第1讲什么是三角形

第1讲 什么是三角形

一、新课

（一）学前准备：

1、定义：由不在直线上的三条首尾顺次连结所组成的图形，叫做三角形。

2、三角形的三要素是 _____________________________ 。

如图，三角形记为______，三角形的边为_____________________。

三角形的顶点为________，三角形的内角为___________________。

注意：表示三角形时，字母没有先后顺序，但通常按逆时针来排列。

(二)探索新知

1如图，在三角形中，

（1）比较任意两边的和与第三边的大小 ，并填空：

a+b___c → c-a b a+c___b → b-a c

b+c___a → c-b__a

（2）结论：①______________________________

② ________________

（三）应用新知

1．观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题．

图形

横截线条数

0 1 2 三角形个数

6 _________ _________

问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有 _________ 条横截线．

2．原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；

原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；

原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；…以此类推，原三角形内部有n 个不同点时，原三角形可被分成 _________ 个三角形．

3、若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是 _________ ．

4、在△ABC 中，若AB=8，BC=6，则第三边AC 的长度m 的取值范围是 _________ ．

5．已知一个三角形的三边长为2，5，a ，则a 的取值范围是 _________ ；若此三角形的周长为偶数，则a= _________ ，此三角形的形状是 _________ 三角形．

c

E

6．已知a、b、c是△ABC的边长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|=_________ 7．长度分别为12cm、10cm、8cm、4cm，从中任取三个能组成三角形的有______种．8．如图，在四边形ABCD内找一点O，使OA+OB+OC+OD之和最小，并说出你的理由．

9、已知a，b，c为三角形的三边．

（1）判断：a+b﹣c______0；（用不等号“＜”或“＞”表示）

（2）说明：a2﹣b2﹣c2﹣2bc＜0．

10．一个四边形的周长是48cm，己知第一条边长是a cm，第二条边比第一条边的2倍长3cm，第三条边等于第一、二两条边的和．

（1）写出表示第四条边长的式子；

（2）当a=3cm或a=7cm时，还能得到四边形吗？这时的图形是什么形状？

11．如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小．

北师大版八年级数学下册《第一章三角形的证明》单元精品练习(有答案)

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元练习 一、单选题 1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（） A. 线段CD的中点 B. OA与OB的中垂线的交点 C. OA与CD的中垂线的交点 D. CD与∠AOB的平分线的交点 2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8,则CD的长为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4.如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN 上，则点O是△ABC的（）

A. 垂心 B. 重心 C. 内 心 D. 外心 5.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 6.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( ) A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 8.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（）． A. B. C. D.

八下 第一章 三角形的证明

三 角 形 的 证 明 【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质 2? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ?????????????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（） 找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（） 找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1．下列说法中，正确的是（ ） A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D ．面积相等的两个三角形全等 2．如图，△ABC ≌ΔAD E ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°， 则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 3．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM . 【知识点二：等腰三角形的判定与性质】 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； ②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等． 【典型例题】 1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18 2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20° 3．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D， 求证：MD=MA. 【巩固练习】 1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（） A．30°B．40°C．50°D．70° 2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9， 则线段MN的长为（） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE， 过D作DG∥AC交BC于G．求证： （1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．

第一章三角形的证明证明

第一章三角形的证明 1.等腰三角形（一） 一、教学目标如： 1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。 2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； 3．情感与价值目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系； 二．教学重、难点 重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法； 难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 三、教学过程分析 第一环节：回顾旧知导出公理 请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。其中证明三角形全等的有以下三条： .两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明； 2.回忆全等三角形的性质。 已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， 又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)， ∠F=180°-(∠D+∠E)， ∴∠C=∠F（等量代换）。 又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）。D B A

第一章 三角形的证明单元测试卷(含答案)

第一章三角形的证明单元测试卷 一．选择题（共12小题） 1．（2016?当涂县四模）在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上）．这个等腰三角形有几种剪法？（） A．1 B．2 C．3 D．4 (第1题) (第3题) (第4题) 2．（2016春?盐城校级月考）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（﹣4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（） A．9 B．7 C．5 D．3 3．（2016春?重庆校级月考）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=30°，DE垂直平分BC，则∠ACD的度数为（） A．30°B．45°C．55°D．75°4．（2015?达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（） A．48°B．36°C．30°D．24°5．（2015?德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（） A．150°B．160°C．130°D．60°

(第5题) (第6题) (第7题) 6．（2015?香坊区三模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，AD ∥BC，连接CD，则∠ADC的度数为（） A．50°B．60°C．70°D．80° 7．（2015?河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD 上一点，连接BE，∠EBD=36°．若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC 的度数为（） A．75°B．65°C．63°D．61° 8．（2015?昌平区二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接C D． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90°B．95°C．100°D．105° (第8题) (第10题) (第11题) 9．（2015?泰安模拟）直线y=x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）个． A．4 B．5 C．7 D．8 10．（2015?罗田县校级模拟）如图，在∠AOB=30°的两边上有两点P和Q在运动，且点P 从离点O有1厘米远的地方出发，以1厘米每秒运动，点Q从点O出发以2厘米每秒运动，则△POQ为等腰三角形时，两点的运动时间为（）秒．

(完整版)新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明章节全部知识框架

全等三角形 性质 等腰三角形 等边三角形 判定 对应边相等 对应角相等 一般三角形全等的判定定理： SSS SAS ASA AAS 两直角三角形全等的判定定理： HL 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 SSS ：三边对应相等的两个三角形全等。 SAS ：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 ASA ：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 AAS ：两角及一组内角的对边对应相等的两个三角形全等。 可利用全等三角形的这一性质 证明线段或角相等。 性质 判定 ①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。 ②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。 ③两角相等（相等的两个角称为底角）→等角对等边。 ④“三线合一”：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。 ⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。（对称性全等） ①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。 前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边对等角。可用于证明线段或角相等（等腰三角形） ③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形. A 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合B 、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 C 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。（不能直接使用结论证性质 判定 ①轴对称图形，内角平分线（各边中线，各边高线）都是对称轴。 ②三边都相等，三内角都相等且为60度。 ③“三线合一”且三角形三条中线高线角平分线交于一点O, 这点到三顶点的距离相等（OA=OB=OC ），到三边的距离相等（OD=OE=OF ）。 ①有三边相等的三角形是等边三角形 ②有三内角相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。 直角三角形 性质 判定 北 师 大 八 年 级 下 第 一 章 三 角 形 的 相 关 证 明 ①两锐角互余（两锐角相加为90度） ②勾股定理（a2+b2=c2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ③含有30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，60度角所对的直角边等于斜边的3/2倍，较长直角边是较短直角边的3倍。 ④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形三边垂直平分线交于斜边中点上，从而此点到三顶点的距离相等） ①两锐角互余（两锐角相加为90度）的三角形是直角三角形 ②有一个内角是90度的三角形是直角三角形。 ③勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。 特 殊 线 垂直 平分 线 角平 分线 性质:垂直平分线上的任意点到线段两端点的距离相等。（等腰三角形中三线合一的线段就是底边上的垂直平分线） 判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。（可用于证明点在直线上或三线共点的问题） 三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线交于一点，且这点到三顶点的距离相等（外心） ①作线段垂直平分线：以端点为圆心，以大于线段一半长为半径画弧，并连结四弧的交点的直线 尺规作图 作图 应用 ①到两定点的距离相等：连结两定点的线段，并做其中垂线与已知直线的交点。（图一） ②到两定点的距离最短：做短距离的点的对称点，并连结对称点与另一点与直线交点。（图二） ③到三定点的距离相等：做三点所成三角形的两边垂直平分线的交点即可。（图三） 性质:角平分线上的点到角两边的距离相等。（角也是轴对称图形，角平分线即是其对称轴） 判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 三角形三内角平分线的性质：三角形三内角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离相等。（内心） 尺规作图：以角的顶点为圆心,以任意长为半径画弧交两边于两点,再以两交点为圆心,以相同长为半径画弧的交点与顶点的连线。

第一章三角形的证明复习资料

精品文档 《第1章三角形的证明》复习资料 知识点： 一、全等三角形的判定及性质 性质：全等三角形对应角相等、对应边相等 判定：①判定一般三角形全等：（SSS、SAS、ASA、AAS）. ②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 推论：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合（即“三线合 一”）． 等边三角形的性质及判定定理 性质：等边三角形的三个角都相等，每个角都等于 60°；等边三角形是轴对图形，有 3 条对称轴. 判定：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 222a?bc。tp://w ww.xk =、b、c，则如果直角三角形的两直角边长和斜边分别为为a222a?bc，那么这个=a、b、c满足关系勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长三角形是直角三角形。常见的勾股数有：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 2.含30°的直角三角形的边的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 四. 线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 精品文档． 精品文档 . 垂直平分线上判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 . 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等角平分线五. 的距离相等；角两边性质：角平分线上的点到 . 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

最新北师版八年级下册数学第一章三角形的证明精选试题

第一章 三角形的证明 1.在△ABC 中，AC 垂直于BC ，点P 是∠A ，∠B 和∠C 的角平分线，从点P 分别向AC ，BC 和AB 作垂线，分别交AC ，BC 和AB 于点D ，E ，F 。已知AC=8，BC=6，AB=10。求PD ＝＿＿＿＿ 2.如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论： (1)DE=AC ；(2)DE ⊥AC ；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE 。其中结论正确的是（ ） A 、(1)，(3) B 、(2)，(3) C 、(3)，(4) D 、(1)，(2)，(4) （第1题图） （第2题图） 3、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的大小是（ ） A 、40° B 、45° C 、50° D 、60° 4、如图，在等边ABC ?中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（ ）. A ．0 45 B ．0 55 C ．0 60 D ．0 75 （第3题图） （第4题图） 5、如图，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）. A ．1处 B ．2处 C ．3处 D ．4处 6、如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论： ① AD =BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP =BQ ； ④ DE =DP ； ⑤ ∠AOB =60°． 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． 7、如图，已知ABC △中，45ABC ∠=o ，4AC =，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ） A ．6 B ．4 C ．23 D ．5 8、如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点E 的 位置，BE 交AD 于点F. 求证：重叠部分（即BDF ?）是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC 第7题 A B C E D O P Q D C B A E H

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一．选择题（共12小题） 1．（2014?遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（） 2．（2014?台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（） 3．（2014?安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三 4．（2014?宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） C D 5．（2014?甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）

6．（2014?本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（） 7．（2013?西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（） C D 8．（2013?滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（） 10．（2012?泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（） 11．（2011?成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到

第一章-三角形的证明教案

第一讲等腰与等边三角形 【优秀学生必知的数学那点事】 等腰三角形 1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。 2、等腰三角形是三角形家族中最为匀称、俏丽的成员，等腰三角形的基本性质有： ①等腰三角形的底角相等且必为锐角。即为“等边对等角”。 ②等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的平分线重合。即有“三线合一”，且重心，外心，内心，垂心共线。 ③等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分成两部分，以这条直线为轴，把其中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一起。 等边三角形 1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°. 2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对的角平分互相重合。（三线合一） 3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。 4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。 5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高） 6、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（等边三角形是特殊的等腰三角形） 【精选精讲】 例题1.如图所示，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，且CE=BD，CD=BF,若∠A=40°，求∠EDF。

例题2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，求证：AB+BD=AC 例题3、如图，在△ABC 中，AB=3AC ，∠A 的平分线交BC 于点D ，过B 作BE ⊥AD ， 垂足为E ，求证：AD=DE 。 【基础达标】 1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A 、30° B 、30°或150° C 、120°或150° D 、30°或120°或150° 2、等腰三角形的周长为a cm,一腰的中线将周长分成5:3，则三角形的底边长为（ ） A 、6a B 、a 53 C 、a a 536或 D 、a 5 4 3、如图3，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，若BD=CE ，CD=BF ，则∠EDF 等于（ ） A 、90°－2 1∠A B 、90°－∠A C 、180°－∠A D 、180°－2∠A

第一章三角形的证明

第一章三角形的证明 课题：§1．4．1角平分线（第1课时）P28-29 教学目标 （一）知识目标 1．角平分线的性质定理的证明。 2．角平分线的判定定理的证明。 3．用尺规作已知角的角平分线。 （二）能力目标 1．进一步发展学生的推理证明意识和推理能力，培养学生将文字语言转化为符号语言，图形语言的能力。 2．体验解决问题策略的数学思想方法，提高实践能力。 教学重点 1．角平分线的性质和判定定理的证明。 2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由。 教学难点 正确地表述角平分线性质定理的逆命题。 正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。教学过程 一、创设问题情境： 〖思考与探索〗有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,它应该选择什么路线,两条路线长度关系怎样?

A O B P （蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念， 又发现了角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理。） 二、新课引入 问题： （1）还记得角平分线的概念吗？ （2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？ （3）你是怎样理解结论的？ （4）以前我们用折纸的方法得到了一个结论，我们能进行严格意义的证明吗？ （板演:画出一个角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。） 你能否将蜘蛛实例的结论转化为一个命题，写出以知与求证进行证明？ 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E. 求证：PD=PE. （注：将文字语言转化成符号语言和图形语言由师生共同完成） 证明∵AC 平分∠AOB ， ∴∠AOC=∠BOC=21 ∠AOB 。 又∵∠AOC=∠BOC=RT ∠,OC=OC ∴△AOC ≌△BOC （HL ） ∴CD=CE(全等三角形的对应边相等) O P A B E D C

新北师大版八年级下数学第一章三角形的证明.

1 八年级下第一章三角形的证明 【基础知识】 1、全等三角形 （1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的 、 相等。 （3）判定：“SAS ”、 、 、 、 。 三边 ：边边边（SSS ） 两边: 边角边（SAS ） 一边 边角边（ASA ） 角角边（AAS ） ※※注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必 须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角 ※※证题的思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ? ???????????????? ???????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（ ）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（） 找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意：公共边、公共角、对顶角、最长的边（或最大的角）、最短的边（或最小的 角） 2、等腰三角形 （1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。 （2）性质：①等腰三角形的 相等。（“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 （3）判定：①定义 ②“ ” 3、等边三角形 （1） 定义： 的三角形是等边三角形。 （2）性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。 （3）判定：①定义 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角 是等边三角形。 4、直角三角形 (1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (2)勾股定理及其逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 （3）“斜边、直角边”或“HL ” 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理的作用：判定两个直角三角形全等

第一章三角形的证明知识点

第一章三角形的证明 一．全等三角形相关 1．性质：全等三角形的对应边_______，对应角___________。 2.判定定理及推论 （1）_________；（2）__________；（3）__________； （4）____________；（5）__________。 二．等腰三角形 1.定义：________________________________________________________。 2.性质 （1）定理：等腰三角形的两个底角相等。简称（“_________________”）几何语言： （2）推论：三线合一 __________________________________________________________ 几何语言： ————————————————————————————— ————————————————————————————— __________________________________________________________ 3.判定： （1）定义 （2）定理：有两个角相等的三角形是等腰三角开。简称（“_________________”） 三．等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。

2.性质： （1）边：________________________________________________； （2）角：________________________________________________； （3）三线合一：_____________________________________________________。 3.判定 （1）定义： （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 四，直角三角形 1.定义：有一个角是90度的三角形叫做直角三角形。 2.表示：_________________________ 3.性质： （1）角：________________________________________________； （2）边：勾股定理 （3）定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

八年级下册第一章三角形的证明测试题含答案

八年级下册第一章三角形的证明测试题 一．选择题 1．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于( ) A ．270° B ．135° C ．90° D ． 315° 2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有（ ） ①DC ′平分∠BDE ；②BC 长为a )22( ；③△B C ′D 是等腰三角形；④△CED 的周长等于BC 的长。 A ． 1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个。 3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8 cm D ．10cm 4．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论： (1)DE=AC ；(2)DE ⊥AC ；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE 。其中结论正确的是（ ） A ．(1)，(3) B ．(2)，(3) C ．(3)，(4) D ．(1)，(2)，(4) 5．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交CB 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ） A ．4 B ．10 C ．4或10 D ．以上答案都不对 7．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为 A B C A B C B C D E C ′ E

第一章三角形的证明知识总结及练习题

第一章三角形的证明 一、重要知识点： 1、全等三角形 (1)性质：全等三角形的对应边、对应角相等。 ( 2)判定：“ SAS”、SSS 、AAS 、ASA 、HL( 直角三角形) 。 2、等腰三角形 '(1)性质：①等腰三角形的两底角相等。(“等边对等角”) ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一)。 (2)判定：① 有两边相等的三角形是等腰三角形 ② 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) ( 3)反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件相矛盾的结果 命题：由条件和结论组成 逆命题：由结论和条件组成 3 、等边三角形 ( 1) 定义：三条边都相等的三角形是等边三角 形。 (2)性质：①三个内角都等于60度，三条边都相等 ②具有等腰三角形的一切性质。 (3)判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角等于60 度的等腰三角形是等边三角形。 4、直角三角形 (1) 定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30 度，那么它所对 的直角边等于斜边的一半。 (2) 定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半 (3) 直角三角形的两锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形 (4) 勾股定理；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平 方，那么这个三角形是直角三角形 ( 5)“斜边、直角边”或“ HL” 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理的作用：判定两个直角三角形全等 5、线段的垂直平分线 ( 1 )线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相 2 )到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

第一章 三角形的证明检测题

第一章三角形的证明检测题 班级：姓名： 一、选择题（每小题4分，共20分） 1.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（） A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 2. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点. A. 三个内角平分线 B. 三边垂直平分线 C. 三条中线 D. 三条高 3．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是 ( ) A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，2，3 D．2，2，4 4．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（） A．2 B．23 C .1+ 3 3 D.1+3 5.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题（每小题4分，共16分） 6、如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是度. 7、如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件 . (第7题图) (第8题图) 8、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点， 则∠BCD的度数为 . 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝. 三、解答题（共64分） 10、(10分)如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且△DEB的周长为8cm，求AB的长。

第一章：三角形的证明(知识点复习)

八数下导学案——11 第一章：三角形的证明（知识点复习） 一、梳理知识： 1、全等三角形 （1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的 、 相等。 （3）判定：“SAS ”、 、 、 、 。 2、等腰三角形 （1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。 （2）性质：①等腰三角形的 相等。（“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( ) ③等腰三角形是 图形。 （3）判定：①定义 ②“ ” （4）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形。 性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。 判定：①定义 ②有一个角 是等边三角形。 3、直角三角形 （1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形。 （2）性质：①“勾股定理” 。 ②直角三角形两锐角 。 ③直角三角形斜边上的中线等于 。 ④在直角三角形中，30°角所对直角边等于 。 （3）判定：①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形 ③“勾股定理逆定理” 。 4、命题：判断一件事的句子叫命题。命题有 与 两部分。 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的 ，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 。 5、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理． 6、线段的垂直平分线 （1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线。 （2）性质：①线段垂直平分线上一点 相等。 ②三角形三边的垂直平分线 ，且到 相等。 （3）判定：到一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。 （4）线段的垂直平分线的作法： 7、角平分线 （1）定义： 。 （2）性质：①角平分线上的点 相等。 ②三角形的三条角平分线 ，且到 相等。 （3）判定：到角的两边 的点，在这个角的平分线上。 （4）角平分线的作法： 二、典型例题： 一、选择题 1、到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的（ ） A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点 2、已知等腰三角形的两边长分别为4㎝和2㎝，则其周长是（ ） A. 6㎝ B. 10㎝ C. 10㎝或8㎝ D. 8㎝ 3、如图，从等腰△ABC 底边BC 上任意一点分别作两腰的平行线DE 、DF ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则□AFDE 的周长等于这个等腰三角形的( ) A. 周长 B. 周长的一半 C. 一条腰长的2倍 D. 一条腰长 4、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的大小是（ ） A.45° B.50° C.55° D.60° 5、如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为 垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（ ） 10ｃｍ Ｂ．8ｃｍ Ｃ．5ｃｍ Ｄ．2．5ｃｍ 6、等边三角形的高为23，则它的边长为（ ） A.4 B.3 C.2 D.5 7、下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a =3，b =4，c =5 B.a =1，b = 3 4，c =35 C.a =9，b =12，c =15 D.a =3，b =2，c =5 8、△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ） A.5 cm B.6 cm C.5 cm D.8 cm 9、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC 的长等于（ ） Ａ．22 ｃｍ Ｂ．32 ｃｍ Ｃ．23 ｃｍ Ｄ．33ｃｍ 10、下列定理中逆定理不存在的是（ ） A.同位角相等，两直线平行 B.全等三角形的对应角相等. C.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 D.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 11、在Rt △ABC 中,∠C=90° ,D 是BC 边上一点,且BD=AD=10, ∠ADC=60°,求△ABC 的面积.

最新八年级数学下册第一章《三角形的证明》知识点归纳

八年级数学下册第一章《三角形的证明》 知识点归纳 八年级数学下册第一《三角形的证明》知识点归纳（北师大版） 第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形

1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点、N；作直线N就是线段AB的垂直平分线。 第四节. 角平分线 1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2. 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心 通用篇 1.真命题与假命题

八年级下册第一章_三角形的证明_知识点梳理

三人行教育 知识点1 全等三角形的判定及性质 判定定理简称 判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角 形对应边 相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形 的性质定理 等腰三角形的两底角 相等。简述为：等边 对等角 在△ABC 中，若 AB=AC ，则∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一 在△ABC ，AB=AC ，AD ⊥BC ，则AD 是BC 边上的中线，且AD 平分∠BAC 条件：等腰三角形中一直顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一 结论：该线也死其他两线 等腰三角形中的相等线段： 1等腰三角形两底角的平分线相等2等腰三角形两腰上的高相等3两腰上的中线相等4底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度 解读 【要点提示】1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边 在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读 【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法 （1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”

北师大版八年级下册第一章三角形的证明讲义

A B C D E F 第一章：三角形的证明 【基础知识】 1、全等三角形 （1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的 、 相等。 （3）判定：“SAS ”、 、 、 、 。 2、等腰三角形 （1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。 （2）性质：①等腰三角形的 相等。（“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( ) ③等腰三角形是 图形。 （3）判定：①定义 ②“ ” （4）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形。 性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。 判定：①定义 ②有一个角 是等边三角形。 3、直角三角形 （1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形。 （2）性质：①“勾股定理” 。 ②直角三角形两锐角 。 ③直角三角形斜边上的中线等于 。 ④在直角三角形中，30°角所对直角边等于 。 （3）判定：①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形 ③“勾股定理逆定理” 。 4、角平分线 （1）定义： 。 （2）性质：①角平分线上的点 相等。 ②三角形的三条角平分线 ，且到 相等。 （3）判定：到角的两边 的点，在这个角的平分线上。 （4）角平分线的作法： 5、线段的垂直平分线 （1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线。 （2）性质：①线段垂直平分线上一点 相等。 ②三角形三边的垂直平分线 ，且到 相等。 （3）判定：到一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。 （4）线段的垂直平分线的作法： 6、命题：判断一件事的句子叫命题。命题有 与 两部分。 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的 ，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 。 7、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理． 【典例讲解】 一、选择题 1、到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的（ ） A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点 2、如图，从等腰△ABC 底边BC 上任意一点分别作两腰的平行线DE 、DF ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则□AFDE 的周长等于这个等腰三角形的( ) A. 周长 B. 周长的一半 C. 一条腰长的2倍 D. 一条腰长 3、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的大小是（ ） A.45° B.50° C.55° D.60° 4、如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（ ） Ａ．10ｃｍ Ｂ．8ｃｍ Ｃ．5ｃｍ Ｄ．2．5ｃｍ 5、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC 的长等于（ ） Ａ．22 ｃｍ Ｂ．32 ｃｍ Ｃ．23 ｃｍ Ｄ．33ｃｍ 2题 3题 4题 5题 6、△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ） A.5 cm B.6 cm C. 5 cm D.8 cm