:( )() sin cos13sin 1313 f x x x x? =+=+ ? ? . 其中sin?? ==，?为第四象限角. 又 1 sin sin 62 π ??? <-=- ? ?? ，可令, 26 ππ ??? ∈-- ? ?? ， 22 ,, 6363 x x ππππ ??? ???? ∈∴+∈++ ???? ???? ，而 2 0, 632 πππ ?? +<+ <. 函数sin,, 22 y x x ππ ?? =∈- ? ?? 单调递增，2sin 3cos1 6662 f πππ ?? =-=- ? ?? ，2 223 2sin3cos 33 32 f πππ ?? =-=+ ? ?? ()3 1, 22 f x ? ∴∈-+ ? ? 解法二：数形结合法:令()23 f x t v u ==- ，如右 图圆弧与直线 31 22 v u t =-有交点，则直线如右图 12 ,l l位置过圆弧左右端点时是直线平移的界限. 圆弧两个端点坐标为 1 1 ,,, 2 222 ???? - ? ? ? ? ???? ， 代入直线方程的 3 1, 22 t ? ∈-+ ? ? ( )3 1, 22 f x ? ∴∈-+ ? ? 降幂公式、辅助角公式 应用 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 降幂公式、辅助角公式应用 降幂公式 (cosα)^2=(1+cos2α)/2 (sinα)^2=(1-cos2α)/2 (tanα)^2=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式如下 直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式： cos2α=(cosα)^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 cos2α=2(cosα)^2－1,(cosα)^2=(cos2α+1)/2 cos2α=1－2(sinα)^2,(sinα)^2=(1-cos2α)/2 降幂公式 例10、（2008惠州三模）已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-= （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数?? ? ???∈2,0)(πx x f 在的值域. 解：x x x x f cos sin sin 3)(2+-=x x 2sin 2 1 22cos 13+-?-= 232cos 232sin 21-+= x x 23)32sin(-+=πx （I ）ππ ==2 2T （II ）∴2 0π ≤ ≤x ∴ 3 43 23 π π π ≤ + ≤x ∴ 1)32sin(23≤+≤-πx 所以)(x f 的值域为：?? ? ???--232,3 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。 例11、（2008广东六校联考）已知向量a ＝(cos 2 3x ，sin 2 3 x )，b ＝ (2 sin 2cos x x ， -)，且x ∈[0，2π ]． （1）求b a + （2）设函数b a x f +=)(+b a ?，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。辅助角公式_教案
降幂公式、辅助角公式应用
辅助角公式及其应用
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《辅助角公式应用》专题(简单题)
化一公式,辅助角公式教案
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必修之《辅助角公式》