第十二讲：页码与数字(教师版)

第十二讲：页码与数字（教师版）
页码问题与图书的页码有密切联系．事实上，页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题．编一本书的页码，一共需要多少个数码呢？反过来，知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书的页数．这是页码问题中的两个基本内容。
页码问题是现在的奥数竞赛中常见的、经常考试的知识点。页码问题实际上是数论的问题。
本讲的主要内容是根据书本页码的排列规律，解决与书本页码有关的计算问题。
解决这类问题的基本方法是：分类、分段分别计算，再求和。
解决此类问题涉及到的，自然数列中与数字相关的常识有：
一、10以内的一位数有：9个；（组成所有的一位数需要9个数码）
二、100以内的两位数有：99-9=90（个）；（组成所有的两位数需要2×90＝180(个)数码）
三、1000以内的三位数有：999-99=900（个）；（组成所有的三位数需要3×900＝2700(个)数码）
四、10000以内的四位数有：9999-999=9000（个）；
五、100以内的数字中（不包括100），1到9九个数字分别出现了20次；
【以“1”为例：在个位出现10次（1、11、21……91），在十位出现10次（10、11……19），共20次。】
六、1000以内的数字中（不包括1000），1到9九个数字分别出现了300次；
【以“1”为例：在个位出现了100次（10个10次），在十位上出现了100次，在百位上出现了100次，共300次。】
七、100以内的数字中（不包括100），0出现9次；1000以内的数字中（不包括1000），0出现了189次。
【与“1”相比，0在个位上少出现1次，在十位上少出现10次，在百位上少出现100次。】

准备题：小莉打开数学书做作业，发现这时左、右两个页码的和是165。你知道小莉打开的是哪一页吗？
【解析】：
一本书上相邻的两个页码是两个相邻的自然数，页码和比大数的两倍少1，比小数的两倍多1。这题有多种解法，常见的有三种：
第一种解法，先求后面的页码。
（165+1）÷2=83（页）；83-1=82（页）
第二种解法，先求前面的页码。
（165-1）÷2=82（页）；83+1=84（页）
第三种解法，先求前面的页码。
165÷2=82（页）……1（页）；82+1=83（页）

例1：一本书有180页，共要用多少个数字来编页码！
【解析】：
我们把这本书的页码分成三段计算。
①1～9一位数9个，共用9个数字；
②10～99两位数90个，共用数字：（99-9）×2=180（个）；
③100～180三位数81个，共用数字：（180-99）×3=243（个）。
所以这本书有180页，共要用数字：
9+180+243=432（个）。
练习：一本科幻小说共320页，问：
（1）编印这本科幻小说的页码共要

用多少个数字？
（2）数字0在页码中
共出现了多少次？
【解析】：
（1）我们把这本书的页码分成三段计算：1～9一位数9个，10～99两位数90个，100～320三位数有221个（320-99=221）。编印这本科幻小说的页码共要用数字：
9+90×2+221×3=852（个）。
（2）这本书中数字0在页码中出现的次数可以分两段计算。
第一段：在本书前100页以内，数字0出现了9次。
第二段：在100到321页中，数字0在个位上出现了23次，在十位上出现了30次，共出现53次。这一段数字中0出现的情况有点复杂，可以让孩子数一数，在数的过程中发现规律。
所以，数字0在页码中共出现的次数为：9+53=62（次）。

练习：求1～950这950个连续自然数中各位上数字有1多少个？
【解析】：
1～950这950个连续自然数，数字1出现的次数可以分两类计算。
第一类：计算个位和十位上的1。
在1～99中，数字1在个位上出现10次，在十位上出现10次，共出现了20次。
同理，在100～199中，数字1在个位上还是出现10次，在十位上也是出现10次，共出现了20次。
依次类推 ……
而在1到50中，数字1在个位上出现5次，在十位上出现10次。
所以，在1～950中，数字1在个位、十位上共出现：
20×9＋10＋5=195（次）。
第二类：数字1在百位上出现了100次。
所以，1～950这950个连续自然数中各位上数字共有1：
195+100=295（个）。
例2：
一本故事书在编页码时，共用了3005个数字，这本故事书共有多少页？
【解析】：
在解决这个问题时，需要适时地进行估算。
解法一：我们把这本书页码数字的个数先分段计算，边算边估，最后求出总页数。
①1～9页页码一位数9个，共用9个数字；
②10～99页页码两位数90个，共用数字：（99-9）×2=180（个）；
③100～999页页码三位数900个，共用数字：（999-99）×3=2700（个）。
④则这本书有四位数字页码个数为：
（3005－9－180－2700）÷4=29
所以这本数的页数为：999+29=1028（页）。
解法二：因为1000个三位数只需要3000个数字，所以，这本故事书的页码超过1000页。
我们先求出页码1～999页共需要多少个数字，也就是所有的一位数字、两位数字、三位数字页码所用的数字之和：9+90×2+900×3=2889（个）。
再求出四位数页码所用的的数字和：3005-2889=116（个）。
则这本书有四位数字页码个数为：
（3005－9－180－2700）÷4=29
所以这本数的页数为：999+29=1028（页）。

《奥赛天天练》第3讲，巩固训练，习题2
【题目】：
一本书有500页，这本书排版时用了多少次数码3？
【解析】：
在1～99页中，数字3在个位上出现10次，在十位上出现10次，共出

现了20次。
在1～500页中，数字3在百位上出现100次。
所以，一本书有500页，这
本书排版时用数码3的次数为：
20×5＋100=200（次）。
【题目】：
排一本学生词典的页码，共用了3829个数字，问这本词典共有多少页？
【解析】：
这一题对孩子来说有点难度，在教学的过程中，要注重引导孩子掌握解题的方法。在解决这个问题时，需要适时地进行估算。
因为1000个三位数只需要3000个数字，所以，这本词典的页码超过1000页。我们先求出页码1～999共需要多少个数字，也就是所有的一位数字、两位数字、三位数字页码之和：9+90×2+900×3=2889（个）。
再求出四位数字页码的数字和：3829-2889=940（个）。则这本书有四位数字页码个数为：940÷4=235（个）。
所以这本数的页数为：999+235=1234（页）。
例3 一本书的页码从1至62，即共有62页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次．结果，得到的和数为2000．问：这个被多加了一次的页码是几？
分析与解：因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为
1＋2＋…＋61＋62
＝62×(62＋1)÷2
＝31×63
＝1953．
由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码，是
2000－1953＝47．

例4 有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131．老师说小明计算错了，你知道为什么吗？
分析与解：48页书的所有页码数之和为
1＋2＋…＋48
＝48×(48＋1)÷2
＝1176．

按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1176－1131＝45．这两个页码应该是22页和23页．但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大．小明计算出来的是缺22页和23页，这是不可能的．

例5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第2000位上的数字是多少？
分析与解：本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为(2000－189)÷3＝603……2，所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703(页)的第2个数码“0”．所以本题的第2000位数是0．

例6 排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？
分析与解：将1～400分为四组：
1～100，101～200，201～300，301～400．
在1～100中共出现11次0，其余各组每组都比1～100多出现9次0，即每组出现20次0．所以共需要数码“0”

典型例题：
例1、13/1995 化成小数后是一个无限小数，问在这个无限小数的小数点后面，从第一位到1995位，在

这1995个数中，数字6共出现了多少次？
解答：这是一个关于循环小数的周期问题。基本解答方法是先算出循环节，然
后再统计每个周期的数字总数和每个周期中6的个数。
13/1995＝0.0065162907268170426……，循环节是065162907268170426共18位，
每个循环节数字6出现4次，（1995－1）÷18＝110……14，前14位6出现3次，
所以一共有110×4＋3＝443个。

例2、有一本96页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，那么可能得到偶数吗?
解：假设可能得到偶数，那么计算如下：
如果这本书不缺页，则总96页的所有页码之和是：1+...+96=4656。
由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数，所以每一页上的页码之和必定是奇数。那么：
残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数
综上所述：不可能得到偶数。

例3、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第1000位上的数字是多少？
解：1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9=9（个）；
10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90＝180（个）；
因为(1000－189)÷3＝270……1，所以1000个数码排到第：
99＋270＋1＝370(个)数的第1个数码“3”．
所以本题的第1000位数是3。

例4、有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画。如果第一页为图画，那么第二、三页也是图画，第四页为文字，第五、六、七页又为图画，依此类推。如果第一页为文字，那么第二、三、四页为图画，第五页为文字，第六、七、八页又为图画，依此类推。试问：
（1）假如这本书有96页，且第一页是图画，那么这本书多少页有图画？
（2）假如这本书有99页，那么多少页有图画？
解：（1）将每4页看作是一组，每一组中有3页是图画：96÷4=24
24×3=72(页)
这本书有72页是图画。
（2）99÷4=24…3
24×3+3=75(页)
这本书有75页是图画。

【题目】：
求数列4，44，444，…前444个数的和在万位上的数字。
【解析】：
如下图，列出这444个数相加的竖式示意图：

观察算式特点，和的万位上数字与每个数高于万位的各个数位没有关系，和的万位上数字就是每个数万位以后各位上数值（红色数字）的和的万位上数字。
先分类求万位以后所有数位数值的和：
个位上是444个4；十位上是443个40；百位上是442个400；千位上是441个4000；万位上是440个40000。
444×4＋443×40＋442×400＋441×4000＋440×40000=19560296
所以所求万位上数字为6。
注：复杂计算可以使用计算器。
《奥赛天天练》第3讲，拓展提高，习题2
【题目】：
求500到100

0所有连续自然数的全部数字和是多少？
【解析】：
可以先分类求出500到1000中，每个数位上数字的总和，再求出全部数字和。
个位、十位上出现的数字的
总和为：
（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×20×5=4500
百位上数字总和为：
（5+6+7+8+9）×100=3500
千位上只有一个数字1。
所以全部数字和为：4500+3500+1=8001。

轻轻松松写作业：