均值不等式【高考题】
应用一、求最值 直接求
例1、若x ，y 是正数，则22)21
()21(x y y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．2
9
例2、设y
x b a b a b a R y x y
x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】
A. 2
B. 23
C. 1
D. 21
练习1.若0x >，则2
x x
+的最小值为 .
练习2.设,x y 为正数, 则14
()()x y x y
++的最小值为【 】
A.6
B. 9
C. 12
D. 15
练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(2
3+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】 A.2 B ．3 C ．6 D ．9
练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨.
练习5.求下列函数的值域：
（1）22
213x x y +
= （2）x
x y 1+= 练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则
2
()a b cd
+的最小值是【 】
A.0
B.4
C.2
D.1
例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111
(1)(1)(1)a b c
---最小值为【 】
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
凑系数
例4、若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ?的最大值是 ．
练习1.已知,x y R +∈，且满足
134
x y
+=，则xy 的最大值为 . 练习2. 当40< 例5、若函数)2(2 1 )(>-+ =x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】 A.21+ B ．31+ C ．3 D ．4 练习1.已知5 4x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 练习2.函数1 (3)3 x x x +>-的最小值为【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 练习3.函数2 32(0)x x x +>的最小值为【 】 A.3932 B. 39423952392 例6、已知22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为__________. 例7、已知0,0a b >>，则 11 a b ++ 】 A.2 B ．．4 D ．5 例8、设0a b c >>>，则2 21121025() a ac c a b a a b + +-+-的最小值是【 】 A.2 B.4 C.5 练习1.设0a b >>，则() 2 11 a a b a a b + + -的最小值是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 练习2.设0a b >>，则2 1() a b a b +-的最小值是【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 练习3.设0a b ≥>，则1 (2) a b a b +-的最小值是【 】 A. C. 练习4.设20a b >>，则29 ()(2) a b b a b -+-的最小值是 . 换元 例9、若y x y x -=+则,42 2的最大值是 . 练习1.设b a b a b a +=+∈则,62,,2 2R 的最小值是【 】 A ．22- B ．33 5- C ．3- D ．27- 例10、设,x y 是实数，且22 4,x y +=则22 xy S x y =+-的最小值是【 】 A.2- B. C. 2-1) 练习1.若2 2 1, x y +=1 xy x y +-则最大值是 练习2.若01,01,a x y <<<≤<且(log )(log )1a a x y =则xy 【 】 A.无最大值也无最小值 B.无最大值但有最小值 C.有最大值但无最小值 D.有最大值也有最小值 消元 例11、设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2 y xz 的最小值是 . 练习1。已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为 两次用 例12、已知正数,,x y z 满足222 1,x y z ++=则12z S xyz += 的最小值是【 】 A. 3 B. 3(12 + C. 4 D. 1) 练习1。已知正数,,x y z 满足222 1,x y z ++=则2 12S xyz =的最小值是【 】 A. 3 B. 9 2 C. 4 D. 练习2.已知,,x y z 均为正数，则 222xy yz x y z +++的最大值是【 】 A. 练习3.已知实数,,x y z 满足222 1,x y z ++= yz +的最大值是 整体代换 例13、已知2,0,0=+>>b a b a ，则14 y a b =+的最小值是【 】 A.72 B ．4 C ．9 2 D ．5 例14、函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11 m n +的最小值为 ． 例15、设0,0.a b >> 1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为 A. 8 B. 4 C. 1 D. 1 4 例16、已知,,a b c 都是正实数，且满足93log (9)log a b +=，则使4a b c +≥恒成立的c 的取值范围 是 A.4[,2)3 B. [0,22) C. [2,23) D. (0,25] 练习1.函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上， 其中0mn >，则 12 m n +的最小值为__________． 练习2.若+ ∈R y x ,,且12=+y x ，则y x 11+的最小值为 . 练习3.已知0,0x y >>，且19 1x y +=，求x y +的最小值. 练习4.若+ ∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值. 练习5.已知+ ∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x + 的最小值. 练习6.已知2 12121,1,1000,x x x x >>=则 12 13lg lg x x +的最小值等于【 】 练习7.若01,,x a b <<为常数，则22 1a b x x + -的最小值是 练习8.已知11m a b c a b b c a c >>+≥ ---且恒成立，则m 的取值范围是 练习9.,(0,),31,a b a b ∈+∞+= + 最小值为 分离法【分式】 例17、0t >已知，则函数241 t t y t -+=的最小值为__________. 例18、已知425 4)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】 A ．最大值45 B ．最小值45 C ．最大值1 D ．最小值1 练习1.求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域. 练习2.若1x >，则函数21161 x y x x x =+++的最小值为 . 放缩法—— 解不等式 例19、设,x y 为实数，若2 2 41,x y xy ++=则2x y +的最大值 是 . 例20已知 ()23 20,0x y x y +=>>,则xy 的最小值是 . 例21、若a 是12b +与12b -的等比中项，则22ab a b +的最大值为【 】 A. 15 B ． 4 C ． 5 D ．2 练习1.若实数,x y 满足22 1x y xy ++=，则x y +的最大值是__________. 练习2.若正实数,X Y 满足26,X Y XY ++= 则XY 的最小值是 练习3.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值是【 】 A.3 B.4 C.92 D.11 2 练习4.已知1)(,0,0=+->>b a ab b a ，求b a +的最小值. 练习5：已知53 2(0,0)x y x y +=>>恒成立，则xy 的最小值是 . 练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值. 练习7.若实数,x y 满足1 14422x y x y +++=+则22x y t =+的取值范围是 取平方 例22、若,,0a b c >且2 22412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是【 】 A. B. 3 C. 2 练习1.若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为【 】 11 C. 2 D. 2 例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】 A. 12 B. 13 C. 1 4 D. 15 结合单调性——与函数 例24、若,,1a b R a b + ∈+=，则1 ab ab +的最小值为【 】 A. 144 B. 142 C. 124 D. 2 练习1.求函数2 y =的值域. 练习2．求下列函数的最小值，并求取得最小值时x 的值. （1）231 ,(0)x x y x x ++= > （2）12,33 y x x x =+>- （3）1 2sin ,(0,)sin y x x x π=+ ∈ 练习3．已知01x <<，求函数y =. 练习4．2 03 x << ，求函数y =. 练习5.设+ ∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是【 】 A.12- B. 212- C.12+ D.21 2+ 例25、已知1a b +=，则44 a b +的最小值是【 】 A. 1 B. 12 C. 1 4 D. 18 练习1.若实数,,222,2222 ,a b a b a b c a b c a b c c ++++=++=满足则的最大值是 的最大值为 . 练习1.已知2 2 ,,1,2 b a b R a + ∈+=，则 】 A. 1 B. 122 例27、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111 a b c ++最小值为【 】 A. 12 B. 18 C. 24 D. 27 直接取值【讨论】 例28、,2,2,12 2 2 2 2 2 =+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】 12 B ． 1 2 - C ．1 2 - D ．12+ 例1、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是【 】 A ．22 2a b ab +> B ．a b +≥C ． 11 a b +>．2b a a b +≥ 例2、设,,a b c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．． 的是【 】 A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．a a a a 1 12 2+ ≥+ C ．21 ||≥-+ -b a b a D ．a a a a -+≤+-+213 例3、设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．． 的是【 】 A ．()114a b a b ?? ++≥ ??? B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 2222 2+≥++ D ．b a b a -≥-|| 例4、已知不等式1()()9a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为【 】 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 例5、若直线 1x y a b +=通过点()cos sin M αα，，则【 】 A ．221a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 练习1.设+ ∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是【 】 A.4)11)((≥++b a b a B.ab ab b a 22 2≥+ C.21≥+ ab ab D.ab b a ab ≤+2 练习2.已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+ ∈+≥+R b a b a b a b a ； ③)1(22 2--≥+b a b a . 其中正确的个数是【 】 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 练习3.已知0,0x y >>且 19 1x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围. 练习4.若+ ∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+ 恒成立，则a 的最小值是【 】 A.22 B.2 C.2 D.1 练习5.已知,a b R + ∈，则使不等式3 3 3 ()()a b k a b +≤+成立的最小k 的值是【 】 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 练习6.是否存在常数c ，使得不等式y x y y x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数y x , 恒成立，试证明你的结论. 例1、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求证：4 ))((≥ ++b b a a . 例2、若+ ∈R b a ,且1=+b a ，求证：221 21≤+++ b a . 例3、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：8)11 )(11)(11(>---z y x . 练习1.在某两个正数y x ,之间插入一个数a ，使y a x ,,成等差数列；若插入两个数c b ,，使 y c b x ,,,成等比数列，求证：)1)(1()1(2 ++≥+c b a . 练习2.证明：对于任意实数,,y x 有2 44)(2 1y x xy y x +≥+. 应用四、比较大小 例1、若)2 lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+= ?=>>，则R Q P ,,的大小关系是 . 例2、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,2 2 ++中最大的是 . 练习1.若12120,0a a b b <<<<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是【 】 A. 1122a b a b + B. 1212a a b b + C. 1221a b a b + D. 2 1 不等式 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 22分 12分 10分 5分 5分 5分 (2008年高考广东卷第10小题) 设a 、b ∈R ，若a － |b | > 0，则下列不等式中正确的是（D ） A. b － a > 0 B. a 3 + b 3 < 0 C. a 2 － b 2 < 0 D. b + a > 0 (2008年高考广东卷第12小题) 若变量x 、y 满足24025000 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?，则32z x y =+的最大值是__70_____。 (2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x （单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则 ()()21601000010800 56048560482000f x x x x x ?=++=++()10,x x Z +≥∈ ()2 10800 48f x x '=- , 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此 当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。 (2010年高考广东卷第19小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19．解：设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，所花的费用为z ，则依题意得： 均值不等式题型汇总 杨社锋 均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型一：证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足：222 1x y z ++=，求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥ 7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：22221 11()a b c a b c +++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。 类型二：求最值： 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。 变式：求函数291(0)122 y x x x =+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。 8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若22 41x y xy ++=，求2x y +的最大值。 9. 求函数y = 的最大值。 变式：y = 10. 设0x >求函数21x x y x ++=的最小值。 11. 设设1x >-求函数211 x x y x ++=+的最小值。 12. （2010山东高考）若任意0x >，231 x a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 13. 求函数22233(1)22 x x y x x x -+=>-+的最大值。 类型三、应用题 1.（2009湖北）围建一个面积为2 360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。 （1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。 （2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用， 高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b 【2010 课标卷】设函数f(x)= 2x 4 1 （Ⅰ) 画出函数y=f(x) 的图像； （Ⅱ）若不等式f(x) ≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围. 【答案】 【2011 课标卷】设函数 f ( x) x a 3x , 其中a 0。 （Ⅰ）当a 1时，求不等式 f (x) 3x 2 的解集 （Ⅱ）若不等式 f (x) 0的解集为x| x 1 ，求 a 的值。 解：（Ⅰ）当a 1时，f (x) 3x 2可化为| x 1| 2。 由此可得x 3或x 1。故不等式 f (x) 3x 2的解集为{ x | x 3或x 1} 。( Ⅱ) 由f (x) 0得：x a 3x 0 x a x a 此不等式化为不等式组x a x a 3x 0 或 x a a x 3x 0 即 a x 或 4 a a 2 a 因为 a 0，所以不等式组的解集为| x x 由题设可得 2 a 2 = 1，故a 2 1 【2012 课标卷】已知函数 f (x) x a x 2 （1）当a 3时，求不等式 f ( x) 3的解集； （2）若 f (x) x 4 的解集包含[1,2] ，求a 的取值范围。【解析】（1）当a 3时， f ( x) 3 x 3 x 2 3 x 2 3 x 2 x 3 或 2 x 3 或 3 x x 2 3 x 3 x 3 x 2 3 x 1或x 4 （2）原命题f (x) x 4 在[1,2] 上恒成立x a 2 x 4 x在[1,2] 上恒成立 2 x a 2 x在[1,2] 上恒成立 3 a 0 【2013 课标Ⅰ卷】已知函数 f (x) =|2x 1| | 2x a |, g(x) = x 3 . （Ⅰ）当 a =2 时，求不等式 f (x) ＜g( x) 的解集； （Ⅱ）设 a ＞-1, 且当x ∈[ a 2 ， 1 2 ) 时， f (x) ≤g(x) , 求a 的取值范围. 【解析】当 a =-2 时，不等式 f (x) ＜g (x) 化为|2x 1| | 2x 2 | x 3 0 ， 5x, x 1 2 设函数y =|2x 1| |2x 2 | x 3 ，y = 1 x 2, x 1 2 ，3x 6, x 1 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x (0,2) 时，y ＜0 ∴原不等式解集是{ x | 0 x 2} . a （Ⅱ）当x ∈[ ， 2 ∴x a 2对x∈[ 1 2 ) 时， f (x) =1 a ，不等式 f (x) ≤g( x) 化为1 a x 3， 4 a 1 a ) 都成立，故， a 2，即a ≤ ， 2 2 2 3 ∴a 的取值范围为（-1 ，4 3 ]. 【2013 课标Ⅱ卷】设a、b、c均为正数，且 a b c 1，证明： 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 高考均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=，则58310a b c +++的最小值为 。 2.设M 是ABC V 内一点，且30AB AC A =∠=?u u u r u u u r g ，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是 ,,MBC MCA MAB V V V 的面积，若1()(,,)2 f M x y =，则14x y +的最小值为 . 3.已知实数1,12 m n >>，则224211n m m n +--的最小值为 。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为 。 5.设,,a b c R ∈，且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=，则c 的最大值为 。 6.已知ABC V 中，142, 10sin sin a b A B +=+=，则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为 。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=，则a b +的最大值为 。 8. ,,a b c 均为正数，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为 。 9. ,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为 。 10. 函数()f x =的最小值为 。 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为 。 12.若*3()k k N ≥∈，则(1)log k k +与(1)log k k -的大小： 。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取最大值时，212x y z +-的最大值为 。 14.若平面向量,a b r r 满足23a b -≤r r ，则a b ?r r 的最小值为 。 15. 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 。 16.设{}n a 是等比数列， 公比q =n S 为{}n a 的前n 项和，记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n = 。 温馨提示： 高考题库为Word 版，请按住Ctrl ，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 【考点35】绝对值不等式 2009年考题 1、（2009全国Ⅰ）不等式 1 1 X X +-＜1的解集为（ ）（A ）｛x }}01{1x x x ??? (B){ }01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){ }0x x ? 【解析】选 D.0040)1()1(|1||1|11 1 22 或③12 (21)(2)0 x x x ? ≤? ??--+-解得 又 0,x x <∴不存在; 当1 02 x ≤< 时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又11 0,0;22 x x ≤<∴<< 当1 11 ,211,222 22 x x x x x x ≥-<+<≥∴≤<原不等式可化为解得又 综上,原不等式的解集为|0 2.x x << 7、（2009海南宁夏高考）如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和. （1）将y 表示成x 的函数； （2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值 1 成立。 5、(2012 福建)已知函数 f(x)=m-| x-2|, m € R,且 f(x+2)》0解集为[-1,1]. 1 丄 丄 (1)求 m 的值； (2)若 a,b,c € R 且a + + 3c =m,求证:a + 2b +3c >9 1、（2008 江苏）设 a , b , c 为正实数，求证： 3 a 11 — 3 + abc 》2*； 3 . c b 3 2、（2010辽宁理数） 已知a,b, c 均为正数，证明: b 2 丄I ）2 6.3，并确定a,b,c 为何值时，等号 b c 3、（2012江苏理数） 1 已知实数x , y 满足：|x y| -，|2x 3 y| 5 求证：|y| 18 - 4、（ 2013新课标n ） 设a,b,c 均为正数，且a b c 1,证明: 1 (i )ab bc ca 一 3 2 a (n )— b b 2 c 2 1. c a (n) a b c d 是 a b cd 的充要条件. 6、（2011浙江）设正数x, y, z 满足2x 2y z 1. (i)若 ab cd ，贝U a b c d ； ⑴求3xy yz zx 的最大值; （2）证明: 3 1 xy 1 1 1 yz 1 xz 125 26 7.（2017全国新课标II 卷）已知a 0,b 0,a b 2。证明: (1) (a b)(a 5 b 5) 4 ； (2) a b 2。 8.(2017 天津)若 a,b R ， ab 0，则 a 4 4 b 4 1 -的最小值为 9. 【2015咼考新课标 ab 2,理24】设a, b, c, d 均为正数，且a c d ，证明: 选修4-5 不等式选讲 考点不等式选讲 1.（2017?新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x ﹣1|．（10分） (1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； (2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．1.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数， g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ， 当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g （x）的解集为（1，]； 当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在 [﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是[﹣1，1]． 2.（2017?新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当= ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴=ab， 由均值不等式可得：=ab≤（）2， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴（a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立． 3.（2017?新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． 【高中数学】数学《不等式》复习资料 一、选择题 1．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r 恒 成立，则实数t 的取值范围是（ ）. A ．33 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? B ．2323 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? C ．23,3?? +∞ ? ??? D ．3,3?? +∞ ? ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0 当且仅当 时，等号成立，故选C. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．若33 log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．83 C ． 163 D ． 173 【答案】C 【解析】 【分析】 由33 log (2)1log a b ab +=+21 3b a +=，且0,0a b >>，又由 12142(42)3a b a b b a ?? +=++ ??? ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】 因为33 log (2)1log a b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=， 所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21 3b a +=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333 a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a =，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题. 4．设x ，y 满足约束条件21210 x y x y x y +≤??+≥-??-≤? ，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ? ?的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80 C ．90 D ．120 【答案】B 【解析】 【分析】 画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 应用一、求最值 直接求 例1、若x ，y 是正数，则22)21()21(x y y x +++ 的最小值是【 】 A ．3B ．27C ．4D ．2 9 例2、设y x b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则 若的最大值为【 】 A. 2B. 23 C. 1D. 2 1 练习1.若0x >，则2x x +的最小值为. 练习2.设,x y 为正数, 则14()()x y x y ++的最小值为【 】 A.6 B.9C. 12D. 15 练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】 A.2B ．3C ．6D ．9 练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =吨. 练习5.求下列函数的值域： （1）22 213x x y += （2）x x y 1+= 练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则 2 ()a b cd +的最小值是【 】 A.0B.4C.2D.1 例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111(1)(1)(1)a b c ---最小值为【 】 A. 5 B.6 C.7 D.8 凑系数 例4、若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ?的最大值是． 练习1.已知,x y R +∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为. 练习2. 当40< 2012高考真题分类汇编：不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ，即12 1 <<-x 或1=x ，所以不等式的解为12 1 ≤<- x ，选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b B.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b C.若2a -2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a -2a=a b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其 余选项用同样方法排除．故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ， 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ，目标函数为300400Z x y =+， 【2010课标卷】设函数f(x)=241x -+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围. 【答案】 【2011课标卷】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。 （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值。 解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。 由此可得 3x ≥或1x ≤-。故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。 ( Ⅱ) 由()0f x ≤得： 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥??-+≤?或30x a a x x ≤??-+≤? 即 4x a a x ≥???≤?? 或2x a a a ≤???≤-?? 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤- 由题设可得2a -= 1-，故2a = 【2012课标卷】 已知函数()2f x x a x =++- （1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥?-+-≥ 2323x x x ≤???-+-≥?或23323x x x <??? ， 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0 ∴原不等式解集是{|02}x x <<. （Ⅱ）当x ∈[2a -，12 )时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+， ∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2 a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为（-1，43]. 【2013课标Ⅱ卷】设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明： 1、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证： 333111a b c +++abc ≥． 2、（2010辽宁理数）已知c b a ,,均为正数，证明：36 )111(2222≥+++++c b a c b a ，并确 定c b a ,,为何值时，等号成立。 3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：1 1|||2|3 6 x y x y +<-<，，求证：5 ||18 y <． 4、（2013新课标Ⅱ）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1]. (1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 1 3c =m ,求证:a + 2b +3c ≥9 6、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x . (1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明： 26 125 111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知3 3 0,0,2a b a b >>+=。证明： （1）5 5 ()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。 8.(2017天津) 若,a b ∈R ，0ab >，则4441 a b ab ++的最小值为___________. 9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >+> （Ⅱ）>是a b c d -<-的充要条件． 10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲 已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221 14 9 a b c ++的最小值． 11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 应用一、求最值 直接求 例1、若x ，y 是正数，则22)21 ()21(x y y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．2 9 例2、设y x b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】 A. 2 B. 23 C. 1 D. 21 练习1.若0x >，则2 x x +的最小值为 . 练习2.设,x y 为正数, 则14 ()()x y x y ++的最小值为【 】 A.6 B. 9 C. 12 D. 15 练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】 A.2 B ．3 C ．6 D ．9 练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 练习5.求下列函数的值域： （1）2 2 213x x y + = （2）x x y 1 += 练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则 2 ()a b cd +的最小值是【 】 A.0 B.4 C.2 D.1 例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111 (1)(1)(1)a b c ---最小值为【 】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 凑系数 例4、若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ?的最大值是 ． 练习1.已知,x y R +∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 . 练习2. 当40< 2013年高考试题分类汇编（不等式） 考点1 不等式的基本性质 1.（2013·北京卷·文科）设,,a b c R ∈，且a b <，则 A.ac bc > B. 11 a b < C.22a b > D.33a b > 4.（2013·天津卷·文科）设a ,b R ∈，则“2()0a b a -<”是“a b <”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2 解不等式或证明不等式 考法1 一元二次不等式 1.（2013·广东卷·理科）不等式220x x +-<的解集为 . 2.（2013·全国卷Ⅰ·理科）已知集合2{20}A x x x =->，{B x x =<<， 则 A.A B =? B.A B R = C.B A ? D.A B ? 3.（2013·全国卷Ⅱ·理科）已知集合2{(1)4,}M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =- ，则M N = A.{}0,1,2 B.{}1,0,1,2- C.{}1,0,2,3- D.{}0,1,2,3 4.（2013·重庆卷·文科）关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为 12(,)x x ，且2115x x -=，则a = A.52 B.72 C.154 D.152 5.（2013·安徽卷·理科）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{|<1x x -或 1 >}2 x ，则(10)>0x f 的解集为 A.{|<1,>lg2}x x x - B.{|1<广东省高考数学复习专题汇编 不等式(试题)
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