渐近线和双曲线爱情1
渐近线和双曲线，不知道从哪一时刻开始了各自的轨迹。从哪一刻开始，他们的轨迹越来越近……可上天给他们开了个玩笑，定下一条规则，就是：双曲线无限接近渐近线，但永远不得有交点，永远不可以见面，否则，当他们第二次见面以后，会相距越来越远……但他们彼此是唯一的！双曲线拥有唯一的渐近线！
亲人之间是同心圆，面积有大小，可圆心是一样的。陌生人之间是平行线，永不相交。朋友之间是相交直线，不远千里有缘来相会，但交点之后，是天各一方。爱人之间是三角函数图像，一个是正弦，一个是余弦：有无数交点，虽有时近有时远，但永远彼此相随——可同一坐标上，可以有多个三角函数图像，都可以彼此相随又有很多交点。
相对于他们，双曲线和渐近线是幸福的。他们一个是曲线，一个是直线：既不是同心圆有相同的单调，也不会平行线一样永远都是那个距离。不会如相交直线一样有过交点以后就越来越远，更不会三角函数一样的混乱。他们彼此具有唯一性，即便在同一坐标系上有无数直线和双曲线，他们也可以马上找到属于自己的双曲线和渐近线。
这是爱情吗？至少不是这个世界的爱情，他们不该属于这个世界。但这样挺好的，至少在远方有一个属于自己的唯一，这就够了！别无他求。
问题:
① 0个交点和两个交点的情况都很正常，那么依然可以用判别式判断位置
关系。
② 一个交点却包含了两种不同的位置关系：
相切和相交（特殊的相交），那么是否意味着判别式等于零，即可能相切也可能相交？
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系:
① 3:=x l ，116
9:2
2=-y x c ②134:+=x y l ，116
9:2
2=-y x c 一般情况的研究：显然，这条直线与双曲线的渐近线是平行的，也就是相交，把直线方程代入双曲线方程，看看判别式如何？
m x a b y l +=:，1:22
22=-b
y a x c 根本就没有判别式的影子。 总结：当直线与双曲线的渐近线平行时，把直线方程代入双曲线方程，得到的是一次方程，根本得不到一元二次方程，当然也就没有所谓的判别式了。具体如下：判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的渐近线平行
相交（一个相交点）?
（同侧021>x x 异侧021 相交不一定两解（可能一解） 两解不一定同支（可能一支） 典例： 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值范围。 解：直线与渐近线平行，1±=k ；联立方程，消元得一关于x 的一元二次方程，k 不等于±1，然后△《0，解出k 的值。引申： ① 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点，求k 的取 值范围。 ② 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值 范围。 ③ 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的右支有两个公共点，求k 的取值范围。 ④ 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左右支各有一个公共点， 求k 的取值范围。 ⑤ 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左右支各有一个公共点 A ，B,O 为原点，且5S O A B =?，求k 的取值范围。 参考答案： ① 直线与渐近线平行，1±=k ；联立方程，消元得一关于x 的一元二次 方程，k 不等于±1，然后△＝0，解出k 的值 ② 联立方程，消元得一关于x 的一元二次方程，k 不等于±1，然后△>0 ③ 联立方程，消元得一关于x 的一元二次方程，k 不等于±1，然后△>0 两根之和大于0，两根之积大于0。 ④ 联立方程，消元得一关于x 的一元二次方程，k 不等于±1，然后△>0， 两根之积小于0。 ⑤ 联立方程，消元得一关于x 的一元二次方程，k 不等于±1，然后△>0， 两根之积小于0；然后用弦长公式，求出AB 的长度用k 表示，再求出点 O 到直线AB 距离，也用k 表示，用5AB 2 1=?d ，得到一个关于k 方 程，解出k 的值，然后再检验k 是否满足前面的条件，满足的即可。 双曲线的渐近线探究 一．内容和内容解析 本节课是在学过双曲线的范围、顶点、对称轴、离心率、准线方程等性质之后，探讨双曲线与椭圆相比的一个全新的性质——渐近线，进一步理解双曲线的性质及研究性质的方法与原理，并应用双曲线的渐近线，辅助画出双曲线，理解离心率的大小对双曲线张口大小的影响。 传统的教材处理是把双曲线的渐近线结合在双曲线性质内，与椭圆性质进行类比的方法来教学，我认为双线的渐近线是双曲线的特性，并且它的发现和方程的求法体现特殊的思维方式，很适合在网络环境下自主合作探究学习。所以把这部分内容作为单独的研究性学习的课程来进行教学。 二．目标和目标解析 经历从与形不同角度来发现、探究、证明双曲线与其渐近线的内在联系，理解双曲线渐近线的定义，掌握双曲线渐近线的方程及其求法，并能利用渐近线较准确地画出双曲线的草图，体验用曲线方程研究其性的基本方法与曲与直转化的策略，感悟有限与无限，曲与直个性与共性等辨证思想与美学思想。 提倡知识与技能、过程与方法（在过程中培养能力、形成意识）、情感态度价值观的有机整合，强调过程与结果的有机结合。教师首先要把学生看成是发展中的人，关注学生全面和谐的发展，每个学生都有其发展的潜力，数学教育的最终目的是育人，利用数学…的特点提高学生的数学素养，提高整体素质，而对学生发展的正确认识也真体表现在我们在教学中要教什么、给学生一些什么东西、给学生留下什么东西。 三．教学过程设计 用列表描点法分别画出双曲线 12 22 2=-y x 双曲线都在框外，向左右上下近伸，但这种延伸与函数 2y -=x 的图象一样吗？ 问题情境是以学生自身周围环境中的现象、自然、社会和其他科学或数学中的问题为知识学习的切入点，是教学得以展开的起点，是我们为了实现教学目标而营造的特定背景，是数学学习、数学思维和数学活动产生的具体条件。 再观察反比例函数 ，指数函数y=2x . 教师指导或引导下，让学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程，正是为学生的感受、体验和思考提供了有效的途径。让学生置身于适当的学习活动中，学生从自己的经验和认知基础出发，在教师的指导或引导下，通过观察、实验、归纳、类比、抽象概括等活动，用数学的思想与方法去组织、去发现或猜测数学概念或结论，迸一步去证实或否定他们的发现或猜测。 上课开始，学生点击相关栏目，明确学习目标、利用已制作的“几何画板”上的“双曲线图形”，移动鼠标，观察动态图形，发现变化规律，形成感性认识，置身问题情境，寻求解答 。 问题一：双曲线的渐近线是怎样被发现的?(不同小组，不同学生可以有不同的途径与方法)你是如何理解“渐近”两字的含义？ 双曲线的渐近线概述 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的几何性质中特有性质，它刻画了双曲线的大致走向.因此加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握. 一、深刻理解双曲线的渐近线概念 1﹑对关键词“渐近”的理解：它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限的靠近，但永远都不会相交.也可以这样理解：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的.还可以这样理解：当双曲线的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0. 2﹑渐近线的作法：过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们是围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线. 3、明确双曲线渐近线的作用：利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出它的两个顶点和渐近线，就能画出它的近似图形. 二﹑掌握双曲线的渐近线方程的求法 根据双曲线的标准方程求渐近线：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了 此双曲线的渐近线方程.也就是说，若双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线方程的求法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即两条渐近线方程为x a ±y b ＝0；若双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线方程的求法是令y 2a 2－x 2b 2＝0，即两条渐近线方程为y a ±x b ＝0． 三、掌握双曲线渐近线常见结论 1﹑两条渐近线的倾斜角及斜率关系：两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数. 2﹑两条渐近线的对称关系：两条渐近线关于x 轴、y 轴对称. 3﹑等轴双曲线的的渐近线方程：y ＝±x. 4﹑共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同. 5﹑渐近线的参照性：如果平面上的一条直线与双曲线的任一条渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点. 四、典例分析 1、根据几何性质求双曲线的渐近线 例1已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝30?，则双曲线的渐近线方程为( ) (A)y ＝± 22x (B)y ＝±3x (C)y ＝±33x (D)y ＝±2 x 分析：由条件知△PF 1F 2为一个直角三角形，又|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30?，因此只需再确定由a 、b 、c 表示的另一边，由条件易知，点|PF 2|易确定，由三角函数建立等式，问题基本上就可能解决了. 解：设双曲线的焦点F 1(c ，0)、F 2(－c ，0)，则将x ＝c 代入双曲线方程得点P(c ，b 2 a )， 共渐近线的两个双曲线系的解题功能 甘肃 彭长军 本文首先给出关于共渐近线的双曲线系方程的两个命题，然后就其解题功能作一点探讨，供同学们参考。 命题1：与双曲线22 22b y a x -=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲 线系方程为22 22b y a x -=λ(λ≠0) (*) 证明：（1） 当λ>0时，方程(*)可变形为λλ22 22b y a x -=1, 22,0b a >λλ>0.表示中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线 方程为y=λ λ a b ±x=x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同。 （2）当λ<0 时，方程(*)可变形为λ λ22 2 2a x b y ---=1, -22,0a b ->λλ>0.。表示中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线，其渐 近线方程为y=λ λ --±a b x=x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同。 由（1）（2）可知，原命题成立。 同理，与双曲线22 22b x a y -=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线 系方程为22 22b x a y -=λ(λ≠0)。 命题2:以直线Ax ±By=0为渐近线的双曲线系方程为 (Ax+By)(Ax-By)=λ(λ≠0)，即A 2x 2-B 2y 2=λ(λ≠0)。 证明过程请读者自己完成，这里不在赘述。 推论:以两条相交直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0为渐近线的双曲线系方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=λ(λ≠0)。 运用上述结论，在求某些特殊情形下的双曲线方程时，可有效地避开分类讨论，收到事半功倍的效果。下面举例说明。 例1．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y=± b a x(a>0,b>0)，若双曲线上有一点M(x 0,y 0)，使b 0x >a 0y ，则双曲线的焦点（） A.当a>b 时在x 轴上 B.当a0, ∴双曲线的焦点在x 轴上,故选C. 例2.求与双曲线16 92 2y x -=1有共同的渐近线，且经过点A （-3，23）的双曲线方程。 解：设所求双曲线方程为1692 2y x -=λ(λ≠0)。将A 点坐标代入，得λ=4 1 ，故所求双曲线方程为16922y x -=41，即44 922y x -=1 例3．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P(8,63)，则其方程是___________。 第34练 双曲线的渐近线和离心率 题型一 双曲线的渐近线问题 例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2 ，则C 的渐近 线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 破题切入点 根据双曲线的离心率求出a 和b 的比例关系，进而求出渐近线． 答案 C 解析 由e ＝c a ＝ 5 2 知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2 ，知b ＝k .所以b a ＝12 . 即渐近线方程为y ＝±1 2x .故选C. 题型二 双曲线的离心率问题 例2 已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双 曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF → ＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3 破题切入点 数形结合，画出合适图形，找出a ，b 间的关系． 答案 C 解析 如图，设OF 的中点为T ， 由(AO →＋AF →)·OF → ＝0可知AT ⊥OF ， 又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ? ?? ??c 2，c 2， 又A 在直线y ＝b a x 上， ∴a ＝b ，∴e ＝ 2. 题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题 例3 已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP → .若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线 与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值围是________． 破题切入点 先由直接法确定点P 的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e 的不等式进行求解． 答案 (1,2) 解析 设P (x ，y )，由题设条件， 得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)·(y －2)＝0， 即x 2 ＋(y －2)2 ＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆． 又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0， 由题意，可得2a a 2＋b 2 >1，即2a c >1， 所以e ＝c a <2， 又e >1，故1 双曲线的渐近线 【教学目标】 1.知识教学点：使学生理解并掌握双曲线的渐近线的导出和论证，以及双曲线的渐近线的作用? 1 2.能力训练点：在与初中所学的y 的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点，从而 x 培养学生分析、归纳、推理等能力. 3.学科渗透点：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质（渐近线）的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解. 【教材分析】 1.教学重、难点：双曲线的渐近线的导出和论证. 1 （解决办法：引导学生类比初中所学的y —的图象的特点，然后逐一证明） x 2.教学疑点：双曲线的渐近线的发现和证明. （解决办法：通过类比以及几何画板猜测） 【教学程序】 1.新课引入 课前播放“悲伤双曲线”的音乐。 我们前面已经学习了双曲线，你对双曲线有哪些了解呢？ （标准方程、中心、顶点、对称轴、离心率、准线等） 1 那么你对这条双曲线：y —（的图像）又有哪些了解呢？ x 你能找出它的中心吗？顶点呢？（双曲线和对称轴的交点），从而引出对称轴。 我们发现这条双曲线的对称轴并不是x、y轴，但是x、y轴又和这条双曲线的关系很密切， 你能说说它们的关系吗？（1）无交点；（2）逐渐接近一>无限接近。（板书）从而引出课题“双曲线的渐近线”。（板书） 2.新课讲解 【探索1】我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上（以焦点在x轴上的双曲线为例）， 1 所以我们可以将y 的图像绕原点顺时针旋转45度，得到焦点在x轴上的双曲线。 x 这说明焦点在x轴上的双曲线也有渐近线。 那么，一般的双曲线的渐近线在哪里呢？大家猜猜看。（停顿） 能否根据其特征（无交点、逐渐接近- > 无限接近）找到它呢？（按特征的顺序依次研究）—、、x2 y2 【探索2】你能找到和双曲线— 2 1（a 0,b 0）的图象没有交点的直线吗？（y轴等 a b 过原点的部分直线） 2 2 【探索3】那么这么多和双曲线—占1（a 0, b 0）的图象没有交点的直线中，到底哪 a b 一条是和其逐渐接近并且无穷远处无限接近的呢？ 双曲线的渐近线教案 教学目的 (1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形． (2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力． 教学过程 一、揭示课题 师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？ 生(众)：能画出来． 师：能画得比较精确点吗？ (学生默然．) 其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线 我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越 的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题． (板书课题：双曲线的渐近线．) 二、讲述定义 师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？ 直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况． 设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则 考察一下y变化的范围： 因为x2－a2＜x2，所以 这个不等式意味着什么？ (稍停，学生思考．) 平面区域． 之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围． 为此，我们考虑下列问题： 经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b， 以看出，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近． 第30练 双曲线的渐近线和离心率问题 [题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本. 常考题型精析 题型一 双曲线的渐近线问题 例1 (1)(2015·)设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________. (2)(2014·)如图，已知双曲线C ：x 2 a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). ①求双曲线C 的方程； ②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相 交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值. 点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ?x a ±y b ＝0?x 2a 2－y 2 b 2＝0， 所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线方程. 第30练 双曲线的渐近线和离心率问题 [题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本. 常考题型精析 题型一 双曲线的渐近线问题 例1 (1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1， A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于 B ， C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________. (2)(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 ＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条 渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). ①求双曲线C 的方程； ②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3 2相 交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值. 点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ?x a ±y b ＝0?x 2a 2－y 2 b 2＝0，所 以可以把标准方程x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线 方程. 变式训练1 (2014·山东改编)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，双曲线C 2的方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为______________________. 题型二 双曲线的离心率问题 例2 (1)(2015·湖北改编)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则下列命题正确的是________. ①对任意的a ，b ，e 1>e 2； ②当a >b 时，e 1>e 2；当a b 时，e 1 双曲线渐近线方程 百科名片 双曲线渐近线方程 双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。 渐近线特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。 当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。 根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。 y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程 当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x 当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x 双曲线的简单几何性质 1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质 (1)范围：｜x｜≥a,y∈R. (2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同. (4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式. 注重： 1.与双曲线 - ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0 且λ为待定常数) 2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 - ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线) 2.双曲线的第二定义 平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同. 3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a; P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a. 本节学习要求： 学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握. 双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容. 通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育. 双曲线的渐近线教案 教学目的 (1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双 曲线的图形． 高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导 庞敬涛 渐近线是双曲线的几何性质中特有的性质，加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于同学们对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握。 一、深刻理解双曲线的渐近线概念 1、对关键词“渐近”的理解，它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限地靠近，但永远都不会相交。也可以这样理解，当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限地远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小且无限趋近于0。 2、渐近线的作法，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线。 二、掌握双曲线的渐近线方程的求法 根据双曲线的标准方程求渐近线，把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了 此双曲线的渐近线方程。比如，双曲线方程为),0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-则渐近线方程的求法是令0b y a x 2222=-，渐近线方程为.0b y a x =± 三、掌握双曲线的渐近线常见结论 1、两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数。 2、两条渐近线关于x 轴、y 轴对称。 3、等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x 。 4、共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同。 四、例题分析 1、根据几何性质求双曲线的渐近线。 例1 已知21F F 、为双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-的焦点，过2F 作垂直x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且?=∠30F PF 21，则双曲线的渐近线方程为（ ）。 A. x 2 2y ± = B. x 3y ±= C. x 3 3y ±= D. x 2y ±= 由条件知21F PF ?为直角三角形，又?=∠=30F PF ,c 2|F F |2121，可利用a 、b 、c 三者的关系式与三角形中边的关系式联立，解得a 与b 的关系，从而求解。 解：设双曲线的焦点)0,c (F )0,c (F 12-、，则将c x =代入双曲线方程得点??? ? ??a b ,c P 2，又 ?=∠30F PF 21，所以.a 2b 3c ,c 230cot a b 2 2==? 代入222b a c +=得，0a 4b a 4b 34224=--，解得2a b ±=。故选D 。 双曲线的渐近线 不论双曲线的焦点在哪个轴上，在双曲线的标准方程中，令左边得零，因式分解得渐近线的方程。 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> 的渐近线方程为：b y x a =± 双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为：a y x b =± 注：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数。 例1：已知双曲线C:22221x y a b -=(a >0,b >0)的离心率为,则C 的渐近线方程为( )A.14y x =± B.13y x =± C.12 y x =± =±x 解：由已知条件可得c e a ===, 整理可得a 2=4b 2,即可得a =2b , ∴双曲线C 的渐近线方程为12 b y x x a =±=±,故应选C. 例2：已知双曲线C:22 2 12-=y x a (a >0,b >0)过点(－1,2),则C 的渐近线方程为( ) A.=y x B.=±y x C.=y D.=y x 解：由已知条件可得2222112-=（-）a ,整理可得a 2=1, ∴双曲线C 的渐近线方程为=±=y x a ,故应选C. 练习： 1. 下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( ) A. 2 21 4 y x-= B. 2 21 4 x y -= C. 2 21 4 y x -= D. 2 21 4 x y-= 2. 设双曲线 22 2 1(0) 9 x y a a -=>的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为() 3. 双曲线 22 1 169 x y -=的两条渐近线的方程为________. 4. 已知双曲线 2 2 2 1(0) x y a a -=>0 y +=，则a=________. 第30练 双曲线の渐近线和离心率问题 [题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查の重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考の解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质の求法、用法是此类问题の解题之本. 常考题型精析 题型一 双曲线の渐近线问题 例1 (1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)の右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1， A 2，过F 作A 1A 2の垂线与双曲线交于 B ， C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线の渐近线の斜率为________. (2)(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 ＝1(a >0)の右焦点为F .点A ，B 分别在C の两条 渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). ①求双曲线C の方程； ②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)の直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3 2相 交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值. 点评 (1)在求双曲线の渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ?x a ±y b ＝0?x 2a 2－y 2 b 2＝0，所 以可以把标准方程x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)中の“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线 方程. 渐近线和双曲线，不知道从哪一时刻开始了各自的轨迹。从哪一刻开始，他们的轨迹越来越近……可上天给他们开了个玩笑，定下一条规则，就是：双曲线无限接近渐近线，但永远不得有交点，永远不可以见面，否则，当他们第二次见面以后，会相距越来越远……但他们彼此是唯一的！双曲线拥有唯一的渐近线！ 亲人之间是同心圆，面积有大小，可圆心是一样的。陌生人之间是平行线，永不相交。朋友之间是相交直线，不远千里有缘来相会，但交点之后，是天各一方。爱人之间是三角函数图像，一个是正弦，一个是余弦：有无数交点，虽有时近有时远，但永远彼此相随——可同一坐标上，可以有多个三角函数图像，都可以彼此相随又有很多交点。 相对于他们，双曲线和渐近线是幸福的。他们一个是曲线，一个是直线：既不是同心圆有相同的单调，也不会平行线一样永远都是那个距离。不会如相交直线一样有过交点以后就越来越远，更不会三角函数一样的混乱。他们彼此具有唯一性，即便在同一坐标系上有无数直线和双曲线，他们也可以马上找到属于自己的双曲线和渐近线。 这是爱情吗？至少不是这个世界的爱情，他们不该属于这个世界。但这样挺好的，至少在远方有一个属于自己的唯一，这就够了！别无他求。 问题: ① 0个交点和两个交点的情况都很正常，那么依然可以用判别式判断位置 关系。 ② 一个交点却包含了两种不同的位置关系： 相切和相交（特殊的相交），那么是否意味着判别式等于零，即可能相切也可能相交？ 请判断下列直线与双曲线之间的位置关系: ① 3:=x l ，116 9:2 2=-y x c ②134:+=x y l ，116 9:2 2=-y x c 一般情况的研究：显然，这条直线与双曲线的渐近线是平行的，也就是相交，把直线方程代入双曲线方程，看看判别式如何？ 双曲线的渐近线 环节一：探索发现特殊双曲线221x y -=的渐近线，给出渐近线的概念 师：同学们好！上节课我们研究了双曲线简单的一些几何性质：范围、对称性、顶点等。请大家思考：方程221x y -=是什么？ 生：双曲线的方程。 师：请大家在练习本上画出相应的双曲线的草图。 (学生根据自己对双曲线的理解，在练习本上画图。教师巡视，发现问题。找几名学生板书。) (学生可能出现的情况：开口过大或过小，形状类抛物线或圆弧) 师：画完之后看看和黑板上的图一样不一样，再和周围同学的对比一下，有没有区别。（用展示吗？） (学生发现差异) 师：虽然是草图，也应该尽量画的准确，抓住双曲线的特点。板书的几名同学谈谈画图的依据。 生：找到顶点(1,0)±，再找到（2，1）点，根据范围和对称性，以及对双曲线的形状的印象画出来。 师：这么画合理不合理呢？请大家用手中的图形计算器画出双曲线，观察形状，和我们自己画的有什么差异。 (学生用图形计算器画出图形，对比，分析产生差异的原因) 师：可以我们画出的图形和标准图形差距比较大，差异在哪里？ 生：随着x 的变化，图形的变化趋势不同。 师：产生差异的原因是什么？我们忽略了什么？ 生：没有充分利用方程去画。 师：利用方程我们应该可以找到更合理的画图依据。请同学们观察、研究方程，看看它还能体现出曲线的什么几何性质。 (学生经过独立思考、讨论，可能有如下发现：由221x y -=，得到 22()()0x y x y x y ≥?-+≥， 分析出点(,)x y 所在的区域；将方程改写为y =发现双曲线与直线y x =±无限贴近) 师：什么是双曲线与直线“无限贴近”？ 生：随着x 的增大，双曲线无限接近于直线，但是不相交。 师：真的是这样吗？你能否运用图形计算器，或者运用所学过的知识，从“数”的角度进行说明？ (给大家几分钟时间进行思考、讨论，教师巡视、指导) （学生板书、用图形计算器或者实物投影展示，可能的情况有：由y =极限的思想说明随着x 增大，y 和x 越来越接近；图形计算器将双曲线上点到直线的距离变化列表展示；将点到直线的距离用函数表示，利用单调性来说明；个人认为在此可以把以上每种想法都展示出来，因为属于不同学生的不同研究思 第30练双曲线得渐近线与离心率问题 [题型分析·高考展望]双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也就是高考热点,其性质就是考查得重点,尤其就是离心率与渐近线、考查形式除常考得解答题外,也会在填空题中考查,一般为中等难度、熟练掌握两种性质得求法、用法就是此类问题得解题之本、 常考题型精析 题型一双曲线得渐近线问题 例1(1）（2015·重庆)设双曲线错误!－错误!=1(a＞0,b>0)得右焦点就是Ｆ，左,右顶点分别就是A１,A2，过F作A1A2得垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2Ｃ,则该双曲线得渐近线得斜率为＿______＿、 （２)(２014·江西)如图，已知双曲线Ｃ:错误!-y2=１(a>０)得右焦点为F、点A,B分别在Ｃ得两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(Ｏ为坐标原点)、 ①求双曲线Ｃ得方程; ②过C上一点P（x0,ｙ０)(y0≠0）得直线ｌ:＼f(x０x,a2）－y０y＝１与直线ＡF相交于点Ｍ，与直线x＝＼f(3,2)相交于点N、证明:当点P在C上移动时，错误!恒为定值,并求此定值、 点评(1）在求双曲线得渐近线方程时要掌握其简易求法、由y＝±b ａ ｘ?错误!±错误!=0?错误!-错误!＝０,所以可以把标准方程错误!-错误!＝1（ａ>0,b>0)中得“１”用“0”替换即可得出渐近线方程、 （２)已知双曲线渐近线方程：y=错误!ｘ,可设双曲线方程为错误!－错误!=λ（λ≠0),求出λ即得双曲线方程、 变式训练1(２014·山东改编)已知a>ｂ>０，椭圆C１得方程为＼f(x2,a2)+＼ｆ(y2，ｂ2)=１,双曲线Ｃ2得方程为错误!－错误!=１，Ｃ1与C2得离心率之积为错误!，则Ｃ2得渐近线方程为_＿_＿＿___＿＿__＿_＿___＿__＿、 题型二双曲线得离心率问题 例2（1）（2０1５·湖北改编）将离心率为ｅ1得双曲线C1得实半轴长ａ与虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0）个单位长度，得到离心率为ｅ2得双曲线C2,则下列命题正确得就是__＿_ 5 3 - = > > - = 说明：双曲线的渐近线是双曲线所特有的，要掌握渐近线与双曲线方程的联系，另外重点掌握双曲线特有 性质，对于解题非常方便。 秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线: 秒杀思路：①已知双曲线方程求渐近线方程: mx 2 - ny 2 = λ? mx 2 - ny 2 = 0 ; b ②若焦点在 x 轴上，渐近线为 y = ± x ； a 若焦点在 y 轴上，渐近线为 y = ± a x 。 b 1.(高考题)双曲线 x 4 y 2 9 = 1的渐近线方程是 ( ) A. y = ± 2 x 3 【解析】：选 C 。 B. y = ± 4 x 9 C. y = ± 3 x 2 D. y = ± 9 x 4 2.(2013 年新课标全国卷 I4)已知双曲线C : x a 2 y 2 1( a 0,b 0 )的离心率为 b 2 ,则C 的渐近线方程为 2 ( ) A. y = ± 1 x 4 B. y = ± 1 x 3 C. y = ± 1 x 2 D. y = ± x 【解析】：由e = c = 5 ，得 b = 1 ，选 C 。 a 2 a 2 3.(高考题)若双曲线 x a 2 y 2 1的离心率为 b 2 ,则其渐近线方程为 ( ) A. y = ±2x B. y = ± 2x C. y = ± 1 x 2 D. y = ± 2 x 2 【解析】：由e = c = a ，得 b = a ，选 B 。 〖母题 2〗已知双曲线的对称轴为坐标轴,一条渐近线为 2x - y = 0 ,则双曲线的离心率为 ( ) 5 A.5 或 4 5 B. 或 2 3 C. 或 2 5 D.5 或 3 5 3 3 2 2 2 2 第30练 双曲线的渐近线和离心率问题 [ 题 型 分 析 · 高 考 展 望 ] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本. 常考题型精析 题型一 双曲线的渐近线问题 例 1 (1)(2015· 重 庆 )设双曲线 x2a2 － y2b2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________. (2)(2014· 江 西 )如图，已知双曲线C ： x2a2 －y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). ①求双曲线C 的方程； ②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ： x0x a2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3 2 相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值. 点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ?x a ±y b ＝0?x2a2－y2 b2＝0， 所以可以把标准方程x2a2－y2 b2 ＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x2a2－y2 b2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线 方程. 变式训练 1 (2014·山东改编)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为 x2a2＋y2 b2 ＝1，双曲线C 2的方程为x2 a2 － y2 b2 ＝1，C 1与C 2的离心率之积为 3 2 ，则C 2的渐近线方程为______________________. 题型二 双曲线的离心率问题 例 2 (1)(2015· 湖 北 改 编)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则下列命题正确的是________. ①对任意的a ，b ，e 1>e 2； ②当a >b 时，e 1>e 2；当a b 时，e 1双曲线渐近线探究
双曲线渐近线方程的概述
共渐近线的两个双曲线系的解题功能
双曲线的渐近线和离心率
双曲线的渐近线
双曲线的渐近线教案(精)
双曲线的渐近线和离心率问题
双曲线的渐近线和离心率问题
双曲线渐近线方程
高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导
双曲线的渐近线
双曲线的渐近线和离心率问题
渐近线和双曲线爱情1
双曲线的渐近线
双曲线的渐近线和离心率问题
秒杀题型双曲线的渐近线(双曲线)
双曲线的渐近线和离心率问题