2009年高考试题——数学(全国卷I)(文)

2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修Ⅰ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 其中表示球的半径


一、选择题
（1）°的值为
(A) (B) (C) (D)
(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，则集合Cu（AB）中的元素共有
(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个

（3）不等式的解集为
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知tan=4,cot=,则tan(a+)=
(A) (B) (C) (D)
（5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于
（A） （B）2 （C） （D）
（6）已知函数的反函数为，则
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种
（8）设非零向量满足，则
（A）150° （B）120° （C）60° （D）30°
（9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为
(A) (B) (C) (D)
(10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
(A) (B) (C) (D)
（11）已知二面角为600 ，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为
（A） （B）2 （C） （D）4
（12）已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若
,则=
(A) (B) 2 (C) (D) 3

2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修选修Ⅰ）
第Ⅱ卷

注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号

填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．第Ⅱ卷共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
（注意：在试题卷上作答无效）
（13）的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________.
（14）设等差数列的前项和为。若，则_______________.
(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.
（16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是
① ② ③ ④ ⑤
其中正确答案的序号是 。（写出所有正确答案的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)
设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，
已知的通项公式。

(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
在中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知，且，求b.

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。
证明：是侧棱的中点；
求二面角的大小。


(20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。
（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程
(22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。
（Ⅰ）求r的取值范围
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。









2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A D B C C D B D A C A
二、填空题
（13） （14） （15） （16）①⑤
三、解答题
（17）解：
设的公差为，的公比为
　

由得 ①
由得 ②
由①②及解得
故所求的通项公式为 。
（18）解：
由余弦定理得

又
所以 ①
由正弦定理得
又由已知得
所以 ②
故由①②解得

19.解法一：
（1）作交于点E，则
连接,则四边形为直角梯形
作垂足为F，则为矩形

由
解得：
即
所以M为侧棱SC的中点
（II）为等边三角形
又由（I）知M为SC中点

取AM中点G，连接BG，取SA中点H，连接GH，则
由此知为二面角S-AM-B的平面角
连接BH，在中，

所以
二面角S-AM-B的大小为
解法二：
以D为坐标原点，射线DA为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设
(I)设，则

又
故
即
解得
所以M为侧棱SC的中点。
(II)


所以
因此等于三角形S-AM-B的平面角

20.解：
记表示事件：第i局甲获胜，
表示事件：第局乙获胜，
（I）记A表示事件：再赛2局结束比赛

由于各局比赛结果相互独立，故


　(II)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

由于各局比赛结果相互独立，故


（21）解：
（1）
当和时，；
当和时，
因此，在区间和是减函数，
在区间和是增函数。
（Ⅱ）设点的坐标为，由过原点知，的方程为

因此 ，
即
整理得
解得 或
因此切线的方程为 或 。
22．解：
（I）将代入，并化简得

E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根、
由此得
解得
又
所以的取值范围是
（Ⅱ）不妨设E与M的四个交点的坐标为：
、、、
则直线、的方程分别为

解得点的坐标为
设由及（1）知
由于四边形为等腰梯形，因而其面积

则
将，代入上式，并令，得

求导数，
令，解得（舍去）
当时，；时，；时，
故且仅当时，有最大值，即四边形的面积最大，故所求的点P的坐标为


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