矩阵可逆的五个充要条件

矩阵可逆的五个充要条件

（1）存在n阶矩阵B，使AB=E。

（2）|A|≠0，或r(A)=n，或A的列（行）向量线性无关。

（3）齐次线性方程组Ax=0只有零解。

（4）非齐次线性方程组Ax=b总有唯一解。

（5）矩阵A的特征值全不为0。

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矩阵可逆行列式

矩阵可逆行列式 什么是矩阵可逆行列式？ 矩阵可逆行列式是矩阵理论中一个重要的概念。在矩阵中，如果存在一个逆矩阵，使得原矩阵与逆矩阵的乘积等于单位矩阵，则称该矩阵为可逆矩阵。而矩阵可逆的一个重要条件就是其行列式不为零。 可逆矩阵与行列式之间的关系 在矩阵理论中，行列式是判断矩阵可逆性的重要工具之一。一个 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是其行列式不为零。换句话说，如果一个矩阵的行列式为零，那么它就不是可逆矩阵。 可逆矩阵的性质及判断方法 可逆矩阵的性质 •可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，记作 A-1。 •若 A、B 都是可逆矩阵，则 AB 也是可逆矩阵。 •若 A 是可逆矩阵，则 A-1 也是可逆矩阵。 •若 A、B 都是可逆矩阵，则 AB-1 也是可逆矩阵。 判断矩阵可逆的方法 •行变换法：将矩阵进行初等行变换，若能变为单位矩阵，则原矩阵可逆。•列变换法：将矩阵进行初等列变换，若能变为单位矩阵，则原矩阵可逆。•初等行列式法：计算矩阵的行列式，若不为零，则原矩阵可逆。 可逆矩阵的求解方法 逆矩阵的求解方法 求解逆矩阵的方法有多种，下面介绍两种常用的方法：

1.初等行变换法 假设有一个 n 阶方阵 A，将 A 扩展为一个 n 阶的增广矩阵 [A|I]，其中 I 表示单位矩阵。通过对矩阵进行初等行变换，使其左边部分变为单位矩阵，则右边部分就是所求的逆矩阵。 2.伴随矩阵法 对于一个 n 阶方阵 A，可以通过求解伴随矩阵的转置除以 A 的行列式，得到所求的逆矩阵。具体计算公式如下： A^-1 = (adj(A)) / det(A) 其中 adj(A) 表示矩阵 A 的伴随矩阵，det(A) 表示矩阵 A 的行列式。 可逆矩阵的应用 可逆矩阵在线性代数中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用场景： •方程组求解：通过求解可逆矩阵的逆矩阵，可以求解线性方程组的解。•线性变换：可逆矩阵可以表示线性变换，通过对矩阵进行相乘，可以对向量进行变换操作。 •数据压缩：在数据压缩中，可逆矩阵可以用来将高维数据压缩为低维数据，并且可以将低维数据还原为高维数据。 总结 矩阵可逆行列式是矩阵理论中一个重要的概念。可逆矩阵的一个重要条件就是其行列式不为零。可逆矩阵有着多个性质，也有多种判断方法和求解方法。可逆矩阵在线性代数中有着广泛的应用，包括方程组求解、线性变换和数据压缩等。通过深入理解和应用矩阵可逆行列式，我们能够更好地理解和解决与矩阵相关的问题。

可逆矩阵 矩阵乘积的行列式

§5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 5.2.1 教学目的 5.2.1.1 掌握矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. 5.2.1.2 掌握矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的两种方法. 5.2.1.3 掌握矩阵乘积的行列式和秩的性质. 5.2.2 教学重点 矩阵可逆的定义，充要条件及求逆矩阵的方法. 5.2.3 教学难点 用初等变换法求逆矩阵的理论. 5.2.4 教学过程 一、矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. （一）矩阵可逆，逆矩阵的定义 Def 1 令A 是数域F 上一个n 矩阵，若存在F 上n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I 那么A 叫可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵. （二）逆矩阵的简单性质 1、若是矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一. 把A 的唯一的逆矩阵记作. 2、可逆矩阵A 的逆矩阵也可逆，并且 . 1、1、1、两个可逆矩阵A 和B 的乘积也可逆，并且 . 一般，m 个可逆矩阵A 1，A 2，…，A m 的乘积A 1A 2…A m 也可逆. 并且 （A 1A 2，…，A m ）-1 = 4、可逆矩阵A 的转置 也可逆，并且 二、矩阵可逆的充要条件 （一）判断矩阵可逆的思路. 判断一般的n 阶矩阵A 是否可逆很复杂，但判断形如 ，矩阵的可逆 1 -A 1-A A A =--1 1 )(1 1 1 ) (---=A B AB 1 1 121---A A A m A ' )() (1 1 ' ='--A A ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛000r I

性十分简单，即当r=n 时，可逆；当r

矩阵可逆的若干判别方法

矩阵可逆的若干判别方法 可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。 如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。 一、矩阵可逆的基本概念 （1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I 则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的 逆矩阵，记作B= A -1 。 注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。 （2）矩阵A 的行秩等于列秩。 （3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。 （4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）T n ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。 二、矩阵可逆的性质 （1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1 =A 。 （2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1 。 （3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T 。 （4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)= λ 1A -1 。 （5）若矩阵A 可逆，则|A -1 |= | |1 A 。 （6）矩阵A 的逆矩阵A -1 = | |*A A 。 （7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。 三、矩阵可逆的若干判别方法 （一）定义判别法 对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆， 记为B=A -1 。 例1. 判断矩阵A=⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛010100001 是否可逆？ 证 存在矩阵B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，使得AB=BA=⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛100010001 所以矩阵A 可逆。 注：此方法大多适用于简单的矩阵。

对称矩阵可逆的条件

对称矩阵可逆的条件 对称矩阵可逆的条件 对称矩阵是一个非常重要的矩阵类型，它在许多数学和工程问题中都 有广泛的应用。一个对称矩阵的特点是它的转置矩阵和自身是相等的，即$A^{T}=A$。那么，什么情况下一个对称矩阵才能是可逆的呢？本 文将从两个方面对此进行详细说明。 一、充分必要条件 对称矩阵可逆的充分必要条件是，它的所有特征值均不为零。这个结 论可以通过以下步骤来证明： 1. 假设矩阵$A$可逆，即存在一个矩阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$为单位矩阵。 2. 由于矩阵$A$和$A^{T}$是相等的，因此$A^{T}B=B^{T}A^{T}=I$。 3. 定义矩阵$X=B^{T}$，则有$AX=XA=I$，即$A$与$X$相互逆。 4. 由于一个矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值，因此$A$的所有特

征值均不为零，则$X$的所有特征值也均不为零。 5. 因此，对称矩阵$A$可逆的充分必要条件是它的所有特征值均不为零。 二、几何意义 对称矩阵可逆的几何意义是，它的所有特征向量都是线性无关的。这 个结论可以通过以下步骤来证明： 1. 定义矩阵$A$的特征向量为$u$，特征值为$\lambda$，即 $Au=\lambda u$。 2. 假设对称矩阵$A$可逆，则存在一个矩阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$为单位矩阵。 3. 将矩阵$A$的特征向量$u$代入$ABu=B\lambda u=\lambda Bu$，则得到$Bu$也是矩阵$A$的特征向量。 4. 如果对称矩阵$A$的两个特征向量$u$和$v$相对应的特征值相同，则有$Au=\lambda u$和$Av=\lambda v$。 5. 则有$ABu=B\lambda u=Av$，因此$u$和$v$满足线性相关关系，

二阶、三阶矩阵逆矩阵的口诀

求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀 1、问题的提出 在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。 2、知识储备 1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E 则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -1 1.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下： 1121112 22212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀 记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式 推导： 假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2 *d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 所以呢，*1d b c a A A A A --⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀 记忆口诀：除以行列式，别忘记。 去一行，得一列，二变号，余不变，231 312 1） 整体要除以行列式，不能忘记 2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列

3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字加 了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号 对于三阶矩阵33,a b c A d e f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦ （1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格 Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dh Step2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , ge Step3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。 同样的道理，公式（1）的第二列，第三列求出 实例1 求3732524103A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 得逆矩阵 1591230021A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 答案

矩阵求逆方法大全

求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 ［摘要］本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读 ［关键词］逆矩阵初等矩阵伴随矩阵对角矩阵矩阵分块多项式等 引言在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义：n阶矩阵A为可逆，如果存在n阶矩阵B，使得AB =BA =E，这里E是n阶单位矩阵，此时，B就称为A的逆矩阵，记为A j，即：B = A_1 方法一•初等变换法（加边法） 我们知道，n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A= Q1Q2…Q m，从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系 列初等矩阵Q1Q2 Q m使 Q m Q m」 Q 1A = E （ 1） 贝U A，=Q m Q m4 …Q1A 二 E（ 2） 把A, E这两个n阶矩阵凑在一起，做成一个nR2ri阶矩阵（A, E）,按矩阵的分块乘法，（1）（ 2）可以合并写成 Q m Q m」Q（ A，E）= （ Q m Q m」Q1，A Q m Q m 4 Q1E ）= （ E，A」）（3） 这样就可以求出矩阵A的逆矩阵 A1 2 3 4。 广0 1 2、 例1.设A= 1 1 4求A」。 <2 -1 0丿 解：由（3）式初等行变换逐步得到： 0 1 2 1 0 0 ”1 1 4 0 1 0" 1 0 0 2 -1 r 1 1 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 T0 1 0 4 -2 1 a -1 0 0 0 1 」 <2 -1 0 0 0 1」<0 0 -2 3 -2 1」 1 0 0 2 -1 1 0 10 4-21 3 1 0 0 1——1 ■■- . 2 2丿

矩阵可逆的判定及求解

摘要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵伴随矩阵初等矩阵分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 Matrix reversible decision and the solution ABSTRACT:Judging reversibly and against the asking and solving one of the main contents that is higher algebra of matrix. This text provides and judges whether matrix is reversible and asks several kinds of methods to go against matrix. KEYWORDS: Inverse matrix Adjoint matrix Elementary matrix Partitioned matrix.

定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。 定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'1 1'=--A . 由性质3有 定理2 若)2(,21≥n A A A n 是同阶可逆阵，则n A A A 21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i =， 矩阵 ⎝⎛⎪⎪⎪ ⎭ ⎫nn n n n n A A A A A A A A A 2122212 12111称为A 的伴随矩阵，记作A*。 定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A ，并且当A 可逆时,有 *1 1A A A = -。 定理证明见[1]. 定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，

可逆矩阵判定典型例题

典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式： （1）若, 则 ； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则 ； （3） ； （4）若, 则 ； （5） ； （6）若, 则（l 为自然数）； （7） . 证 （1）因为, 故A 是可逆矩阵, 且 两边同时取转置可得 故由可逆矩阵的定义可知 是A T 的逆矩阵. 即 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 （2-7） 另一方面 （2-8） 比较式（2-7）、（2-8）可知 又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘可得 （3）设n 阶方阵A 为 于是可得A 的伴随矩阵为 注意到A 的转置矩阵为 0||≠A T T A A )()(11--=* **)(A B AB =T T A A )()(**=0||≠A *11*)()(--=A A * 1*)1()(A A n --=-0||≠A l l A A )()(11--=* 1*)(A k kA n -=0||≠A E AA =-1 E E A A AA T T T T ===--)()()(11T A )(1-1 1)()(--=T T A A E AB AB AB ||)()(*=B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===))(()()(***AB A B AB AB =1 )(-AB * **)(A B AB =⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 * A ⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111 *

线性代数中的若干个充要条件

线性代数中的若干个充要条件 一、n 阶方阵可逆的充要条件 A 是n 阶可逆方阵 ⇔E BA AB ==)( ⇔0det ≠A （非奇异） ⇔n A =rank （满秩） ⇔A 的最高阶非零子式的阶数等于n ⇔E A ~（等价） ⇔A 的伴随矩阵*A 可逆 ⇔)rank()rank(B AB = ⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使E AP = ⇔存在n 阶可逆矩阵Q ,使E QA = ⇔存在有限个初等方阵s i P i ≤≤1 , ,使s P P P A 21= ⇔0=Ax 只有零解 ⇔0=Ax 解空间的维数是零 ⇔ββ=∈∀Ax R n ,总有唯一解 ⇔A 的行（列）向量组线性无关 ⇔ ββ ,n R ∈∀总可以由n ααα,,,21 唯一的线性表示 ⇔A 的特征值均不为零 实对称 A ⇔A 的正、负惯性指数的和n q p =+

⇔A A T 是正定矩阵 ⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基 ⇔A 的列向量组与单位向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,,010,00121 n εεε等价 ⇔A 是n R 的某两组基之间的过渡矩阵 二、β=⨯x A n m 有(无)解的充要条件 β=⨯x A n m 有（无）解 ⇔),rank(rank βA A = （),rank(rank βA A <） ⇔向量β可以（不能）被A 的列向量组n ααα,,,21 线性表示 三、β=⨯x A n m 有唯一（无穷多）解的充要条件 β=⨯x A n m 有唯一（无穷多）解 ⇔)(),rank(rank n n A A <==β ⇔A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关，且β可以被n ααα,,,21 唯一线性表示（n ααα,,,21 线性相关，β的表示法不唯一） 四、0=⨯x A n m 只有零（有非零）解的充要条件 0=⨯x A n m 只有零（有非零）解

数学与应用数学专业毕业论文--逆矩阵及其应用

目录 中文摘要 (1) 英文摘要 (1) 一、引言 (2) 二、矩阵逆的定义 (2) 三、可逆矩阵的性质 (2) 四、矩阵可逆的判定方法 (2) 五、矩阵逆的求法 (3) 六、矩阵逆的应用 (12) 七、逆矩阵求某些函数的不定积分 (13) 八、矩阵逆的推广 (14) 参考文献 (16)

逆矩阵及其应用 摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及逆矩阵求不定积分,矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用.最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广. 关键词：矩阵矩阵的逆广义逆矩阵 The inverse matrix and its application Abstract: This paper presents the definition and properties of inverse matrix, then discusses the method about how to identify inverse matrix and how to evaluate it. Next, this paper discusses how to evaluate indefinite integral by inverse matrix and the application of inverse matrix, especially its application in the encoding, decoding. Finally, this thesis generalizes inverse matrix. Keywords: Matrix Inverse matrix Generalized inverse matrix