自动化专业英语教程翻译2.6

A 可控性，可观性和稳定性
可控性和可观性
一台装置（或系统）如果能找到一个无约束控制矢量u(t)在有限的时间间隔内将任意初始状态x(t0)转化为任意其它状态x(t)，则这台装置（或系统）是完全可控的。因为状态完全能控性不一定意味着输出的完全可控，而且反之亦然，所以输出完全能控性以类似的方式单独定义。如果可从有限的时间间隔内的输出c(t)的信息中确定状态x(t)，则装置是完全可观的。
可控性和可观性的对偶概念是多变量装置控制的基础，特别是最优控制。完全能控性保证无约束控制矢量的存在，因而存在一个可控制器。但是，完全能控性并没有告说明如何设计控制器，也没有保证物理上可实现的控制矢量或控制器的存在。完全可观性保证从输出信息中可确定状态信息或装置的内部特性。然而，完全可观性并不保证输出变量是物理可测的。



通过讨论一个有n个状态变量因而有n个暂态响应的广义n阶装置就可解释这两个概念的意义。控制变量数用m 表示，输出变量数用p 表示。在实际系统中我们期望m 和 p 小于n 并且越少越好。如果装置不是完全能控的，将会有暂态响应（状态变量）不能由一个或多个控制变量用任何方式进行控制；这些暂态响应由控制矢量进行衰减。如果装置不是完全可观的，将有不确定的暂态响应；这些暂态响应由输出矢量进行衰减。

如图2-6A-1所示，一台装置可分成四个子系统。因为仅有第一个子系统A 是能观能控的，具有输入-输出关系，所以它是唯一一个可用传递函数或传递函数矩阵表示的子系统。相反，这台装置的传递函数或传递函数矩阵并没有反映子系统B 和 D 的动态特性也没有对子系统C 和 D 的特性进行控制。














图 2-6A-1 一台装置的四个子系统

例如，如果子系统 B 的暂态响应对任何控制变量反应强烈，从输出变量中得不到这些特性的信息。子系统C 中不受欢迎的暂态响应会影响到输出，但控制变量对此无能为力。通过适当地增加控制变量可使这台装置完全可控。然而，要使这台装置完全可观，工作会更加困难，这里不作进一步讨论。
稳定性
离开可控性和可观性的问题，我们需要讨论广义上连续系统稳定性的概念和定义。定结构线性系统的稳定性比较简单，因为稳定性仅取决于系统本身的特性而与系统的初始状态、输入的幅值和类型无关。有一种有限的（唯一的）平衡状态，如果在扰动的作用下，系统能返回到这个平衡状态，我们称这个系统是稳定的。稳定性由特征根的位置确定（特征方程的根），并且有许多

种方法确定特征根的位置。


对变结构线性系统，特别是对非线性系统，稳定性不仅取决于系统本身的特性，也取决于系统的初始状态、输入的类型和幅值。此外，可能有不止一个平衡状态。要讨论这些系统的稳定性，附加的定义和判据是必需的。我们将仅讨论自激系统，因为对任意输入情况下的稳定性理论尚未建立。
如果离开初始状态的轨迹返回并保持在平衡状态周围规定的区域内，则系统是稳定的。这种稳定性的广义定义通常被认为是李亚普诺夫意义下的稳定性，允许极限环和涡旋环的存在。如果在李亚普诺夫意义下稳定系统的轨迹最终收敛于平衡状态，则系统是渐进稳定的。如果系统仅在初始状态有限的状态空间内稳定，则系统是局域稳定的或叫小稳定。如果系统在整个状态空间内对任意初始状态都稳定，则系统是全局稳定的或叫大稳定。
我们喜欢我们的控制系统是渐进稳定的，最好是全局稳定的；如果不是全局稳定的，最好渐进稳定的区域能包含任何预期的扰动。古典控制理论的稳定性是渐进稳定的。

乍看起来是全局稳定的，但实际上是局域稳定的，因为没有任何一个系统是真正线性的。只有相对于（系统）建立的平衡状态的局域渐近稳定才能保证线性分析（可以应用） 。
有三种基本方法来确定非线性自激系统的稳定性。一种方法是用一个二阶系统来近似实际系统，在相平面上画出许多条轨迹，检查画出的相位图以确定稳定和不稳定区域。描述函数法与相平面结合可用来寻找和确定极限环。另一种方法叫作李亚普诺夫第一或间接方法。这种方法首先用雅可比矩阵线性化每一个平衡状态的非线性矢量方程，然后检查相应的特征根以确定局域稳定性。上面提到的两种方法有时合称为李亚普诺夫第一方法。
第三种方法叫作李亚普诺夫第二法或直接方法，之所以这样叫是因为这种方法不需解微分方程。这种方法可用于所有类型、任意阶数的微分方程，提供全局以及局域稳定性的答案，因而得到广泛应用。

在应用李亚普诺夫第二方法时，要研究的平衡状态转化为状态空间的原点，因此自激系统可用如下方程：


平衡状态为xeq=0。李亚普诺夫渐进稳定定理是这种直接方法的本质。定理说的是：如果存在正定标量函数V(x)沿着区域R 内的所有轨迹随时间衰减为零，则方程(2-6A-1)所表示的系统在闭合区域R 内是渐进稳定的。如果区域R 包含所有的状态空间，系统是全局稳定的；否则，系统在有限的区域R 内是局域稳定的。标量函

数V(x)叫作李亚普诺夫函数。李亚普诺夫函数在区域R 内一定是连续的，它的一阶偏导数也一定是连续的。

李亚普诺夫函数是正定的要求指的是对状态变量的所有非零值V(x)大于零并且V(0)等于零。为了保证沿区域R 内出发的所有轨迹V(x) 衰减到零，dV(x)/dt 必须小于零，即，是负定的。如果 ≤0，它是负半定的，系统仅在李亚普诺夫意义上是稳定的；如果沿着轨迹 ，系统是渐进稳定的。最后，如果 是不定的，则对系统的稳定性不说明任何问题，我们必须试验各种V(x)函数直到证明系统是稳定或不稳定的。另外，稳定系统能保证稳定区域的大小与选择的李亚普诺夫函数有关。





B 最优控制系统
近些年来，优化系统的动态特性引起了众多的关注。特殊的问题可能涉及到使火箭的行程最大化，商业利润最大化，预估目标位置误差最小化，取得某个预期终端状态的过程中或类似有巨大变化的问题动态过程中所需能量或损耗最小。对取得预期目标最小化（或最大化）特定的系统指标控制的研究组成了优化理论的基本问题。
最优控制系统的设计序列有五个基本步骤：
1）装置建模；
2）确定约束条件；
3）选定性能指标；
4）性能指标最小化；
5）确定控制器配置。

对连续、确定和集中参数装置，第一步的结果是状态和输出方程：


显然，这些方程必须充分描述装置。装置建模不是一件微不足道的任务，也不是选择最好的状态、控制和输出变量。在数学意义上，完全能控是最优控制存在的必要条件但非充分条件。此外，如果是反馈控制，装置必须是完全可观的，记住可观性并不保证物理可测性。
第二步骤的约束是强加到状态和控制变量以及可能影响装置性能的物理约束。缺少适当的约束导致物理上不可实现和荒谬的解。状态约束可能是等量约束，根据这个原则规定初始和/或终端状态；状态约束也可能是不等量约束，根据这个原则限定指定状态变量的允许值。



控制和其它约束通常是不等量约束；例如，装置的最大加速度或使用的燃料必须小于规定值。满足所有约束条件的状态轨迹和控制叫作可用的轨迹和可用的控制并留作进一步研究之用。那些不满足约束条件的轨迹和控制叫作不可用的轨迹和控制并弃之不用。
在五个步骤中，最关键和最困难的是将性能指标公式化。性能指标是定量反映理想性能指标与装置性能指标偏差的一种尝试。性能指标可写成如下函数：


公式中t0 和 tf是开始和结束时间。J1

是终端状态评估函数，不需特别规定。J2，成本或损耗函数，在整个控制时间内(t0 ~ tf)要进行评估。加权系数被用来指定J中各项的相对重要性，J反映了与理想性能指标的偏差。每一个可用的控制会产生唯一一个给定性能指标的值。J 的值可作为优化结果与其它控制作比较，J 的值越小，说明控制越好，数学上是如此的。产生可用轨迹并使性能指标最小化的可用控制叫作最优控制，用符号u*表示。相应的轨迹叫作最优轨迹，用符号x*表示。
如果一个优化控制是时间的函数，被规定仅用于特殊的初始状态：


那么这种控制是开环的。然而，如果优化控制时时间和状态的函数

那么这种控制是带转态变量反馈的闭环控制，我们称 u*为最优控制律。例如，如果

公式中E是个常数矩阵，则优化控制律是状态变量的定常线性反馈。
对给定的性能指标，优化控制不一定存在，如果存在，也不是唯一的。另外，改变性能指标会导致不同的最优控制和轨迹。设计人员必须根据物理和实用的考虑从几种最优控制中作出选择。
几种特殊情况例外，要获得最小化性能指标的最优控制没有解析解而且运算量大。最小化的两种基本方法是动态编程法和变分逼近法，又叫庞垂根最小值原理。

动态编程是一个直接搜索最小性能指标的多阶段决策过程，我们把它写成一个递推方程。动态编程的显著特点是采用最优原理充分减少搜索区域以使直接搜索成为可能。用最优原理减少搜索区域、状态和控制约束如图2-6B-1所示。


将最优原理应用到最优控制问题上就是在整个时间段上是最优的则在每一个子时间段上必须是最优的。计算过程是从终端状态开始，分步倒推到初始状态，依次找到每一步的最优控制。如果找到的最优控制有N 步，它包含了最后一步相同任一少于N 步的最优控制。这叫作嵌入原理。
动态编程产生一个非解析形式的最优控制律。如果不能作解析近似，则必须将控制数据制表、存储并在需要时便于访问。动态编程基本上使用差分方程；它们可能是一个连续系统微分方程的近似，也可能表示一个实际的采样系统。动态编程的主要缺点是要求快速访问存储区，且访问容量随着系统维数的增加而迅速加大。
除去一些线性控制对象外，庞垂根最小原理的推论引出了一个必须用数字方法求解两点边界值的问题。三种实用的方法是速降法、极值变分法和准线性化。第四种叫作梯度发射的数字方法将带约束的多变量函数最小化。与动态编程法相反，不等量约束使用变

分逼近法的解变得复杂。而且最优控制的数字解是开环的。

开环最优控制有时是可以接受的，特别是不存在未知或不可预测的干扰或这些干扰很小的时候。如果需要闭环控制，由变分逼近方法获得的开环最优解可用来限定用动态编程方法的搜索区域。这两种方法结合起来可以获得一种明显减少计算机存储量和运算时间的最优控制律。
当设计师已经选择了最好的最优控制，他仍要面对搭建能产生这种特殊控制矢量的实用控制器的问题。和直接综合方法一样，最优控制系统有一些缺点，诸如有限的解析解，硬件实现困难。因此有时设计师宁愿接受低质量的性能指标以得到一个简单和便宜的控制器，这种控制器叫作次最优控制器。