戴维斯定理及其应用

动能定理及其应用

动能定理及其应用 1．动能定理 (1)三种表述 ①文字表述：所有外力对物体做的总功等于物体动能的增加量； ②数学表述：W 合＝12m v 2－12 m v 02或W 合＝E k －E k0； ③图象表述：如图6所示，E k －l 图象中的斜率表示合外力． 图6 (2)适用范围 ①既适用于直线运动，也适用于曲线运动； ②既适用于恒力做功，也适用于变力做功； ③力可以是各种性质的力，既可同时作用，也可分阶段作用． 2．解题的基本思路 (1)选取研究对象，明确它的运动过程； (2)分析受力情况和各力的做功情况； (3)明确研究对象在过程的初末状态的动能E k1和E k2； (4)列动能定理的方程W 合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解． 例1 我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1所示，质量m ＝60 kg 的运动员从长直助滑道AB 的A 处由静止开始以加速度a ＝3.6 m /s 2 匀加速滑下，到达助滑道末端B 时速度v B ＝24 m/s ，A 与B 的竖直高度差H ＝48 m ，为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C 处附近是一段以O 为圆心的圆弧．助滑道末端B 与滑道最低点C 的高度差h ＝5 m ，运动员在B 、C 间运动时阻力做功W ＝－1 530 J ，取g ＝10 m/s 2. 图1 (1)求运动员在AB 段下滑时受到阻力F f 的大小；

(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C 点所在圆弧的半径R 至少应为多大． 答案 (1)144 N (2)12.5 m 解析 (1)运动员在AB 上做初速度为零的匀加速运动，设AB 的长度为x ，则有v B 2＝2ax ① 由牛顿第二定律有mg H x －F f ＝ma ② 联立①②式，代入数据解得F f ＝144 N ③ (2)设运动员到达C 点时的速度为v C ，在由B 到达C 的过程中，由动能定理得 mgh ＋W ＝12m v C 2－12m v B 2 ④ 设运动员在C 点所受的支持力为F N ，由牛顿第二定律有 F N －mg ＝m v 2 C R ⑤ 由题意和牛顿第三定律知F N ＝6mg ⑥ 联立④⑤⑥式，代入数据解得R ＝12.5 m.

正弦定理应用教案

正弦定理应用教案 【篇一：正弦定理、余弦定理应用举例教案】 第7讲正弦定理、余弦定理应用举例 【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 【基础梳理】 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、 物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的 角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点 的方 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 3、解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量 与量 之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近 似计算的要求等． 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上 的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐 步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 【例题分析】 一、基础理解 a．．3 m c． m 2

解：如图．答案 b 例4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船 a．5海里 b．3海里 c．10海里 d．海里 5里)，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．答案 c 0.5 二、测量距离问题 例1、如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这岸 [分析] 在△bcd中，求出bc，在△abc中，求出ab. 例2、如图，a，b，c，d 都在同一个与水平面垂直的平面内， b、d为两岛上的 试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b， d的距离． 故cb是△cad底边ad的中垂线，所以bd＝ba. 2＋同理，bd(km)．故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db，延长ba交ce于点e，在△aec中 解得x＝10(33) m．故山高cd为10(33 ) m. 总结：(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．， cd cdx ab解：在△abc中，ab＝5，ac＝9，∠bca＝sin∠acb 9同理，在△abd中，ab＝5，sin∠bad 10 abbd∠adb＝， sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结：要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理． 点，ad＝10，ac＝14，dc＝6，求ab的长． 解：在△adc中，ad＝10，ac ＝ 14，dc＝6， 【篇二：《正弦定理》教学设计】

公开课教学设计(正余弦定理及其应用)

解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程

教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

1.1正弦定理(第2课时)正弦定理的应用 学案(含答案)

1.1正弦定理（第2课时）正弦定理的应用学 案（含答案） 第2课时正弦定理的应用学习目标 1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能. 2.理解三角形面积公式及解斜三角形. 3.能用正弦定理解决简单的实际问题知识点一正弦定理的变形公式若ABC的外接圆的半径为R，有 2R.1abcsin_Asin_Bsin_C；2，，；3；4a2RsinA，b2RsinB， c2Rsin C.知识点二边角互化1正弦定理的本质是三角形的边与对角的正弦之间的联系2正弦定理的主要功能是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化3使用正弦定理进行边角互化的前提是已知外接圆半径R或能消掉R.知识点三三角形面积公式在ABC 中，内角A，B，C的对边为a，b，c，则ABC的面积SABCabsinCbcsinAcasin B.思考在SABCabsinC中，bsinC的几何意义是什么答案BC边上的高知识点四仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示1仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角2在ABC中，若b22acosB，则 sin2B2sinAcosB3平行四边形ABCD的面积等于ABADsinA4SABCR为

ABC外接圆半径题型一边角互化例1在ABC中，若 sinA2sinBcosC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状解方法一由正弦定理，得2RR为ABC外接圆半径，sinA，sinB，sinC，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90， 2sinBcosC2sinBcos90B2sin2BsinA1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形方法二由正弦定理，得2RR为ABC外接圆半径，sinA，sinB，sinC， sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180BC，sinA2sinBcosC，sinBCsinBcosCcosBsinC2sinBcosC，sinBC0.又90BC90，BC，ABC 是等腰直角三角形反思感悟1 化边为角转化公式为a2RsinA，b2RsinB，c2RsinCR为ABC外接圆半径2化角为边转化公式为sinA，sinB，sinCR为ABC外接圆半径3当等号两端为边的齐次式或角的正弦齐次式时，2R可以消掉跟踪训练1若将题设中的“sinA2sinBcosC”改为“bsinBcsinC”，其余不变，试解答本题解由正弦定理，设2RR 为ABC外接圆半径，从而得sinA，sinB，sin C.bsinBcsinC，sin2Asin2Bsin2C，bc，222，b2c2， a2b2c2，bc，A 90.ABC为等腰直角三角形题型二三角形面积公式及其应用命题角度1已知边角求面积例2在ABC中，已知B30，AB2，AC

正弦定理和余弦定理以及其应用教案1

讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用 知识与技能： 掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。 一、知识引入与讲解： Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用： 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C ==2R 例1．（1）、已知?ABC 中，∠A 060= ，a =求sin sin sin a b c A B C ++++ (=2) （2）、已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3） Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用： 例2．（1）、在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A （ =b 060.=A ） （2）、在?ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。 例3．在?ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断?ABC 的类型。 分析：由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形 ? （注意：是锐角A ?ABC 是锐角三角形?） 解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形?。 练习： （1）在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断?ABC 的类型。 （2）已知?ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断?ABC 的类型。 （答案：（1）ABC 是钝角三角形?；（2）?ABC 是等腰或直角三角形） 例4．在?ABC 中，060A =，1b =，面积为2，求sin sin sin a b c A B C ++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222 S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C ++++ 解：由1sin 2 2S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a 从而 sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A == 例题5、某人在M 汽车站的北偏西20?的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。公路的走向是M 站的北偏东40?。开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？

湖南大学研究生应用经济学01年到10年真题

2010年 一1.边际报酬递减规律2.消费者剩余3.科斯定理4.边际储蓄倾向5.市场出清假设6.菲利普斯曲线 二1.用微观经济学原理理论分析我国主要城市房价持续攀升的原因 2.比较分析完全竞争、完全垄断、垄断竞争的长期均衡 3.简述财政政策的乘数效应，并分析为什么会产生乘数效应 4.如果国外市场对我国红酒偏好，用文字说明并画图分析 （1）外汇市场人民币需求会有何变化 （2）外汇市场人民币价值有何变化 （3）我国红酒净出口数量有何变化 三1）.完全竞争市场某厂商的生产函数q=8L1/4K3/4,求 1当劳动价格为3资本价格为9，产量为24时，劳动和资本投入量及总成本 2若劳动价格变为9，上述问题有何变化 3若劳动价格为3资本价格为9，资本数量为10，求短期生产函数 4若资本数量为16，市场价格为5，求劳动需求函数 5若劳动价格为3资本价格为9，求长期生产函数 2）三部门国民经济收入的计算，消费函数为C=100+0.6YD，政府支出250，政府税收100投资50，求1.国民收入和可支配收入2.个人储蓄和政府储蓄3投资乘数KI 4.个人消费 四1.完全竞争市场为什么能实现帕累托最优状态 2.用IS-LM模型分析货币政策的效果 2009年 一名词解释（6*5=30） 1 净出口函数 2 政府转移支付乘数 3 库兹涅茨曲线 4 无差异曲线 5 边际效益 6 纳什均衡 二简答题（12*4=48） 1 简述“挤出效应”的机制及影响因素？ 2 中央银行公开市场业务如何影响利率变动？ 3 简述厂商收益与需求价格弹性间的关系？ 4 为什么说不完全竞争（例如垄断）是导致市场失灵的原因之一？ 三（16*2=32） 1 名义货币供给M=200，价格水平P=1，货币需求L=0.2Y-4R,消费函数C=100+0.75Yd,投资I=140-5R,政府购买G=600, 税收政府T=0.2Y,转移支付TR=100. （1）求IS和LM曲线 （2）求产品市场与货币市场同时均衡时的利率和收入。 （3）政府收支状况。 2 某产品边际成本MC=4+Q/4,，（单位分别是万元，百台）边际收益MR=9-Q/4, （1）求从1万台到5万台时成本和收益如何变化？ （2）产量为多少时利润最大？（已知条件简化后 原题汉字太多，我记不很清楚了。不过只是在MC和MR解释了它们的定义。数字不会错！）四论述题（20*2=40） 1 产品市场和货币市场同时均衡时是否收入达充分就业状态？若经济起初处与充分就业状态，政府想增加消费而减少私人投资，且收入不超过充分就业水平，应当实行什么样的混合政策？并用图论述说明。 2 为什么厂商利润最大化的均衡条件MC=MR，可以写成MFC=MRP? 在完全竞争产品市场

动能定理及其应用专题

《动能定理及其应用》专题复习一．基础知识归纳： (一)动能： 1.定义：物体由于______而具有的能. 2.表达式：E k=_________. 3.物理意义：动能是状态量，是_____.(填“矢量”或“标量”) 4.单位：动能的单位是_____. (二)动能定理： 1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中的___________. 2.表达式：W=_____________. 3.物理意义：_____________的功是物体动能变化的量度. 4.适用条件： (1)动能定理既适用于直线运动，也适用于______________. (2)既适用于恒力做功，也适用于_________. (3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以_______________. 二．分类例析： (一)动能定理及其应用： 1.若过程有多个分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．但求功时，必须据不同的情况分别对待求出总功，把各力的功连同正负号一同代入公式． 2.应用动能定理解题的基本思路： (1)选取研究对象，明确它的运动过程；(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况： (3)明确研究对象在过程的初末状态的动能E k1和E k2； (4)列动能定理的方程W合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解． 例1.小孩玩冰壶游戏，如图所示，将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OB用水平恒力推到A点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在B点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，OA＝x，AB＝L.重力加速度为g.求： (1)冰壶在A点的速率v A；(2)冰壶从O点运动到A点的过程中受到小孩施加的水平推力F. 吴涂兵

欧拉定理及其应用(注解版)~~YT

欧拉定理及其应用 欧拉函数phi(m)表示小于等于|m|的自然数中，和m互质的数的个数。 phi(m)=mΠ(1-1/p)//《算法导论》第531页 p|m 证明：若m为一素数p，则phi(m)=p-1。 若m为合数，存在p，使m=pd。 1、若p整除d，对任意a，(a, d) = 1，//注意a属于[1,d)那么(a + d, d) = 1， (a + d, p) = 1， 所以(a + d, m) = 1，所以(a + kd, m) = 1，k = 0, 1, 2, ... , p - 1， 所以phi(m) = p phi(d)。//则有任意和d互质的数加上kd继续互质，所以共有p*phi(d)个 2、若p不能整除d，那么(p, d) = 1，在小于|m|的自然数里，和d互质的有p phi(d)个， 其中phi(d)个是p的倍数，所以phi(m) = (p - 1) phi(d)。//显然，除d、2d、3d……pd能整除外，其余都不能整除 由数学归纳法得到结论。 欧拉定理：如果(a, m) = 1，那么a ^ phi(m) = 1 (mod m)。//可以参考《算法导论》 证明：设R(m) = {r[1], r[2], ... , r[phi(m)]}为和m互质的数的等价类的集合。 那么有(ar[i], m) = 1，ar[i] = ar[j]当且仅当i = j。 所以aR(m) = {ar[i]} = R(m)，a ^ phi(m) Πr[i] = Πar[i] = Πr[i] (mod m)，a ^ phi(m) = 1 (mod m)。 欧拉定理的一个重要意义就是计算a ^ b mod m的时候，若b是一个很大的数时，可以化成a ^ (b mod phi(m)) mod m来计算，明显地，b mod phi(m)是一个比较小的数。 当(a, m)≠1时，设对m分解质因数得到m = Πpi ^ ri，d = (a, m)，m = m1 * m2， 其中m1 = Πpi ^ri，那么(m1, m2) = 1，(a, m2) = 1， pi|d 所以a ^ phi(m2) = 1 (mod m2)。 由欧拉函数的计算公式可以得知phi(m2)|phi(m)，所以a ^ phi(m) = 1 (mod m2)。对任意i，pi|d，都有phi(m) >= log m >= ri，所以m1|d ^ phi(m)，m1|a ^ phi(m)。由于(m1, m2) = 1，所以存在整数r，0 < r < m，r = 1 (mod m2)，r = 0 (mod m1)， 有a ^ phi(m) = r (mod m)。 显然，a ^ 2phi(m) = 1 (mod m2)，a ^ 2phi(m) = 0 (mod m1)，

科斯定理实际应用存在的问题

科斯定理实际应用存在的问题 摘要：科斯定理由1991年诺贝尔经济学家奖获得者罗纳德·科斯提出，其主要认为在某些条件下，经济的外部性可以通过当事人的谈判而得到纠正。但是根据某些资料及实践经验显示，科斯定理的前提条件在日常生活中未必能够成立，因此科斯定理往往只能在理想状态下才得以实现。下面我们将从四个方面分析科斯定理在实际应用中可能遇到的问题。 一、科斯定理的理解 科斯定理表明：只要确定了产权，那么在处理外部性问题时就可以用市场化的方法来解决，而政府干预就无须出现，这时资源配置也能够达到有效。 但是这必须建立在交易成本和谈判成本都为零或者可以忽略不计的条件之上。这是由于在经济的社会中，利益最大化是所有经济活动的最终目标，若要如科斯定理所说，用市场化的方法解决外部性问题就必须遵循利益最大化的前提条件，即把成本降到最低是交易双方的共同目的和理想。 用这样一个例子来解释：甲和乙在一个不禁烟的场所坐在一起，甲是一名吸烟者，而且正在吸烟，而乙是非吸烟者。乙坐在旁边感到难受，就叫甲不要吸烟。这时乙掏出5块钱请甲不要吸烟，但是甲烟瘾犯了，不吸烟也同样难受，他觉得虽然乙给了5块钱自己，但是5块钱不足以弥补他犯烟瘾不吸烟的难受，于是他不答应。此时乙就说给甲10块钱，然而这次甲看来这10块钱可以弥补其难受的感觉，他就答应了乙不吸烟，在这桩交易中，甲收了乙的10块钱，觉得有利可图，他答应了乙不吸烟；同样的，乙觉得他自己享受新鲜空气舒服的感觉远远比10块钱重要，也是有利可图的，他愿意付出这10块钱。结果自愿交易、自愿谈判使各自的权利得到保障。科斯定理在此例中得到了实现。 二、科斯定理实际运用中存在的问题 （一）产权问题 对于上面的例子，如果双方的谈判能达成协议，交易似乎已成定局，这也让人产生科斯定理似乎能解决很多现实问题的感觉。但却忽略了一些问题，例如产权问题。这里我们想说的是土地的产权问题，产权问题不解决，市场本身就无法给出答案。 用一个例子来分析，假如新发现了一个山洞，这山洞应该归属谁？发现山洞的人？山洞入口处的土地所有者？还是山洞顶上的土地所有者？这些取决于财产法。但涉及到这山洞的用途就与财产法无关了，反而与使用者付出的费用的多寡有关。再如把一片水域分为2部分分给甲乙2个农民，但是鱼群是游动的，那么那些鱼是怎样分呢，这也是和付出的费用多寡有关。就用中国目前实际所存在的农村土地产权来说明一下产权问题解决的困难，虽然农村土地所有权属集体，但是按照科斯的解释，土地是用作耕地，还是用于开发商开发商品房，

4 欧拉定理

§4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用 欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它们在数论中的应用非常广泛。本节应用简化剩余系的理论，推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理。最后还要把欧拉定理应用于循环小数。 定理1（欧拉定理） 设()1,,1m a m >=，则 ()()1mod .m a m ?≡ 证 设()12,, ,m r r r ?是模m 的一个简化剩余系， 因(),1a m =，故()12,, ,m ar ar ar ?也是模m 的一个简化剩余系. 于是， ()() ()()()()()()()()()()1212 12 12 mod , mod , 1mod . m m m m m m ar ar ar r r r m a r r r r r r m a m ??????≡≡≡ 推论（费马定理）若p 是质数，则对任意整数a ，总有 ()mod .p a a p ≡ 证 因p 为质数，故(),1a p =或.p a 若(),1,a p =则由()1p p ?=-及欧拉定理得 ()()1 1mod ,mod .p p a p a a p -≡≡ 若p a ，则显然有()mod .p a a p ≡ 以上两个定理对数论的应用是非常多的。下面仅说明欧拉定理对无限循环小数的应用。 任何一个有理数都可以表示为 a b ，这里,a b 都为整数，且0a >。由带余除法，存在整数(),0q r r b ≤<使得b aq r =+，故 ,0 1.a bq r r r b b b b b +==+≤< 故以下只讨论开区间()0,1中的分数与小数互化。 若对无限小数12 0.,n a a a （i a 是0,1, ,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一 位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有 n n t a a +=，则该无限小数可以写为

(完整版)中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对

导学设计2 正弦定理的应用

山西大学附中高中数学（必修5）导学设计 编号2 正弦定理的应用 【学习目标】1. 会运用正弦定理解决简单的解三角形问题. 2. 会运用正弦定理在相关问题中进行边角互化. 【学习重点】正弦定理的应用 【学习难点】合理利用正弦定理解决相关问题 【学习过程】 一．导学： 1.一般地，把 叫做三角形的元素， 叫做解三角形. 2. 正弦定理在解三角形中的应用： 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： （1）已知 ，求 . （2）已知 ，求 . ①若 为锐角，则 ②若 为直角或钝角，则 二．导练： 1. 在ABC ?中，已知 75,3,45=∠==∠C AC A ，则BC 的长为 . 2. 在ABC ?中，已知5,25,45===b c B ，则a = . 3. （1） 在ABC ?中，已知 60,3,3== =A b a ，求B 和c . （2）在ABC ?中，已知 30,326,26===A b a ，求B 和c . 4.（1）已知在ABC ?中，B A C 222sin sin sin +=，则该三角形为（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 （2）在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，c b A 2212cos 2+=，则ABC ?的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 5．在ABC ?中，若,5522cos ,4,2== =B C a π求ABC ?的面积S .

6. 在ABC ?中，求证：0cos cos cos cos cos cos 2 22222=+-++-++-A C a c C B c b B A b a . 三．目标检测： 1．在ABC ?中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ） A ． B A > B ．B A < C ．A B ≥ D ．A 、B 的大小关系不能确定 2．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若 135=A , 30=B ,2=a ,则b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3. 在ABC ?中，3,1= =b a ， 30=A ，则B 等于（ ） A ． 60 B ． 60或 120 C ． 30或 150 D ． 120 4. ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,,c b a a A b B A a 3cos sin sin 2=+，则=a b ( ) A. 2 B. 3 C. 22 D. 32 5．在ABC ?中，A 、B 、C 的对边分别为 c b a ,,，记 45,2,===B b x a ，若ABC ?有两解，则x 的取值范围是 . 6. 在ABC ?中，已知A b B a tan tan 22=，则三角形的形状为 . 7．在ABC ?中，A B b a 2,62,3===． (1)求A cos 的值； (2)求c 的值． 8．在ABC ?中，已知内角A π=3 ，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．

科斯定理在生活中的应用

科斯定理在生活中的应用 08保险赵薇 一，科斯定理 科斯定理比较流行的说法是：只要财产权是明确的，并且交易成本为零或者很小，那么，无论在开始时将财产权赋予谁，市场均衡的最终结果都是有效率的，实现资源配置的帕雷托最优。 科斯定理旨在描述资源稀缺性必定引发各种经济竞争和交易费用发生，而明晰界定的产权安排则是节省交易费用从而是决定经济效率的基本制度设定。经济发展水平取决于经济效率优劣，经济效率优劣取决于交易成本高低，交易成本高低则取决于产权是否明晰界定，而产权明晰效应则又取决于政府是否将产权界定给私人。从制度运行的延伸联系来看，政府效能→产权安排→交易成本→经济效率→经济发展，这就是科斯定理所解释和描述的内在逻辑联系。 在现实世界中，科斯定理所要求的前提往往是不存在的。财产权的明确是很困难的，交易成本也不可能为零，有时甚至是比较大的。因此，依靠市场机制矫正外部性（指某个人或某个企业的经济活动对其他人或者其他企业造成了影响，但却没有为此付出代价或得到收益）是有一定困难的。但是，科斯定理毕竟提供了一种通过市场机制解决外部性问题的一种新的思路和方法。 二，科斯定理的应用 红绿灯对交通的改善作用可以用科斯定理来解释。 交通的十字路口是公共资源，通过红绿灯对车辆的交通资源划分符合交易成本为零或者很小的条件，无论开始将资源分配给十字路口车辆的任何一方，都能最终实现资源的有效配置，并且达到帕累托最优。红绿灯解决十字路口的堵塞问题就在于其划分了该公共资源的使用权，使产权明晰。 这也是政府通过效能达到产权安排，通过节省交易成本最终达到经济效益最大化，促进经济发展的一个实际例子。 另一个简单的例子是：国家出台公共场合不准吸烟的规定。 通过这个规定我们可以知道，社会把公共场所空气清洁的权利赋予了不会吸烟的

欧拉公式的应用

欧拉公式的应用 绪论 本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便． 关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数

目录 绪论......................................错误！未定义书签。目录......................................错误！未定义书签。 一、绪论 (1) 二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1) 三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4) (一) 倍角和半角的三角变换 (4) (二) 积化和差与差化积的三角变换 (4) (三) 求三角表达式的值 (5) (四) 证明三角恒等式 (6) (五) 解三角方程 (7) (六) 利用公式求三角级数的和 (7) (七) 探求一些复杂的三角关系式 (8) (八) 解决一些方程根的问题 (9) (九) 欧拉公式大降幂 (10) 结束语 (15)

一、绪论 欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用． 二 、欧拉公式的证明、特点、作用 1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用． 欧拉公式cos sin i e i θθθ =+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变 函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法． 证明 令()1n f z i n θ?? =+ ??? (),R n N θ∈∈． 首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞ =+． 因为 arg 1n i narctg n n θθ?? ?? += ? ????? ， 所以 2 2 211cos sin n n i i narctg i narctg n n n n θθθθ????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????． 从而2 2 2lim 1lim 1cos sin n n n n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????．

科斯定理(Coase Theorem)

科斯定理（Coase Theorem） 目录 什么是科斯定理 科斯定理是由得主(Ronald H. Coase)命名。他于1937年和1960年分别发表了《厂商的性质》和《社会成本问题》两篇论文，这两篇文章中的论点后来被人们命名为著名的“科斯定理是研究的基础，其核心内容是关于的论断。 科斯定理的基本含义是在1960年《社会成本问题》一文中表达的，而“科斯定理”这个术语是(George Stigler)1966年首次使用的。

科斯定理较为通俗的解释是：“在为零和对产权充分界定并加以实施的条件下，因素不会引起资源的不当配置。因为在此场合，当事人（外部性因素的生产者和）将受一种市场里的驱使去就互惠互利的交易进行谈判，也就是说，是外部性因素内部化。” 也有人认为科斯定理是由两个定理组成的。即为史提格勒的表述：如果为零，不管权利初始安排如何，会自动使达到。在大于零的现实世界，可以表述为：一旦考虑到市场交易的成本，合法权利的初始界定以及经济的选择将会对产生影响。 科斯定理的构成 科斯定理由三组定理构成。 的内容是：如果为零，不管产权初始如何安排，当事人之间的谈判都会导致那些财富最大化的安排，即会自动达到。 如果科斯第一定理成立，那么它所揭示的经济现象就是：在大千世界中，任何经济活动的效益总是最好的，任何工作的效率都是最高的，任何原始形成的安排总是最有效的，因为任何交易的费用都是零，人们自然会在内在利益的驱动下，自动实现的最优配置，因而，没有必要存

在，更谈不上产权制度的优劣。然而，这种情况在现实生活中几乎是不存在的，在经济社会一切领域和一切活动中，交易费用总是以各种各样的方式存在，因而，是建立在绝对虚构的世界中，但它的出现为科斯第二定理作了一个重要的铺垫。 通常被称为科斯定理的反定理，其基本含义是：在交易费用大于零的世界里，不同的权利界定，会带来不同效率的资源配置。也就是说，交易是有成本的，在不同的下，交易的成本可能是不同的，因而，资源配置的效率可能也不同，所以，为了优化资源配置，产权制度的选择是必要的。科斯第二定理中的交易成本就是指在不同的产权制度下的交易费用。在至上的科斯定理中，它必然成为选择或衡量产权制度效率高低的惟一标准。那么，如何根据选择产权制度呢 描述了这种产权制度的选择方法。第三定理主要包括四个方面：第一，如果不同产权制度下的交易成本相等，那么，产权制度的选择就取决于制度本身成本的高低；第二，某一种产权制度如果非建不可，而对这种制度不同的设计和实施方式及方法有着不同的成本，则这种成本也应该考虑；第三，如果设计和实施某项制度所花费的成本比实施该制度所获得的收益还大，则这项制度没有必要建

正弦定理及其应用教案

5.13 正弦定理及其应用 一、教材分析 正弦定理是高中新教材人教B版必修内容，是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明，并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题： （1）已知两角和一边，解三角形； （2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。 二、学情分析 本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。 三、教学目标 1.知识与技能： (1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法； (2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题 2.过程与方法： (1)通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力； (2)通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法。 3.情感、态度与价值观： (1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识； (2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养。 四、教学重点、难点 教学重点：1.正弦定理的推导 2.正弦定理的运用

关于科斯定理和庇古税在中国解决外部性问题的应用的探讨2

关于科斯定理和庇古税在中国解决外部性问题应用的探讨 摘要：本文基于对外部性、庇古税和科斯定理的概念及其应用范围的分析，从概念以及适用范围方面来探讨可以适用于中国的方面，以及在中国应用方面的不适用方面，针对各个概念及其使用范围，提出相关的解决方案，并通过庇古税和科斯定理的结合，得出可将庇古税与排污权交易制度结合的观点，通过购买的排污权和交易，进而成为政府收税的指标的观点。关键字：外部性庇古税科斯定理中国应用环境污染 引言 在讨论交通拥挤的经济学分析时，我们引入了外部性的概念分析出由于公共产品的外部性特征导致社会成本远远大于私人成本，从而使得社会成本缺失的现实。之后又引入了科斯定理和庇古税，对社会成本远高于私人成本这一问题进行调控，由于社会用品无法私有化，必须通过加收税金提高私人成本，但加收税金这一点也面临着时间和地域的不均衡性导致的繁杂不统一的情况。而实际上，外部性问题在中国则多表现在环境污染的问题上，而科斯定理和庇古税也由于中国政治、经济等方面的因素的差别，表现为不同的处理措施。本文基于外部性原理和科斯定理、庇古税的实施条件，浅显的分析关于科斯定理和庇古税在中国解决外部性问题的应用，以期提出一些想法和建议以供参考。 外部性概念及介绍 2.1外部性的概念 不同的经济学家对外部性给出了不同的定义，如萨缪尔森和诺德豪斯的定义：“外部性是指那些生产或消费对其他团体强征了不可补偿的成本或给予了无需补偿的收益的情形。”后者如兰德尔的定义：外部性是用来表示“当一个行动的某些效益或成本不在决策者的考虑范围内的时候所产生的一些低效率现象；也就是某些效益被给予，或某些成本被强加给没有参加这一决策的人”。归结起来不外乎两类定义：一类是从外部性的产生主体角度来定义；另一类是从外部性的接受主体来定义。简单来说，即为一方的效用除由自身决定外，还受他人行为的影响，而且这种影响是不能由其自身控制的。换而言之，一个人的福利不仅取决于自身的行为，而且还取决于其他人的行为。 2.2外部性的影响效果 外部性可以分为外部经济（或称正外部经济效应、正外部性）和外部不经济（或称负外部经济效应、负外部性）。外部经济就是一些人的生产或消费使另一些人受益而又无法向后者收费的现象；外部不经济就是一些人的生产或消费使另一些人受损而前者无法补偿后者的现象。例如，私人花园的美景给过路人带来美的享受，但他不必付费，这样，私人花园的主人就给过路人产生了外部经济效果了。又如，隔壁邻居音响的音量开得太大影响了我的休眠，这时，隔壁邻居给我带来了外部不经济效果。放到今天需要探讨的大问题中，即也可以为这样的例子：花园园主依靠养蜂场的蜜蜂进行花粉传播，而养蜂场场主则在花园开花时才能进行采蜜活动和加工，双方都从彼此间获益，即为外部经济；河流上游的化工厂用水过后向河流中排放大量污染物，导致下游的生活居民和渔场无法使用河水，并且受到利益的损害，即为外部不经济。 2.3外部性的稳定性 所谓稳定的外部性是指可以掌握的外部性，人们可以通过各种协调方式，使这种外部性内部化。格林伍德与英吉纳分析了不稳定的外部性。他们的分析方法是这样的：假定一个厂商对另一个厂商的影响是任意的，那么，在这种情况下，厂商就会遇到风险，厂商在考虑最