可逆矩阵的范数
可逆矩阵的范数
一、引言
矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的范数也是矩阵理论中的重要内容。在矩阵范数中，可逆矩阵的范数是一个非常重要的概念。本文将详细介绍可逆矩阵的范数。
二、可逆矩阵
1. 定义
在线性代数中，一个n×n方阵A称为可逆矩阵，如果存在一个n×n 方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。如果不存在这样的B，则称A为奇异或不可逆矩阵。
2. 性质
（1）若A、B均为n×n方阵，则AB可逆当且仅当A和B均可逆。（2）若A、B均为n×n方阵且都是可逆的，则(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹。（3）若A是一个n×n方阵，则下列条件等价：
① A是非奇异的；
② A可以表示成有限个初等行变换后所得到的简化行最简形式；
③ A可以表示成有限个初等列变换后所得到的简化列最简形式。
三、矩阵范数
1. 定义
矩阵范数是将一个矩阵映射到一个实数的函数，通常记作∥A∥，表示矩阵A的大小。在实际应用中，矩阵范数可以用来衡量误差或者度量两个矩阵之间的距离。
2. 常见的矩阵范数
（1）Frobenius范数：Frobenius范数是最常见的一种矩阵范数，它定义为：∥A∥F=√(ΣiΣj|aij|²)，其中aij表示A中第i行第j列的元素。（2）1-范数：1-范数也称为列和范数，它定义为：
∥A∥₁=max(Σi|aij|)，其中j取值从1到n。
（3）2-范数：2-范数也称为谱范数或者算子模长，它定义为：
∥A∥₂=σ₁(A)，其中σ₁(A)表示A的最大奇异值。
（4）无穷大-范数：无穷大-范数也称为行和范数，它定义为：
∥A∥∞=max(Σj|aij|)，其中i取值从1到n。
四、可逆矩阵的范数
1. 定义
可逆矩阵的范数是指可逆矩阵A的所有范数中最小的那个，即
∥A∥⁻¹=min{∥A⁻¹B∥|B为n×n矩阵}。
2. 性质
（1）若A是可逆矩阵，则其逆矩阵A⁻¹也是可逆矩阵。
（2）若A是可逆矩阵，则其所有范数中最小的那个为Frobenius范
数，即∥A∥⁻¹=√(ΣiΣj|aij|²)。
（3）若A是对称正定矩阵，则其所有范数中最小的那个为2-范数，即∥A∥⁻¹=σ₁(A)。
五、总结
本文详细介绍了可逆矩阵的定义和性质，以及常见的几种矩阵范数和可逆矩阵的范数。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择不同的范数来衡量误差或者度量两个矩阵之间的距离。同时，在计算机科学领域中，对于大规模稀疏数据，我们通常使用不同的范数来进行矩阵压缩和降维处理，从而提高计算效率和节省存储空间。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解
第五专题矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质； 从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义： n n ii i i1i1 tr(A)a == ==λ ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B) λ+μ=λ+μ，线性性质；
2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)
22 广义逆矩阵
§2 矩阵的广义逆 一、广义逆矩阵的概念 定义1 设任意一个矩阵n m R A ?∈，若存在矩阵m n R X ?∈，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )T =AX （3） (XA )T =XA （4） 这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵。 由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中 之多。本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。 定义2 对矩阵n m R A ?∈，一切满足方程组 A AXA = 的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。记为-A 。 例如，，都是的减号逆。 下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。 定理1(秩分解) 设A 为n m ?矩阵，()rank A r =，若 ， 或 这里P ,Q 分别为n n m m ??,的可逆阵，则 12221 121---??? ??=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。 证明 设X 为A 的广义逆，则有 Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ??? ? ??=???? ?????? ???=
??? ? ??=???? ?????? ???O O O I O O O I QXP O O O I r r r 若记 则上式， ??? ? ??=???? ???00 000011r I G r I G =?11 于是， 12221 121--???? ??=?=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕. 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。 推论： 若A 右逆，则； 若A 左逆，则()1112n A Q I G P ---=。 例 1 设, 求-A 。 解 经过初等变换可得 ???????? ??--→???????? ? ?-=???? ??00100002100050110010210 010010000010000011021001121032I I A 于是 ， 故
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数 向量x ∈R n 的范数f(x )是定义在R n 空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数： 1 对于所有的x ≠ 0,x ∈R n 有f(x )>0; (非负性） 2 对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3 对于所有的x,y ∈R n 有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式） 一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下： p x = p n i p i x 11 )( ∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。 下证p-范数满足上述的三个性质： 1、对于所有的x ∈R n ，x ≠ 0，p n i p i x 11 )(∑ =显然是大于0的，故性质1 成立。 2、 由p x α = p n i p i x 11 )( ∑=α = αp n i p i x 11 )(∑= = αp x 知性质2 成立。 3、欲验证性质3 ，我们的借助下列不等式： 设p>1,q>1,且p 1 + q 1 = 1，则对所有的0,≥βα有 αββα≥+ q p q p 证： 考虑函数p t p t t - =1)(?，因为 )1(1)(1 1'-= -p t p t ?，由()t '?=0 t=1,又因为01 )1(' '<- =pq ?，所以当t = 1的时候)(t ?取最大值，则有：
p p t t p 111-≤-， 令t = q p β α,代入可得： q p p q p p q p 1111 =-=-??? ? ??βαβα, 化简之后即得： αββα≥+ q p q p 证毕！ 又令∑=) (1i p x x p i α，∑=) (1i q y y q i β，代入上不等式可得： ∑∑+ ) ()(i q i i p i y y x x q q p p ∑∑≥ ) ()(11y x y x i q i p q p i i ，两边同时对i 求和，并利用 关系式p 1 + q 1 = 1可知： ∑∑≥+ = ∑∑∑∑∑) ()(11) ()(1y x y x y y x x i q i p i q i i p i q p i i q q p p 从而有： ∑∑≤∑) ()(11y x y x i q i p q p i i 另一方面，又有： ∑ +∑++=-y x y x y x i i p p i i i i 1 )(1 y x y x i i p i i + ≤∑+- y y x x y x i p i p i i i i ∑+∑ +--+=1 1 ()()()()()()∑ ∑ -+∑ ∑ -≤++y y x x y x i p i i q p i p i i q p p q p q 111111 () ()()() ???? ??? ?∑ ∑ -=+∑+y x y x i p i p p i i q p p q 1111
矩阵与线性方程组
第1 章矩阵与线性方程组 矩阵是描述和求解线性方程组最基本和最有用的工具。本章涉及向量和矩阵的基本 概念，归纳了向量和矩阵的基本运算。 1.1 主要理论与方法 1.1.1 矩阵的基本运算 一、矩阵与向量 a11x1 + a12x2 + ￠ ￠ ￠+ a1n x n = b1 a21x1 + a22x2 + ￠ ￠ ￠+ a2n x n = b2 ... a m1x1 + a m2x2 + ￠ ￠ ￠+ a mn x n = b m 9> >>>=>>>>; (1.1) 它使用m个方程描述n个未知量之间的线性关系。这一线性方程组很容易用矩阵||向量 形式简记为 Ax = b (1.2) 式中 A =26664 a11 a12 ￠ ￠ ￠ a1n a21 a22 ￠ ￠ ￠ a2n ... ... ... a m1 a m2 ￠ ￠ ￠ a mn 37775 (1.3) 称为m ￡ n矩阵，是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合；而 x =26664 x1 x2 ... x n 37775 ; b =26664 b1 b2 ... b m 37775 (1.4) 分别为n ￡1向量和m￡1向量，是按照列方式排列的复数或实数集合，统称列向量。类似地，按照行方式排列的复数或实数集合称为行向量，例如 a = [a1; a2; ￠ ￠ ￠ ; a n] (1.5) 是1 ￡ n向量。 二、矩阵的基本运算 1. 共轭转置：若A = [a ij ]是一个m￡ n矩阵，则A的转置记作A T，是一个n ￡m矩阵， 定义为[A T]ij = a ji；矩阵A的复数共轭A¤定义为[A¤]ij = a¤ji；复共轭转置记作A H，定义 为 A H =26664 a¤11 a¤21 ￠ ￠ ￠ a¤m1 a¤12 a¤22 ￠ ￠ ￠ a¤m2 ...
可逆矩阵的范数
可逆矩阵的范数 一、引言 矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的范数也是矩阵理论中的重要内容。在矩阵范数中，可逆矩阵的范数是一个非常重要的概念。本文将详细介绍可逆矩阵的范数。 二、可逆矩阵 1. 定义 在线性代数中，一个n×n方阵A称为可逆矩阵，如果存在一个n×n 方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。如果不存在这样的B，则称A为奇异或不可逆矩阵。 2. 性质 （1）若A、B均为n×n方阵，则AB可逆当且仅当A和B均可逆。（2）若A、B均为n×n方阵且都是可逆的，则(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹。（3）若A是一个n×n方阵，则下列条件等价： ① A是非奇异的； ② A可以表示成有限个初等行变换后所得到的简化行最简形式； ③ A可以表示成有限个初等列变换后所得到的简化列最简形式。 三、矩阵范数
1. 定义 矩阵范数是将一个矩阵映射到一个实数的函数，通常记作∥A∥，表示矩阵A的大小。在实际应用中，矩阵范数可以用来衡量误差或者度量两个矩阵之间的距离。 2. 常见的矩阵范数 （1）Frobenius范数：Frobenius范数是最常见的一种矩阵范数，它定义为：∥A∥F=√(ΣiΣj|aij|²)，其中aij表示A中第i行第j列的元素。（2）1-范数：1-范数也称为列和范数，它定义为： ∥A∥₁=max(Σi|aij|)，其中j取值从1到n。 （3）2-范数：2-范数也称为谱范数或者算子模长，它定义为： ∥A∥₂=σ₁(A)，其中σ₁(A)表示A的最大奇异值。 （4）无穷大-范数：无穷大-范数也称为行和范数，它定义为： ∥A∥∞=max(Σj|aij|)，其中i取值从1到n。 四、可逆矩阵的范数 1. 定义 可逆矩阵的范数是指可逆矩阵A的所有范数中最小的那个，即 ∥A∥⁻¹=min{∥A⁻¹B∥|B为n×n矩阵}。 2. 性质 （1）若A是可逆矩阵，则其逆矩阵A⁻¹也是可逆矩阵。 （2）若A是可逆矩阵，则其所有范数中最小的那个为Frobenius范
矩阵与数值分析公式总结
矩阵与数值分析公式总结 绝对误差: a = ±1(/><0.%2 •…"“ |x-«| <^xl(/_/l ,则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值 相对误差: 如果a 有n 位有效数字，则升詁旷；如果喘也諾护旷，则a 至 少有n 位有效数字。 近似绝对误差估计式：|/(x)- f(a)\«|/ («)||x-a\ 近似相对误差界为：喘叽關 向量范数： 1范数侶广刼 r-1 2 范数:||x||2 =乞卜『=A /?7? = yl(x.x) \ f-1 °°范数:Mo =酸闻 (“ \/P P 范数制卩=丈吋 ，l
1、矩阵的LU分解或Doolittle分解 对于〃阶方阵A,如果存在/?阶单位下三角矩阵乙和刀阶上三角矩阵〃，使得A = LU f 则称其为矩阵A的LU分解，也称为.Gauss消去法对应的矩阵形式即为分解, 其中厶 为所有行乘子组成的单位下三角矩阵，〃为Gauss消去法结束后得到的上三Ly = b < 角矩阵.原方程组分解为两个三角形方程组=儿 2、矩阵分解的的存在和唯一性（各阶顺丿子主子式均不为零） 如果〃阶矩阵A的各阶顺序主子式卩伙= 1,2,…均不为零，则必有单位下三角 矩阵£和上三角矩阵〃，使得A = LU f而且乙和卩是唯一存在的. 3、矩阵的Cholesky分解或平方根法（正定矩阵） 对任意"阶对称正定矩阵均存在下三角矩阵L使A = LlI f称其为对称正定矩阵A 的Cholesky分解.进一步地，如果规定工的对角元为正数，则厶是唯一确定的.原方程 组= b分解为两个三角形方程组 ^' = b . L x = y 利用矩阵乘法规则和厶的下三角结构可得
矩阵f范数与向量2范数相容证明
矩阵f范数与向量2范数相容证明 在线性代数中，矩阵f范数和向量2范数是两个常见的范数概念。它们在矩阵和向量的运算和分析中起着重要作用。而证明矩阵f范数与向量2范数相容的性质，则是深入了解这两个概念的关键之一。 我们来简单地回顾一下矩阵f范数和向量2范数的定义。矩阵A的f 范数定义如下： （1）. 对于一个n×m的矩阵A，其f范数定义为： ||A||_f = (\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|^2)^{1/2} 其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，||A||_f表示矩阵A的f范数。 而对于一个n维的向量x，其2范数定义为： （2）. 向量x的2范数定义为： ||x||_2 = (\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2)^{1/2} 其中x_i表示向量x的第i个元素，||x||_2表示向量x的2范数。
我们的任务是要证明矩阵f范数与向量2范数的相容性。也就是说， 我们需要证明对于任意的n×m矩阵A和n维向量x，有以下关系成立： （3）. ||Ax||_2 ≤ ||A||_f * ||x||_2 现在让我们来证明这个性质。我们要从矩阵A的f范数定义出发，利 用向量x的2范数定义来推导出式（3）。 我们可以将矩阵A表示为列向量a_1, a_2, ..., a_m的形式，即A = [a_1, a_2, ..., a_m]，其中a_i表示矩阵A的第i列向量。 根据矩阵向量乘法的定义，我们有Ax = x_1*a_1 + x_2*a_2 + ... + x_m*a_m。其中x_i表示向量x的第i个元素。 在这里，我们可以利用矩阵A的f范数定义进行变换。我们可以将矩 阵A的f范数表示为矩阵A每一列向量的2范数的最大值。也就是说， （4）. ||A||_f = max{||a_1||_2, ||a_2||_2, ..., ||a_m||_2} 而根据向量2范数的性质，我们知道对于任意的向量y，有||Ay||_2 ≤ ||A||_f * ||y||_2。将y替换为向量x，我们可以得到：
带虚数的矩阵范数
带虚数的矩阵范数 引言 矩阵范数是用来度量矩阵的大小的一种方法。在实际应用中，我们经常需要计算矩阵范数，以评估矩阵的性质和影响。然而，在某些情况下，矩阵中包含虚数元素，这为计算矩阵范数带来了一定的挑战。本文将介绍带虚数的矩阵范数的概念、性质以及计算方法，并给出一些实际应用的例子。 带虚数的矩阵范数的定义 矩阵的范数是满足一定条件的函数，它将矩阵映射到一个非负实数。对于带虚数的矩阵，我们可以将虚数视为复平面上的一个点，因此带虚数的矩阵范数可以扩展到复数域。带虚数的矩阵范数的定义如下： 对于一个 n x n 的带虚数矩阵 A，它的范数记作 ||A||，满足以下条件： - 非负性：||A|| >= 0，且当且仅当 A = 0 时，||A|| = 0。 - 齐次性：对于任意实数c，||cA|| = |c| ||A||。 - 三角不等式：对于任意两个带虚数矩阵 A 和 B，有||A + B|| <= ||A|| + ||B||。 这个定义和实数矩阵范数的定义相似，只是将实数扩展到了复数域。带虚数的矩阵范数的定义保留了实数矩阵范数的基本性质，并加入了复数域的特性。 带虚数的矩阵范数的性质 带虚数的矩阵范数具有以下性质： 1. 子多重性 对于任意两个带虚数矩阵 A 和 B，有 ||A * B|| <= ||A|| * ||B||。这个性质类似于实数矩阵范数的性质。 2. 单位矩阵的范数为1 对于单位矩阵 I，有 ||I|| = 1。这是由于单位矩阵的定义保证了对任意向量 x，有 ||I * x|| = ||x||。
3. 可逆矩阵的范数为非零值 对于可逆矩阵 A，有 ||A|| > 0。这是由于可逆矩阵的定义保证了对任意非零向量x，有 ||A * x|| > 0。 4. 矩阵的对角线元素和范数 对于矩阵 A 的对角线元素之和的绝对值的范数，有 ||A||_1 >= |tr(A)|。这是由于矩阵的对角线元素之和可以视为矩阵的迹。 带虚数的矩阵范数的计算方法 计算带虚数的矩阵范数的主要方法有以下几种： 1. 谱范数 对于一个带虚数矩阵 A，它的谱范数记作 ||A||_2，定义为 A 的最大特征值的模。计算谱范数的方法包括幂迭代法、反幂迭代法等。 2. Frobenius 范数 对于一个带虚数矩阵 A，它的Frobenius范数记作 ||A||_F，定义为矩阵所有元素的平方和的平方根，即 ||A||_F = sqrt(sum_i(sum_j(|a_ij|^2)))。计算Frobenius范数的方法比较简单，只需对矩阵所有元素求平方和再开方。 3. ∞ 范数 对于一个带虚数矩阵 A，它的∞范数记作 ||A||∞，定义为矩阵所有行向量的元素绝对值的和的最大值，即 ||A||∞ = max_i(sum_j(|a_ij|))。计算∞范数的方法 是找到矩阵所有行向量的元素绝对值的和的最大值。 4. 1 范数 对于一个带虚数矩阵 A，它的1范数记作 ||A||_1，定义为矩阵所有列向量的元素绝对值的和的最大值，即 ||A||_1 = max_j(sum_i(|a_ij|))。计算1范数的方法 是找到矩阵所有列向量的元素绝对值的和的最大值。
矩阵理论试题参考答案
矩阵理论2007年考试参考答案 一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯） 1、设,n n A B C ⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥>，'' ' 120n σσσ≥≥≥>， 如果' (1,2,,)i i i n σσ>=，则22||||||||A B ++>. ( ⨯ ) 2、设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n n C A ⨯∈可逆，n n C B ⨯∈，若对算子范数有1 ||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆. ( ∨ ) 4、设323 12 1 000a a A a a a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ ) 5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ∨ ) 6、设n n A C ⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ⨯ ) 7、如果12(,, ,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ⨯ ) 8、00101 40110620 118A ⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥=⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ 至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n n A C ⨯∈则矩阵范数m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ∨ ) 10、设n n A C ⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩 阵. ( ∨ ) 二、计算与证明（60分） 1. (10分)设矩阵n n A C ⨯∈可逆, 矩阵范数||||⋅是n C 上的向量范数||||v ⋅诱导出的算子范数, 令()L x Ax =, 证明: ||||11||||1 max ||()||||||||||min ||()||v v v x v y L x A A L y =-==⋅. 证明: 根据算子范数的定义, 有||||1 max ||()||||||x L x A ==, 1 11 00||||1||||1 0||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min |||| y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,
矩阵范数定义
矩阵范数定义 矩阵范数是矩阵理论中的一种重要概念，用于描述矩阵的大小或者大小变化。在数学中，矩阵范数是一个将矩阵映射到实数的函数，它可以用来度量矩阵的大小或变化的幅度，是矩阵理论中重要的工具之一。 矩阵范数有不同的定义方式，其中最常见的是向量范数的定义方法。矩阵的向量范数是指将矩阵的每一列看作一个向量，对这些向量应用某种向量范数，最终得到的一个数值即为矩阵的范数。矩阵范数的定义方式有很多种，包括Frobenius范数、1-范数、2-范数、无穷范数等。 Frobenius范数是矩阵范数中最常用的一种，它是指矩阵元素平方之和的平方根。Frobenius范数可以用来度量矩阵在元素维度上的大小，通常用来衡量矩阵之间的距离。在机器学习中，Frobenius 范数常用来衡量矩阵的差异，例如矩阵的相似性或者矩阵的重构误差。 1-范数是指矩阵中每一列元素绝对值之和的最大值，它可以用来度量矩阵在列维度上的大小。1-范数通常用来衡量矩阵的稀疏性，例如矩阵中有多少个元素为0。在图像处理中，1-范数也被广泛应用于图像压缩算法中。 2-范数是指矩阵的最大奇异值，它可以用来度量矩阵在行和列维度
上的大小。2-范数通常用来衡量矩阵的谱半径，即矩阵特征值的最大值。在机器学习中，2-范数常用来度量矩阵的条件数，即矩阵最大特征值与最小特征值之比，用来描述矩阵的稳定性和可逆性。 无穷范数是指矩阵中每一行元素绝对值之和的最大值，它可以用来度量矩阵在行维度上的大小。无穷范数通常用来衡量矩阵中的异常值，例如矩阵中有多少个元素偏离了正常值的范围。 矩阵范数是矩阵理论中的重要概念，它可以用来度量矩阵的大小或变化的幅度，是矩阵理论中重要的工具之一。在实际应用中，不同的矩阵范数可以用来衡量不同的特性，例如矩阵的稀疏性、谱半径、条件数等。因此，对于不同的问题，我们需要选择不同的矩阵范数来度量矩阵的大小或变化的幅度。
1.2向量范数与矩阵范数
1.2向量范数与矩阵范数 matlab §1.4 向量和矩阵范数向量范数( vector norms ) 定义1 定义： (3) || x + y || ≤|| x || +|| y ||常用向量范数：常用向量范数：v || x || 1 = v v v v (1) || x || ≥ 0 ; || x || = 0 x = 0 v v (2) ||v x || =| λ |v|| x || v 对任意λ∈C λ v Rn空间的向量范数空间的向量范数 v v n || || ,对任意x, y ∈ R 满足下列条件对任意 Σi=1 n | xi | v || x || =2 Σ n | x |i 2 i=1 v || x || ∞ = max | x i |1≤ i ≤ n matlab 主要性质主要性质性质1:‖-x‖=‖x‖ 性质1:‖ 1: 性质2: ‖x‖-‖y‖|≤‖x性质2:|‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖ 性质3: 向量范数‖x‖是上向量x的连续函数. 性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数. 范数等价:设‖‖A 和‖‖B是R上任意两种范数，若存在上任意两种范数，范数等价: ‖ ‖ 常数C1、C2 0 使得,则称‖ 等价。‖‖A 和‖‖B 等价。‖ 定理1.4.1 定理一切范数都等价范数都等价。Rn 上一切范数都等价。
matlab 定义2:设{xk}是Rn上的向量序列，定义2:设上的向量序列，2: k=1,2, . 令xk=(xk1,xk2,…,xkn)T, k=1,2,…., , 又设x =(x 上的向量. 又设x*=(x1*,x2*,…,xn*)T是Rn上的向量. , 对所有的i=1,2, i=1,2,…, 成立，如果lim 如果lim xki=xi对所有的i=1,2, ,n成立，那么,称向量x*是向量序列{xk}的极限，那么,称向量x 是向量序列{ 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的收敛的. 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定理1.4.2 定理1.4.2 对任意一种向量范数‖ ‖而言，对任意一种向量范数‖‖而言，向量序列{ 收敛于向量x 序列{xk}收敛于向量x*的充分必要条件是 li m || x k xk → ∞ * ||= 0 matlab 矩阵范数( matrix norms )× 空间的矩阵定义3:对任意定义3:对任意A, B ∈ Rm×n ,称|| || 为Rm×n空间的矩阵3: 范数, 满足(1) 范数指|| ||满足(1)-(3): 满足(1)-(3): (1) || A||≥0; || A||=0 A=0 (2) || λA|| =| λ| || A|| 对任意α ∈C (3) ||A+B||≤||A||+||B||若还满足(4),称为相容的矩阵范数若还满足(4),称为相容的矩阵范数(4), (4) || AB || ≤ || A || || B || matlab 例5: 设A=(aij)∈M. 定义 1 | | A ||= 2 n i, j =1 ∑ n | a ij | 证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明：这样定
广义逆矩阵及其应用
广义逆矩阵及其应用 广义逆矩阵是指矩阵A的伪逆矩阵，一般记作A⁺。矩阵的伪 逆是指对于任意的非零向量b，使得b = A⁺bA的最小范数解存在。伪逆矩阵是在求解线性方程组时非常有用的工具，在各种应用领 域有着广泛的应用。 广义逆矩阵的定义 在数学中，矩阵A的伪逆矩阵A⁺是这样一个矩阵，它满足下 列条件： 1. A⁺A = AA⁺ = I 2. (AA⁺)⁺ = AA⁺ 3. (A⁺A)⁺ = A⁺A 其中I是单位矩阵。 矩阵的伪逆是矩阵理论中非常重要的一个概念，它实际上是求 解线性方程组Ax = b的一个很好的工具。当方程组中b不完全在 A的列空间中时，方程组是不唯一解或无解的。这时，我们就需 要引入广义逆矩阵，求解最小范数解。 广义逆矩阵的计算
广义逆矩阵的计算可以使用三种方法：求导法、奇异值分解法 和QR分解法。 1. 求导法 如果矩阵A是可逆矩阵，则广义逆矩阵A⁺等于A的逆矩阵。 但是，如果矩阵A是非可逆矩阵，则不一定存在逆矩阵，此时我 们需要使用求导法来计算广义逆矩阵。 求解广义逆矩阵的过程中，我们需要使用矩阵微积分中的求导 技巧，通过求解矩阵的导数来计算其广义逆矩阵。这种方法虽然 可以保证计算出来的广义逆矩阵满足广义逆矩阵的特性，但计算 量较大，所以一般用于小规模的矩阵。 2. 奇异值分解法 通过奇异值分解，可以很容易地计算出矩阵的广义逆，这是一 种非常快速且广泛使用的方法。同时这种方法也可以使用化简版 本的奇异值分解，虽然计算效率较低，但是精度更高，能够更好 地比较微弱的值。 3. QR分解法 QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵与上三角矩阵的方法， 可以用于计算矩阵A的广义逆。使用QR分解计算广义逆矩阵需 要先进行QR分解，然后将因QR分解产生的下三角矩阵H逆序，并将结果中的非零行提出来，得到矩阵的伪逆矩阵。
矩阵的f范数
矩阵的f范数 矩阵的f范数 1、 f范数是一个概念，表示某个矩阵在整个可能的运算下所得的值之间的近似程度。定义为： 注：用r表示，称为矩阵的范数（ norm）。 2、令 a=(x1,x2,x3)=(1x1,2x1,2x2)，则有： 2。则a的方阵形式为： a=(a_1,a_2,a_3)=(ax1,ax2,bx1)，并且为可逆矩阵。 3。若a=(a_1,ax2,bx1)，则由(2)得，解得： a=(a_1^3,ax1^3,bx1^3)。 4。若a= (a_1,ax2,bx1)，则由(3)得，解得： a=(a_1^3,a_1^3,a_1^3,a_1^3)。则a的方阵形式为： a=(ab_1,ac_2,ad_3)=(ax1,ax2,bx1)，并且为正定矩阵。因为方阵的特征值均为正定矩阵。 5。若矩阵的行列式等于零，则其逆矩阵也为正定矩阵。若矩阵的行列式不为零，但其逆矩阵的阶比主对角线上的小，则其逆矩阵的阶大于等于主对角线上的。若a=(ab_1,ac_2,ad_3)，则行阶梯型，属于特殊的非奇异矩阵。 6。若a=(a_1,ax2,bx1)，即存在c，使得矩阵a具有方阵形式。则c是一个以a为行和列的方阵，其逆矩阵可以是由对称矩阵a与其行和列组成的。 7。若a是行或列对称矩阵，并且不存在m>0，使得
a=(ab_1,ac_2,ad_3)，则a的逆矩阵是以a为行和列的方阵。因为正定矩阵一定是对称矩阵。 8。如果对应矩阵是对称矩阵，则可由(5)得出解析式。可见，这时的a可以看作是n阶单位矩阵的加权形式。因此，解析式中的l和r均为n阶单位矩阵的系数。其中，一般认为，对于行或列对称矩阵来说，行或列的权重为1。 9。对于一个n阶对称矩阵A，其逆矩阵存在且对角线上的最高次数为n-2。当A是可逆矩阵时，其逆矩阵可以存在，而且是唯一的；否则就是零矩阵，因此，对于给定的矩阵A，其逆矩阵不唯一，但其主子式一定是n阶单位矩阵。 10。矩阵的重排如下：先把矩阵进行逆向变换，然后顺序变换。若已知逆矩阵为正定矩阵，则原矩阵一定是对称矩阵，若原矩阵为奇异矩阵，则其逆矩阵必定是零矩阵。
范数的定义
3.3 范数 3.3.1 向量范数 在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。绝对值是一种度量形式的定义。 范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。 若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足： 1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0； 2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║； 3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。 那么║·║称为X上的一个范数。 常用范数 这里以C^n空间为例，R^n空间类似。 最常用的范数就是p-范数。若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么 ║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p} 可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。 当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形： 1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2 ∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 其中2-范数就是通常意义下的距离。 矩阵范数 一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。
证明谱半径不是矩阵范数
证明谱半径不是矩阵范数 谱半径是一种衡量方阵贡献最大特征值大小的指标，而矩阵范数是一种衡量矩阵“大小”或“变换过程”的指标。虽然这两种指标都和矩阵的特征值有关，但它们的定义和性质是不一样的。 证明谱半径不是矩阵范数，可以从以下几个方面进行论述： 1. 取等号条件不同 矩阵的范数通常是满足下面两个条件的： （1）同一矩阵的范数是唯一的，即不会出现多个不同的范数对同一个矩阵取值相同的情况； （2）满足三角不等式，即对于任意的矩阵 A 和 B，一定有||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||。 而谱半径的定义如下： ρ(A) = max(|λ|)，其中λ 是 A 的特征值 可以发现，谱半径的取等条件是特征值的绝对值的最大值，在一些特殊的情况下，这个最大值并不唯一，因此无法满足矩阵范数的第一条取等条件。 2. 矩阵范数的定义与矩阵的二范数、F-范数等紧密相关
二范数是一种衡量矩阵大小的范数，与谱半径有一定的关系，它的定义如下： ||A||2 = max(|λ|)，其中λ 是 A*A 的特征值。 F-范数则是矩阵元素的平方和的平方根，也和谱半径有一定联系。 这些范数和谱半径之间的关系是密切的，但并不等同，它们既有相似之处，也有差异之处。 3. 矩阵范数具备一些谱半径不具备的性质 矩阵的范数是一种广义的范数，有许多独特的性质和应用。例如，在很多应用中，我们需要知道矩阵的逆阵，而矩阵的逆阵的存在条件是矩阵的非奇异性。此时，矩阵范数可以呈现出更好的性质，比如它满足可逆矩阵范数不为零这一条件。 综上所述，谱半径是一种矩阵的特征值，矩阵范数是一种衡量矩阵大小和变换过程的指标，两者性质和定义是不同的，因此谱半径不是矩阵范数。
矩阵的左逆与右逆
第二专题 广义逆矩阵 广义逆矩阵是于1920年首次提出来的，1955年利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。为此，我们从线性方程组m n n m b x A =⨯的解开始讨论(n m >称为超定方程；n m <称为亚定方程)。 若存在向量x ，使b Ax =成立，则称线性方程组为相容方程组，否则称为不相容方程或矛盾方程。对于相容方程组， 若A 是列满秩的，则有唯一解；否则有无穷多解{} -=A A 1。我们要找到唯一的极小范数解{}-=m A A 4,1。对于矛盾方程我 们要找到它的近似解——最小二乘解{}-=l A A 3,1；如果最小二 乘解不唯一，我们要找到唯一的最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小二乘解，或最佳逼近解），{}+=A A 4,3,2,1。
§1 矩阵的左逆与右逆 设A 是n 阶矩阵，A 可逆当且仅当存在n 阶矩阵B ，使得 I BA AB == 当A 可逆时，其逆唯一，记为1-A . 下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到n m ⨯矩阵上，定义一种单侧逆. 一、满秩矩阵与单侧逆 定义1 设n m R A ⨯∈，若存在矩阵m n R B ⨯∈，使得 n I BA = 则称A 是左可逆的，称B 为A 的一个左逆矩阵，记为1-L A . 若存在矩阵m n R C ⨯∈，使得 m I AC = 则称A 是右可逆的，称C 为A 的一个右逆矩阵，记为1-R A . 下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件. 定理1 设n m R A ⨯∈，则下列条件是等价的： (1)A 是左可逆的； (2)A 的零空间{}0)(=A N ； (3)n A R n m =≥)(,,即A 是列满秩的；(4)A A T 是可逆的. 证明 )2()1(⇒，设A 是左可逆的，则存在m n R B ⨯∈，使得