数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第九章
第九章 定积分
一、填空题
=-+
+-+
-∞
→_412
411
41(
lim 2
2
2
2
2
n
n n n n Λ
2．=+??→x x
t x dt
t
t
dt
t 0
sin 0
1
sin )1(lim
__________
3．
[]
=?-2
2
2,1max dx x __________
4．设?+=x
dt t
t x f 02sin 1cos )(，则=+?202)(1)('π
dx x f x f ___________ 5．设)(x f 在[]4,0上连续，且
?--=2
1
23)(x x dt t f ，则=)2(f ___________
6．=+-?→4
2
1ln sin lim
x x tdt x
x _________
7．=++?-dx x x
x 22
2
2
)cos 1(sin π
π______________ 8．
[]?-=-++-1
1
)()(22ln
dx x f x f x
x
_________，其中)(x f 连续。 10．设0)()(21
=-+?x x f dx x f ，则=?1
)(dx x f _______________
11．若
?=+101sin
b dx x
x
，则=+?102)1(cos dx x x _________ 12．设)(x f 连续，则=-?x dt t x tf dx
d 02
2)(____________ 13．=?02
2
cos x
dt t x dx d ______________ 14．=-?π
π
222cos sin dx x x ____________
15．
=+-?-dx x x 1
12cos 21sin αα
____________
16．
[]=-?π
2
sin )(cos 'cos )(cos dx x x f x x f ____________
17．设)(x f 有一个原函数x x
sin ，则=?ππ2
)('dx x xf ____________
18．若1≤y ，则
=-?-1
1dx e
y x x
___________
19．已知2
)2(x xe
x f =，则
=?-1
1)(dx x f ________
20. 已知)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)0(=f ，且设?
=2sin )()(x x
dt t f x F ，则
=')0(F
21．
设???
??>?<--=?-x x x x dt t x x x e x f 0
322 0 sin 0 31
)(则=→)(lim 0
x f x
22． 函数dt t t t x x
?
+--=
21
1
2)(?在区间[]2 0上的最大值为 ，最小值为
23．
若已知)(x f 满足方程?
--=x
dx x f x
x x f 0
22
)(13)(，则=)(x f
24．已知函数)1( )1()(1
-≥-=?
-x dt t x f x
，则)(x f 与x 轴所围成的面
积为
25．函数2
2
1x x y -=在区间??
?
???23 ,21上的平均值为
二、选择填空 1．若x
x x f 104
)5(2-=
-，则积分=+?40)12(dx x f ( ) B.
4
π
C.是发散的广义积分
D.是收敛的广义积分
2．若已知5)2(',3)2(,1)0(===f f f ，则
=''?1
0)2(dx x f x ______________
3．设)(x f 是以l 为周期的连续函数，则
()?+++l
k a kl
a dx x f )1(之值( )
A.仅与a 有关
B.仅与a 无关
C.与a 及k 均无关
D.与a 和k 均有关 4．若0→x 时，?''-=x
dt t f t x x F 0
22)()()(的导数与2
x 进等价无穷小，则必有( )(其
中
f
有二阶连续导数)。
A.1)0(=''f
B.2
1
)0(=
''f C.0)0(=''f D.)0(f ''不存在 5．若x x x x f n
n
n 2211lim
)(+-=∞→，且设k dx x f =?20)(，则必有( )。
A.0=k
B.1=k
C.1-=k
D.2=k 6．设?+=
x x x
t
tdt e x f 2sin sin )(，则=)(x f ( )
A.正常数
B.负常数
C.恒为0
D.不是常数 7．已知)(t f 是()+∞∞-,内的连续函数，则
??ψ=x
x dt t dt t f 1
1)()(3
恒成立时，必有
=ψ)(t ( )
A.)(3t f
B.)(33t f t
C.)(3
2t f t D.)(332t f t
8．设)(x f 在[]a a ,-上连续且为偶函数，?=
Φx
dt t f x 0
)()(，则( )
A ．)(x Φ是奇函数 B. )(x Φ是偶函数
C. )(x Φ是非奇非偶函数
D. )(x Φ可能是奇函数，也可能是偶函数 9．设y 是由方程
0sin 2
=??x
y t
tdt dt e π所确定的x 的函数，则
=dx
dy
( )。 A.
x x cos 1sin - B.1cos sin +-x x
C.y e x cos
D.y e
x cos -
11．设,cos 1sin 2262
dx x x
x M ?-+=π
πdx x x N )cos (sin 6223+=?-π
π，?--=22
632)cos sin (π
πdx x x x P ，则有( )
A.M P N <<
B.N P M <<
C.P M N <<
D.N M P <<
13．若)(x f 是具有连续导数的函数，且0)0(=f ，设?
?
???=≠=ψ?0,00,)()(2
x x x dt
t tf x x ，0≠x ，则=ψ)0('( )
A.)0('f
B.)0('31
f D.3
1
14．若设?-=
x
dt x t dx d x f 0
)sin()(，则必有( ) A.x x f sin )(-= B.x x f cos 1)(+-= C.x x f sin )(= D.x x f sin 1)(-=
15．若)(t x x
=是由方程011
2
=-?+-x t dt e t 所确定，则0
22=t dt x
d 之值为( )
C.2
e D.2
2e 16．定积分定义
i b
a
n
i i x f dx x f ?=?
∑=)(lim )(1
ξ，说明（ ）
A ],[b a 必须n 等分，i ξ是],[1i i x x -端点。
B ],[b a 可任意分法，i ξ必须是],[1i i x x -端点。
C ],[b a 可任意分法，0max →?=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取。
D ],[b a 必须等分，0max →?=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取。 17．
积分中值定理
?
-=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ其中（ ）
A ξ是],[b a 内任意一点
B ξ是],[b a 内必定存在的某一点
C ξ是],[b a 内唯一的某点
D ξ是],[b a 内中点 18．
设)(x f 与)(x g 在],[b a 上连续，且
?
?>b
a
b
a
dx x g dx x f )()(，则)
()(x g x f >成立的情况是（ ）
A 当+∞<<∞-x 时均成立
B b x a ≤≤时成立
C 在],[b a 之间至少有些点使之成立
D 在],[b a 内不可能成立
19．
若???
???≤≤≤≤=21
,10 ,)(2x x x x x f ，则?=x dt t f x 0
)()(?在开区间)2,0(上（ ） A 有第一类间段点 B 有第二类间段点
C 两种间段点都有
D 是连续的 20．
若设?-=x
dt x t dx d x f 0
)sin()(，则必有（ ）
A x x f sin )(-=
B x x f cos 1)(+-=
C x x f sin )(=
D x x f sin 1)(-= 21．下面结论错误的是（ ） A 若)(x f 在),(b a 内连续，则
)(dx x f b
a
?
存在
B 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界
C 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必可积
D 若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积 22．下面结论正确的是（ ） A 若],[],[d c b a ?，则必有
)()(??
≥d
c
b
a
dx x f dx x f ；
B 若)(x f 可积，则)(x f 必可积；
C 若)(x f 是周期为T 的函数，则对于任意常数a 都有
?
?+=T
a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
D 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在),(b a 内必定有原函数。 23．下列各式不等于零的是（ ）
A
dx x
x x ?
-+-212111ln cos B
dx x x x
x ?--+3
3242523cos
C
dx x
x ?-2
32
2cos 1sin ππ
D
?
--3
1
)
3)(1(x x dx
24．设,sin )(2sin tdt e x F x x
t ?
+=
π
则)(x F （ ）.
(A)为正常数; (B)为负常数; (C)恒为零; (D)不为常数;
25．设)(x f 连续，则=-?dt t x tf dx d x
22)(( ) (A));(2
x xf (B));(2
x xf -
(C));(22
x xf (D));(22x xf -
三、计算题
1．按定积分定义证明：
（1）()?
-=b
a a
b k kdx ；
（2）
?-=b
a
a b x e e e
2．根据定理，试比较下列各定积分的大小。
（1）?
10
xdx 与?1
2dx x
（2）
?
20
πxdx 与
?
20
sinxdx
π
?1
x dx
3．求下列极限：
（1）x
dt t cos lim
x
20
x ?
→；
（2）?
?∞
→x
2
2
x
0t x dt
t 2e )dt e (lim
2
4．计算下列定积分：
（1）()?+1
0dx 3x 2； （2）?+-1
02
2
dx x 1x 1； （3）
?
2
e e
dx x
ln 1
； （4）?--10x
x dx 2e e ； （5）
?
π
30
2xdx tg ； （6）????
?
?+94
dx x 1x ；
（7）
?
+4
9
x
1dx ； （8）
()?
e
e
1
2dx x
x ln ；
（9）
?
π20
5
xdx 2sin x cos ；
（10）?-10
2dx x 4；
（11）
()?
>-a
2220a dx x a x ；
（12）
()
?
+-1
2
3
2
1
x x
dx
；
（13）?-+1
0x
x e e dx ； （14）?π
+2
02dx x sin 1x cos ； （15）?1
x dx arcsin ；
（16）?
π
20x xdx sin e ；
（17）
?
e
e 1dx x ln ；
（18）
?1
0x dx e ； （19）
()?
>+-a
2
0a dx x
a x
a x ； （20）
?
ρθθ
+θθ
20
.d cos sin cos
5．应用定积分概念求下列极限：
（1）???
?
?+???++++∞→n 212n 11n 1lim n
（2）??
?
??+???++++∞
→2222n n 212n 11n 1
n lim （3）??
? ??π-+???+π+π∞→n 1n sin n 2sin n sin n 1lim
n （4）()()???
? ??-+???+++∞→1n 2n 11n n 1n 1lim
2n 6．设f 具有连续的导函数，试求：
()()?'-x
a dt t f t x dx
d 并用此结果求()?-x
0tdt cos t x dx
d
四、证明题 1．证明：
()?=b
a J dx x f 存在的充要条件是：对任意一积分和()(∑=f
n Tn ,2,1…）
，只要0lim →∞
→Tn n ，都有().lim J Tn f n =∑∞
→（这里()∑f Tn 是指f 对某一分割Tn 及所属的某一
介点集所作的积分和）。
2．证明性质2中的第一个不等式：设T '为分割T 添加P 个分点所得到的分割，则
()()()T m M P T s T s -+''≤
3．证明：()s T s T =→0
lim （达布定理中的第一个极限）。
4．证明：若T '是T 增加若干个分点T 所得的分割，则
∑∑'
?≤'?'T T
i
i
i
i
x
W x W
5．设f ，g 均为定义在[]b a ,上的有界函数，证明：若仅在[]b a ,上有限个点x 处()()x g x f ≠，则当f 在[]b a ,上可积时，g 在[]b a ,上也可积，且
?
?=b
a
b
a
g f
6．证明（可积的第三充要条件）：有界函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：对任给正数ε，
η，存在某一分割T ，使得属于T 的所有振幅η≥'i W 的小区间i ?'的总长不超过ε。
7．应用上题的结论证明黎曼函数()x R 在[]b a ,[]1,0上可积，且积分值等于0。
8．设f 在[]b a ,上有界，{}[]b a a n ,?，且[]b a c c n ,,lim ∈=∞
→，证明：若f 在[]b a ,上只有
()???=2,1n a n 为间断点，则f 在[]b a ,上可积。
9．证明：若f 与g 在[]b a ,上可积，则
()()∑?=→?=?ηξn
1
i b
a
i i i 0
T .g f x g f lim
其中i i ηξ,是i ?内的任意两点。{}.,2,1,n i T i ???=?= 10．讨论f 、f 、2f 三者之间的可积性关系。
11．证明：若f 在区间[a ，b]上可积，b a ≤≤α，由定理，f 在[a ，b]上可积，又b '≤<βα，再由定理，f 在[a ，b]上可积。 12．证明下列不等式：
（1）
?<
-<2
22
sin 2
1
112
π
π
π
dx x
（2）?
<<
1
2
1e dx e x ；
（3）?
<<
20
2
sin 1π
π
dx x x ； （4）?
<<
e
e
dx x
x e 46ln 3
13．设f 在[a ，b]上连续，且
?
=b
a
20f ，证明：
()[]b a,x ,0x f ∈≡
14．证明：
（1）?
=+∞→1
0n 0dx x 1x
lim （2）?
=∞
→20n 0xdx sin lim
π
π
15．设f ，g 都在[a ，b]上可积，证明
()()(){}x g ,x f max x M b]
,[a x ∈=，与()()(){}x g ,x f min x m b]
,[a x ∈=
在[a ，b]上也可积。
16．设f 在[a ，b]上可积，且在[a ，b]上,0m f >≥证明函数
f
1
在[a ，b]上也可积。
17．（1）设f 在[a ，b]上连续，且对[a ，b]上任一连续函数g 均有
?
=b
a
0fg ，证明
()b],[a x ,0x f ∈≡。
（2）设f 在[a ，b]上连续，且对于所有那些在[a ，b]上满足附加条件g （a ）=g （b ）=0的连续函数g 有
0fg b
a
=?
，证明在[a ，b]上同样有()0x f ≡。
18．证明：若f 在[a ，b]上连续，且
()??
==b
a
b
a
b a, ,0x f f 则在内至少存在两点
()0)(,2121==x f x f x x 使得
19．设f 为连续函数，u 与v 均为可导函数，且可实行复合：fou ，fov ，试证明：
()()[]()
()
()()[]()x u x u f x v x u f dt t f dx d x v x u '-'=?
20．设f （x ）在[a ，b]上连续，()()()?-=x
a
.dt t x t f x F 证明：()()x f x F =''
21．设f 在[-a ，a]连续，证明：
（1）若f 为奇函数，则
?
-=a
a
0f ; （2）若f 为偶函数，则??=-a
a
a
f 2f
22．设f 为()+∞∞-,上以T 为周期的连续函数，证明对任何实数a ，有
??
=+T
T
a a
f f
23．证明：若f ''为[a ，b]上的连续函数，则()()[]()()[]?
-'--'=''b
a
a f a f a
b f b f b f x
24．设
()()为自然数n ,m xdx cos x sin n ,m J 20
n m ?π=，
证明()()()2n 2n ,m J n
m 1
n n ,m J ≥-+-=
，并求J （m ，n ） 25．证明下列关系式：
（1）()n ln 1n
1
11n ln 21+<+
???++<+ （2）1n
ln n 1
211lim
n =+???++
∞
→ 26．设f 为所示区间上的连续函数，证明：
（1）()()??ππ=20
20
dx x cos f dx x sin f ； （2）
()()??
π
ππ=0
dx x sin f 2dx x sin xf
（3）
?
?π
???
? ??+=???? ??+1
a 122222x 2dx
x a x f x dx x a x f
五、考研复习题
1．证明：若f 在[a ，b]上可积，且具有原函数F ，则
()()a F b F f b
a
-=?
并应用此结果计算
?1
f ，其中
()?????
=≠-=0 x
,00
x ,x
1cos x 1sin x 2x f 2．证明：若?在[]a ,0上连续，f 处处二阶可导，且()0x f ≥'''，则有
()[]()??
?????≥???a 0a 0dt t a 1f dt t f a 1 3．证明下列命题：
（1） 若f 在[a ，b]上连续递增，则
()?+=
x
a f a
x 1x F 为（a ，b ）内的递增函数。
（2） 若f 在[]+∞,0上连续，且()0x f >，则
()()()??=?x 0
x
0dt
t f dt t tf x
在[]+∞,0内严格递增。
4．设f 在[] ,0+∞上连续，且()A x f lim x =+∞
→，证明：
()?=+∞→T
0T A dx x f T 1lim
5．证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有一个是奇函
数。
6．证明许瓦兹（schwarz ）不等式；若f 和g 在[a ，b]上可积，则
????≤??
? ??b
a 2
b a 22
b a g f fg
7．应用许瓦尔兹不等式证明：
（1）若f 在[a ，b]上可积，则
()??-≤??
? ??b
a 22
b a f a b f ；
（2）若f 在[a ，b]上可积，且()0m x f >≥，则
()?
?
-≥?b
a
b
a
2a b f
1f （3） 若f ，g 在[a ，b]上均可积，则有闵可夫斯基（Minkowski ）不等式；
()2
1b
a 22
1b
a 22
1b
a 2g f g f ??
? ??+??? ??≤??? ??+???
8．证明：若f 在[a ，b]上连续，且f （x ）＞0，则
??-≥???
??-b a b a f ln a
b 1f a b 1ln 9．设f 为()+∞,0内连续的单调减函数，且()0x f >，证明数列{}n a 收敛，其中
()∑?=-=n
1
k n
1
n f k f a
10．证明：若g 在[a ，b]上连续，f 在[a ，b]上有连续导数f '，且()()0b f ,0x f ≥≤'，则必定存在[]b ,a ∈ξ，使得
()?
?ξ
=b
a
a
g a f fg
《数学分析III》期中考试试题及参考答案
数学分析下册期末试题（模拟） 一、填空题（每小题3分，共24分） 1 、重极限 22(,)lim x y →=___________________ 2、设(,,)x yz u x y z e +=，则全微分du =_______________________ 3、设(sin ,)x z f x y y e =+，则 z x ?=?___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则 2 2()L x y ds +=?________. 5、曲面222 239x y z ++=和2 2 2 3z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的 法平面方程是___________________________. 6 、已知12??Γ= ???32?? Γ-= ??? _____________. 7、改变累次积分的顺序，2 1 20 (,)x dx f x y dy =?? ______________________. 8、第二型曲面积分 S xdydz ydzdx zdxdy ++=??______________，其中S 为 球面2 2 2 1x y z ++=，取外侧. 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1、下列平面点集，不是区域的是（ ） （A ）2 2 {(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（ ） （A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在 00(,)x y 处重极限必定不存在.
华东师范大学2004数学分析试题
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华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。 1、求 2 1 20)2 (cos lim x x x x -→ 2、若)), sin(arctan 2ln x x e y x +=-求' y . 3、求 ?--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞ =1 n n nx 的和函数)(x f . 5、 L 为过 ) 0,0(O 和 )0,2 (π A 的曲线 ) 0(sin >=a x a y ,求 ?+++L dy y dx y x . )2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中) 10(,22 ≤≤+=z y x z , 取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则} {n x 至少存在一个聚点). ,(0 +∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连 续. 3、若 ) (x f , ) (x g 在] 1,0[上可积，则 ∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim .
4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞ =1 2n n a 收敛. 5、若在 2 R 上定义的函数 ) ,(y x f 存在偏导数 ),(y x f x ,) ,(y x f y 且),(y x f x , ) ,(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在 (0,0)上可微. 6、),(y x f 在2 R 上连续,} ) ()(|),{(),(22 2 r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(0 0 则.),(,0),(2 R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞ → 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。 四、（15分）求证不等式:]. 1,0[,122∈+≥x x x 五、设) (x f n , ,2,1=n 在],[b a 上连续,且) (x f n 在],[b a 上一致 收敛于 ) (x f .若 ] ,[b a x ∈?, )(>x f .求证: , 0,>?δN 使 ],[b a x ∈?, N n >,. )(δ>x f n 六、（15分）设}{n a 满足（1）; ,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k （2）级数∑∞ =1 n n a 收敛. 求证:0 lim =∞ →n n na . 七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证： x x f )(在),1[+∞上有界. 八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3 R 有连续偏导数，而且对以任意点) ,(00, 0z y x 为中心，以任意正数r 为半径的上半球面, ,)()()(:02202020z z r z z y y x x S r ≥=-+-+-
数学分析(华东师大)第四章函数的连续性
第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为 又如,函数li m x → 2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0 , x = 0 在点x = 0 连续,因为 lim x →0f ( x) = lim x →0 x sin 1 x= 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx→0
华东师大数学分析习题解答1
《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有
S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案04
第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数；
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
华东师大数学分析答案
第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71
数学分析华东师大反常积分
数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为
r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间
数学分析三试卷及答案
《数学分析》(三）――参考答案及评分标准 一． 计算题（共8题,每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限． 解: 11 (,)f x y y x = +=， 因此二重极限为0．……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在, 故二次极限均不存 在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数，其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: , ……(4分) 。?解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续). 解:z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4 分） 代人原方程,并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得: 222 2w w w μμν??+=???。 ……（9分） 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x ==+ ，因此二重极限为0.……(4 分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(), (,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=?? 华东师大2019年数学分析试题 一、（24分）计算题： （1） 求011lim()ln(1)x x x →-+； （2） 求32cos sin 1cos x x dx x +?g （3） 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数， 试求grad z 。 二、（14分）证明： （1）11(1)n n +??+???? 为递减数列： （2） 111ln(1),1,21n n n n <+<=+???? 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之 一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导， '()f x K ≤ （K 为正常数） ，(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。 四、（14分）设1 20(1)n n I x dx =-?，证明： 五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段 绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为： 2(b a A f x π=? 六、（24分）级数问题： （1） 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧， “死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。设 sin ,01,0()x x x x f x ≠=?=??{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈? ?，求 ()(0),1,2,k f k =L （2） 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教 谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有 数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε- 定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) 用ε三 (n x n n = ++ ?+四()f x x = 在五六七八九. )b ,使 (f ''数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=. 三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. 八. ,都有 f 九. 一.(各1. x ?3. ln 0 ? 二.(10三. (10四. (15分)证明函数级数 (1)n x x =-在不一致收敛, 在[0,](其中)一致收敛. 五. (10分)将函数,0 (),0x x f x x x ππππ + ≤≤?=? - <≤?展成傅立叶级数. 六. (10分)设22 22 0(,)0,0 xy x y f x y x y ? +≠?=?? +=? 第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是 可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听 为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设. 3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重. 《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解：11 (,)f x y y x = +=，因此二重极限为0.……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-='++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν??+=???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数: 222S rh r ππ=+表, ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=?? 数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ， 1 再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明| ||| 2222c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是 2 2b a +，OC 的长度是2 2c a +， a c b ) ,(b a A ) ,(c a C x y O 数学分析三试卷及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x = =，因此二重极限为0.……(4分) 因为11x y x →+ 与11 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 5. 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=?? 数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。数学分析三试卷及答案
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