向量法在中学数学解题中的应用
向量法在中学数学解题中的应用
向量是中学数学领域的一个重要内容，向量分为平面向量和空间向量．本文首先对中学数学领域里的向量知识作一系统的归纳整理，然后通过具体例题说明向量法在代数、三角、平面几何、平面解析几何和立体几何解题中的应用．
１向量的有关知识
1.1平面向量
向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等．
(1)向量的三种线性运算及运算的三种形式.
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言．
主要内容列表如下：
向量加法：a b b a →→→→+=+，()()a b c a b c →→→→→→
++=++；
实数与向量的积：()a b a b λλλ→
→
→
→
+=+，()a a b λμλμ→
→
→
+=+，()()a a λμλμ→
→
=；
两个向量的数量积：a b b a →→
→→
?=?，()()()a b a b a b λλλ→→→→→→
?=?=?，
()a b c a c b c →→→→→→→
+?=?+?．
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言：若a →
∥b →
，且0a →
→
≠，则()a b R λλ→→
=∈；
坐标语言：设1122(,),(,)a x y b x y →→==，则a →∥b →
12210x y x y ?-=． (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言：a →
⊥b →
0a b →→
??=；
坐标语言：设1122(,),(,)a x y b x y →
→
==，则a →
⊥b →
12120x x y y ?+=． (4)线段定比分点公式
如图，设→--→
--=21PP P P λ,则定比分点向量式：
→
--→--→
--+++=21111OP OP OP λ
λλ；
定比分点坐标式：设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ， 则 1212
,11x x y y x y λλλλ
++=
=++．
(5)平移公式：
如果点(,)P x y 按向量(,)a h k →
=平移至(,)P x y '''，则?
?
?+=+=k y y h
x x ''，分别称(,)x y ，
(,)x y ''为旧、新坐标，a →
为平移法则．
1.2空间向量
(1)共线向量
共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b →→→
→
≠，a →
∥b →
?存在实数λ使a b λ→
→
=. (2)共面向量
称平行于同一平面的向量为共面向量.
共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量p →与向量,a b →→
共面?存在两个实数,x y 使p x a y b →
→
→
=+．
(3)空间向量基本定理
空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c →→→
不共面，那么对空间任一向量p →
，存在一个唯一的有序实数组,,x y z , 使p x a y b z c →
→
→
→
=++．
(4)两个向量的数量积
空间两个非零向量,a b →→
的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同.
cos ,a b a b a b →→
→→→→?=??，当,2
a b π
→→
??=
时，称向量a → 与b →互相垂直，记作a →⊥b →
．
(5)空间向量的坐标运算
空间向量的各种运算的坐标表示与平面向量类似，这里不再详述．
2向量法在中学数学解题中的应用
2.1在代数解题中的应用
(1)求函数的最值(值域)
利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→
?≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．
例1求函数()32f x x =++
分析：观察其结构特征，由3x +
令(3,4),(p q x →
→
==，则()2f x p q →→
=?+，且5,2p q →→
==．故
()212f x p q →→
≤+=，当且仅当p →
与q →
同向，即
30x =>时取等号，从而问
题得到解决．
(2)证明条件等式和不等式
条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．
例2设22222
()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:
m a =n
b ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →
=
(,)q m n →
=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →
，0an bm -=，问题得证．
(3)解方程(或方程组)
有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3求实数,,x y z 使得它们同时满足方程：
2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．
分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，
令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →
→
=++=，则a b →→
==
(2)1(33)1a b x y →→
?=?++?
(2)118z ++?=，又因为18a b a b →→→→
?≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且
仅当
12x =133+y =
1
2
+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题
因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．
例4已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和
44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．
分析：先求D ，为此得求OD --→．因O
D O A A D -→-→-
→=+，而AD --→是AC --→
依逆时针方向旋转
4
π
，同时将AC --→
倍，因此先求AC --→
．而AC OC OA --→
--→
--→
=-，故AC --→
对应的复数是
44(23)27i i i --+=-，于是AD --→
对应的复数是95
(27)cos sin
4422i i ππ?-+=-??
又OD OA AD --→
--→
--→
=+，所以OD --→
可求．同理可求OB --→
，问题解决．
(5)求参变数的范围
求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.
例5设,,,a b c d R ∈，且2
2
2
2
2
(0),3
k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论
,,,a b c d 的范围．
分析：由2
2
2
2
a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→
==，则
p q a b c k d →→
?=++=-，p q →
→==.由p q p q →→→→
?≤得
k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围．
2.2在三角解题中的应用
向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．
(1)求值
例6已知3
cos cos cos()2
αβαβ+-+=
，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3
(1cos )cos sin sin cos 2
βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到
向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3
cos 2
a b β→→?=-，
a b →→
=．由a b a b →→→→
?≤得
3
cos 2
β-≤，所以1cos 2β=，
即3
π
β=
，代入已知等式便可求得α的值．
(2)证明恒等式
例7求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→
→
==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→
?=-cos()βα=-，
又cos cos sin sin a b αβαβ→→
?=+，则问题得证．
2.3在平面几何解题中的应用
利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．
例8试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.
分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ?三边上的中线，若要证明
,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→
．
证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →
,则0a b c →
→
→
→
++=，而AD AB BD --→--→--→
=+
12c a →
→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→
=+,
所以 CF CA AF --→--→--→=+12
b c →→
=+．
于是 AD BE CF --→
--→
--→
++=1()02
a b c a b c →→→
→→→→
+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个
三角形．
2.4向量在解析几何中的应用
平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.
例9已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.
解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→
，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→
=0→
或BP --→=0→，故都有AP --→?BP --→
=0成立，从而
1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．
例10求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．
解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→
(6,9)x y =--，
(1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→
'，
所以MN --→
?O M --→
'=0，即(6
)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合
时，仍有MN --→
?O M --→
'=0，因为此时MN --→
=0→
)．
2.5在立体几何解题中的应用
直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.
例11如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，
,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求1BC 和面EFBD 所成的角．
解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方
体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D
1(1,0,2),
(2,1,2),
(0,2,2)E F C ， y
(2,2,0),(1,0
D B D
E --→
--→
∴== 1(2,0,2)BC --→
=-．设n →
(,,)x y z =是平面 EFBD 的法向量，n →
DB --→?0=，n →?DE --→
0=，
得1
,2
y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD
所成的角，则
111sin cos ,6BC n BC n BC n
θ?=<>==
?
θ∴= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．
最新浅谈构造法在中学数学解题中的应用上课讲义
浅谈构造法在中学数学解题中的应用 富源六中范文波 [摘要]：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它是一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。本文主要通过大量的例题说明构造法是广泛存在于解题过程中的，而且对于解某些问题是非常有用的. [关键词]：构造法；创造性；构造；几何变换 1 前言 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一. 构造的数学思想提炼于数学各分支的研究方法之中，它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体，显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一. 什么是构造法又怎样去构造呢？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法”. 构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养我们创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助. 构造法包含的内容很多，在解题中的应用也千变万化，无一定规律可言,它需要更多的分析、类比、归纳、判断，同时能激发人们的直觉思维和发散思维.
向量的数量积在解题中的应用.doc
向量的数量积在解题中的应用 高中数学新增内容《平面向量》中介绍了两个向量的数量积的概念和性质。 概念：已知两个非零向量a和b的夹角为θ(0≤θ≤π)，则实数|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b即a·b=|a|·|b|cosθ，由向量数量积的概念和向量的坐标运算得到，若a=（x1 , y1 ) , b= (x 2, y2 ) 则a·b= x1x2+y1y2 主要性质：①θ为钝角或平角?a·b<0 ②θ为锐角或零角?a·b>0 ③θ为直角?a·b.=0 ④|a·b|≤| a||b| 课本上的习题多用性质③判断两个向量是否垂直,关于其它性质应用的习题不多。其实性质①②④在解题中也广泛应用，现举例说明。 一、利用向量数量积判断三角形的形状 例1 在△ABC中，AB=a, CA=b, 若a·b＞0 试判断△ABC的形状. 解：a·b= |a|·|b|cos (π－A) = －| a|| b| cosA ∵a·b＞0 ，∴cosA＜0 ，∵A≠π，∴A为钝角∴ABC 为钝角三角形 二、利用向量数量积求函数的最大值 例2 求函数的最大值（新加坡竞赛题） 解：设a=（1，1）b, 则 a?b=1?? y=a?b≤|a||b?当sinx=0 时取“=” ) ∴函数的最大值是2 三、利用向量数量积证明不等式 例3 求证：（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x 22+y22） 证明：设a=（x1,y1）b=(x2,y2)
a·b=x1x2+y1y2 |a|·|b |= ∵|a·b|≤|a||b| ∴(a·b)2≤(|a|·|b|)2∴(x1x2+y1y2)2≤（x12+y12）（x 22+y22） 例4已知a、b、c、d、p、q均大于0 :证明：设m n 则± m·n |m||n ∵m·n≤|m||n| 四利用向量的数量积解决直线和圆锥曲线位置关系问题 例5 设直线L：y=x+b与椭圆C： 22 22 1 1 x y a a += - (a＞1) 相交于A、B两点，若L过椭圆C的右焦点且以AB为直径的圆过椭圆C的左焦点，求该椭圆方程。 解：由题意可知椭圆的左焦点为F1（－1，0），右焦点为F2（1，0） ∵L过F2 ∴b= －1 又以AB为直径的圆过F1∴F1A⊥F1B 由22 22 1 1(1) 1 y x x y a a a =- ? ? ? +=> ?- ? 得(2a2－1)x2－2a2x+2a2－a4=0 设A（x1，y1）B（x2, y2）∵F1A⊥F1B ∴ 11 F A F B ?= ∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0 ∴(x1+1)(x2+1) + (x1-1)(x2-1) =0 ∴x1x2+1=0 ∴ 24 2 2 10 21 a a a - += - ∴a2 =2 ± ∵ a＞1 ∴a2 ∴椭圆方程为 22 1 += 注：（1）形 如) a b >且p、q同号型的最大值.设m=(p,q)
初中数学竞赛常用解题方法(代数)
初中数学竞赛常用解题方法（代数） 一、 配方法 例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 （1）构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 （2）构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 （3）构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。 （4）构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 （5）构造几何图形 例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组
123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法） 例9、71427和19的积被7除，余数是几？ 练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。 练习：证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法（用新的变量代换原来的变量） 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法（常用于列方程解应用题） 例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、 判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质） 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的
取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－
(完整版)浅谈数形结合在中学数学解题中的应用毕业论文
本科生毕业论文(设计) 题目：浅谈数形结合在中学数学解题中的应 用 姓名：任城勇 学号： 2 0 0 7 0 2 0 1 4 0 4 1 系别：数学与计算机科学系 年级: 2 0 0 7 专业：数学与应用数学 指导教师庄中文职称：副教授 指导教师武慧虹职称：讲师
2011年3月10日 安顺学院毕业论文任务书 数学与计算机科学系数学与应用数学专业 2007 年级学生姓名任城勇 毕业论文题目：浅析数形结合在中学数学解题中的应用 任务下达日期：2010年9月18 日 毕业论文写作日期： 2010年 9月 18日至2011年 4月20日学生签字：指导教师签字： 摘要 数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性。利用图形的直观性阐明数与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。数形结合是解决数学问题的一个有力工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一，通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，缩短了思维链，简化了思维过程。数形结合中的数应广义地理解为解析式、函数、复数等;其中的形，可以是点集空间图形，进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力，使应用的范围不断拓宽和深化。因此,由此可见，数形结合对发展学生由抽象到直观,再由直观到抽象的思维是非常重要。本文重点阐述了如何在具体的问题中进行形与数、数与形的转化,以及在数学例题中去培养学生数形结合的解题能力。从而
达到锻炼学生思维的灵活性与广泛性，提高学生解决问题的能力。 关键词：数形结合；参数方程；复数；不等式 Abstract The Combination of thinking that help to clarify the accuracy of a few graphics as an attribute. Clarify the use of intuitive graphical relationship between the number and the number, which is the number of communication links between form and produced through this link or cognitive perception, the formation of mathematical concepts to solve mathematical problems or to find ways of thinking. The Combination of mathematical problems to solve a powerful tool, is also extremely important in middle school mathematics one of the basic methods, by The Combination of mathematical language can be abstract and intuitive graphics combine to make the abstract thinking and thinking in images combine to shorten the the thought chain, simplifying the process of thinking. The Combination of the number should be broadly understood as analytic, functions, complex numbers, etc.; one of the form, can be a point of space graphics, and then radiate the way of thinking Shuxingjiege vigor and vitality, so that applications continue to broaden the scope and deepened. Therefore, we can see, The Combination of students from the abstract to the development of intuitive, then to the abstract visual thinking is very important. This article focuses on how specific issues in the shape and number, number and shape of the transformation, and examples in mathematics to students in problem-solving ability Shuxingjiege. Training students to achieve the flexibility and breadth of thinking to improve their ability to solve problems.
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
高中数学空间向量之--平面法向量得求法及其应用 一、平面得法向量 １、定义:如果,那么向量叫做平面得法向量。平面得法向量共有两大类(从方向上分),无数条。 2、平面法向量得求法 方法一(内积法):在给定得空间直角坐标系中,设平面得法向量[或,或］,在平面内任找两个不共线得向量。由, 得且,由此得到关于得方程组,解此方程组即可得到。 方法二:任何一个得一次次方程得图形就是平面;反之,任何一个平面得方程就是得一次方程。,称为平面得一般 方程。其法向量;若平面与3个坐标轴得交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面得截距式方程,把它化 为一般式即可求出它得法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行得非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与, 皆垂直得向量。通常我们采取「右手定则」,也就就是右手四指由得方向转为得方向时,大拇指所指得方向规 定为得方向,。 (注:1、二阶行列式: ;２、适合右手定则、) 例1、Array试求 Ｋey: ( 例2、 求平面A 二、 1、 (1) A 图2-１ 图2—1 (2) (图 (图２ 两个平 得平面
平面而言向内;在图2—3中,得方向对平面而言向内,得方向对平面而言向内。我们只要用两个向量得向量积(简称“外积”,满足“右手定则")使得两个半平面得法向量一个向内一个向外,则这两个半平面得法向量得夹角即为二面角得平面角。 2、 求空间距离 (1)、异面直线之间距离: 方法指导:如图2－4,①作直线a 、b 得方向向量、, 求a 、b 得法向量,即此异面直线a 、b 得公垂线得方向向量; ②在直线a 、b 上各取一点A 、Ｂ,作向量; ③求向量在上得射影ｄ,则异面直线a 、b 间得距离为 ,其中 (2)、点到平面得距离: 方法指导:如图2－5,若点B 为平面α外一点,点A 为平面α内任一点,平面得法向量为,则点P 到 平面α得距离公式为 (3)、直线与平面间得距离: 方法指导:如图2-6,直线与平面之间得距离: ,其中。就是平面得法向量 (４)、平面与平面间得距离: 方法指导:如图2－7,两平行平面之间得距离: ,其中。就是平面、得法向量。 3、 证明 (1)、证明线面垂直:在图2-8中,向就是平面得法向量, a 得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量共线()。 (2)、证明线面平行:在图2—9中,向就是平面得法向量,线ａ得方向向量 ,证明平面得法向量与直线所在向量垂直()。 (3)、证明面面垂直:在图２—10中,就是平面得法向量,面得法向量,证明两平面得法向量垂直() (4)、证明面面平行:在图2—11中, 向就是平面得法向量,量,证明两平面得法向量共线()。 三、高考真题新解
向量解题技巧
向量解题技巧
一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确 (1)若c a c b b a 则,,； (2)两向量b a 、相等的充要条件是b a 且共线、b a ； (3) b a 是向量 b a 的必要不充分条件； (1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (2) D C B A 的充要条件是A 与C 重合， D B 与重合。 二、向量运算及数乘运算的求解方法 两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则 b a b a 与是以a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线 所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2 2 1 1 y x B y x A ， 则 A O B O B A ) ,(),(),(12121122y y x x y x y x 。 例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1( c c b a 则 b a D b a C b a B b a A 2 123.2123.2321.2321. 例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已
知两点),3,1(),1,3( B A 若点 满足C B O A O C O ，其中R ,且 1 ，则点 C 的轨迹为（ ） 52. 02.0)2()1.( 01123.22 y x D y x C y x B y x A 例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ) (C A C A B A B A A O P O ，),0[ ，则P 的轨迹一定过ABC 的（） . A 外心 . B 内心 . C 重心 . D 垂心 例5 设G 是ABC 内的一点，试证明: (1)若G 是为ABC 重心，则0 C B B G A G ； (2)若0 C B B G A G ，则G 是为ABC 重心。 三、三点共线问题的证法 证明A,B,C 三点共线，由共线定理(共线 与C A B A )，只需证明存在实数 ，使C A B A ，，其中必须有公共点。 共线的坐标表示的充要条件，若 ) ,(),,(2211y x b y x a ， 则 ) (0//12211221y x y x y x y x b a b a 例1 已知A 、B 两点，P 为一动点，且B tA A O P O ，其中t 为一变量。 证明：1.P 必在直线AB 上；2.t 取何值时，P 为A 点、
初中数学十大常见解题方法
初中数学十大常见解题方法 1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，
而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。 6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的
高中数学经典解题技巧和方法：平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
浅谈初中生数学解题不规范性现象与思考
浅谈初中数学解题不规范 现象与思考 单位：惠东县黄埠中学 作者：邱际林 时间：2017年4月10日
浅谈初中数学解题不规范性现象与思考 惠东县黄埠中学 邱际林 【摘要】数学是一门非常严谨的学科，很多学生一看到题目就明白解题的思路，当自己写起来时就是漏洞百出，这通常是解题的过程中不够细心造成的。解题是深化知识、发展智力和提高能力的重要手段。规范的解题能够帮助学生养成良好的学习习惯，提高思维水平，从而少丢分。 【关键词】 数学解题 规范性 思考 尝试 正文 在日常教学中，常常听到很多学生抱怨，拿到一道题虽然知道解题思路是什么，但就是不知道如何把自己所想的用数学的要求格式写完整。在批改作业和试卷时常常发现一种现象，只要解题结果正确，学生经常轻视甚至忽略解题中出现的这样或那样的不规范性问题，知识上的错误纠正往往比解题规范性的强调反馈得及时。从检测结果可以看到一种趋势，同一检测卷，学生由于解题不规范导致得分差距越来越大。下面我就谈谈我在教学中发现的一些常见的解题不规范性现象与思考。 一、解题不规范现象： 1、最后答案不是最简——化简的数学思想渗透不够。 例如：在新人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》的教学过程中，学生在解方程：(402)(252)450x x --=时，都习惯于如下： 解：去括号移项得：2100805044500x x x --+-=……① 合并同类项得：241303500x x --=……② 解得：125,27.5x x ==……③ 以上解答过程中的②就不是最简，实际上很多学生觉得一点也不会影响结果，不应该“小题大做”，事实上它影响着我们解题的正确性和速度。 =28a ，=结果就不单单是不是最简的问题，而是错误了。
经典习题平面法向量求法及应用
经典习题平面法向量求法及应用
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量 (,,1) n x y =r [或 (,1,) n x z =v ，或 (1,,) n y z =r ]，在平面α内任找两个不共线的向量 ,a b r r 。由 n α ⊥r ，得 n a ?=r r 且 n b ?=r r ，由此得到 关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n r 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax ) 0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ; 若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(3 2 1 c P b P a P ,如图所 示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ →?b a 为一长 度等于θsin ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规 定为→ → ?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ →2 1y y b a ,2 1z z 2 1x x - ,21 z z 2 1 x x ??? ?21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。） C 1A 1 D 1 z B E
黄冈中学高考数学典型例题3运用向量法解题
黄冈中学高考数学典型例题3运用向量法解题
黄冈中学高考数学典型例题详解运用向量法解题每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题. ●难点磁场 (★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)， 求：(1)BC边上的中线AM的长； (2)∠CAB的平分线AD的长； (3)cos ABC的值. 2
3 ●案例探究 ［例1］如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是菱形，且 ∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD . (1)求证：C 1C ⊥BD . (2)当1 CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面 C 1B D ？请给出证明. 命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力. 知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单. 错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量
4 夹角的区别与联系. 技巧与方法：利用a ⊥b ?a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可. (1)证明：设CD =a , CB =b ,1 CC =c ,依题意， |a |=|b |，CD 、CB 、 1 CC 中两两所成夹角为θ， 于是-==a －b ，CC ?1 =c (a －b )=c ·a － c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥ BD . (2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由)()(1 1 1 1 CC AA C CA -?+=? =(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得 当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴1 CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD .
初中数学常用的10种解题方法.doc
初中数学常用的１0种解题方法 来源: e度教育社区 数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的.教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。 下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。 １、配方法 所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式.配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式.因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 ３、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法.我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程20(a、ｂ、c属于R，a≠０)根的判别,△2—4,不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法,在代数式变形，解方程(组），解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数，
2009高考数学重拳运用向量法解题
难点3运用向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力 度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题 ?难点磁场 知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变 得简单? 错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供 的角与向量夹角的区别与联系 ? 技巧与方法：利用 a 丄b= a ? b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可 —b , CC 1 B D = c (a — b )=c ? a — c ? b =|c | ? |a |cos 0 — |c | - |b |cos 0 =0, C i C 丄 BD. (2) 解：若使 A i C 丄平面 C i BD ，只须证 A i C 丄BD , A i C 丄DC i , 由 CA i GD =(CA AA) (CD -CC i ) 2 2 2 2 =(a +b +c ) ? (a — c )=|a | + a ? b — b ? c — |c | =|a \ — |c | +|b | ? |a |cos 0 — |b | ? |c | ? cos 0 =0,得 当|a |=|c |时，A i C 丄DC i ，同理可证当|a |=|c |时，A i C 丄BD , CD 亠 十= ?- =1 时，A i C 丄平面 C i BD. CC i ［例 2］如图，直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1,底面△ ABC 中，CA=CB=1 , / BCA=90°, AA 1=2, M 、N 分别是A i B i 、A i A 的中点. (1) 求BN 的长； ⑵求cos
浅谈如何培养中学生的数学解题能力
浅谈如何培养中学生的数学解题能力 摘要 在中学数学教学中，要提高中学生的解题能力，除了抓好基础知识、基本能力的学习外，更重要的是培养学生的审题习惯和提高学生的审题能力，熟练的、灵活的运用知识的能力，引导学生探索正确的解题路径，提高分析能力和培养学生对知识的回顾意识。从而使学生在亲自参与的解题实践过程中，学会解题，从中获得能力。 关键词：中学生解题能力审题能力知识能力分析能力回顾意识
引言 学生牢固掌握基础知识、基本技能，是提高解题能力的根本，如何使学生融会贯通，灵活运用基础知识和基本技能来解决复杂问题，提高他们解题能力呢?在实际教学中，本人认为通过以下几点能有效地提高学生的解题能力。 一、养成仔细、认真地审查题意的习惯，提高审题能力 仔细、认真地审题，提高审题能力是解题的首要前提。因为审题为探索解途径提供方向，为选择解法提供决策的依据。因此，教学中要求学生养成仔细、认真的审题习惯，就是要对问题的条件、目标及有关的全部情况进行整体认识，充分理解题意，把握本质和联系，不断提高审题能力。具体地说，就是要做到以下三项要求： 1.了解题目的文字叙述，清楚地理解全部条件和目标，并能准确地复述问题、画出必要的准确图形或示意图 在审题中要能了解题目的文字，尤其是重要字眼，并且要理解已知条件。在几何中就需要画出草图。这是审题基本。 例如：已知 a, b, c 都是实数，且|c|>b>|a|,ab<0,bc<0,求证:b>a>c 这个题目只要求学生了解题目的文字叙述，清楚地理解全部条件即可。 证明： |c|>b>|a| 0b ∴>, 又ab<0,bc<0 即a<0,c<0,a>c 所以b>a>c 2．挖掘题设条件的内涵、沟通联系、审清问题的结构特征。并发现比较隐蔽的条件 这个要求是比较高的，主要是要能审出题目的条件之间的联系与条件的内涵或比较隐蔽的条件，从而推测这个问题结构特征。 例： 在实数范围内解方程：|x-2|+x -1=3 审查题意就要从题目的特征“含有绝对值和算术根符号”中，善于发现隐含条件。即 ∵1-x ≥0, ∴x ≤1. 有了这一条件，就可以将原方程转化为： 2-x+x -1=3, 即x -1=x+1. 解得x=0或x=-3 3．判明题型，预见解题的策略原则 这个问题又在高一层次的要求，他需要学生在审题的过程中能通过已知条件与结论能去判明这道题的题型，再然后有了解题的策略。 例：试比较3x-1与5-2x 的大小 解：∵3x-1-（5-2x ）
法向量的求法及其空间几何题的解答
状元堂一对一个性化辅导教案 教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日 学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解 难度星级★★★★ 教学内容 上堂课知识回顾（教师安排）： 1.平面向量的基本性质及计算方法 2.空间向量的基本性质及计算方法 本堂课教学重点： 1.掌握空间法向量的求法及其应用 2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距 3.熟练灵活运用空间向量解决问题 得分：
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.| |||arccos 2,2 →→→ →→ →??->= <-= AB n AB n AB n π π θ 图2-1-2:2| |||arccos 2,π π θ-??=->=<→ →→ → → → AB n AB n AB n (2)、求面面角:设向量→ m ，→ n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为： θ β α → m 图2-2 → n θ → m α 图2-3 → n β | ,cos |sin ><=→ →AB n θA B α 图2-1-2 θ C → n 图2-1-1 α θ B → n A C
向量方法在高中数学解题中的应用
向量方法在高中数学解题中的应用 王贤举 摘要：向量具有丰富的物理背景。它既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁。通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例，体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。 关键词：高中数学；向量法；解题；应用 Abstract: The vector has rich physical backgrounds. It is both the object of geometry and the object of algebra, and also is the bridge of algebra and geometry. By some examples about vector methods that make some algebra problems into geometry problems, or make some geometry problems into algebra problems, or make algebra problems and geometry problems transform mutually, it manifests the merit of vector methods in solving algebra and geometry problems in senior high school mathematics. Key word: Senior high school mathematics; Vector methods; Problem solving; Application 1、向量与高中数学教学 向量是既有大小，又有方向的量【1】，是数学中的重要概念之一。向量具有丰 富的物理背景，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是向量。在高 中数学新课程中设置向量的容，是基于以下几方面原因： 1.1向量是几何的研究对象 物体的位置和外形是几何学的基本研究对象。向量可以表示物体的位置，也 是一种几何图形（几何里用有向线段表示向量：所指的方向为向量的方向，线段 的长度表示向量的大小），因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研 究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量 有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。
- 向量方法在高中数学解题中的应用
- 一个向量结论在解题中的应用
- 向量在平面几何解题中的应用.
- 高二数学向量在平面几何解题中的应用PPT教学课件
- 向量在平面几何解题中的应用
- 黄冈中学高考数学典型例题3运用向量法解题
- 高中数学复习专题讲座(第3讲)运用向量法解题的思路及方法
- 向量方法在高中数学解题中的应用
- 向量的两重性在解题中的应用
- 平面向量的解题技巧
- 向量解题技巧
- 专题：平面向量常见题型与解题指导
- 专题：平面向量常见题型与解题指导讲解学习
- 向量在平面几何解题中的应用
- 2.5.1向量在平面几何中解题的应用
- 最新应用平面向量基本定理解题题型归纳
- 向量的数量积在解题中的应用.doc
- 高一数学向量在平面几何中解题的应用PPT教学课件
- 向量法在中学数学解题中的应用