一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=,是否存在这样的
n 值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,请求出这样的n 值;若不存在,请说明理由?
【答案】存在,n=0.
【解析】
【分析】
在方程①中,由一元二次方程的根与系数的关系,用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方,把方程②分解因式,建立方程求n ,要注意n 的值要使方程②的根是整数.
【详解】
若存在n 满足题意.
设x1,x2是方程①的两个根,则x 1+x 2=2n ,x 1x 2=324n +-
,所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2, 由方程②得,(x+n-1)[x-2(n+1)]=0, ①若4n 2+3n+2=-n+1,解得n=-
12
,但1-n=32不是整数,舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2),解得n=0或n=-14
(舍), 综上所述,n=0.
2.已知关于x 的一元二次方程(x ﹣3)(x ﹣4)﹣m 2=0. (1)求证:对任意实数m ,方程总有2个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是2,求m 的值及方程的另一个根.
【答案】(1)证明见解析;(2)m 的值为±2,方程的另一个根是5.
【解析】
【分析】
(1)先把方程化为一般式,利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可;
(2)根据方程的根,利用代入法即可求解m 的值,然后还原方程求出另一个解即可.
【详解】
(1)证明:
∵(x ﹣3)(x ﹣4)﹣m 2=0,
∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0,
∴△=(﹣7)2﹣4(12﹣m 2)=1+4m 2,
∵m 2≥0,
∴△>0,
∴对任意实数m ,方程总有2个不相等的实数根;
(2)解:∵方程的一个根是2,
∴4﹣14+12﹣m2=0,解得m=±,
∴原方程为x2﹣7x+10=0,解得x=2或x=5,
即m的值为±,方程的另一个根是5.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当△=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当△=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
3.图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究:他用硬纸片做了两个三角形,分别为△ABC和△DEF,其中∠B=90°,∠A=45°,BC=,∠F=90°,∠EDF=30°, EF=2.将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).
(1)请回答李晨的问题:若CD=10,则AD= ;
(2)如图2,李晨同学连接FC,编制了如下问题,请你回答:
①∠FCD的最大度数为;
②当FC∥AB时,AD= ;
③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形,且FC为斜边时,AD= ;
④△FCD的面积s的取值范围是 .
【答案】(1)2;(2)① 60°;②;③;④.
【解析】
试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质,求出AC的长,即可得到AD的长.
(2)①当点E与点C重合时,∠FCD的角度最大,据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H,应用等腰直角三角形的判定和性质,含30度角直角三角形的性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H,AD=x,应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示,根据勾股定理列式求解.
④设AD=x,把△FCD的面积s表示为x的函数,根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析:(1)∵∠B=90°,∠A=45°,BC=,∴AC=12.
∵CD=10,∴AD=2.
(2)①∵∠F=90°,∠EDF=30°,∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重合时,∠FCD的角度最大,∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."
② 如图,过点F作FH⊥AC于点H,
∵∠EDF=30°, EF=2,∴DF=. ∴DH=3,FH=.
∵FC∥AB,∠A=45°,∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12,∴AD=.
③如图,过点F作FH⊥AC于点H,设AD=x,
由②知DH=3,FH=,则HC=.
在Rt△CFH中,根据勾股定理,得.
∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形,且FC为斜边,
∴,即,解得.
④设AD=x,易知,即.
而,
当时,;当时,.
∴△FCD的面积s的取值范围是.
考点:1.面动平移问题;2.等腰直角三角形的判定和性质;3.平行的性质;4.含30度角直角三角形的性质;5.勾股定理;6.由实际问题列函数关系式;7.求函数值.
4.沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A,B两个社区,B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.(1)求A社区居民人口至少有多少万人?
(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现:A社区有1.2万人知晓,B社区有1.5万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A社区的知晓人数平均月增长率为m%,B社区的知晓人数第一个月增长了
45m %,第二月在第一个月的基础上又增长了2m %,两个月后,街道居民的知晓率达到92%,求m 的值.
【答案】(1)A 社区居民人口至少有2.5万人;(2)m 的值为50.
【解析】
【分析】
(1)设A 社区居民人口有x 万人,根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可;
(2)A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%,据此列出关于m 的方程并解答.
【详解】
解:(1)设A 社区居民人口有x 万人,则B 社区有(7.5-x )万人,
依题意得:7.5-x ≤2x ,
解得x ≥2.5.
即A 社区居民人口至少有2.5万人;
(2)依题意得:1.2(1+m %)2+1.5×(1+
45m %)+1.5×(1+45
m %)(1+2m %)=7.5×92%, 解得m =50
答:m 的值为50.
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用,解题的关键是读懂题意,找到题中相关数据的数量关系,列出不等式或方程.
5.某社区决定把一块长50m ,宽30m 的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ,空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,当绿化区较长边x 为何值时,活动区的面积达到21344m ?
【答案】当13x m =时,活动区的面积达到21344m
【解析】
【分析】
根据“活动区的面积=矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程,可解答.
【详解】
解:设绿化区宽为y ,则由题意得
502302x y -=-.
即10y x =-
列方程: 50304(10)1344x x ?--=
解得13x =- (舍),213x =.
∴当13x m =时,活动区的面积达到21344m
【点睛】
本题是一元二次方程的应用题,确定等量关系是关键,本题计算量大,要细心.
6.已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.
(1)求实数m 的取值范围;
(2)已知等腰ABC ?的一边长为7,若1x 、2x 恰好是ABC ?另外两边长,求这个三角形的周长.
【答案】(1)m>2; (2)17
【解析】
试题分析:(1)由根的判别式即可得;
(2)由题意得出方程的另一根为7,将x =7代入求出x 的值,再根据三角形三边之间的关系判断即可得.
试题解析:解:(1)由题意得△=4(m +1)2﹣4(m 2+5)=8m -16>0,解得:m >2; (2)由题意,∵x 1≠x 2时,∴只能取x 1=7或x 2=7,即7是方程的一个根,将x =7代入得:49﹣14(m +1)+m 2+5=0,解得:m =4或m =10.
当m =4时,方程的另一个根为3,此时三角形三边分别为7、7、3,周长为17; 当m =10时,方程的另一个根为15,此时不能构成三角形;
故三角形的周长为17.
点睛:本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系,熟练掌握韦达定理是解题的关键.
7.某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元.每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润,每件应降价多少元?
【答案】(1)两次下降的百分率为10%;
(2)要使每月销售这种商品的利润达到510元,且更有利于减少库存,则商品应降价2.5元.
【解析】
【分析】
(1)设每次降价的百分率为 x ,(1﹣x )2 为两次降价后的百分率,40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件,列出方程求解即可;
(2)设每天要想获得 510 元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价 y 元,由销
售问题的数量关系建立方程求出其解即可
【详解】
解:(1)设每次降价的百分率为 x .
40×(1﹣x )2=32.4
x =10%或 190%(190%不符合题意,舍去)
答:该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元,两次下降的百分率为10%;
(2)设每天要想获得 510 元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价 y 元, 由题意,得
()4030y (448)5100.5y --?+= 解得:1y =1.5,2y =2.5,
∵有利于减少库存,∴y =2.5.
答:要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价 2.5 元.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是根据题意找到等式两边的平衡条件,这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系,列出方程,解答即可.
8.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2=0…①
(1)若x =﹣1是方程①的一个根,求m 的值和方程①的另一根;
(2)对于任意实数m ,判断方程①的根的情况,并说明理由.
【答案】(1)方程的另一根为x=2;(2)方程总有两个不等的实数根,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)直接把x=-1代入方程即可求得m 的值,然后解方程即可求得方程的另一个根;
(2)利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断.
(1)把x=-1代入得1+m-2=0,解得m=1
∴
2--2=0. ∴
∴另一根是2;
(2)∵
, ∴方程①有两个不相等的实数根.
考点:本题考查的是根的判别式,一元二次方程的解的定义,解一元二次方程
点评:解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根
9.已知:关于x 的方程x 2-4mx +4m 2-1=0.
(1)不解方程,判断方程的根的情况;
(2)若△ABC为等腰三角形,BC=5,另外两条边是方程的根,求此三角形的周长.2
【答案】(1) 有两个不相等的实数根(2)周长为13或17
【解析】
试题分析:(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=4>0,由此可得出:无论m 为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)根据等腰三角形的性质及△>0,可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根,将x=5
代入原方程可求出m值,通过解方程可得出方程的解,在利用三角形的周长公式即可求出结论.
试题解析:解:(1)∵△=(﹣4m)2﹣4(4m2﹣1)=4>0,∴无论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵△>0,△ABC为等腰三角形,另外两条边是方程的根,∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根.
将x=5代入原方程,得:25﹣20m+4m2﹣1=0,解得:m1=2,m2=3.
当m=2时,原方程为x2﹣8x+15=0,解得:x1=3,x2=5.∵3、5、5能够组成三角形,∴该三角形的周长为3+5+5=13;
当m=3时,原方程为x2﹣12x+35=0,解得:x1=5,x2=7.∵5、5、7能够组成三角形,∴
该三角形的周长为5+5+7=17.
综上所述:此三角形的周长为13或17.
点睛:本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程,解题的关键是:(1)牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”;(2)代入x=5求出m值.
10.若两个一次函数的图象与x轴交于同一点,则称这两个函数为一对“x牵手函数”,这个交点为“x牵手点”.
(1)一次函数y=x﹣1与x轴的交点坐标为;一次函数y=ax+2与一次函数y=x﹣1为一对“x牵手函数”,则a=;
(2)已知一对“x牵手函数”:y=ax+1与y=bx﹣1,其中a,b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4=0的两根,求它们的“x牵手点”.
【答案】(1)(1,0),a=﹣2;(2)“x牵手点”为(
1
2
,0)或(
1
2
,0).
【解析】
【分析】
(1)根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标;把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值;
(2)根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0,根据根与系数的关系求得k=0,可得方程x2-
4=0,解得x1=2,x2=-2,再分两种情况:①若a=2,b=-2,②若a=-2,b=2,进行讨论可求它们的“x牵手点”.
【详解】
解:(1)当y=0时,即x﹣1=0,
所以x=1,即一次函数y=x﹣1与x轴的交点坐标为(1,0),由于一次函数y=ax+2与一次函数y=x﹣1为一对“x牵手函数”,所以0=a+2,
解得a=﹣2;
(2)∵y=ax+1与y=bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴11
a b
-=,
∴a+b=0.
∵a,b为x2﹣kx+k﹣4=0的两根
∴a+b=k=0,
∴x2﹣4=0,
∴x1=2,x2=﹣2.
①若a=2,b=﹣2则y=2x+1与y=﹣2x﹣1的“x牵手点”为
1
,0
2
??- ???
;
②若a=﹣2,b=2则y=﹣2x+1与y=2x﹣1的“x牵手点”为(1
2
,0 )
∴综上所述,“x牵手点”为
1
,0
2
??
- ?
??
或(
1
2
,0)
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
元二次方程练习题 1、已知关于X 的方程X 2 —2(k —1)x + k 2 =0有两个实数根 ⑴、求k 的取值范围; ⑵、若x 1 + X 2 = X i " X 2 —1,求 k 的值。 2.、已知关于X 的一元二次方程 亠 2(擀+5 +存+5=0 有两个实数根X 1与X 2 (1)求实数m 的取值范围; ⑵若(X i -1)(x 2 -1)=7,求 m 的值。 2 3.已知A(X 1 , yj , B(X 2 , y 2)是反比例函数y =-一图象上的两点,且x^ x^ -2 X (1)求5 72的值及点A 的坐标; (2)若一4V y < —1,直接写出X 的取值范围. k 2 4.(本小题 8分)已知关于X 的方程x 2-(k+1)x + +1=0的两根是一个矩形的两邻边的长。 4 (2)当矩形的对角线长为亦时,求k 的值。 (1) k 为何值时,方程有两个实数根; x 1、x 2
5已知关于x 的一兀二次方程F-(2上+1)才+4^■- 3- 0 . (1) 求证:方程总有两个不相等的实数根; (2) 当Rt △ ABC 的斜边长□二后,且两直角边i 和C 是方程的两根时,求△ ABC 的周长和面 积. 那么称这个方程有邻近根” (1)判断方程X 2 -(J 3+i)x + 73 =0是否有 邻近根”并说明理由; (2)已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m-1)x-1 = 0有 邻近根”求m 的取值范围. 7设关于x 的一元二次方程X 2+2px+1=0有两个实数根,一根大于1,另一根小于1,试求实数P 的范围. 8已知方程X 2 -mx +m + 5=0有两实数根P ,方程x 2-(8 m + 1)x + 15m + 7 = 0有两实数根 Y ,求a 2 PY 的值。6如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根X 1、x ?均为正数,且满足1< x X 2 <2 (其中 X 1 > X 2),
一元二次方程 已知:关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=.()032132 =-+--m x m mx 求证:m 取任何实数时,方程总有实数根;
2.(2009年广东中山)已知:关于x 的方程2210x kx +-= (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是1-,求另一个根及k 值. 3.(2009年重庆江津区)已知a、b、c分别是△ABC 的三边,其中a=1,c=4,且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例 3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)04 9≠-≥k k 且
(C)49- ≥k (D)049≠->k k 且 例:222()5()60x x x x ---+=,求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( ) .m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2,则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程 有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根, m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一:直接开平方法(依据平方根的定义) 平方根的定义:如果一个数 的平方等于a ( ),那么这个数 叫做a 的平方根 即:如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4..25)1(412=+x 5.(2x +1)2=(x -1)2. 6.(5-2x )2=9(x +3)2. 7..063)4(22 =--x 方法二:配方法解一元二次方程 1. 定义:把一个一元二次方程的左边配成一个 ,右边为一个 ,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三:公式法 1.定义:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导:用配方法解方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0) 解:二次项系数化为1,得 , 移项 ,得 , 配方, 得 , 方程左边写成平方式 , ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况: (1)当b 2-4ac>0时,=1x , =2x (2)当b 2-4ac=0时,==21x x 。 (3)b 2-4ac<0时,方程根的情况为 。 3.由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因 (1)式子ac b 42-叫做方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)根的 ,通常用字母 “△” 表示。当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 (2)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c = 0,当ac b 42-≥0时,?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根.这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 4.公式法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) (4) (5) 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
[易错题1] 王叔叔家养了350只鸡,每个笼子里装30只,需要准备多少个这样的笼子? 【错误解答】350÷30=11(个)……20(只) 答:需要准备11个这样的笼子。 【“病因”分析】这里出错的原因是把余下的20只鸡忽略了,余下的20只鸡需要再装一个笼子,这里应该准备12个笼子。 【正确解答】350÷30=11(个)……20(只) 11+1=12(个) 答:需要准备12个这样的笼子。 [易错题2] 小红、小林和小刚,一个星期一共练了630个大字,平均每人每天练多少个大字? 【错误解答】630÷3=210(个) 答:平均每人每天练210个大字。 【“病因”分析】这里出错是把一个星期是7天这个隐含的条件忽略了。 【正确解答】630÷3÷7=210÷7=30(个) 答:平均每人每天练30个大字。 [易错题3] 计算(842+421+421)×25,下面最简便的方法是()。 A.421×(4×25 ) B.842×(2×25 ) C.842×25+421×25+421×25 【错因分析】首先要明白(842+421+421)×25有多种简便计算方法,一个可以把421合并成842,另一个也可以把842拆分成421,而此题要求是最简便的方法,那么有的同学只想到简便没看清“最”简便就想当然选择B了。 【思路点睛】正确答案选择A,因为此题要求最简便。通过把842拆分成2个421,和题中已有的2个421合并成4个421,再根据乘法结合律把4和25先乘起来得100,这样就是最简便的方法了。B比起原题死算确实简便,但比起A来没有A更好算最简便。 [易错题4]
简便计算(100+2) ×45。 【错因分析】典型错误(100+2) ×45 =100×45+2 =4500+2 =4502 × 出现这种错误是由于学生对什么是乘法分配律本质内涵认识和理解不够。什么是乘法分配律?书上结论是这样陈述的:两个数的和与其中一个数相乘,可以先把这两个数分别与这个数相乘,再相加。也就是说不能只乘其中一个加数。上述案例中就只乘其中100这个加数,而另一个加数2就漏乘45了,导致出错。 【思路点睛】我们依据乘法分配律,把100和2这两个加数分别与45相乘,最后再把两个乘得的数相加。正确过程如下: (100+2) ×45 =100×45+45×2 =4500+90 =4590 [易错题5] 简便计算68×99。 【错因分析】 68×99 =68×(100+1) =68×100+68 =6800+68 =6868 × 该同学看到99想到100,把99先看作最接近的100这很好,但是忽略了简便计算的前提是等量代换,一个量须用与它相等的量去代替,才可以依次继续递等下去。把99替换成(100+1)这本身就建立在不公平基础上,所以不能向下递等,结果也不对等。 【思路点睛】两个数相乘,如果有一个数接近整百数,可以先将这个数转化成整百数加或减一个数的形式,再应用乘法分配律进行计算。正确过程如下: 68×99 =68×(100-1) =68×100-68 =6800-68 =6732
初三数学一元二次方程错题集 1.关于x 的方程是22(1)(1)20m x m x -+--=,那么当m______时,方程为一元二次方程;当m_____时,方程为一元一次方程. 2.m_____时,关于x 的方程22()(2)m x x x +=-+是一元二次方程? 3.关于x 的方程22(1)3(2)420k x k x k ++-+-=的一次项系数是-3,则k=_______. 4.已知1x =是一元二次方程2 400ax bx +-=的一个解,且a b ≠,求22 22a b a b --的值. 5.已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根,那么代数式 2 35 (2)362 x x x x x -÷+---的值为________. 6、若x=-2是关于x 的方程0163)4(2=-++-n mx x m 的一个解,则 =-22100n m ______ 7、已知实数a,b 满足0122=--a a ,0122=--b b ,且b a ≠, 则ab b a 322++的值为___________ 8、已知04 5 222=+--+b a b a ,则=+b a _________ 9、已知016 652422=+- +-b b a a ,则b a 42-的值为_________ 10、若关于x 的一元二次方程013222=-+-m x x 有两个实根21,x x ,且 42121-+>?x x x x ,则m 的取值范围是____________ 11、已知142+-mx x 可化为2)2(n x -的形式,则=+n m _________ 12、已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根,那么代数式 )25 2(6332--+÷--x x x x x 的值为___________ 13、关于x 的一元二次方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根,则m 的最小整数值是( ) A. -1 B. 2 C. 3 D. 4 14、已知方程0)3)((=-+x m x 和方程0322=--x x 的解相同,则m =( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15.若一个三角形的三边长均满足方程2680x x -+=,则此三角形的周长为______.