微积分第二章极限与连续

第二章 极限与连续

第一节 数列的极限

一、 数列的概念

所谓数列，直观地说就是将一些数排成一列，这样一列数就称为一个数列．数列中的数可为有限多个，也可为无限多个，前者称为有限数列，后者称为无限数列．中学讨论的一般是有限数列，我们以后研究的通常是无限数列．一般，有下述定义．

定义1 设x n =f (n )是一个以正整数集为定义域的函数，将其函数值x n 按自变量n 的大小顺序排成一列

x 1,x 2,x 3,…，x n ,…

称为一个数列．数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项x n 叫做数列的一般项或通项．数列也可表示为｛x n ｝或x n =f (n )．

由于数列x n =f (n )是定义在正整数集上的函数，当然可以像对待函数一样，讨论其单调性和有界性．

定义2 若数列｛x n ｝满足

x 1≤x 2≤…≤x n ≤…，

则称｛x n ｝是单调递增数列．如果

x 1≥x 2≥…≥x n ≥…，

则称｛x n ｝是单调递减数列．如果上述不等式中等号都不成立，则称｛x n ｝是严格单调递增数列或严格单调递减数列．单调递增和单调递减数列统称为单调数列．

可以看出，单调数列的定义是单调函数定义中的特殊情形．

定义3 若存在M ＞0，使得对一切x n ,n =1,2,…，都有｜x n ｜≤M ，则称数列｛x n ｝是有界的，否则称｛x n ｝是无界的．

易见，有界数列的定义是有界函数定义中的特殊情形．因此，也有上、下界的概念，不再赘述．

注意到︱x n ︱≤M 的充要条件是-M ≤x n ≤M ，即x n ?［-M ，M ］．如果我们将x n 用数轴上的点表示，则从几何上看，所谓｛x n ｝有界，就表示存在一个关于原点对称的区间［-M ，M ］，使得所有的x n 均落在这一对称区间内，即x n ?［-M ，M ］．反之亦然(图2-1)．

图2-1

例1 (1) 数列x n =1+

1n ，具体写出就是2，341

,,,,;23n n

+ (2) 数列(1)n n ??-?

?????

，具体写出就是-1，12,13-,…，

(1)n n -，…； (3) 数列x n =1(1)2n +-，具体写出就是0，1，0，1，…，1(1)2

n

+-,…；

(4) 数列｛n 2

｝，具体写出就是1，4，9，16，…，n 2

，…．

易见，数列(1)，(4)是单调数列，而(2)，(3)不是．数列(1)，(2)，(3)都是有界数列，但数列(4)不是有界数列，而是无界数列．

二、 数列的极限

观察例1中4个数列的变化趋势，我们发现有的数列中的项会随着n 的不断增大而越来越接近于某一个常数．比如数列x n =1+

1

n

，当n 越来越大时，数列中的对应项会越来越接近于1．而当n 越来越大时，数列(1)n

n ??

-?????

?中的对应项会越来越接近于0．数列(3)和数列(4)

则不具有这一特点．我们重点研究具有这一特点的数列．

定义4 设｛x n ｝为一数列，若当n 取正整数且无限增大时，数列中对应的项x n (即通项)无限接近于一个确定的常数A ，则称｛x n ｝收敛于A ，或称A 为｛x n ｝的极限，记作

lim n

n x →∞

=A ,或x n

→A (n →∞)，

此时也称｛x n ｝的极限存在．否则称｛x n ｝的极限不存在，或称｛x n ｝发散．

由定义4及例1，有1

(1)1lim n n →∞

+=，(1)0lim n n n →∞-=．而1(1)2lim n

n →∞+-和

2lim n n →∞

均不存在．

例2 考察下列数列，并指出其极限： (1) x n =b ，其中b 为常数；

(2) x n =2

1

()2

．

解 (1) x n =b ，具体写出来就是b ，b ，b ，…，b ，…．由于不论n 取何值，x n 恒为常数b ，因此，

2

lim n x

b →∞=,即lim n b b →∞

=．这一结果可以说成是：常数的极限就是常数本身．

(2) x n =2

1

()2，即12,212，312，…，12n ，…，当n 无限增大时，对应项1

2

n 无限接近于0，因此，

1()02

lim n n →∞=． 类似地，当｜q ｜＜1时，有

0lim n

n q

→∞

=．

定义4只是极限的描述性定义，在这个定义中没有讲清楚“n →∞”和“x n →A ”的具体

数学含义．用定义4，我们甚至难以令人信服地解释为什么数列x n =1(1)2

n

+-的极限既不是

0，也不是1，而是不存在．因此，我们有必要介绍数列极限的严格数学定义．

研究数列x n =1+

1

n

．首先，我们将数列中的项依次在数轴上描出(图2-2)．

图2-2

我们可直观地看出，当n 越来越大时，对应的项x n 会越来越接近于1，即“当n →∞时，x n →1”．如何用量化的数学语言来刻划“n →∞”和“x n →1”这一事实呢?

注意到实数a ,b 的接近程度由∣a -b ∣确定，∣a -b ∣越小，则a ,b 越接近．因此，要说明“当n 越来越大时，x n 越来越接近于1”就只须说明“当n 越来越大时，∣x n -1∣会越来越接近于0”．而要说明这一点，就只须说明“当n 充分大时，∣x n -1∣能够小于任意给定的无论多么小的正数ε”就行了，换一句话说，无论你给一个多么小的正数ε，当n 充分大时， ∣x n -1∣可以比ε还小，由于ε是任意的，从而就说明了当n 越来越大时，∣x n -1∣会越来越接近于0．我们看看x n = 1

1n +

是否具有这一特点． 事实上，由于∣x n -1∣= 1n ,给ε1= 11000

,要∣x n -1∣=1n <1

1000,只须n ＞1000即可，

也就是说在这个数列中，从第1001项开始，以后的各项(第1001项，第1002项，第1003项，…)均满足∣x n -1∣＜

1

1000

． 又给ε2=

110000 (比ε1更小)，要使∣x n -1∣=1n ＜1

10000

,只须n ＞10000即可，也就

是说在这个数列中，从第10001项开始，以后的各项均满足∣x n -1∣＜1

1000

．

一般地，任给ε＞0，不论多么小，要使∣x n -1∣=1n ＜ε,只须n ＞1

ε

即可，因此，从

第1ε??????

+1项开始，以后各项都满足∣x n -1∣＜ε．因ε是任意的，这就说明当n 越来越大

时，数列x n 会越来越接近于1．

定义5 设｛x n ｝是一个数列，A 是一个常数，若对任给的ε＞0，存在正整数N ，使得当n ＞N 时，都有∣x n -A ∣＜ε，则称A 是数列｛x n ｝的极限，或称｛x n ｝收敛于A ，记作

lim n n x →∞

=A ,或x n →A (n →∞)．

此时也称数列｛x n ｝的极限存在．否则，称｛x n ｝的极限不存在，或称｛x n ｝发散．

对于定义5，应注意下面几点．

(1) 定义中的ε是预先给定的任意小的正数，因此，ε既具有任意性，又具有确定性．其任意性保证了x n 可无限接近于A ．ε的确定性体现在一旦给定一个ε，则这个ε就暂时固定不变．但每次所给的ε可以不同．如定义5前段分析中的ε1，ε2等．

(2) 一般说来，定义中的N 是随ε的变化而变化的，给定不同的ε，所确定的N 一般也不同．比如在定义5前面的分析中，当ε1=

1

1000

时，N =1000;当ε2=110000时，N =10000;

对一般的ε＞0,N =1ε??????

．因此，定义5中的N 表示的是项数，表示从第N +1项开始，以后

各项均满足∣x n -A ∣＜ε．另外，对同一个ε来说，N 不是唯一的．因为对给定的ε＞0，若存在一个N 满足“当n ＞N 时，有∣x n -A ∣＜ε”．则当n >N +1时，也有∣x n -A ∣＜ε.故可将N +1看作定义中的N ．同理，N +2，N +3，…均可作为定义中的N ．

(3) 定义中“当n ＞N 时，有∣x n -A ∣＜ε”的意思是从第N +1项开始，以后的各项都满足∣x n -A ∣＜ε．至于第N +1项前面的项(即第1项，第2项，…，第N 项)是否满足此式则不必考虑 ．可见，一个数列是否存在极限只与其后面的无穷多项有关，而与前面的有限多项无关．去掉、增加或改变数列的有限项，不会改变数列收敛和发散的性质．

(4) 数列极限的几何意义．由于∣x n -A ∣＜ε就表示x n ?（A -ε，A +ε）=U (A ，ε)．因此，从几何上看，x n →A (n →∞)就是对以A 为心，以任意小的正数ε为半径的邻域U (A ，ε)，总能找到一个N ，从第N +1项开始，以后的各项(无限多项)都落在邻域U (A ，ε)内，而在U (A ，ε)外，至多有N 项(有限项)(图2-3)．由于半径ε可任意小，而邻域U (A ，ε)中总有无穷多个x n 中的点，可以想象，x n 中的点 “凝聚”在点A 的附近，所以也称A 为｛x n ｝的聚点．

图2-3

例3 证明sin lim

n n

n →∞=0．

证 这里x n =sin n

n

，A =0,可按定义5证明这一结论．

任给ε＞0，要使∣x n -A ∣=∣sin n n ∣＜ε，由于∣sin n

n

∣≤1n ，故只须1n ＜ε，或

n ＞

1ε即可．取N =1ε??

????

， 则当n ＞N 时，有 ∣x n -A ∣=∣

sin n

n

-0∣＜ε． 故 sin lim n n

n

→∞=0．

例4 利用极限的几何意义，说明1(1)lim 2

n

n →∞+-不存在．

解 x n =1(1)2

n

+-，即0，1，0，1，…．首先说明x n 不能以0为极限．如图2-4，作

邻域U 1(0,)2,由于数列｛x n ｝的偶数项x 2n =1,从几何上看，这些项都在U 1(0,)2

的外面，因此，找不到N ，使得从第N +1项开始，以后的所有项都落在U 1(0,)2内，而在U 1(0,)2

外只

有有限个项x n ．因此，x n =1(1)2

n

+-不能以0为极限．

图2-4

同理，｛x n ｝也不能以1为极限，更不能以数A （≠0，1)为极限．故1(1)lim 2

n

n →∞+-不存

在．

在本教材中，若无特别声明，n 和N 均表示正整数．n →∞表示n 取正整数无限增大．

三、 数列极限的性质及收敛准则

定理1 (唯一性定理) 若数列｛x n ｝收敛，则其极限值必唯一．

只从几何上对这一结论加以说明．反设｛x n ｝的极限不惟一，此时可设x n →a 且x n →b

(n →∞)，a ＜b ．取ε=

2b a

-＞0，由x n →a (n →∞)知，存在N 1，从第N 1+1项开始，以后的各项均要落在U (,)2b a a -内，即x n ＜a +

2b a -= 2

a b

+ (n ＞N 1)．同理，由x n →b (n →∞)知，存在N ２，从第N 2＋１项开始，以后的各项均要落在U (,)2

b a

b -内，即x n ＞

b -2b a -=2a b + (n ＞N ２)．从而当n ＞max {N 1,N 2}时，即n ＞N 1且n ＞N 2时，有2a b +

a b

+矛盾．故惟一性定理成立(图2-5)．

图2-5

定理2 (有界性定理) 若数列｛x n ｝收敛，则｛x n ｝必是有界数列．

只从几何上说明这一结论的正确性，不妨设x n →a (n →∞)且a ≥0．作邻域U (a ,1)，则存在N ，从第N +1项开始，以后的各项均落在U (a ,1)内，而在U (a ,1)外仅有有限多个x n ［即x 1，…，x N 可能在U (a ，1)外］．取M =max ｛∣x 1∣,∣x 2∣，…，∣x N ∣,1+a ｝,换言之，取M 为x 1，…，x N 和1+a 中距原点最远的那个点的绝对值，作区间［-M ,M ］,则必有x N ?［-M ，M ］，n =1,2,…．由有界数列的几何意义知，｛x N ｝是有界数列(图2-6)．

图2-6

与定理2等价的结论是：若｛x n ｝是无界数列，则｛x n ｝发散，即lim n n x →∞

不存在．

比如，由于x n =n 2

是无界数列，故2

lim n n →∞

不存在．同理，由于x n =3n -2是无界数列，因

此lim(32)n n →∞

-不存在．

定理3 (保序性定理) 设｛x n ｝,｛y n }的极限存在，且lim n n x →∞

＞lim n n y →∞

，则存在正整

数N ，当n ＞N 时，有x n ＞y n ．

从几何上看，这一结论是明显的．事实上，设x n →a ，y n →b (n →∞)且a ＞b ．取ε=

2

a b

-,

作邻域U (,

)2a b a -,U (,)2a b b -,由极限的几何意义知，存在N ，当n ＞N 时，x n ?U (,)2a b

a -,

即x n ＞2a b a --=2a b +．且y n ?U (,)2a b b -,即y n ＜b +

2a b -=2

a b

+．故当n ＞N 时，有 y n ＜2

a b +＜x n

或

y n ＜x n ．

这就说明了结论的正确性(图2-7)．

图2-7

推论 1 (保号性定理)设｛x n ｝的极限存在，且lim 0n n x →∞

> (或lim 0n n x →∞

<)，则存在正

整数N ，当n ＞N 时，有x n ＞0(或x n ＜0)．

只需在定理3中取y n =0即可得到这一结论． 推论2 设｛x n ｝，｛y n ｝的极限存在，若x n ≤y n (当n ＞N 时)，则

lim lim n n n n x y →∞

→∞

≤．

特别地，若x n ≥0(或x n ≤0)，则lim n n x →∞

≥0［或lim n n x →∞

≤0］．

应该注意，在推论2中即使是x n ＜y n ,也只能推出lim n n x →∞

≤lim n n y →∞

.比如x n =

1

n

>0,但lim n n x →∞

=1

lim

n n

→∞=0． 定理4(夹逼定理) 设数列｛x n ｝，｛y n ｝,｛z n ｝满足x n ≤y n ≤z n (当n ＞N 时)，且

lim n n x →∞

=lim n n z →∞

=a ,则lim n n y →∞

=a ．

从几何上看，这一结论是明显的．任取ε＞0，作邻域U (a ,ε)，由于x n →a 且z n →a (n →∞),由几何意义知，存在N 1，当n ＞N 1时，所有的x n 和z n 均落在U (a ，ε)内，即

a -ε＜x n 且z n ＜a +ε．

注意到x n ≤y n ≤z n ,因此有

a -ε＜x n ≤yn ≤z n ＜a +ε． 即y n 也将落在U (a ,ε)内，故lim n n y →∞

=a (图2-8)．

图2-8

定理4不仅提供了一个判断数列极限存在的方法，也提供了一个求极限的方法，常能为我们解决一些较为困难的求极限的问题．

例5求!lim

n

n n n →∞.

解 用夹逼定理求解．这里x n =

!n n n

． 0＜x n =!n n n

＝12

11111n n n n n n ≤= ，由于lim 0n →∞=0, 1lim n n →∞=0，由夹逼定理知，

!

lim n n n n

→∞=0． 应该注意，有界数列和单调数列都不一定存在极限．如例1中的数列x n =1(1)2

n

+-是有

界数列，但其极限不存在．例1中的数列x n =n 2

是单调递增数列，其极限也不存在．但若一个数列既是单调的，还是有界的，则该数列的极限一定存在．

定理5(单调有界数列收敛准则) 单调递增且有上界的数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限．即单调有界数列必有极限．

例6 设x n =

1ln(1)

n +,证明lim n →∞1

ln(1)n +存在．

证 因为x n +1-x n =

1ln(2)n +-1ln(1)

n +≤0，故x n 单调递减，且因x n ≥0，知x n 有下界，

由定理5知，lim

n →∞

1

ln(1)

n +存在．

单调有界数列的收敛准则是一个很重要的结论，我们以后还将利用它得到一些重要的结果．

习题 2-1

1． 证明：若lim n →∞

x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞

x n +k =a ．

2． 证明：若lim n →∞

x n =a ,则lim n →∞

∣x n ∣=a ．考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立．

3． 证明：lim n →∞

x n =0的充要条件是lim n →∞

∣x n ∣=0．

4． 利用夹逼定理证明： (1) lim

n →∞

222

111(1)(2)n n n ++++ =0； (2) lim n →∞2

!n =0． 5． 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在． (1) x 1＞0,x n +1=

13

()2n n

x x +，n =1,2,…；

(2) x 1,x n +1n =1,2,…；

(3) 设x n单调递增，y n单调递减，且lim

n→∞

(x n-y n)=0,证明x n和y n的极限均存在．

第二节函数的极限

前面已讨论了数列x n=f(n)的极限，由于数列x n=f(n)也是一个函数，因此，数列的极限是函数极限中的特殊情形．其特殊性是：自变量n只取正整数，且n趋向于无穷大，或者说n是离散地变化着趋向于正无穷大的．在这一节里，将讨论一般函数y=f(x)的极限问题．这里，自变量x大致有两种变化形式：①x→∞,②x→x0(有限数)，并且x不是离散变化的，而是连续变化的．

一、x→∞时，函数的极限

1．概念

设y=f(x)在(-∞，M)∪(M，+∞)内有定义，其中M＞0，如果当自变量x的绝对值x 无限增大时，对应的函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A，则将A为f(x)的当x趋向于

无穷大时的极限，记作lim

x→∞

f(x)=A,或f(x)→A(x→∞)．一般地，有下述定义．定义1 设y=f(x)在(-∞，M)∪(M，+∞)内有定义，其中M＞0．若对任给的ε＞0，存在正实数X＞0，当∣x∣＞X时，相应的函数值f(x)满足∣f(x)-A∣＜ε，则称A为f(x)

的当x→∞时的极限，记作lim

x→∞

f(x)=A,或f(x)→A(x→∞)．此时也称当x→∞时，f(x)的极限存在，否则称当x→∞时，f(x)的极限不存在．

将这个定义与数列极限定义(任给ε＞0，存在N，当n＞N时，有∣x n-A∣＜ε)比较，可看出只是将数列极限定义中的“x n=f(n)”换成了“y=f(x)”，将“存在正整数N”换成了“存在实数X＞0”．不过，数列极限中的n是离散变化的，而这里的x是连续变化的，它可取得(-∞，M)∪(M,+∞)内的一切值．

如果x＞0且无限增大时，f(x)无限接近于常数A，则记作lim

x→+∞

f(x)=A，或f(x)→A(x→

+∞)．同样，如果x＜0且∣x∣无限增大时，f(x)无限接近于A，则记作lim

x→-∞

f(x)=A，或f(x)→A(x→-∞)．显然有

定理1 lim

x→∞f(x)=A的充要条件是lim

x→+∞

f(x)= lim

x→-∞

f(x)=A．

2.几何意义

注意到定义1中的不等式∣f(x)-A∣＜ε等价于A-ε＜f(x)＜A+ε,而此式表示y=f(x)的函数图形夹在两直线y=A±ε之间．因此，lim

x→∞

f(x)=A的几何意义是：对任给的ε＞0，作直线y=A±ε,存在X＞0，当x＞X时，y=f(x)的函数图形夹在两平行直线y=A±ε之间，如图2-9所示．注意到ε可任意小，从而两平行线y =A±ε所夹部分可任意窄，可见当∣x∣越来越大时，函数图形要越来越贴近直线y=A,即y=f(x)应以直线y=A为渐近线．类似

可得lim

x→+∞f(x)=A和lim

x→-∞

f(x)=A的几何意义．

图2-9

例1 试由极限的几何意义确定lim x →+∞

arctan x 和lim x →-∞

arctan x ，并问lim n →∞

arctan x 是否存在．

解 由y =arctan x 的图形［参看图1-13(a )］可以看出，当x →+∞时，arctan x 以直线y =

2π为渐近线．而当x →-∞时，arctan x 以直线y =-2π为渐近线．所以lim x →+∞arctan x =2

π，

lim x →-∞arctan x =-2

π

．由于lim x →+∞arctan x ≠lim x →-∞arctan x ，由定理1知，lim x →∞arctan x 不存在． 由基本初等函数的函数图形(见第一章第二节)还容易看出：lim x →∞1

a x

=0(a ＞0)，

lim x →+∞

a x =0(0＜a ＜1), lim x →-∞

a x =0(1＜a ), lim x →-∞

a r c cot x =π，lim x →+∞

a r c cot x =0, lim x →∞

a r c cot x 不存

在．

特别地，0

lim

x →1

x

=0, lim x →-∞e x =0．

二、 x →x 0时，函数的极限

1． 概念

设y =f (x )在x 0的某去心邻域0

U (x 0)有定义，如果当x 无限接近于x 0时，对应的函数值f (x )无限接近于常数A ，则称A 是f (x )的当x →x 0时的极限，记作0

lim x x →f (x )=A 或f (x )→A (x →x 0)．

类似于前面介绍的x →∞时f (x )的极限定义，f (x )→A 可用∣f (x )-A ∣＜ε来刻画，而x

→x 0则可用∣x -x 0∣＜δ来刻画．因此，有下述定义．

定义2 设y =f (x )在x 0的某去心邻域0

U (x 0)内有定义．如对任给的ε＞0，存在δ＞0，当0＜∣x -x 0∣＜δ时，对应的函数值f (x )满足∣f (x )-A ∣＜ε，则称A 为f (x )的当x 趋近于x 0时的极限，记作0

lim x x →f (x )=A ，或f (x )→A (x →x 0)．此时也称当x →x 0时f (x )的极限存在，

否则称当x →x 0时f (x )的极限不存在．

将定义2与数列极限定义(任给ε＞0，存在N ，当n ＞N 时，有∣x n -A ∣＜ε)比较可看出，这里主要是将“x n =f (n )”换成了“f (x )”；将“存在正整数N ”换成了“存在δ＞0”；将“n ＞N ”换成“0＜∣x -x 0∣＜δ”．N 和δ的含义是不一样的，虽然它们都是随着ε的变化而变化的，但N 往往很大，而δ则往往很小．由于在数列极限中，n 是趋向于无穷大的，“n ＞N ”表示了n 充分大这一含义．而在定义2中，∣x -x 0∣＜δ则表示了x 无限接近x 0的意思。

另外，式子“0＜∣x -x 0∣”表示x ≠x 0，因此，自变量x →x 0总表示自变量x 无限接近于

x 0，但x ≠x 0这两部分含义。

由定义2还可看出，0

lim x x →f (x )是否存在与f (x )在x 0是否有定义无关．

2． 几何意义

由定义2可知，如果0

lim x x →f (x )=A ，则表示对任给的ε＞0，存在δ＞0，当0＜∣x -x 0∣

＜δ时，有∣f (x )-A ∣＜ε，即A -ε＜f (x )＜A +ε．换句话说，就是当x 落在0

U (x 0，δ)内时，函数图形夹在两平行直线y =A ±ε之间(图2-10)．

图2-10

由于ε＞0可任意小(一般地，δ相应变小)，从而y =A ±ε所夹部分可任意窄，这就从几何上表示了当x 越来越接近于x 0(x ≠x 0)时，对应的函数值将越来越接近于A ．

例2 证明0

lim x x →C =C ，其中C 为常数．

证 由于∣f (x )-A ∣=∣C -C ∣=0，因此对任给的ε＞0，可任取一正数δ，当0＜∣x -x 0∣＜δ时，有∣f (x )-A ∣＜ε成立，所以0

lim x x →C =C ．

类似地，由定义1可证明lim x →∞

C =C ．因此，不论是哪一极限过程，常数的极限都等于

常数本身．

例3 证明0

lim x x →x =x 0．

证 由于∣f (x )-A ∣=∣x -x 0∣，因此，对任给的ε＞0，取δ=ε,则当0＜∣x -x 0∣＜δ时，有∣f (x )-A ∣＜ε，所以0

lim x x →x =x 0．

例4 证明211

lim 1

x x x →--=2．

证 由于∣f (x )-A ∣=∣21

1x x ---2∣=∣x -1∣,对任给的 ε＞0，取 δ=ε, 则当0＜

∣x -1∣＜δ时，有∣211x x ---2∣＜ε,故211

lim 1

x x x →--=2．

例4说明：虽然f (x )= 21

1

x x --在x =1处无定义，但它在x =1处的极限存在．

例5 证明0

lim x x →sin x =sin x 0．

证 首先注意到不等式∣sin x ∣≤∣x ∣以及∣cos x ∣≤1． 由于

∣f (x )-A ∣=∣sin x -sin x 0∣=∣2cos

02x x +sin 0

2

x x -∣ ≤2∣sin 02x x -∣≤2∣0

2

x x -∣=∣x -x 0∣，

对任给的ε＞0，取δ=ε，则当0＜∣x -x 0∣＜δ时，有∣sin x -sin x 0∣＜ε，所以，

lim x x →sin x =sin x 0．

类似地，0

lim x x →cos x =cos x 0．

3． 左、右极限

在x →x 0时f (x )的极限概念中，自变量x 既可从x 0的左侧，也可从x 0的右侧趋于x 0． 但有时常需考虑x 只从x 0的左侧趋于x 0，或者x 只从x 0的右侧趋于x 0的情形，这就是下边将定义的左、右极限．

定义3 设f (x )在(a ,x 0)［或(x 0，b )］内有定义，若对任给的ε＞0，存在δ＞0，当0＜x 0-x ＜δ(或0＜x -x 0<δ)时，有∣f (x )-A ∣＜ε，则称A 为f (x )当x →x 0时的左(或右)极限．左极限记作

lim x x →f (x )=A ,或f (x 0-0)=A ,或f (x )→A (x →0x -)．

右极限记作

lim x x +→f (x )=A ,或f (x 0+0)=A ,或f (x )→A (x →0x +)．

由定义2和定义3可得到

定理2 0

lim x x -→f (x )=A 的充要条件是0

lim x x -→f (x )= 0

lim x x +

→f (x )＝A ． 即f (x )当x →x 0时的极限存在的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在并相等．

由定理2、例2、例5知，因0

lim x x →x =x 0, 0

lim x x →sin x =sin x 0，0

lim x x →cos x =cos x 0，所以0

lim x x -→x =0

lim x x +

→x =x 0, 0

lim x x -

→sin x ＝0

lim x x +→sin x =sin x 0, 0

lim x x -→cos x =0

lim x x +→cos x =cos x 0．

例6 设f (x )= ,0sin ,0x x x x ≤??

>?当时，

当时，求0

lim x →f (x )．

解 f (x )是一个分段函数，x =0是这个分段函数的分段点．对分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论．由例3、例5，有

f (0-0)= 0

lim x -→f (x )= 0

lim x -

→x =0, f (0+0)= 0

lim x +→f (x )= 0

lim x +

→sin x =sin 0=0, 知f (0-0)=f (0+0),故0

lim x →f (x )=0．

例7 讨论0

lim

x →x x

． 解 f (x )= x x =1,0,

1,0,

x x -?

x =0为其分段点．由于0

lim x -→f (x )= 0

lim x -

→x x =0lim x -

→ (-1)=-1, 0lim x +→f (x )= 0lim x +→x

x =0lim x +→１=1,所以0

lim x -

→x x

≠0lim x +→x x ,故0lim x →x

x 不存在． 三、 函数极限的性质

函数极限与数列极限一样，也具有惟一性、有界性、保号性等性质，并且证明方法和几

何解释均类似，因此，我们只给出这些定理的结论而不再证明或作出几何解释．

定理3 若lim f (x )存在，则其极限必惟一．其中“lim ”表示任一极限过程． 定理4(1) 若lim x →∞

f (x )存在，则必存在X ＞0和M ＞0，使得当︱x ︱＞X 时，有∣f (x )∣

≤M ．

(2) 若 0

lim x x → f (x )存在，则必存在δ ＞ 0和M ＞0，使得当0＜∣x - x 0∣＜δ时，有

∣f (x )∣≤M ．

定理5 (1) 若0

lim x x →f (x )=a 且a ＞0(或a ＜0)，则存在δ＞0，当0＜∣x -x 0∣＜δ时，

f (x )＞0［或f (x )＜0］．

(2) 若lim x →∞

f (x )=a 且a ＞0(或a ＜0)，则存在X ＞0，当∣x ∣＞X 时，有f (x )＞0［或f (x )

＜0］．

定理6 (1) 若当x ?0

U (x 0)时，有f (x )≥0［或f (x )≤0］,且0

lim x x →f (x )存在，则0

lim x x →f (x )

≥0［或0

lim x x →f (x )≤0］．

(2) 若当∣x ∣＞X 时，有f (x )≥0［或f (x )≤0］,且lim x →∞

f (x )存在，则lim x →∞

f (x )≥0［或

lim x →∞

f (x )≤0］．

应该注意，在定理6中即使f (x )＞0(＜0)也只能得到lim f (x )≥0(≤0)的结论．比如f (x ) =

1x

，当x ≠0时f (x )＞0，但lim x →∞f (x )= lim x →∞1

x =0．

定理7(夹逼定理) 若当x ?0

U (x 0)（或∣x ∣＞X )时，有g (x )≤f (x )≤h (x ),且

0()

lim x x x →→∞g (x )= 0()

lim x x x →→∞h (x )=A ,则0()

lim x x x →→∞f (x )=A ．

习题2-2

1． 证明：0

lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a ．

2． 证明：若0

lim x x →f (x )=a ,则0

lim x x →∣f (x )∣=|a|．并举例说明该命题之逆命题不真．

3． (1) 利用极限的几何意义确定0lim x → (x 2

+a ),和0

lim x -

→1e x

； (2) 设f (x )= 12

e ,0,,0,x

x x a x ??

，问常数a 为何值时，0lim x →f (x )存在．

4． 利用极限的几何意义说明lim x →+∞

sin x 不存在．

第三节 无穷小量、无穷大量

一、 无穷小量

１． 无穷小量的概念 在微积分中，无穷小量是一个非常重要的概念．许多变化状态较复杂的变量的研究常常可归结为相应的无穷小量的研究．

定义1 若lim f (x )=0，则称f (x )是该极限过程中的一个无穷小量． 其中省去x →x 0，x →∞等极限过程的符号“lim ”表示任一极限过程．

例如，因为1

lim

n n →∞=0, 0lim x →sin x =0, 2

lim x π→

cos x =0，所以1n ,sin x ，cos x 都是相应极限过程

的无穷小量．应该注意，无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程说f (x )是无穷小量．如sin x 是x →0时的无穷小量，但因2

lim x π→

sin x =1，所以sin x 不是x →

2

π

时的无穷小量．由于lim C ＝C （C 等常数)，所以任何非零常数都不是无穷小量．不要把无穷小量与非常小的

数混淆，如10-100

很小，但它不是无穷小量．常数0是任何极限过程中的无穷小量．

由于无穷小量是用极限定义的，因此，我们可将其定义改述如下． 定义2 如果对任给的ε＞0，存在δ＞0(X ＞0)，当0＜∣x -x 0∣＜δ时(∣x ∣＜X 时)，有∣f (x )∣＜ε，则称f (x )是x →x 0(x →∞)时的无穷小量．

定理1 lim f (x )=A 的充要条件是存在该极限过程的无穷小量α(x )，使得f (x )=A +α (x )，其中A 为常数．

证 (略)．

直观地，这一结论是明显的．因为若当x →x 0时，f (x )以A 为极限，则当x →x 0时，f (x )将越来越接近于A ，从而f (x )-A 越来越接近于0，即α(x )=f (x )-A 是x →x 0时的一个无穷小量，因此f (x )=A +α(x )；反过来，如果当x →x 0时，α(x )=f (x )-A 是一个无穷小量，即f (x )-A 越来越接近于0，则f (x )越来越接近于A ，因此，0

lim x x →f (x )=A ．x →∞时的情形和数列的情形

类似，不再赘述．

2．无穷小量的运算

定理2 在某极限过程中，有限多个无穷小量的代数和仍为无穷小量． 证 只就两个无穷小量的情形加以证明．

设a (x )→0,β(x )→0(x →x 0)，对任给的ε＞0，由于

2ε

也是一个正数，根据定义2，存在一个公共的δ＞0，当0＜∣x -x 0∣＜δ时，有∣α(x )∣＜2ε,∣β(x )∣<2ε

,从而

∣α(x )±β(x )∣≤∣α(x )+β(x )∣＜2ε+2

ε

=ε．

由定义2知，α(x )±β(x )是x →x 0时的无穷小量．

x →∞和数列情形的证明与上述证明类似，读者可自行完成．

应该注意，定理2中的“有限多个”是必要的，换言之，无限多个无穷小量的和不一定是无穷小量．比如当n →∞时，

1n →0,但n 个1

n

相加等于1，它不是无穷小量，即

111

lim()1n n n n n →∞+++=

个

定义3 在x →x 0(或x →∞)的极限过程中，若存在M ＞0，当x ?0

U (x 0)(或∣x ∣＞X ＞0)时，有∣f (x )∣≤M ,则称f (x )为x →x 0(或x →∞)时的有界量．

定理3 在某极限过程中，无穷小量与有界量之积仍为无穷小量． 证 设g (x )为x →x 0时的有界量，而α(x )→0(x →x 0)．由有界量的定义知，存在δ1＞0，当0＜∣x -x 0∣＜δ1时，有∣g (x )∣≤M ．

任给ε＞0，由于α(x )→0(x →x 0)，对

M

ε

＞0而言，存在δ2＞0，当0＜∣x -x 0∣＜δ

2

时，有α(x )＜ε/M ．

取δ=min （δ1，δ2），则当0＜∣x -x 0∣＜δ时，

∣? (x )

α(x )∣=∣ ? (x )∣∣α(x )∣＜M 2

M

ε

=ε．

由无穷小量定义知，? (x )2α(x )是x →x 0时的无穷小量．

x →∞和数列情形的证明与上述证明类似。

推论1 在某极限过程中，常数与无穷小量之积仍为无穷小量．

这是因为常数C 是任何极限过程的有界量，由定理3即可得到推论1． 定理4 在某极限过程中，有限多个无穷小量之积仍为无穷小量． 证 只就x →x 0和两个无穷小量的情形加以证明，其他情形类似．

设a (x )→0,β(x )→0(x →x 0),由本章第二节的定理4知，α(x )是x →x 0时的有界量，再由定理3即得α(x )β(x )是x →x 0的无穷小量．

例1 求(1) 0

lim x → (2sin x +x 3

)， (2) 0

lim x →(x sin

1x

）． 解 (1) 由于当x →0时，sin x 和x 均是无穷小量，因此2sin x 和x 3

也都是无穷小量，由定理2知0

lim x → (2sin x +x 3

)=0．

(2) 由于∣sin

1x ∣≤1，而当x →0时，x 是无穷小量，由定理3知0lim x →(x sin 1

x ）=0．

应该注意，两个无穷小量的商不一定为无穷小量．如x →0时，2x x →1

2

．

二、 无穷大量

1． 无穷大量的概念

无穷小量是在某极限过程中其绝对值可无限变小，趋近于0的变量．无穷大量则正好相反，是在某极限过程中，其绝对值可无限制地增大的变量．

定义4 若对任给的M ＞0(无论多么大)，存在δ＞0(或X ＞0)，当0＜∣x -x 0∣＜δ(或∣x ∣＞X )时，有∣f (x )∣＞M ，则称f (x )是x →x 0(或x →∞)时的无穷大量，记作0

()

lim x x x →→∞f (x )=

∞或f (x )→∞(x →x 0)［f (x )→∞(x →∞)］．

由定义4可知，如果当x →x 0时，f (x )是无穷大量，则对于不论多么大的正数M ，只 要x 充分靠近x 0，其对应的函数值的绝对值∣f (x )∣就会比M 还大．这就刻划了当x →x 0时，

∣f (x )∣可无限增大的性质(x →∞时，f (x )→∞的情形类似)．

如果当x ?0

U (x 0)时，f (x )＞0(f (x )＜0)且f (x )→∞（x →x 0），则称f (x )是x →x 0时的正(负)无穷大量，记作0

lim x x →f (x )=+∞(-∞)．

如果当︱x ︱＞X ＞0时，f (x )＞0(f (x )＜0)且f (x )→∞(x →∞),则称f (x )是x →∞时的正(负)无穷大量，记作lim x →∞

f (x )=+∞(-∞)．

例2 试从函数图形判断下列极限: (1) 2

lim x π

→

tan x ， 2

lim x +π→

tan x ， 2

lim x -π→

tan x ；

(2) lim x →+∞

e x ， lim x →-∞

e x ， lim x →∞

e x ；

(3) lim x →+∞

ln x ， 0

lim x +

→ln x ． 解 (1) 由y =tan x 的函数图形［图2-11(a )］可看出，当x →(

2

π

)时，对应的函数值tan x 越来越大，可以大于任何正数M ,所以 2

lim x -π→

tan x =+∞．而当x →2+

π时，对应的函数值tan x

＜0，但∣tan x ∣越来越大，可大于任何正数M ，所以 2

lim x +π

→

tan x =-∞．综合起来可知，2

lim x π→

tan x =

∞．

(2) 由图2-11(b )可以看出．在x 轴左侧，y =e x 以x 轴为渐近线，由极限的几何意义知

lim x →-∞

e x =0．当x →+∞时，对应的函数值e x 越来越大，可大于任意给定的正数M ，所以lim x →+∞

e x =

∞．由上节定理1知lim x →∞

e x 不存在．

(a)

(b) (c)

图2-11

(3) 由图2-11(c )可以看出，0

lim x +

→ln x =-∞，lim x →+∞

ln x =+∞． 类似于例2的方法，由图2-11还可以看出0

lim x →cot x =∞；lim x →-∞

a x =+∞, lim x →+∞

a x =0(0＜a

＜1); 0

lim x +

→lo g a x =+∞，lim x →+∞

lo g a x ＝-∞(0＜a ＜1)． 2． 无穷大量与无穷小量的关系

在例2中我们发现一个有趣的现象：当a ＞1时，l i m x →+∞

a x =+∞，而

lim

x →+∞

1x a =lim x →+∞1()x a =0(0＜1a ＜1)．当a ＞1时，lim x →-∞a x

=0，而lim x →-∞1x a =lim x →-∞1()x a

=∞．换言之，无穷大量的倒数是无穷小量；非0的无穷小量的倒数是无穷大量．这一现象不是偶然

的，实际上我们有下述定理．

定理5 在某极限过程中，若f (x )是一个无穷大量，则

1

()

f x 为无穷小量；若f (x )为无穷小量(f (x )≠0)，则

1

()

f x 为无穷大量． 证 我们只证x →x 0的情形，其余情形类似．设0

lim x x →f (x )=∞，对任给的ε＞0，取M =

1

ε

，由无穷大量的定义知，存在δ＞0，当0＜∣x -x 0∣＜δ时，有∣f (x )∣＞M =

1ε

，即1()f x ＜

ε．由无穷小量定义知，

1

()

f x 是x →x 0时的无穷小量． 反之，若f (x )≠0，0

lim x x →f (x )=0，则对任给的M ＞0，取ε=

1

M

,由无穷小量的定义知，存在δ＞0，当0＜∣x -x 0∣＜δ时，有∣f (x )∣＜ε=1

M

，即1()f x ＞M ．这就说明

1()f x 是x →x 0时的无穷大量．

比如，由于0lim x →x 2

=0，所以0

lim

x →21x =∞；由于2

lim x π→cos x =0，所以2

lim

x π→1cos x

=∞；由于lim x →∞n 3

＝∞，所以lim

x →∞

3

1

n =0，等等． 3． 无穷大量的运算性质

(1) 有限个正无穷大量之和为正无穷大量；有限个负无穷大量之和为负无穷大量． 应该注意，两个无穷大量的和或差(即代数和)均不一定为无穷大量．比如当x →0时，f (x )=

1x 和g (x )=- 1x 都是无穷大量，但其和f (x )+g (x )= 1x +(-1

x

)=0，不是无穷大量． (2) 有限个无穷大量之积为无穷大量．

(3) 非0常量C 与无穷大量之积为无穷大量．

(4) 无穷大量与有界量之和为无穷大量．特别地，无穷大量与常量C 之和为无穷大量． 应该注意的是无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量．特别，无穷大量与无穷小量之积，无穷大量与无穷大量的商都不一定为无穷大量．比如当x →∞时，x 2

→∞，21

x

→0，但x 2

2

2

1

x =1，不是无穷大量．又为当x →∞时，y =x sin x 不是无穷大量，其极限不存在．

习题 2-3

1． 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量．

2． 判断下列命题是否正确：

(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；

(6) y =x sin x 在(-∞，+∞)内无界，但lim x →∞

x sin x ≠∞；

(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量．

3． 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量． (1) f (x )=

2

3

4

x -,x →2; (2) f (x )=ln x ，x →0+

，x →1,x →+∞； (3) f (x )= 1e x

,x →0+

，x →0-

；

(4) f (x )= 2π

-arctan x ,x →+∞; (5) f (x )= 1

x

sin x ,x →∞;

(6) f (x )= 2

1x x →∞．

第四节 函数极限的运算

一、 极限的运算法则

定理１ 若lim f (x )=A ,lim g (x )=B 均存在，则 (1) lim ［f (x )±g (x )］=lim f (x )±lim g (x )=A ±B ． (2) lim ［f (x )2g (x )］=lim f (x )2lim g (x )=A 2B ． (3) 若B ≠0，则 lim

()()f x g x =lim ()lim ()f x g x =A

B

． (4) 若C 为常数，则 lim ［C f (x )］=C lim f (x )=CA ．

(5) 若n 为正整数，则lim ［f (x )］n =［ lim f (x )］n =A n ．

证 我们仅证明(2)，将(1)，(3)的证明留给读者，至于(4)，(5)则是(2)的 直接推论．

因 lim f (x )=A ,lim g (x )=B 均存在，由极限与无穷小量的关系定理，有f (x )=A +a (x )，g (x )=B +β(x )，其中 lim α(x )=0,lim β(x )=0．

f (x )2

g (x )=［A +α(x )］2［B +β(x )］

=AB +［A 2β(x )+B 2α(x )+ α(x )2β(x )］．

由无穷小量的运算性质知，A 2β(x )、B 2α(x )、α(x )2β(x )均为无穷小量，进而知上式方括号内为无穷小量，再由极限与无穷小量的关系定理知

lim ［f (x )2g (x )］=A 2B =lim f (x )2lim g (x )．

应该注意，当定理1的条件“lim f (x )，lim g (x )均存在”不满足时，定理1的结论不成立．另外，定理1对数列极限情形显然成立．

例1 求32224

lim 6

x x x x →+--．

解 由定理1，有

2

lim x → (x -6)= 2

lim x →x - 2

lim x → 6=2-6=-4，

2

lim x →(2x 3+x 2-4)=22

lim x →x 3+2

lim x →x 2-4=2(2

lim x →x )3+(2

lim x →x )2-4

=2223+22

-4=16．

故

32224lim 6x x x x →+--=32222426+-- =164

-=-4． 若记f (x )= 3224

6

x x x +--，则对本例而言，有2lim x →f (x )=f (2)=-4．这一结果不是偶然的，

我们有更一般的结论．

例2 设f (x )=a 0x n +a 1x n -1

+…+a n -1x +a n ,其中a 0,…,a n 为常数，a 0≠0，n 为非负整数，称f (x )为n 次多项式，有

(1) 0

lim x x →f (x )=f (x 0);

(2) 若f (x ),g (x )均为多项式，称

()

()

f x

g x 为有理函数．若g (x 0)≠0，则 0

lim

x x →()()f x g x =00()

()

f x

g x ． 证 (1)由定理1，有

lim x x →f (x )=a 00

lim x x →x n ＋a 10

lim x x →x n -1+…+a n

=a 0(0lim x x →x )n +a 1(0

lim x x →x )n -1

+…+a n

=a 00n x +a 11

0n x -+…+a n =f (x 0)．

(2) 由定理1及(1)得，

lim x x →g (x )=g (x 0)≠0，0

lim x x →f (x )=f (x 0),故0

lim

x x →()()f x g x =00()

()

f x

g x ． 更一般地，在本章第七节(函数的连续性)中，我们将得到：若f (x )为初等函数，且f (x )在x 0的某邻域U (x 0，δ)(或x 0＜x ＜x 0+δ，或x 0-δ＜x ＜x 0)内有定义，则0

lim x x →f (x )=f (x 0)．

比如，1

lim

x

→

,e

lim x → (x +ln x )=e+1．

例3 求1lim x →1

1

n m x x --，其中m ,n 为正整数．

解 由于分母的极限1

lim x → (x m -1)=0，不能用例2或定理1(3)的方法求极限．应想办

法约去使得分子，分母均为零的因子(x -1)(称为零因子)．

因 x n -1=(x -1)(x n -1+x n -2

+…+1),有

1lim x →11n m x x --＝1lim x →11(1)(1)(1)(1)n m x x x x ---++-++ =1lim x →1111n m x x --++++ =n

m

． 例4 求0

lim

x

→． 解 注意到分子、分母的极限都为0，不能用定理1(3)，应想办法约去零因子x ．有理化，有

lim

x

→=0lim x

→0lim x

→=1

2

．

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

高等数学竞赛极限与连续真题

高等数学竞赛极限与连续真题 1. 计算：22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 析： ),(08 21144 22 x x x x +-+=+ )(08 1 1124422x x x x +=+-+ 又)(02 3 )](01[)](0211[cos 2222224 x x x x x x e x x +-=++-+- =- 故22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022 22 24 40-=?+-+=??+-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x 2.计算求n n n n n n n ln )ln ln ( lim -+∞→的值。 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题） 析：n n n n n n n ln )ln ln (lim -+∞→=n n n n n n n n n n ln 2ln 2ln ])ln ln 21[(lim --∞→-+ 令,ln t n n =则原式.)11(lim 21 0e t t t t =-++ → 3.计算：)1)1(31211(lim 1n n n -∞→-+++- 析： )21 4121(12131121312112n n n S n +++--+++=- -+-= =n n n n n n ++++++=+++-++++1 2111)214121(22131211 =)11 211111(1n n n n n ++++++

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

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【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成

高等数学-求极限的各种方法

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x

例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；

微积分-求极限的方法

求极限方法一：直接代入法 例一：（）=24 例二：（）= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。 知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于 方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘） 普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。类似=（） 下面讲个例 知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式） 例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式） 例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式） 例六：

知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他） 例七：（）=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大） 例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零） ） 例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数 分母最高次数项系数 方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式） 例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量） 例十一：（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。

(完整版)极限与连续

第二章 极限与连续 本章教学内容 本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识． 微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的． 连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念． 在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象． 教学思路 1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益． 2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题． 3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明． 4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函

微积分求极限的方法2·完整版

专题一 求极限的方法 【考点】求极限 1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目,一般为2-3题１2-１8分左右,而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则与利用定积分的概念求极限,使用这些方法时要注意条件,如等价量代换就是在几块式子乘积时才可使用,洛必达法则就是在0比０,无穷比无穷的情况下才可使用,运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则:归结准则(联系数列与函数)、夹逼准则(常用于数列的连加)、单调有界准则、子数列收敛定理(可用于讨论某数列极限不存在) 3、 要注意除等价量代换与洛必达法则之外其她辅助方法的运用,比如因式分解,分子有理化,变量代换等等。 4、 两个重要极限0sin lim 1x x x →= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=,注意变形,如将第二个式子10lim(1)x x x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。 5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结,如: （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限 （2） 函数在某点极限存在的充要条件就是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行 解题,如111lim x x e -→因左右极限不相等而在这点极限不存在。(当式子中出现绝对值与e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发) （3） 遇到无限项与式求极限时想三种方法: ①瞧就是否能直接求出这个与式(如等比数列求与)再求极限 ②夹逼定理 ③用定积分的概念求解。 (4)如果f(x)/g(x)当x →ｘ０时的极限存在,而当ｘ→x0时g(x)→０,则当x →x ０时f(x)也 →0 (５)一个重要的不等式:sin x x ≤(0x >) *其中方法②③考到的可能性较大。 6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。 7、 闭区间上连续函数的性质(最值定理、根的存在性定理、介值定理) 8、 此部分题目属于基本题型的题目,需要尽量拿到大部分的分数。 【例题精解·求极限的方法】 方法一:直接通过化简,运用极限的四则运算进行运算。 【例1】求极限 11lim 1 m n x x x →--

高等数学求极限的16种方法

高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）

大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

微积分-函数、极限和连续

《微积分初步》单元学习辅导一（函数极限连续） 微积分初步学习辅导（一） ——函数、极限和连续部分 学习重难点解析 （一）关于函数的概念 1.组成函数的要素: (1)定义域:自变量的取值范围D ； (2)对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f . 函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量.因此，这两个要素一旦确定，函数也就随之确定.所以说，两个函数相等（即)()(x g x f =）的充分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等.若两者之一不同，就是两个不同的函数. 2.函数定义域的确定 对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定： (1) 函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零； (2) 函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负； (3) 函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零； (4)如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公共部分； (5)对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集. (6)对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域. 3.函数的对应关系 函数的对应关系f 或f （ ）表示对自变量x 的一个运算，通过f 或f （ ）把x 变成了y ，例如152)(3 +-==x x x f y ，则f 代表算式 1)(5)(2)(3+-=f 括号内是自变量的位置，运算的结果得到因变量的值. （二）关于函数的基本属性 函数的基本属性是指函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性.了解函数的属性有助于我们对函数的研究. 理解函数属性中需要注意下面的问题： 1.关于函数的奇偶性：讨论函数的奇偶性，其定义域必须是关于原点对称的的区间，函数奇偶性的判别方法是函数奇偶性定义和奇偶函数的运算性质，即 奇函数±奇函数=奇函数

微积分求极限的方法

求极限 方法一：直接代入法 例一：=24 例二：= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。 知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于 方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘） 普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0 的问题。类似= 下面讲个例 知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式） 例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式） 例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式） 例六： 知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他） 例七：=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）

例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零） 例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为 ） 方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式） 例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量） 例十一：=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。

微积分测试题一(极限、连续)答案

微积分测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题3分，共21分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 6、设函数1 1()1 x x f x e -= -则（D ）。 A x=0,x=1都是()f x 的第一类间断点. B x=0,x=1都是()f x 的第二类间断点 C x=0是()f x 的第一类间断点，x=1是()f x )的第二类间断点. D x=0是()f x 的第二类间断点，x=1是()f x 的第一类间断点. . D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.

且 0 l i m ()x f x →=∞，所以x=0为第二类间断点； 1 lim ()0x f x +→=，1 lim ()1x f x - →=-，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意：1 l i m 1 x x x + →=+∞-，1lim 1x x x -→=-∞- 从而 +∞ =-→+ 1 1lim x x x e ， . 0lim 1 1=-→- x x x e 7已知lim( )9x x x a x a →∞+=-，则a =( C ). A.1； B.∞； C.ln 3； D.2ln 3. 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ - 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β= 等价，则常 数 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2x f x -= ， 则函数值(0)f 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++ ??+ 5、 若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→ 三、 解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- -- 解：原式=132411111 lim()()( )lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?= 2、（6分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2 x x x x x x x x x x x x x →→→--===

极限计算方法及例题

极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；???≥<=∞→时当不存在， 时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

(完整)高等数学极限和连续习题

极限与连续习题 一．填空题 1. 当0→x 时，x cos 1-是2x 的_______________无穷小量. 2. 0x =是函数x x x f sin )(= 的___________间断点. 3. =-→x x x 20)11(lim ___________。 4. 函数11arctan )(-=x x f 的间断点是x =___________。 5. =--→x x e x x x sin )1(lim 20___________. 6. 已知分段函数sin ,0(),0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 7. 由重要极限可知，()1 lim 1+2x x x →=___________. 8. 已知分段函数sin ,0()2,0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 9. 由重要极限可知，1lim (1)2x x x →+∞+=___________. 10. 知分段函数()sin 1,1()1,1x x f x x x b x -?>?=-??-≤? 连续，则b =___________. 11. 由重要极限可知，1 0lim(12)x x x →+=___________. 12. 当x →1时，233+-x x 与2ln x x 相比，_______________是高阶无穷小量. 13. 251lim 12n n n -→∞??- ???=___________.

14. 函数2 2(1)()23x f x x x +=--的无穷间断点是x =___________. 15. 0tan2lim 3x x x →=___________. 16. 351lim 12n n n +→∞??- ???=___________. 17. 函数2 2(1)()23 x f x x x +=--的可去间断点是x =___________. 18. 2 01cos lim x x x →-=___________. 19. 253lim 12n n n +→∞??+ ???=___________. 20. 函数221()34 x f x x x -=+-的可去间断点是x =___________. 21. 当0x →时，sin x 与3x 相比，_______________是高阶无穷小量. 22. 计算极限22 1lim 1n n n +→∞??+ ???=___________. 23. 设函数()21,0,0x x f x x a x +>?=?-≤? ，在0x =处连续, 则a =__________ 24. 若当1x →时, ()f x 是1x -的等价无穷小, 则1()lim (1)(1) x f x x x →=-+_______ . 25. 计算极限1lim 1x x x →∞??- ???=__________. 26. 设e ,0,(),0.x x f x x a x ?≤=?+>? 要使()f x 在0x =处连续, 则 a = . 27. . 当x →0时，sin x x -与x 相比， 是高阶无穷 小量.

关于高等数学函数的极限与连续习题及答案

关于高等数学函数的极 限与连续习题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所 以()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x

微积分-各种求极限的方法

北京理工大学 微积分-求极限 单调有界准则夹逼准则无穷小代换罗密达法则泰勒定理 程功 2010/12/29

1.lim 1.1 n n n →∞ =+证明 证:1n x -11 n n = -+11 n = + 任给0ε>,要使1n x ε-<,只要 1,1n ε<+即 1 1n ε > -,所以,取1 []1N ε =-,则当n N >时,就有 11 n n ε -<+,即lim 1.1 n n n →∞ =+ 2.证明:n n 2 lim 0n! →∞ = 证:当n 2>时, 2 222222411! 1231n n n n n ?????= < ????? = ?????(放大一般项) 对n 2 4 0,| 0|,n! n εεε?>-<<要使只要 ,即4 n ε > ,故只需取4 N m ax{[],2},ε = 则当n N >时,有n 42n ,n !εε>

微积分第二章-函数极限与连续答案

函数极限与连续函数的性质习题解答 1． 用函数极限的定义证明： （1）2 221lim 2.3 x x x →∞ +=- 证明： 0,ε?> 欲使 2 2 2 2172,3 3 x x x ε+-= <--易见当||3x >时，有 2 2 77|3|||.|3| || x x x x ->? < - 于是，只要 7,|| x ε<即7 ||x ε > 时，有 2 2 21 23x x ε+-<-成立。取7m ax 3,.M ε?? =???? 故对0,ε?>7m ax 3,.M ε?? ?=???? 对||,x M ?>有 2 22123x x ε+-<-，即2 2 21lim 2.3x x x →∞+=- （2）1 1lim arc .12 x tg x π- →= - 证明：0(0),2 πεε?><< 要使不等式 11arc arc 12 2 1tg tg x x π π ε- = -<-- (1)x < 成立，解得1 1.() 2 x tg π ε-< - 取δ=1 ( ) 2 tg π ε-，于是 10,0,(1,1),( ) 2 x tg εδδπ ε?>?= >?∈--有1arc ,12 tg x π ε- <- 即1 1lim arc .12 x tg x π- →= - （3 ）lim (sin sin 0x →∞ =。 证明：

( ) 1sin 2sin lim 11sin 2sin 11011 21 122 1 2sin 21 2cos 21sin 2sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =+-+∴<< +-+>?+??? ???=>?< ++ += +- +<+- +++ +=+-+∞ →x x x x x N x N x x x x x x x x x x x x ε εε有，，取 2. 求下列极限： (1) 11lim (sin cos ).x x x x →∞ + 解： 2 22 2sin 1 22 sin 11112lim (sin cos )lim[(sin cos )]lim (1sin )2lim[(1sin ) ] . x x x x x x x x x x x x x x x e x →∞ →∞→∞ →∞ +=+=+=+= 或： . 11cos 1sin 1lim 1cos 1sin lim ] 12111sin [ lim 11 1cos 1sin 11cos 1sin 1 2 e e x x x x x x x x x x x x x x x x x ==? ? ? ?? ?????????????? ??-++=??? ??+- -+-+∞→∞→∞ → (2) 1 20 lim (1sin ).x x x →+ 解：1 1 sin 2sin 20 lim (1sin ) lim[(1sin ) ] x x x x x x x x →→+=+= (3) 2 10 ln(1)lim .ln(1) x x x x x →∞ -+++ 解：