20VAR模型(a)

第8章 V AR 模型与协整

1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

8.1向量自回归（V AR ）模型定义

V AR 模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y 1t ，y 2t 之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型

y 1, t = f (y 1, t -1, y 1, t -2, …) y 2, t = f (y 2, t -1, y 2, t -2, …) 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。V AR 模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N ，一个是最大滞后阶数k 。

以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的V AR 模型为例， y 1, t = μ1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 t

y 2, t = μ2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1) 其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。写成矩阵形式是，

??????t t y y 21=??????21μμ+?

?

????1.221.211.121.11ππππ

??????--1,21,1t t y y +??

????t t u u 21 (8.2) 设， Y t =????

??t t y y 21, μ =???

???21μμ, ∏1 =??????1.221.211.121.11ππππ, u t =??

????t t u u 21, 则， Y t = μ + ∏1 Y t -1 + u t (8.3) 那么，含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下：

Y t = μ + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω) (8.4) 其中，

Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )' μ = (μ1 μ2 … μN )' ∏j =??

?

???

?????

???j NN j

N j

N j N j j

j N j

j

..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππ

, j = 1, 2, …, k u t = (u 1 t u 2,t … u N t )',

Y t 为N ?1阶时间序列列向量。 μ为N ?1阶常数项列向量。∏1, … , ∏k 均为N ?N 阶参数矩

阵，u t ~ IID (0, Ω) 是N ?1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

因V AR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t 是渐近不相关的，所以可以用OLS 法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。

附录：用EViews 估计V AR （表格式、代数式两种输出方式，求残差序列）。 V AR 模型的特点是：

（1）不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在V AR 模型中；②确定滞后期k 。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。

（2）V AR 模型对参数不施加零约束。（对无显著性的参数估计值并不从模型中剔除） （3）V AR 模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在V AR 模型中都不存在（主要是参数估计量的非一致性问题）。

（4）V AR 模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个V AR 模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N 2 = 3 ? 32 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。

（5）无约束V AR 模型的应用之一是预测。由于在V AR 模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。

（6）用V AR 模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测不理想。

附录：用EViews 做VAR 模型的静态预测、动态预测和样本外动态预测。

西姆斯（Sims ）认为V AR 模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入V AR 模型。

8.2 V AR 模型稳定的条件

V AR 模型稳定的充分与必要条件是∏1（见 (8.3) 式）的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。

1．先回顾单方程情形。以AR(2)过程 y t = φ1 y t -1 + φ2 y t -2 + u t (8.11)

为例。改写为

(1- φ1 L - φ2 L 2) y t = Φ(L ) y t = u t (8.12) y t 稳定的条件是Φ(L ) = 0 的根必须在单位圆以外。

2．对于V AR 模型，也用特征方程判别稳定性。以 (8.3) 式，Y t = μ + ∏1 Y t -1 + u t ，为例，改写为

(I - ∏1 L ) Y t = μ + u t (8.13) 保持V AR 模型稳定的条件是| I - ∏1L | = 0的根都在单位圆以外。| I – ∏1L | = 0在此称作相反的特征方程（reverse characteristic function ）。（第2章称特征方程）

例8.1 以二变量（N = 2），k = 1的V AR 模型

??????t t y y 21=?

??

??

?8/54/12/18/5??????--1,21,1t t y y +???

? ??t t u u 21 (8.14) 其中∏1 =??

?

?

??8/54/12/18/5为例分析稳定性。相反的特征方程是

| I - ∏1L | = ??????-??????L L L L )8/5()4/1()2/1()8/5(1001= ??

?

??

?----L L L L

)8/5(1)4/1()2/1()8/5(1

= (1- (5/8) L )2 - 1/8 L 2 = (1-0.978 L ) (1-0.27 L ) = 0 (8.15)

求解得

L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690

因为L 1，L 2都大于1，所以对应的V AR 模型是稳定的。

3．V AR 模型稳定的另一种判别条件是，特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根都在单位圆以内。特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根就是∏1的特征值。

例8.2 仍以V AR 模型(8.14) 为例，特征方程表达如下：

| ∏1 - λ I | = ??????-??????λλ008/54/12/18/5= ??

????--λλ

8/54/12/18/5= 0 即

(5/8 - λ)2 – 1/8 = (5/8 - λ)2 –2)8/1(= (0.978 - λ) (0.271 - λ) = 0 (8.16) 得 λ1 = 0.9786, λ2 = 0.2714。λ1，λ2是特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根，是参数矩阵∏1的特征值。

因为λ1 = 0.978, λ2 = 0.271，都小于1，该V AR 模型是稳定的。

注意：

（1）因为L 1=1/0.978 =1/λ1, L 2 =1/0.27=1/λ2，所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L = 1/ λ。

（2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程 Φ(L ) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程稳定的条件是（相反的）特征方程Φ(L ) = 0的根都要在单位圆以外；而在V AR 模型中通常用特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根描述模型的稳定性。V AR 模型稳定的条件是，特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根都要在单位圆以内，或相反的特征方程| I – L ∏1 | = 0的根都要在单位圆以外。

4．对于k >1的k 阶V AR 模型可以通过友矩阵变换（companion form ），改写成1阶分块矩阵的V AR 模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。具体变换过程如下。

给出k 阶V AR 模型，

Y t = μ + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t-k + u t (8.17)

再配上如下等式，

Y t -1 = Y t -1 Y t -2 = Y t -2 …

Y t -k +1 = Y t - k +1

把以上k 个等式写成分块矩阵形式，

1121?+---????????????????NK k t t t t Y Y Y Y =1?????????????????NK 000 μ+NK

NK k k ?-????????????????00

000000I

I I ΠΠΠΠ

1

211321?----????????????????NK k t t t t Y Y Y Y +1

?????????

????????NK t 000 u (8.18) 其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令

Y t = (Y t -1 Y t -2 … Y t-k +1) 'NK ?1

A 0 = (μ 0 0 … 0) 'NK ?1 A 1 =NK

NK k k ?-????

?

???????????00

000

000I

I I ΠΠΠΠ

1

21 U t = (u t 0 0 … 0) ' NK ?1

上式可写为

Y t = A 0 + A 1 Y t -1 + U t (8.19) 注意，用友矩阵变换的矩阵（向量）用正黑体字母表示。k 阶V AR 模型用友矩阵表示成了1阶分块矩阵的V AR 模型。

例如，2变量2阶V AR 模型的友矩阵变换形式是

??????-1t t Y Y =??????0μ+?????

?0I 21∏∏??????--21t t Y Y +??

?

???0t u (8.20) 其中等式的每一个元素（项）都表示一个4?1阶向量或4?4阶矩阵。

例如，2变量3阶V AR 模型的友矩阵变换形式是

??????????--21t t t Y Y Y =??????????00μ+????

??????00

00

ΙΙ32

1∏∏∏??????????---321t t t Y Y Y +???

?

?

?????00t u (8.21) 其中等式的每一个元素（项）都表示一个6?1阶向量或6?6阶矩阵。

V AR 模型的稳定性要求A 1的全部特征值，即特征方程 | A 1 - λ I | = 0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特征方程 | I - L A 1| = 0的全部根必须在单位圆以外。

注意：特征方程中的A 1是Nk ?Nk 阶的。特征方程中的I 也是Nk ?Nk 阶的。 以2阶V AR 模型的友矩阵变换为例，

| I - A 1L | =L ??

?

??

?-??????000I I I 21

∏∏=

I

I I L

L L ---21∏∏

= |1- ∏1 L - ∏2 L 2 | = 0 (8.22)

的全部根必须在单位圆以外。

以3阶V AR 模型的友矩阵变换为例，

| I - A 1L | =L ????

?

??

???-??????????00

00000000Ι

ΙI I I 32

1

∏∏∏=I I I I I L L

L

L L -----00321∏∏∏ = | I - ∏1 L - ∏2 L 2 - ∏3 L 3 | = 0 (8.23)

的全部根必须在单位圆以外。因此，对于k 阶V AR 模型的友矩阵变换形式，特征方程是，

| I - ∏1 L - ∏2 L 2 - … - ∏k L k | = 0 (8.24) 例8.2 用以具体数字为系数的2变量、2阶V AR 模型做进一步说明。有

Y t = μ + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + u t

其中，

∏1 = ???

???16/34/316/58/5, ∏2 =??

?

??

?---4/34/14/18/1 友矩阵变换形式是

??????????-1t t Y Y =??????

????0μ+??????0I

21∏∏????????

??--21t t Y Y +???

?

??????0t u (8.25) 或 ???????????????????? ?????? ??--121121t t t t y y y y =?

??????????????????? ?????? ??0021μμ+?????

???

????

?????

???

?????

? ?????? ??---????

??000010014/34/14/18/116/34

/316/58

/5???????????????????? ?????? ??----22211211t t t t y y y y +??????

?

?

???????????? ?????? ??0021t t u u (8.26) 或 Y t = A 0 + A 1 Y t -1 + U t (8.27) 因为A 1的阶数为4?4（注意，因为N =2，k =2，所以A 1的阶数为4?4），所以有4个特

征根。特征方程是

| A 1 - λ I | =?????

???????-????????????---1000

010********

1001000014/34/116/34/34/18/116/58/5λ =

?

???????????-------λλλλ

010

0014/34/116/34/34/18/116/58/5= 0 (8.28) 4个根见下表：

根 模 λ1 = 1.000 1.000 λ2 = 0.947

0.947 λ3 = 0.380-0.144 i 0.406 λ4 = 0.380-0.144 i

0.406

尽管有3个根在单位圆内，因为有一个根为1，落在单位圆上，所以平稳性条件未能得到满足。

8.3 V AR 模型的稳定性（stability ）特征

现在讨论V AR 模型的稳定性特征。稳定性是指当把一个脉动冲击施加在V AR 模型中某一个方程的新息（innovation ）过程上时，随着时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是不消失，则系统是不稳定的。

下面分析一阶V AR 模型

Y t = μ + ∏1 Y t -1 + u t (8.29)

为例。当t = 1时，有

Y 1 = μ + ∏1 Y 0 + u 1 (8.30)

当t = 2时，采用迭代方式计算，

Y 2 = μ + ∏1 Y 1 + u 2 = μ + ∏1 (μ + ∏1 Y 0 + u 1) + u 2

= (I + ∏1) μ + ∏12 Y 0 + ∏1 u 1 + u 2 (8.31) 当t = 3时，进一步迭代，

Y 3 = μ + ∏1 Y 2 + u 3 = μ + ∏1 [(I + ∏1) μ + ∏12 Y 0 + ∏1 u 1 + u 2] + u 3

= (I + ∏1 + ∏12) μ + ∏13 Y 0 + ∏12 u 1 + ∏1 u 2 + u 3 (8.32)

… …

对于t 期，按上述形式推导

Y t = (I + ∏1 + ∏12 + … + ∏1t -1) μ + ∏1t Y 0 + ∑-=1

01t i i Πu t -i (8.33)

由上式可知，∏10 = I 。通过上述变换，把Y t 表示成了漂移项向量μ、初始值向量Y 0和新息向量u t 的函数。可见系统是否稳定就决定于漂移项向量μ、初始值向量Y 0和新息向量u t 经受冲击后的表现。

假定模型是稳定的，将有如下3个结论。

（1）假设t = 1时，对μ 施加一个单位的冲击，那么到t 期的影响是

(I + ∏1 + ∏12 + … + ∏1t -1)

当t →∞ 时，此影响是一个有限值，(I - ∏1) -1。

（2）假设在初始值Y 0上施加一个单位的冲击。到t 期的影响是 ∏1t 。随着t →∞，∏1t → 0，影响消失（因为对于平稳的V AR 模型，∏1中的元素小于1，所以随着t →∞，取t 次方后，∏1t → 0）。

（3）从∑-=1

1t i i Πu t -i 项可以看出，白噪声中的冲击离t 期越远，影响力就越小。∑-=1

1t i i Π=(I

- ∏1) -1，称作长期乘子矩阵，是对∑-=1

1t i i Πu t -i 求期望得到的。

对单一方程的分析知道，含有单位根的自回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能力。同理，含有单位根的V AR 模型也是非平稳过程。当新息中存在脉动冲击时，V AR 模型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。

平稳变量构成的一定是稳定（stability ）的模型，但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也可能由非平稳（nonstationary ）变量（存在协整关系）构成。

8.4 V AR 模型滞后期k 的选择

建立V AR 模型除了要满足平稳性条件外，还应该正确确定滞后期k 。如果滞后期太少，误差项的自相关会很严重，并导致参数的非一致性估计。正如在第4章介绍ADF 检验的原理一样，在V AR 模型中适当加大k 值（增加滞后变量个数），可以消除误差项中存在的自相关。但从另一方面看，k 值又不宜过大。k 值过大会导致自由度减小，直接影响模型参数估计量的有效性。下面介绍几种选择k 值的方法。

1． 用LR 统计量选择k 值。LR （似然比）统计量定义为， LR = - 2 (log L (k ) - log L (k +1) ) ~)(22N χ (8.34)

其中log L (k ) 和log L (k +1) 分别是V AR(k ) 和 V AR(k +1) 模型的极大似然估计值。k 表示V AR 模型中滞后变量的最大滞后期。LR 统计量渐近服从)(22N χ分布。显然当V AR 模型滞后期的增加不会给极大似然函数值带来显著性增大时，即LR 统计量的值小于临界值时，新增加的滞后变量对V AR 模型毫无意义。应该注意，当样本容量与被估参数个数相比不够充分大时，LR 的有限样本分布与LR 渐近分布存在很大差异。

2． 用赤池（Akaike ）信息准则 (AIC ) 选择k 值。 AIC = log ????

?

?

?∑=T

u T

t t 12?+T

k

2 (8.34) 其中t u

?表示残差，T 表示样本容量，k 表示最大滞后期。选择k 值的原则是在增加k 值的过程中使AIC 的值达到最小。 EViews 3.0的计算公式是

AIC = -2??? ??T L log +T

k

2

3．用施瓦茨（Schwartz ）准则 (SC ) 选择k 值。 SC = log ????

?

?

?∑=T

u T

t t 12?+T

klogT

(8.35) 其中t u

?表示残差，T 表示样本容量，k 表示最大滞后期。选择最佳k 值的原则是在增加k 值的过程中使SC 值达到最小。 EViews 3.0的计算公式是

SC =-2??

? ??T L log +

T T

log k 例8.3 以第8章案例为例，k =1、2、3、4时的logL 、Akaike AIC 和Schwarz SC 的值

见下表。

V AR(1) V AR(2) V AR(3) V AR(4) logL 184.6 198.9 200.0 207.8 Akaike AIC -7.84 -8.27 -8.09 -8.23 Schwarz SC -7.36 -7.41 -6.85 -6.6

建立滞后2期或3期的V AR 模型是可以的。

8.5 V AR 模型的脉冲响应函数和方差分解

由于V AR 模型参数的OLS 估计量只具有一致性，单个参数估计值的经济解释是很困难的。要想对一个V AR 模型做出分析，通常是观察系统的脉冲响应函数和方差分解。

（1）脉冲响应函数。

脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说，它描述的是在随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值所带来的影响。

对于如下V AR 模型，y 1, t 表示GDP ，y 2, t 表示货币供应量， y 1, t = μ1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 t

y 2, t = μ2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.36)

在模型（8.36）中，如果误差u 1t 和u 2t 不相关，就很容易解释。u 1t 是y 1, t 的误差项；u 2t

是y 2, t 的误差项。脉冲响应函数衡量当期u 1t 和u 2t 一个标准差的货币冲击分别对GDP 和货币存量的当前值和未来值的影响。

对于每一个V AR 模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。具体方法是对于任何一个V AR(k )模型都可以通过友矩阵变换改写成一个V AR(1)模型（见8.1.2节）。

Y t = A 1 Y t -1 + U t

(I - L A 1) Y t = U t

Y t = (I - L A 1)-1 U t = U t + A 1U t-1 + A 12 U t-2 + …+ A 1s U t-s + …

这是一个无限阶的向量MA(∞)过程。或写成，

Y t+s = U t+s + A 1U t+s -1 + A 12 U t+s -2 + …+ A 1s U t + …

Y t+s = U t+s + ψ1U t+s -1 + ψ2 U t+s -2 + …+ ψs U t + … (8.37)

其中

ψ1 = A 1, ψ2 = A 12, …, ψ s = A 1 s ,

显然，由 (8.37)式有下式成立， ψ s =

t

s

t U Y ??+ ψ s 中第i 行第j 列元素表示的是，令其他误差项在任何时期都不变的条件下，当第j 个变量对应的误差项u j t 在t 期受到一个单位的冲击后，对第i 个内生变量在t+ s 期造成的影响。 把ψ s 中第i 行第j 列元素看作是滞后期s 的函数

t

j s t i u y ??+,, s = 1, 2, 3, …

称作脉冲响应函数（impulse-response function ），脉冲响应函数描述了其他变量在t 期以及以前各期保持不变的前提下，y i, t +s 对 y j, t 时一次冲击的响应过程。

对脉冲响应函数的解释出现困难源于实际中误差项从来都不是完全非相关的。当误差项相关时，它们有一个共同的组成部分，不能被任何特定的变量所识别。为处理这一问题，常引入一个变换矩阵M 与u t 相乘，

v t = M u t ~ (0, Ω)

从而把u t 的方差协方差矩阵变换为一个对角矩阵Ω。现在有多种方法。其中一种变换方法称作乔利斯基（Cholesky ）分解法，从而使误差项正交。

原误差项相关的部分归于V AR 系统中的第一个变量的随机扰动项。在上面的例子里，u 1 t 和u 2t 的共同部分完全归于u 1t ，因为u 1t 在u 2 t 之前。

虽然乔利斯基分解被广泛应用，但是对于共同部分的归属来说，它还是一种很随意的方法。所以方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数。因此在解释脉冲响应函数时应小心。

注意：对于u t 中的每一个误差项，内生变量都对应着一个脉冲响应函数。这样，一个含有4个内生变量的V AR 将有16个脉冲响应函数。

附录：VAR 模型残差序列及其方差、协方差矩阵的求法。

点击VAR 窗口中的Procs 键，选Make Residuals （生成残差）功能，工作文件中就会生成以resid01, resid02,…为编号的残差序列（残差序列的顺序与VAR 模型估计对话框中输入的变量顺序相一致），并打开残差序列数据组窗口。在这个残差序列数据组窗口中点击View 键，选择Covariances 功能，即可得到残差序列的方差、协方差矩阵。选择Correlation 功能，

即可得到残差序列的相关系数矩阵。

附录：脉冲响应的EViews操作

点击VAR窗口中的Impulse键。在随后弹出的对话框中做出各项选择后点击OK键。

例8.4 美国民用燃油价格、储量、生产量的脉冲响应图。

（2）方差分解。

另一个评价V AR模型的方法是方差分解。V AR的方差分解能够给出随机新息的相对重要性信息。EViews对于每一个内生变量都计算一个独立的方差分解。3个变量的V AR观察10期的方差分解如下图。

S.E.所对应的列是相对于不同预测期的变量的预测误差。这种预测误差来源于新息的当期值和未来值。其他的几栏给出关于源于某个特定的新息所引起的方差占内生变量总方差的百分比。向前一个时期，一个变量的所有变动均来自其本身的新息。因此第一个数字总是100%。同样，方差分解主要取决于方程的顺序。

8.6格兰杰非因果性检验

V AR模型还可用来检验一个变量与另一个变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰（Granger）非因果性定义如下：

格兰杰非因果性：如果由y t和x t滞后值所决定的y t的条件分布与仅由y t滞后值所决定的条件分布相同，即

?( y t|y t -1, …, x t -1, …) = ?( y t|y t -1, …), (8.38) 则称x t -1对y t存在格兰杰非因果性。

格兰杰非因果性的另一种表述是其他条件不变，若加上x t的滞后变量后对y t的预测精度不存在显著性改善，则称x t -1对y t存在格兰杰非因果性关系。

为简便，通常总是把x t-1 对y t存在非因果关系表述为x t（去掉下标-1）对y t存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。在实际中，除了使用格兰杰非因果性概念外，也使

用“格兰杰因果性”概念。顾名思义，这个概念首先由格兰杰（Granger 1969）提出。西姆斯（Sims 1972）也提出因果性定义。这两个定义是一致的。

根据以上定义，x t 对y t 是否存在因果关系的检验可通过检验V AR 模型以y t 为被解释变量的方程中是否可以把x t 的全部滞后变量剔除掉而完成。比如V AR 模型中以y t 为被解释变量的方程表示如下：

y t =

∑=-k i i t i y 1

α+∑=-k

i i t i x 1

β+ u 1 t (8.39)

如有必要，常数项，趋势项，季节虚拟变量等都可以包括在上式中。则检验x t 对y t 存在格兰杰非因果性的零假设是 H 0: β1 = β2 = …= βk = 0

显然如果（8.39）式中的x t 的滞后变量的回归参数估计值全部不存在显著性，则上述假设不能被拒绝。换句话说，如果x t 的任何一个滞后变量的回归参数的估计值存在显著性，则结论应是x t 对y t 存在格兰杰因果关系。上述检验可用F 统计量完成。 F =

)

()(kN T SSE k

u u --SSE SSE r

其中SSE r 表示施加约束（零假设成立）后的残差平方和。SSE u 表示不施加约束条件下的残差平方和。k 表示最大滞后期。N 表示V AR 模型中所含当期变量个数，本例中N = 2，T 表示样本容量。在零假设成立条件下，F 统计量近似服从F ( k , T - k N ) 分布。用样本计算的F 值如果落在临界值以内，接受原假设，即x t 对y t 不存在格兰杰因果关系。

例8.5：（file: stock ）以661天（1999.1.4-2001.10.5）的上海（SH ）和深圳（SZ ）股票收盘价格综合指数为例，

300

400

500

600

700

1000

1500

2000

2500

10

0200300400500600

SZ

SH

滞后10期的Granger 因果性检验结果如下：（当概率小于0.05时，表示推翻原假设）

上表中概率定义为，

P(F >1.36) = 0.19316

图示如下：

P(F>23.44) = 0.00000

因为F值（1.36）落在原假设接受域，所以原假设“上海股票价格综合指数对深圳股票价格综合指数不存在Granger因果关系”被接受。

因为F值（23.44）落在原假设拒绝域，所以原假设“深圳股票价格综合指数对上海股票价格综合指数不存在Granger因果关系”被推翻。

附录：格兰杰因果关系检验

EViews操作方法是，打开数剧组窗口，点View键，选Granger Causility。在打开的对话窗口中填上滞后期（上面的结果取滞后期为10），点击OK键。

用滞后5, 10, 15, 20, 25期的检验式分别检验，结果见下表：

结论都是上海股票价格综合指数不是深圳股票价格综合指数变化的原因，但深圳股票价格综合指数是上海股票价格综合指数变化的原因。

注意：

（1）滞后期k的选取是任意的。实质上是一个判断性问题。一般来说要试检验若干个不同滞后期k的格兰杰因果关系检验，且结论相同时，才可以最终下结论。

（2）当做x t是否为导致y t变化的格兰杰原因检验时，如果z t也是y t变化的格兰杰原因，且z t又与x t相关，这时在x t是否为导致y t变化的格兰杰因果关系检验式的右端应加入z t的滞后项（实际上是3个变量V AR模型中的一个方程）。

（3）不存在协整关系的非平稳变量之间不能进行格兰杰因果关系检验。

先有鸡，还是先有蛋？这是东西方文化的古老命题。Thurman W N和Fisher M E（1988）用1930~1983年美国年鸡蛋产量和年鸡产量数据分别用滞后1~4期的检验式对先有鸡还是先有蛋做了格兰杰因果关系检验。注意只有在检验出单向因果关系后，检验才是有效的。Thurman和Fisher的检验结果是先有蛋！据说他们下一步的检验目标是“骄必败”。（见“Chicken eggs and causality or which came first?”, American Journal of Agricultural Economics, pp237-238, May 1988）

8.7 V AR模型与协整

如果V AR模型

Y t = ∏1 Y t-1 + ∏2 Y t-1+ … + ∏k Y t-k + u t, u t~ IID (0, Ω) (8.40)

的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的V AR模型。

?Y t = ∏1*?Y t-1 + ∏2*?Y t-2 + … + ∏k*?Y t-k + u t* (8.41)

然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造V AR模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。

如果Y t ~ I(1)，且非平稳变量间存在协整关系。那么由这些非平稳变量组成的线性组合则是平稳的。建立单纯的差分V AR 模型将丢失重要的非均衡误差信息。因为变量间的协整关系给出了变量间的长期关系。同时用这种非均衡误差以及变量的差分变量同样可以构造平稳的V AR 模型。从而得到一类重要的模型，这就是向量误差修正模型。

下面推导向量误差修正（VEC ）模型的一般形式。

对于k = 1的V AR 模型，Y t = ∏1 Y t -1 + u t ，两侧同减Y t -1，得

? Y t = (∏1 – I )Y t -1 + u t (8.42) 对于k =2的V AR 模型，Y t = ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + u t ，两侧同减Y t -1，在右侧加、减 ∏2 Y t -1，

并整理得

? Y t = (∏1 + ∏2 - I ) Y t -1 - ∏2 ?Y t -1 + u t (8.43) 对于k =3的V AR 模型，Y t = ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + ∏3 Y t -3 + u t ，两侧同减Y t -1，在右侧加、减 ∏2 Y t -1和∏3 Y t -1并整理得

?Y t = (∏1 + ∏2 + ∏3 - I ) Y t -1 - ∏2 Y t -1 - ∏3 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + ∏3 Y t -3 + u t

= (∏1 + ∏2 + ∏3 - I ) Y t -1 – ∏2 ?Y t -1 - ∏3 Y t -1 + ∏3 Y t -3+ u t 在右侧加、减 ∏3 Y t -2并整理得

?Y t = (∏1 + ∏2 + ∏3 - I ) Y t -1 - ∏2 ?Y t -1 - ∏3 Y t -1 + ∏3 Y t -2 - ∏3 Y t -2 + ∏3 Y t -3+ u t = (∏1 + ∏2 + ∏3 - I ) Y t -1 - ∏2 ?Y t -1 - ∏3 ?Y t -1 - ∏3 ?Y t -2 + u t

= (∏1 + ∏2 + ∏3 - I ) Y t -1 – (∏2 +∏3 ) ?Y t -1 - ∏3 ?Y t -2 + u t (8.44) 对于k 阶V AR 模型，Y t = ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t-k + u t ，利用k =1, 2, 3的V AR 模型的推导规律，见(8.42) ~ (8.44)式，其向量误差修正模型（VEC ）的表达式是

?Y t = (∏1 +∏2 +…+∏k - I ) Y t -1- (∏2 +∏3 +…+∏k ) ?Y t -1- (∏3 +…+∏k ) ?Y t -2 -…- ∏k ?Y t - (k -1) +u t (8.45) 令 Γj = -

∑+=k

j i i 1

∏, j = 1, 2, …, k -1，

∏ = - Γ0 - I =∑=k

i i 1

∏- I = ∏1 + ∏2 + … + ∏k - I ， (8.46)

则上式写为

?Y t = ∏ Y t -1 + Γ1 ?Y t -1 + Γ2 ?Y t -2 + … + Γk -1 ?Y t - (k -1) + u t (8.47) 这是向量误差修正模型（VEC ）的一般表达式（与《计量经济分析》中的推导略有不同）。∏ 称为压缩矩阵（impact matrix ，影响矩阵）。∏ 是全部参数矩阵的和减一个单位阵。∏ 为多项式矩阵，其中每一个元素都是一个多项式。运算规则于一般矩阵相同。滞后期的延长不影响对协整向量个数的分析。

根据Granger 定理，向量误差修正模型（VEC ）的表达式是 A ?(L ) (1- L ) Y t = α β ' Y t -1 + d (L ) u t (8.48) 其中A ?(L ) 是多项式矩阵A (L )分离出因子(1- L )后降低一阶的多项式矩阵，d (L )是由滞后算子表示的多项式矩阵。

上式与 (8.47) 式完全相同。其中

A ?(L ) (1- L ) Y t = A ?(L ) ?Y t = ?Y t - Γ1 ?Y t -1 - Γ2 ?Y t -2 - … - Γk -1 ?Y t - (k -1)

d (L ) u t = u t

在这里d (L ) 退化为单位列向量。

若Y t ~ CI(1, 1)，比较 (8.47) 和 (8.48) 式必然有

∏ = α β '

其中β是协整矩阵，α 是调整系数矩阵。α 和β 都是N ?r 阶矩阵。表示有r 个协整向量，β1,

β2 … , βr ，存在r 个协整关系。因为Y t ~ I(1)，所以 ?Y t ~ I(0)。从模型 (8.45) 变换为模型 (8.47)

称为协整变换（cointegrating transformation ）。压缩矩阵 ∏ 决定模型 (8.47) 中是否存在，以及以什么规模存在协整关系。因为 ?Y t ~ I(0)，所以除了∏ Y t-k ，模型 (8.47) 中各项都是平稳的。而对于∏ Y t-k 有如下三种可能。

1． 当Y t 的分量不存在协整关系，∏的特征根为零，∏ = 0。

2． 若rank (∏) = N （满秩），保证 ∏ Y t-k 平稳的唯一一种可能是Y t ~ I(0)。 3． 当Y t ~ I(1)，若保证 ∏ Y t-k 平稳，只有一种可能，即Y t 的分量存在协整关系。 β 'Y t ~ I(0)

VEC 模型是带有误差修正机制的关于?Y t 的V AR 模型。增加?Y t -1滞后项的目的是吸收u t 中的自相关成分，使其变为白噪声。没有这些项，等于丢掉了动态成分。

假定Y t ~ I(1) 具有一般性。如果某个变量的单整阶数高于1，可通过差分取其相应单整阶数为1的序列加入模型。上式也可以加入位移项与趋势项。

若 ∏ = α β ' 成立，且存在r 个协整关系，则∏ Y t-1的一般表达式是 ∏ Y t-1 = α β 'Y t-1 = r

N Nr N r r ???

?

??

??

??αααα

αα 1221

111

N

r rN

r N ??????

??ββ

ββ 11111

1,1,21,1?---???

?

??? ??N t N t t y y y = r

N Nr N r r ???

?

??

??

??αααα

αα 1

221

1111

1,1,111,11,111......?----??

?

?

?

??++++r t N rN t r t N N t y y y y ββββ

= 1

1,1,111,11,11111,1,1111,11,11111)...()...()...()...(?--------??

?

?

?

??++++++++++++N t N rN t r Nr t N N t N t N rN t r r t N N t y y y y y y y y ββαββαββαββα

(8.49)

为便于理解，现在以N =2, k =1的VEC 模型为例，说明VEC 模型中的协整关系。

例8.6 有VEC 模型 ? y 1, t = -21( y 1, t -1 –8

1

y 2, t -1) + u 1 t (8.50) ? y 2, t =

21( y 1, t -1 –8

1

y 2, t -1) + u 2 t (8.51)

看(8.50)式，令误差修正项 [y 1, t -1 – (1/8) y 2, t -1] = v 1, t -1。当v 1, t -1增加，系统偏离了均衡点，y 1,

t -1 > (1/8) y 2, t -1，因为调整系数为负（- 1/2）

，在t 期将导致 ? y 1, t 减小，也即y 1, t 减小。从而使y 1, t 移向均衡点。反之亦然。把 (8.51) 式改写如下，

? y 2, t = -

16

1

( y 2, t -1 – 8 y 1, t -1) + v 2 t 误差修正机制的解释与上类似。

把 (8.50)，(8.51) 写成矩阵形式。

???

?????t t y y ,2,1=??

?

?

??--16/12

/116/12

/1??????--1,21,1t t y y +??

?

???t t u u 21= ∏ Y t -1 + u t (8.52) 现在分析矩阵∏。因为 | ∏ | =??

?

???--16/12/116/12/1= 0，∏是降秩的。为求 ∏ 的特征值，解如下特征方程，

| ∏ - λ I | = ??????-????

??--λλ0016/12

/116/12

/1= ??

?

???---λλ

16/12/116/12/1

= 1/32 + 9/16λ + λ 2 –1/32

= λ 2 + 9/16λ = λ (λ + 9/16) = 0 (8.53)

两个根是λ1 = 0，λ2 = - 9/16。

λ1 = 0，说明 ∏ 是降秩的。一般来说，非零根的个数既是 ∏ 的秩。 当 ∏ 完全降秩，即rank(∏) = 0时，任意形式的 ∏ 通过适当线性变换，可以得到 ∏ = 0。于是（8.52）式变为，

? Y t = u t

这是一阶差分形式的平稳的V AR 模型。说明Y t 中含有一个单位根。V AR 模型中没有协整向量。

现在讨论多于一个协整关系的情形。

例8.7 设三个变量的k = 1的误差修正模型如下，

? y 1, t = - (1/2) [y 1, t -1 - (1/8) y 2 t -1] + (1/4) [y 2, t -1 - (1/4) y 3 t -1]+ u 1 t

? y 2, t = (1/8) [y 1, t -1 - (1/8) y 2 t -1]– (5/8) [y 2, t -1 - (1/4) y 3 t -1]+ u 2 t ? y 3, t = (1/4) [y 1, t -1 - (1/8) y 2 t -1] + (3/8) [y 2, t -1 - (1/4) y 3 t -1]+ u 3 t 矩阵形式是

????

?????????t t t y y y ,3,2,1=

????

?

?????--8/34/18/58/14/12/1??????--4/11008/11??????????---1,31,21,1t t t y y y +???

??

?????t t t u u u 321 (8.54) ∏ = α β ' =??

?

?

?

?????--8/34/18/58/14/12/1??????--4/11008

/11=????

??????----32/332/114/132/564/418/116/116/52/1 ∏ 的特征值是 -0.7928，-0.4416，0。存在两个协整关系。

注意：在第一个协整向量中，y 3, t 的系数被约束为零。在第二个协整向量中，y 1, t 的系数

被约束为零。这说明两个均衡关系是不一样的，可识别的。

例8.8 设k = 2的V AR 模型

??

????t t y y 21 = ??

????16/34/316/18/5??????--1,21,1t t y y +???

???---4/34/14/18/1??????--2,22,1t t y y +??

????t t u u 21 与其相应的误差修正模型是，

???

?

????t t y y ,2,1=???

???--16/12/116/12/1??

????--1,21,1t t y y +???

???-4/34/14/18/1????????--1,21,1t t y y +???

???t t u u 21 (8.55) = ??????-2/12/1(1 -81)??????--1,21,1t t y y +???

???-4/34/14/18/1????????--1,21,1t t y y +??????t t u u 21 = ??????-2/12/1 ( y 1, t -1 -81y 2 t –1) +?

?

????-4/34/14/18/1????????--1,21,1t t y y +??

????t t u u 21 其中∏ = ????

??--16/12

/116/12

/1=??????-2/12/1(1 -8

1

) = α β '。 若Y t ~ CI(1, 1)，则协整向量是 (1 -8

1

) '。

8.8 单位根与∏ 降秩的关系。

下面分析V AR 模型中存在单位根与压缩矩阵∏降秩的关系。以k = 1的V AR 模型为例，

Y t = ∏1 Y t -1 + u t (8.56)

它的VEC 表达式是

?Y t = ∏ Y t -1 + u t 。 (8.56)式还可以写为

(I - ∏1 L )Y t = A (L )Y t = u t (8.57)

其中A (L ) = (I - ∏1 L )是矩阵形式的反特征多项式。

根据矩阵运算规则，对于方阵A ，有A (L )-1 = adj (A (L ) )/ | A (L ) |，或

adj (A (L ) ) A (L ) = | A (L ) | (8.58) 其中adj (A (L ) )是A 的伴随矩阵。| A (L ) | 是A 的行列式。用adj (A (L ) )左乘(8.57)式 adj (A (L ) )A (L )Y t = adj (A (L ) ) u t

利用(8.58)式得

| A (L ) | Y t = adj (A (L ) ) u t (8.59) 其中| A (L ) | 对于Y t 的每一个分量来说，都是一个以滞后算子L 为变数的k 阶多项式（标量）。因为u t 是平稳的，如果Y t ~ I (1)，| A (L ) |就可以被分解为 (1- L ) |A *(L ) |。（其中|A *(L ) |是分解出因子(1- L )后，相应k -1阶多项式（标量）。单位根算子(1- L )将与Y t 中每一个变量相乘。）若V AR 模型中存在单位根，则必有

| A (1) | = (1- 1) |A *(1) | = 0

即

| A (1) | = | I - ∏1 | = -| ∏ | = 0

所以如果V AR 模型中存在单位根，∏ 一定降秩。下面举例说明。

例8.9 一阶2变量V AR 模型如下：

Y t = ∏1 Y t -1 + u t

其中 ∏1 =??

?

???16/152/116/12/1

A (L ) = I - ∏1 L = ??????1001-?????

?L L L L )16/15()2/1()16/1()2/1(=??????----L L L L )16/15(1)2/1()16/1()2/1(1= -∏

| A (L ) | = 1- (23/16)L + (7/16)L 2 = (1-7/16 L ) (1- L )

其中A *(L ) = (1-7/16 L )。上式存在两个根，一个是L =1，一个是L = 16 / 7。

从而验证当V AR 中存在单位根时，与单变量情形相同，有结论| A (1) | = 0，即| ∏ | = 0，

∏降秩。

中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． O D C B A 模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二： ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ．

∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°． （2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________． 图② F D C B A E 312图⑤ P O Q A B F C D 图⑥ 2 1 E D C F O B A （2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型） ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习： 1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ； 图 图① O O E E D D C C B B A A 解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：

网络仿真技术文献综述

成绩：

网络仿真文献综述 摘要:网络仿真技术是一种通过建立网络设备和网络链路的统计模型, 并模拟网络流量的传输, 从而获取网络设计或优化所需要的网络性能数据的仿真技术。网络仿真技术以其独有的方法能够为网络的规划设计提供客观、可靠的定量依据，缩短网络建设周期，提高网络建设中决策的科学性，降低网络建设的投资风险。 网络仿真技术是一种通过建立网络设备和网络链路的统计模型, 并模拟网络流量的传输, 从而获取网络设计或优化所需要的网络性能数据的仿真技术。由于仿真不是基于数学计算, 而是基于统计模型，因此，统计复用的随机性被精确地再现。 关键词：网络仿真；统计模型；仿真技术

1.前言 目前，数据网络的规划和设计一般采用的是经验、试验及计算等传统的网络设计方法。不过，当网络规模越来越大、网元类型不断增多、网络拓扑日趋复杂、网络流量纷繁交织时，以经验为主的网络设计方法的弊端就越来越显现出来了。网络规划设计者相对来说缺乏大型网络的设计经验，因此在设计过程中主观的成分更加突出。 数学计算和估算方法对于大型复杂网络的应用往往是非常困难的，得到的结果的可信性也是比较低的，特别是对于包交换、统计复用的数据网络，情况更是如此。因此，随着网络的不断扩充，越来越需要一种新的网络规划和设计手段来提高网络设计的客观性和设计结果的可靠性，降低网络建设的投资风险。网络仿真技术正是在这种需求拉动下应运而生的。网络仿真技术以其独有的方法能够为网络的规划设计提供客观、可靠的定量依据，缩短网络建设周期，提高网络建设中决策的科学性，降低网络建设的投资风险。 网络仿真技术是一种通过建立网络设备和网络链路的统计模型, 并模拟网络流量的传输, 从而获取网络设计或优化所需要的网络性能数据的仿真技术。由于仿真不是基于数学计算, 而是基于统计模型，因此，统计复用的随机性被精确地再现。它以其独有的方法为网络的规划设计提供客观、可靠的定量依据，缩短网络建设周期，提高网络建设中决策的科学性，降低网络建设的投资风险。 2.网络仿真软件比较分析 网络仿真软件通过在计算机上建立一个虚拟的网络平台，来实现真实网络环境的模拟，网络技术开发人员在这个平台上不仅能对网络通信、网络设备、协议、以及网络应用进行设计研究，还能对网络的性能进行分析和评价。另外，仿真软件所提供的仿真运行和结果分析功能使开发人员能快速、直观的得到网络性能参数，为优化设计或做出决策提供更便捷、有效的手段。因此运用网络仿真软件对网络协议、算法等进行仿真已经成为计算机网络通信研究中必不可少的一部分。 2.1 OPNET仿真软件介绍

1第一章 8字模型与飞镖模型(1)

O D C B A 图12图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A H G E F D C B A 第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C B A M D C B A O 135E F D C B A 105O O 120 D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

多领域建模理论与方法

XXX理工大学 CHANGSHA UNIVERSITY OF TECHNOLOGY&TECHNOLGY 题目：多领域建模理论与方法 学院： XXX 学生： XXX 学号: XXX 指导教师： XXX 2015年7月2日

多领域建模理论和方法 The theories and methods of Multi-domain Modeling Student:XXX Teacher:XXX 摘要 建模理论和方法是推动仿真技术进步和发展的重要因素，也是系统仿真可持续发展的基础[1]文中综述了多领域建模主要采用的四种方法，并重点对基于云制造的多领域建模和仿真进行了叙述，并对其发展进行了展望。 关键词：多领域建模仿真；云制造；展望 Abstract：The theory and method of system model building is not only the key factor to stimulate the development and improvement of simulation technique but also the base of system simulation. This paper analysis four prevails way in Multi-domain Modeling, especially to the Multi-domain Modeling and Simulation in cloud manufacturing environment. We give a detail on its development and future. Keywords: Multi-domain Modeling and simulation; Cloud manufacturing; Future development 一引言 随着科学技术的发展进步和产品的升级需求，对产品提出了更高的要求，使得建模对象的组成更加复杂，涉及到各个学科、进程的复杂性以及设计方法的多元化。这些需求都是以前单领域建模方案无法满足的，因此，必须建立一个建模方式在设计过程中完成对繁杂目标的多领域建模、结构仿真、多元化分析等。 多领域建模是将机械、控制、电子等不同学科领域的模型“组装”成一个更大的模型进行仿真。根据需要的不同，实际建模过程中，可以将模型层层分解。将不同领域的仿真模型“零件”组装成“部件”，“子系统”则是由不同学科下的部件装配而成，与此同时装配完成的不同学科的分子系统还能再装配成为一个全面仿真模型，称之为“系统”，由此可见多领域建模技术在繁杂产品设计过程中具有出众的优势。 本文对多领域建模常用的四种方法：基于各领域商用仿真软件接口的建模方法；基于高层体系结构的建模方法；基于统一建模语言的多领域建模方法和基于云制造环境下多领域建模的方法进行了分析并对基于云制造环境下多领域建模方法进行了展望。

NPT型IGBT电热仿真模型参数提取方法综述_徐铭伟

电力自动化设备 Electric Power Automation Equipment Vol．33No．1Jan.2013 第33卷第1期2013年1月 0引言 近年来，绝缘栅双极型晶体管IGBT （Insulated Gate Bipolar Transistor ）因其不断改善的电压、电流承受能力和工作频率、功率损耗等性能指标而被广泛应用到机车牵引、开关电源、新能源发电等电能变换和处理领域中［1］，因此IGBT 的可靠性受到国内外科研工作者的广泛关注。研究表明，与IGBT 器件结温（T j ）相关的热循环过程和器件封装材料热膨胀系数不一致是致其故障的主要诱因［2-3］，IGBT 的电热仿真模型可以估计结温的变化情况，从而可用于IGBT 可靠性的评估。国内外对IGBT 的电热仿真模型开展了大量研究工作［4-6］，其中基于半导体物理并考虑自热效应（Self -heating ）的IGBT A.R.Hefner 器件模型［6］ 和反映其封装传热过程的Cauer 网络［7-9］联合组成的IGBT 电热模型准确度较高，并已在Saber 、Pspice 等电路仿真软件中得到应用［10-11］，但是，仿真软件有限的器件模型库无法满足仿真需要，同时出于技术保密的缘故，半导体制造商并不会提供建立电热模型需要的模型参数，因此如何建立一种有效并准确的参数提取方法就显得十分必要。 IGBT 电热仿真模型参数同半导体物理、器件以 及封装结构直接相关，无法直接测量，只能通过一定 的技术方法和手段获取。一个有效的参数提取过程是获得有效的电热模型的前提条件；此外，实现模型参数的准确提取对于分析IGBT 的性能、优化驱动电路的设计、指导其应用以及选型都具有重要意义。在参数提取之后，有效性验证也至关重要，可以让使用者合理选择器件的工作范围。由于非穿通（NPT ）型 IGBT 目前在工业领域中已获得了广泛而成熟的应 用［12］，本文将以其作为参数提取的研究对象。本文从NPT 型IGBT 电热仿真模型的工作原理出发，首先将模型参数分为电参数和热参数两大类。然后对近年来模型参数提取方法的研究情况进行讨论，依据提取手段的不同将文献中出现的IGBT 电参数提取方法归纳为4类：仿真提取［13］；经验估计，如利用经验公式［12，14-18］、数据手册［15-16］或者参数典型范围［12］；参数隔离［19-27］；参数优化，包括直接搜索技术［14］、模拟退火算法［28-29］、变量轮换法［30-32］等。同时归纳Cauer 网络的参数提取可以从IGBT 的封装结构［8-9，33-34］和封装瞬态热阻曲线［7，35-36］2个方向出发，并列表给出了提取电参数和热参数的不同方法之间的优缺点。最后对各种提取方法进行了总结，并讨论了一个模型电参数提取步骤，以增强参数提取工作的有序性和可靠性，这对于提高IGBT 电热仿真模型的应用水平，扩大其使用范围起到了积极的作用。 1IGBT 电热仿真模型及其参数 IGBT 的电热仿真模型是建立在考虑了半导体 自热效应的Hefner 物理模型基础之上，耦合了受结温影响的器件模型及与散热路径相关的动态热模型。在分析器件损耗特性、辅助电力电子设计以及研究因器件老化衰退引起的变换器端口特性等方面， ＮＰＴ型ＩＧＢＴ电热仿真模型参数提取方法综述 徐铭伟，周雒维，杜 雄，沈 刚，杨 旭 （重庆 大学输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆400044） 摘要：对NPT 型IGBT 电热仿真模型的工作原理进行了概述，并将模型参数分为电参数（即基于半导体物理的Hefner 器件模型参数）和热参数（即反映器件封装传热的Cauer 网络参数）两大类，然后对近年来模型参数提取方法的研究情况进行讨论。依据提取技术手段的不同将IGBT 电参数提取方法归纳为仿真提取、经验估计、参数隔离和参数优化4类，并从时效性、准确性、复杂性等方面对各种方法进行了比较和评价；从IGBT 的封装结构和封装瞬态热阻曲线2个方向出发讨论了Cauer 网络参数的提取。最后讨论了一个模型电参数的提取步骤。 关键词：绝缘栅双极型晶体管；电热；仿真；模型；参数提取；热网络；电参数；热参数中图分类号：TM 322 文献标识码：A DOI ：10.3969／j.issn.1006-6047.2013.01.026 收稿日期：2011－08－09；修回日期：2012－10－19 基金项目：科技部国际合作项目（2010DFA72250）；国家自然科学基金资助项目（51077137）；输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室重点资助项目（2007DA10512711101）；中央高校基本科研业务费资助项目（CDJXS11150022） Project supported by the International Cooperation Project of the Minister of Science and Technology of China （2010DFA -72250），the National Natural Science Foundation of China （51077137），the Key Program in State Key Laboratory of Power Transmission Equipment &System Security and New Tech -nology （2007DA10512711101）and the Fundamental Research Funds for the Central Universities of China （CDJXS11150022）

计算机仿真技术概述及其在交通仿真领域的应用

计算机仿真技术简介 计算机仿真技术是一门综合性信息技术，它通过专用软件，整合图像、声音、动画等，将三维的现实环境、物体模拟成多维表现形式的计算机仿真，再由数字媒介作为载体传播给人们。当人们通过该媒体浏览观赏时就如身临其境一般。并且可以选择任意角度，观看任意范围内的场景或选择观看物体的任意角度。正是由于对身临其境的真实感和对超越现实的虚拟性，以及建立个人能够沉浸其中、超越其上、进出自如、具有交互作用的多维信息系统的追求，推动了计算机仿真技术在各个领域中的应用与发展。并且，因其有效性、经济性、安全性、直观性等特点而受到广泛的应用。它是在计算机图形学基础上发展起来的一种仿真应用技术。 计算机仿真已成为系统仿真的一个重要分支，系统仿真很大程度上指的就是计算机仿真。计算机仿真技术的发展与控制工程、系统工程及计算机工程的发展有着密切的联系。一方面，控制工程、系统工程的发展，促进了仿真技术的广泛应用；另一方面，计算机的出现以及计算机技术的发展，又为仿真技术的发展提供了强大的支撑。工业方面，计算机仿真一直作为一种必不可少的工具，在减少损失、节约经费开支、缩短开发周期、提高产品质量等方面发挥着重要的作用。 综上所述，计算机仿真技术是以数学理论、相似原理、信息技术、系统技术及其应用领域有关的专业技术为基础，以计算机和各种物理效应设备为工具，利用系统模型对实际的或设想的系统进行试验研究的一门综合性技术。它集成了计算机技术、网络技术、图形图象技术、面向对象技术、多媒体、软件工程、信息处理、自动控制等多个高新技术领域的知识。 计算机仿真技术原理 对于需要研究的对象，计算机一般是不能直接认知和处理的，这就要求为之建立一个既能反映所研究对象的实质，又易于被计算机处理的数学模型。关于研究对象、数学模型和计算机之间的关系，可以用图1来表示。

初中数学优质专题：8字模型与飞镖模型

1 O D C B A 图1 2图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A 第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。

2 H G E F D C B A D C B A M D C B A O 135 E F D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和 ∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。

3 105O O 120 D C B A O D C B A 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。

2021中考数学易错题飞镖模型8字模型探究试题

2021中考数学易错题飞镖模型8字模型探究试题模型一：角的飞镖模型基础 结论：C + ∠ ∠ = ∠ B + A BDC∠ 解答： ①方法一：延长BD交AC于点E得证 ②方法二：延长CD交AB于点F得证 ③方法三：延长AD到在其延长方向上任取一点为点G得证 总结： ①利用三角形外角的性质证明

模型二：角的8字模型基础结论：D ∠ ∠ = + + C B A∠ ∠

解答： ①方法一：三角形内角和得证 ②方法二：三角形外角【BOD 】的性质得证总结： ①利用三角形内角和等于 180证明 推出 ②利用三角形外角的性质证明

角的飞镖模型和8字模型进阶 【例1】如图，则= ∠E D B A + C + + ∠ ∠ ∠ + ∠ 解答： ①方法一：飞镖ACD得证 ∠E + D C A B ∠ ∠ = 180 ∠ + + ∠ +

②方法二：8字BECD得证 + ∠ ∠E B A + C D ∠ = + 180 + ∠ ∠ 【例2】如图，则= E ∠F + D C A B ∠ ∠ ∠ + + ∠ ∠ + + 解答：飞镖ABF+飞镖DEC得证 ∠F + ∠ E D B + A C ∠ = ∠ + 210 ∠ ∠ + + 【例3】如图，求= E D ∠F B A + C ∠ + ∠ + ∠ ∠ + ∠ + 解答：8字模型得证 ∠F + ∠ E D A B C + 360 + = ∠ ∠ ∠ + ∠ + 【例4】如图，求= ∠D C A + B ∠ + ∠ + ∠

解答：连接BD得飞镖BAD+飞镖DBC得证 + ∠D A ∠ C B = + ∠ 220 + ∠ 【例5】如图，求= ∠H G ∠ F + D A C + E B + ∠ + ∠ ∠ + + ∠ + ∠ ∠ 解答：飞镖EHB+飞镖FAC得证 ∠H ∠ + + ∠ G F A B C D E ∠ + + = 360 ∠ ∠ ∠ + + ∠ + 模型三：边的飞镖模型基础 结论：CD + > AC BD AB+

联合建模与仿真系统概述

联合建模与仿真系统概述 棣华编译 摘要：本文介绍美国“联合建模与仿真系统（JMASS）”项目研究室的联合建模与仿真系统。该项目是一个仿真支持环境，它包含一个定义严格、文件齐全的接口标准集，模型可按此标准集建立。JMASS提供的软件工具可帮助用户建立真实环境系统表示、组配模型块、将模型块组装成仿真系统、运行这些仿真系统、并且处理其结果。JMASS是美国三军使用的产品，有近300在册用户，其参与者有美国陆军、海军、空军、国防部、国防情报局和工业部门。系统采用普遍应用的面向对象技术，在WindowsNT，SunSolaris和SGIIRIX计算环境下运行一套单独的源代码。JMASS目前以其标准的交战级和工程级仿真框架适用于采购、测试、评估及科研技术情报各界。它为美国“基于仿真的采购”（SBA）政策提供了技术方面的关键要素。JMASS遵从“高层体系结构”（HLA）的要求，以HLA提供的通用技术框架来保证各不同仿真部件的互操作性。本文概述JMASS的概念、操作和实用性。 关键词：联合建模仿真建模 1 JMASS背景 美国早期没有正规化的建模和仿真，但在第二次世界大战期间，“运筹学”的发展以纯数学模型开始填补这一空白。六十年代，由于通用计算机的广泛使用，大量的“多对多”交战模型被用来描述各种敌友实体间的事件交互，诸如模拟飞机和地对空导弹（SAM）发射场。七十年代，建模和仿真的独立应用激增，有了更详细的设计和交战模型，假定和限制性条件各不相同，其结果也大相径庭。美国仿真界经历了SAM仿真模型的开发，例如“加强型SAM模型”（ESAMS）。对敌方指挥控制和建模的研究导致产生了SUPPRESSOR。八十年代出现模型分级体系，为仿真结果的逻辑一致性提供了一整套工具，由此，一种模型的输出可以成为另一模型的输入。由于模型开发费用巨大，因此模型可重用性成为研究热点。基于对象技术的综合建模系统被提出来作为一种技术解决方案，以减轻模型开发和产权的费用负担。进入九十年代，JMASS成为这一领域联合开发的先驱，随后出现了“联合仿真系统”（JSIMS）和“联合作战仿真”（JWARS）。 JMASS的最初设计用于支持武器系统开发和采购所需的高逼真度交战级分析。自九十年代早期，JMASS从一个“唯UNIX”的系统发展成为一个紧凑高效的系统，所要求的硬盘空间不超过100Mbytes。初始运行能力计划在2001年早期完成，全面运行能力计划在2004年完成。到JMASS全部完成时，它将成为一个完整的仿真系统，包含一套定义良好的标准和规范、有效的仿真引擎、有助于分析人员和模型开发人员工作的各种工具和经过确认的威胁模型的基础结构。一套

船舶动力系统仿真模型综述

Dynamical Systems and Control 动力系统与控制, 2017, 6(3), 91-97 Published Online July 2017 in Hans. https://www.wendangku.net/doc/b53838975.html,/journal/dsc https://https://www.wendangku.net/doc/b53838975.html,/10.12677/dsc.2017.63012 文章引用: 杨叔华, 梁前超, 焦宇飞. 船舶动力系统仿真模型综述[J]. 动力系统与控制, 2017, 6(3): 91-97. A Summary of Simulation Model in Ship’s Power System Shuhua Yang 1,2, Qianchao Liang 1, Yufei Jiao 2 1 Naval University of Engineering, Wuhan Hubei 2 The Equipment Department of Naval, Ningbo Zhejiang Received: Apr. 2nd , 2017; accepted: May 15th , 2017; published: May 18th , 2017 Abstract In this paper, the simulation model of ship’s power system is studied. And the complexity of simu-lation design in ship’s power system is discussed. A simulation model of the ship’s power system include the model of a turbocharged diesel engine, gas turbine, combined power system and the application in ship’s equipment. Keywords Diesel Engine, Gas Turbine, Simulation Model 船舶动力系统仿真模型综述 杨叔华1,2，梁前超1，焦宇飞2 1 海军工程大学，湖北 武汉 2 浙江宁波某装备部，浙江 宁波 收稿日期：2017年4月2日；录用日期：2017年5月15日；发布日期：2017年5月18日 摘 要 本文研究了各种船舶动力系统仿真模型问题，讨论了船舶动力装置系统仿真设计的复杂性。船舶动力系统仿真模型包括涡轮增压柴油机仿真系统模型、燃气轮机仿真系统模型、联合动力系统模型及它们在船舶动力装置中的应用。

初中数学常见模型之8字模型与飞镖模型

O D C B A 图12图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A H G E F D C B A 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C B A M D C B A O 135E F D C B A 105O O 120 D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

建模仿真文献综述

文献综述： 关于零位仪： 《白光瞄准镜零位走动量测量方法研究》（张聪，安志勇，韩迪，张继明）这篇文章是说针对瞄准镜在射击前后会有一定的变动量即零位走动量。文中介绍了一种测量零位走动量的方法，该方法采用CCD 测量总的零位变化量，再通过光电自准直仪测量出重复装卡时产生的误差，两者的差值即为纯粹的零位走动量。针对之前无法剔除重复装卡引起误差的方法，该测量方法的优势在于可以测量纯粹的零位走动量，通过对工作原理的介绍以及实验分析，结果表明，白光瞄具的纯粹零位走动量σ值不大于6.48（″0.03 mil）；该方法所测得的零位走动量精度高，符合技术指标要求。之后《高精度白光与微光瞄具零位走动量检测技术研究》（王莹, 王劲松, 崔士宝, 安志勇）所说的是针对白光瞄具前加设微光镜组而成的组合式瞄具零位高精度检测需求,研究了一种可检测组合式瞄具纯零位变化及微光镜组光轴走动量的光电检测方法。该方法采用CCD 相机测量组合式瞄具总的零位变化量,双自准直仪对组合式瞄具装卡产生的误差和微光镜组装卡产生的调整架姿态变化进行定量检测,并从CCD 测量值中予以剔除,最终得到组合瞄具的纯零位变化以及微光镜组的光轴走动量。《红外瞄具零位走动量测试系统研究》（谢斌）从此文中第二章【零位走动量主要的测量方法】介绍了什么是零位走动量，为什么要测量它以及测量的方法 关于建模仿真：

《机械行业三维建模技术综述》（罗阿妮张桐鸣刘贺平李杨）针对机械行业广泛使用的三维建模技术进行了系统的调研分析，以常用软件为分析单元，从其功能特点、发展历程、技术更新趋势!应用 领域等方面着手，进行了详细的阐述;，同时阐述了三维建模技术之 间及三维建模技术与常用分析软件之间及办公软件的接口技术。《三 维建模技术研究进展》（栾悉道应龙谢毓湘吴玲达文军）三维建模是许多研究与应用领域的关键技术。对三维建模技术中涉及的三维数据获取与建模方法进行了系统的介绍,重点对激光扫描系统、基于图像建模技术进行了说明与对比。阐述了三维建模技术的最新研究进展及应用。最后指出模型检索研究以及数字化手段存在的问题, 对三维建模的研究进行了展望。《SolideWorks在机械领域的功能介 绍和发展前景》（凌雨来魏智）现如今中国制造业发展异常迅速，产业基础越做越大，三维设计应用不断深入，企业逐渐意识到仅仅依靠单一的平面模型并不能满足他们所追求的真实感和立体感，设计必须从平面向三维空间转型，各类三维建模软件相继出世，而SolideWorks 这款三维建模软件又是凭借什么经久不衰的呢？本文 主要针对 SolideWorks 的 CAD 设计，CAE 有限元分析，CAM 数控编程模块这三个角度阐述其在机械领域功能应用，以及其在机械领域的发展前景。Solidworks是现代工程设计中常用的一种三维设计软件,它具有丰富的零件实体建模功能。通过拉伸、旋转、薄壁特征、抽壳、特征阵列以及打孔等操作,简便的实现产品的设计。通过带控制线的 扫描、放样、填充等实现复杂的曲面构造,并可以对曲面进行直观的

中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型 模型1：角的8字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． O D C B A 模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二： ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°． （2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．

中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型 ∠C ． O D C B A 模型分析 ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．

（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________． 图② F D C B A E 312图⑤ P O Q A B F C D 图⑥ 2 1 E D C F O B A （2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型） ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习： 1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ； 图 图① O O E E D D C C B B A A 解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二： （2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．

2021年中考复习 第02讲—飞镖模型和8字模型

模型一：角的飞镖模型基础 结论：C B A BDC ∠+∠+∠=∠ 解答： ①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证 ②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证 ③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证 总结： ①利用三角形外角的性质证明

模型二：角的8字模型基础 结论：D C B A ∠+∠=∠+∠

解答： ①方法一：三角形内角和得证 】的性质得证②方法二：三角形外角【BOD 总结： 180证明 ①利用三角形内角和等于 推出 ②利用三角形外角的性质证明

角的飞镖模型和8字模型进阶 【例1】如图，则=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A 解答： ①方法一：飞镖ACD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ②方法二：8字BECD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A 【例2】如图，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A

解答：飞镖ABF+飞镖DEC 得证 210=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 【例3】如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 解答：8字模型得证 360=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 【例4】如图，求=∠+∠+∠+∠D C B A

解答：连接BD 得飞镖BAD+飞镖DBC 得证 220=∠+∠+∠+∠D C B A 【例5】如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A 解答：飞镖EHB+飞镖FAC 得证 360=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A 模型三：边的飞镖模型基础 结论：CD BD AC AB +>+

(完整word版)第一章8字模型与飞镖模型(无答案)

O D C B A 图12图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A H G E F D C B A 第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C B A M D C B A O 135E F D C B A 105O O 120 D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

8字模型与飞镖模型 8字型与飞镖型是中考几何模型中常见的两种结构，熟悉这两种结构对于我们快速解题有着极其重要的帮助。 模型1：角的8字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． O D C B A 模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二： ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E

＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°． （2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________． 图② F D C B A E 312图⑤ P O Q A B F C D 图⑥ 2 1 E D C F O B A （2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型） ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习： 1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ； 图 图① O O E E D D C C B B A A 解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：