正态分布、概率
信息系统项目管理师重点知识点：完工概率计算总结
例图：
活动BCD的乐观(o)工期都是9天，最可能(m)工期为12天，最悲观(p)工期都是15天，那么在14天内完成单项活动的概率和完成全部这三项活动的概率是多少
首先计算平均工期（PERT）：公式－－（乐观时间+4*最可能时间+悲观时间）/ 6 (9+4*12+15)/6=12天；
其次计算标准差：公式－－（悲观时间-乐观时间）/ 6 ；
(15-9)/6=1天
再计算偏离平均工期：方法－－[给出的天数计算（14）－计算出来的平均工期(12)]/标准差(1)
(14-12)/1=2
备注：此时得出来的为几,之后就是使用几西格玛
(Sigma)(1σ=68,37%)(2σ=95.46%)(3σ=99.73%)(6σ=99.99966%百万分之三点四)
计算每一项活动在14天内完工的概率是：方法－－正态分布概率+西格玛/偏离平均工期数
50%+95.46%/2=97.73% 备注：50%参考正态分布图，95.46参考2西格玛值；
计算全部活动在14天内完工概率是：方法－－每一项活动的概率相乘
97.73%*97.73%*97.73%＝93.34%
下图为简要正态分布图：
备注：正态分布有50%成功，有50%不成功
如计算将上面的14天，修改为13天；
偏离平均工期就是1天，计算方法：(13-12)/1=1天，则应该使用1西格玛；
计算每一项活动在13天内完工的概率是：方法－－正态分布概率+西格玛/偏离平均工期数
50%+68.37%/2=84.19% 备注：50%参考正态分布图，68.37参考1西格玛值；
计算全部活动在13天内完工概率是：方法－－每一项活动的概率相乘
84.19%*84.19%*84.19%＝59.67%
如果计算为11－15天的概率：最小值的概率+最大值的概率
68.37/2+99.75/2=84.06%
关于正态分布概率的说明
对于正态分布，期望值两边1个标准差的范围内，曲线下面积约占总面积的68%；2个标准差范围内，曲线下面积约占总面积的95%；3个标准差的范围内，曲线下面积约占总面积的99%。因此我们可以知道，项目在期望工期完成的概率是50%，在(期望工期+1个标准差)时间内完成的概率是(50%+(68%/2))=84%，在(期望工期+2个标准差)时间内完成的概率是(50%+(95%/2))=97.5%，在(期望工期+3个标准差)时间内完成的概率是(50% +(99%/2))=99.5%
期望工期，方差，标准差，求概率
这是一个常考考点，必须灵活掌握。
期望工期（三点估算法）=（乐观时间+4*最可能时间+悲观时间）/6
方差=(悲观时间-乐观时间)/6
标准差=方差的平方根
标准正态分布应记住的：
活动工期落在1个方差范围内的概率为68.26%
活动工期落在2个方差范围内的概率为95.5%
活动工期落在3个方差范围内的概率为99.7%
在期望工期这个时间点完成的概率是50%
历年真题：
过去几年小李完成了大量网卡驱动模块的开发，最快6天完成，最慢36天完成，平均2 1天完成。如今小李开发一个新网卡驱动模块，在21天到26天内完成的概率是（36）。
（36）A.68.3% B.34.1% C.58.2% D.28.1%
参考答案：B
完成某信息系统集成项目中的一个最基本的工作单元 A 所需的时间，乐观的估计需8天，悲观的估计需38天，最可能的估计需20天，按照PERT方法进行估算，项目的工期应该为（37），在26天以后完成的概率大致为（38）。
（37）A．20 B．21 C．22 D．23
（38）A．8.9% B．15.9% C．22.2% D．28.6% 信管网参考答案：B、B
正态概率图(normal probability plot)
正态概率图(normal probability plot) 方法演变：概率图，分位数-分位数图( Q- Q) 概述 正态概率图用于检查一组数据是否服从正态分布。是实数与正态分布数据之间函数关系的散点图。如果这组实数服从正态分布，正态概率图将是一条直线。通常，概率图也可以用于确定一组数据是否服从任一已知分布，如二项分布或泊松分布。 适用场合 ·当你采用的工具或方法需要使用服从正态分布的数据时； ·当有50个或更多的数据点，为了获得更好的结果时。 例如： ·确定一个样本图是否适用于该数据； ·当选择作X和R图的样本容量，以确定样本容量是否足够大到样本均值服从正态分布时；·在计算过程能力指数Cp或者Cpk之前； ·在选择一种只对正态分布有效的假设检验之前。 实施步骤 通常，我们只需简单地把数据输入绘图的软件，就会产生需要的图。下面将详述计算过程，这样就可以知道计算机程序是怎么来编译的了，并且我们也可以自己画简单的图。 1将数据从小到大排列，并从1～n标号。 2计算每个值的分位数。i是序号： 分位数＝(i－0.5)/n 3找与每个分位数匹配的正态分布值。把分位数记到正态分布概率表下面的表A.1里面。然后在表的左边和顶部找到对应的z值。 4根据散点图中的每对数据值作图：每列数据值对应个z值。数据值对应于y轴，正态分位数z值对应于x轴。将在平面图上得到n个点。 5画一条拟合大多数点的直线。如果数据严格意义上服从正态分布，点将形或一条直线。将点形成的图形与画的直线相比较，判断数据拟合正态分布的好坏。请参阅注意事项中的典型图
形。可以计算相关系数来判断这条直线和点拟合的好坏。 示例 为了便于下面的计算，我们仅采用20个数据。表5. 12中有按次序排好的20个 值，列上标明“过程数据”。 下一步将计算分位数。如第一个值9，计算如下： 分位数＝(i－0.5)/n＝(1－0.5)/20＝0.5/20＝0.025 同理，第2个值，计算如下： 分位数＝(i－0.5)/n＝(2－0.5)/20＝1.5/20＝0.075 可以按下面的模式去计算：第3个分位数=2.5÷20，第4个分位数＝3 5÷20 以此类推直到最后1个分位数＝19. 5÷20。 现在可以在正态分布概率表中查找z值。z的前两 个阿拉伯数字在表的最左边一列，最后1个阿拉伯数 字在表的最顶端一行。如第1个分位数＝0. 025，它位 于－1.9在行与0.06所在列的交叉处，故z＝－1.96。 用相同的方式找到每个分位数。 如果分位数在表的两个值之间，将需要用插值法 进行求解。例如：第4个分位数为0. 175，它位于0.1736 与0.1762之间。0.1736对应的z值为－0.94，0.1762 对应的z值为－0.93，故 这两数的中间值为z＝－0.935。 现在，可以用过程数据和相应的z值作图。图表5. 127显示了结果和穿过这些点的直线。注意：在图形的两端，点位于直线的上侧。这属于典型的右偏态数据。图表5.128显示了数据的直方图，可进行比较。 概率图( probability plot) 该方法可以用于检验任何数据的已知分布。这时我们不是在正态分布概率表中查找分位数，而是在感兴趣的已知分布表中查找它们。 分位数-分位数图（quantile-quantile plot） 同理，任意两个数据集都可以通过比较来判断是否服从同一分布。计算每个分布的分位数。一个数据集对应于x轴，另一个对应于y轴。作一条45°的参照线。如果这两个数据集来自同一分布，那么这些点就会靠近这条参照线。 注意事项 ·绘制正态概率图有很多方法。除了这里给定的程序以外，正态分布还可以用概率和百分数来表示。实际的数据可以先进行标准化或者直接标在x轴上。 ·如果此时这些数据形成一条直线，那么该正态分布的均值就是直线在y轴截距，标准差就是直线斜率。 ·对于正态概率图，图表5.129显示了一些常见的变形图形。 短尾分布：如果尾部比正常的短，则点所形成的图形左边朝直线上方弯曲，右边朝直线下方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈S型。表明数据比标准正态分布时候更加集中靠近均值。 长尾分布：如果尾部比正常的长，则点所形成的图形左边朝直线下方弯曲，右边朝直线上方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈倒S型。表明数据比标准正态分布时候有更多偏离的数据。
标准正态分布的密度函数样本
幻灯片1 正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布, 这能够由 以下情形加以说明: ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一, 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．能够证明, 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用, 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． 这些性质是其它 ⑵ 正态分布有许多良好的性质, 许多分布所不具备的． ⑶ 正态分布能够作为许多分布的近似分布．幻灯片3 －标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数若连续型随机变量X 的密度函数为定义 则称X 服从标准正态分布,
记为标准正态分布是一种特别重要的它的密度函数经常被使用, 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 ( 2) 根据反常积分的运算有能够推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质若随机变量 , X 的密度函数为 则密度函数的性质为: 的图像称为标准正态( 高斯) 曲线幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知, 阴影面积为概率值。对同一长度的区间 , 若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。标准正态分布的分布规律时”中间多, 两头少” . 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数分布函数为幻灯片8 2、标准正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表, 有了它, 能够解决标准正态分布的概率计算.表中给的是x > 0时，①(x)的值. 幻灯片9 如果由公式得令则幻灯片10
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积． 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 2 2 () 2 , 1 (),(,) 2 x x e x μ σ μσ ? πσ - - =∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0 (> σ σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，, ()x μσ ? 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课：
一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,()()b a P a X B x dx μσ?<≤=?, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2 σ μN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位． 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计． 2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2 σ μN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响
数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布) 生存分析 贝叶斯概率公式 全概率公式讲解
数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。 也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：
离散型分布：二项分布、泊松分布 连续型分布：指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布 抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关 二项分布（binomial distribution ）：例子抛硬币 1、 重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验） 2、 抽样分布
正态分布概率表
参考医学 正态分布概率表 1 — f? 0( u )= t P⑴t F(t)t F(0t卩⑴0.00 0.000 00.230. 181 9 0.46 0.354 5 W9 0. 50 9 8 0.01 0.008 00.24 0. 1H9 70.47 0.361 6 0.70 0,516 1 0+02 0,0160 0. 25 0,197 4 0,48 0.368 80+71 0.522 3 0.03 0*023 9(1. 26 0.205 1 0.49 0.375 9 0.72 0. 52 8 5 044 0.031 9(1.27 0,212 8 0.50O.3R2 9 0.73 "4 6 0R5 0039 90.28 0.220 5 0,51 0.389 9 0.74 0.540 7 0.06 0.047 80.29 0.228 20.52 036 9 0.75 0*546 7 0+07 0 €55 g0,30 0,235 8 0,53 0.403 9 276 0.552 7 0+08 0.063 80 31 0.243 4 0.54 0.410 8 0+77 0.558 7 0+09 (1.(171 7(J. 32 0.251 00.55 0.417 70.78 0.564 6 0. 10 0.0797 fl. 33 0.258 6 0.56 0,424 50.79 0.570 5 0.110,(J87 60.34 0.266 1 0.57 0.431 3 0.B0 0.576 3 0.12 0.09$ 50. 35 0.273 7 0.5S 0.43S 10.S1 O.5S2 1 0+13 OJ03 40. 36 0.281 20.59 0.444 8 0+82 0.587 8 0+14 (1.111 3 0. 37 0.288 6 0.60 0.451 5 M3 0.593 5 0.15 0J19 2 0. 38 0.296 1 0.61 0.458 10.84 0.599 1 0+160.127 10.39 0. 303 50.62 0.464 7 0.85 0.604 7 0.17 0.135 0 040 0330 8 0.63 0.471 3 0.S6 0.610 2 0+18 0.142 S0.41 0.318 20,64 0.477 8 0.87 0.6157 0+19 0.150 7 0 42 0, 325 50.650.484 3 0.88 0.621 1 0,20 0J58 5(J. 43 0. 332 8 0.66 0.490 10.89 0 . 62 6 5 0,21 0J66 3(J.44 0,340 1 0.67 0.497 10.90 0.631 9 0 + 220.174 10.45 0347 3 0.68 0.503 50.91 0.637 2
正态分布推导72927
正态分布的推导 斯特林(Stirling)公式的推导 斯特林（Stirling）公式： 这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。Stirling太强了。 1，Wallis公式 证明过程很简单，分部积分就可以了。 由x的取值可得如下结论： 即 化简得 当k无限大时，取极限可知中间式子为1。所以
第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。 2，Stirling公式的求解 继续兜圈。 关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。分别是： 显然， 代入第一部分最后公式得
（注：上式中第一个beta为平方） 所以得公式： 正态分布推导 在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导，才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就服从正态分布，至于正态分布是怎么来的一点都不提。大学之前，我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。但是上了大学之后，发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详，而且很多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。这时候数学就像数学老师一样蛮横，让我对数学极其反感，足足有四年之久。只到前些日子，在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才重新对数学发生兴趣。最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》，才知道原来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。 前几天在网上遇到老文，小小的探讨了一下这个问题，顺便问起他斯特林公式的证明过程。他说碰巧最近很是在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。于是就有了这篇文章： 斯特林(Stirling)公式的推导 如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。 本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。于是直至今日，方才有这篇小文字。 本篇是斯特林公式的一个应用。本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》，本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分，后半部分以及其与伯努利大数定律的关系在以后再往上贴吧。其实也不是很难，自己动动手也是能推出来的。 这次推导可以说是“连续性随机变量”第一次出现在该书中，作为理解连续性随机变量的基础，正态分布是十分重要的。 斯特林公式： 根据斯特林公式,
正态分布、概率
信息系统项目管理师重点知识点：完工概率计算总结 例图： 活动BCD的乐观(m)工期都是9天，最可能(o)工期为12天，最悲观(p)工期都是15天，那么在14天内完成单项活动的概率和完成全部这三项活动的概率是多少 首先计算平均工期（PERT）：公式－－（乐观时间+4*最可能时间+悲观时间）/ 6 (9+4*12+15)/6=12天； 其次计算标准差：公式－－（悲观时间-乐观时间）/ 6 ； (15-9)/6=1天 再计算偏离平均工期：方法－－[给出的天数计算（14）－计算出来的平均工期(12)]/标准差(1) (14-12)/1=2 备注：此时得出来的为几,之后就是使用几西格玛 (Sigma)(1σ=68,37%)(2σ=95.46%)(3σ=99.73%)(6σ=99.99966%百万分之三点四) 计算每一项活动在14天内完工的概率是：方法－－正态分布概率+西格玛/偏离平均工期数 50%+95.46%/2=97.73% 备注：50%参考正态分布图，95.46参考2西格玛值； 计算全部活动在14天内完工概率是：方法－－每一项活动的概率相乘 97.73%*97.73%*97.73%＝93.34% 下图为简要正态分布图：
备注：正态分布有50%成功，有50%不成功 如计算将上面的14天，修改为13天； 偏离平均工期就是1天，计算方法：(13-12)/1=1天，则应该使用1西格玛； 计算每一项活动在13天内完工的概率是：方法－－正态分布概率+西格玛/偏离平均工期数 50%+68.37%/2=84.19% 备注：50%参考正态分布图，68.37参考1西格玛值； 计算全部活动在13天内完工概率是：方法－－每一项活动的概率相乘 84.19%*84.19%*84.19%＝59.67% 如果计算为11－15天的概率：最小值的概率+最大值的概率 68.37/2+99.75/2=84.06%
正态分布概率公式(部分)
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图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。
正态分布概率公式(部分)
图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。
2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900
利用Excel的NORMSDIST计算正态分布函数表1
利用Excel的NORMSDIST函数建立正态 分布表 董大钧，乔莉 沈阳理工大学应用技术学院、信息与控制分院，辽宁抚顺113122 摘要：利用Excel办公软件特有的NORMSDIST函数可以很准确方便的建立正态分布表、查找某分位数点的正态分布概率值,极大的提高了数理统计的效率。该函数可返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数，将其引入到统计及数据分析处理过程中，代替原有的手工查找正态分布表，除具有直观、形象、易用等特点外,更增加了动态功能,极大提高了工作效率及准确性。 关键词：Excel；正态分布；函数；统计 引言 正态分布是应用最广泛的连续概率分布，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，某种产品的张力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。在科学研究及数理统计计算过程中，人们往往要通过某本概率统计教材附录中的正态分布表去查找，非常麻烦。若手头有计算机，并安装有Excel软件，就可以利用Excel的NORMSDIST( x )函数进行计算某分位数点的正态分布概率值，或建立一个正态分布表，准确又方便。 1 正态分布及其应用 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为N(μ，σ2 )。则其概率密度
正态分布及其经典习题和答案
专题：正态分布 例：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.34131610 10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 ∴E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【课内练习】 1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。 2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小 答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 3．已在n 个数据n x x x ,,,21Λ，那么() ∑=-n i i x x n 1 21是指 A ．σ B ．μ C ．2σ D ．2 μ（ ） 答案：C 。解析：由方差的统计定义知。 4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4D ξ=，则n 的值是 。 答案：4。解析：()12==np E ξ，()(1)4D np p ξ=-= 5．对某个数学题，甲解出的概率为2 3 ，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X 为解出该题的人数，则E （X ）= 。 答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==?===?+?=231 (2)342 P X ==?=。
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布概念及图表 正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。 目录 1历史发展 2定理 3定义 ?一维正态分布 ?标准正态分布 4性质 5分布曲线
?图形特征 ?参数含义 6研究过程 7曲线应用 ?综述 ?频数分布 ?综合素质研究 ?医学参考值 历史发展 正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（）在一篇论文中正式提出了这个学说。
附表标准正态分布累积概率函数表
附表：标准正态分布累积概率函数表 当)(0x N x 时≤表 这个表表示了当)(0x N x 时≤的值。使用这张表时可与内插法结合起来使用。例如： )]13.0()12.0([34.0)12.0()1234.0(-----=-N N N N 4509 .0)4483.04522.0(34.04522.0=-?-= x .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 -0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 0.5000 0.4602 0.4207 0.3821 0.3446 0.4960 0.4562 0.4168 0.3783 0.3409 0.4920 0.4522 0.4129 0.3745 0.3372 0.4880 0.4483 0.4090 0.3707 0.3336 0.4840 0.4443 0.4052 0.3669 0.3300 0.4801 0.4404 0.4013 0.3632 0.3264 0.4761 0.4364 0.3974 0.3594 0.3228 0.4621 0.4325 0.3936 0.3557 0.3192 0.4681 0.4286 0.3897 0.3520 0.3156 0.4641 0.4247 0.3859 0.3483 0.3121 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 0.3085 0.2743 0.2420 0.2119 0.1841 0.3050 0.2709 0.2389 0.2090 0.1814 0.3015 0.2676 0.2358 0.2061 0.1788 0.2981 0.2643 0.2327 0.2033 0.1762 0.2946 0.2611 0.2296 0.2005 0.1736 0.2912 0.2578 0.2266 0.1977 0.1711 0.2877 0.2546 0.2236 0.1949 0.1685 0.2843 0.2514 0.2206 0.1922 0.1660 0.2810 0.2483 0.2177 0.1894 0.1635 0.2776 0.2451 0.2148 0.1867 0.1611 -1.0 -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 0.1587 0.1357 0.1151 0.0968 0.0808 0.1562 0.1335 0.1131 0.0951 0.0793 0.1539 0.1314 0.1112 0.0934 0.0778 0.1515 0.1292 0.1093 0.0918 0.0764 0.1492 0.1271 0.1075 0.0901 0.0749 0.1469 0.1251 0.1056 0.0885 0.0735 0.1446 0.1230 0.1038 0.0869 0.0721 0.1423 0.1210 0.1020 0.0853 0.0708 0.1401 0.1190 0.1003 0.0838 0.0694 0.1379 0.1170 0.0985 0.0823 0.0681 -1.5 -1.6 -1.7 -1.8 -1.9 0.0668 0.0548 0.0446 0.0359 0.0287 0.0655 0.0537 0.0436 0.0351 0.0281 0.0643 0.0526 0.0427 0.0344 0.0274 0.0630 0.0516 0.0418 0.0336 0.0268 0.0618 0.0505 0.0409 0.0329 0.0262 0.0606 0.0495 0.0401 0.0322 0.0256 0.0594 0.0485 0.0392 0.0314 0.0250 0.0582 0.0475 0.0384 0.0307 0.0244 0.0571 0.0465 0.0375 0.0301 0.0239 0.0559 0.0455 0.0367 0.0294 0.0233 -2.0 -2.1 -2.2 -2.3 -2.4 0.0228 0.0179 0.0139 0.0107 0.0082 0.0222 0.0174 0.0136 0.0104 0.0080 0.0217 0.0170 0.0132 0.0102 0.0078 0.0212 0.0166 0.0129 0.0099 0.0075 0.0207 0.0162 0.0125 0.0096 0.0073 0.0202 0.0158 0.0122 0.0094 0.0071 0.0197 0.0154 0.0119 0.0091 0.0069 0.0192 0.0150 0.0116 0.0089 0.0068 0.0188 0.0146 0.0113 0.0087 0.0066 0.0183 0.0143 0.0110 0.0084 0.0064 -2.5 -2.6 -2.7 -2.8 -2.9 0.0062 0.0047 0.0035 0.0026 0.0019 0.0060 0.0045 0.0034 0.0025 0.0018 0.0059 0.0044 0.0033 0.0024 0.0018 0.0057 0.0043 0.0032 0.0023 0.0017 0.0055 0.0041 0.0031 0.0023 0.0016 0.0054 0.0040 0.0030 0.0022 0.0016 0.0052 0.0039 0.0029 0.0021 0.0015 0.0051 0.0038 0.0028 0.0021 0.0015 0.0049 0.0037 0.0027 0.0020 0.0014 0.0048 0.0036 0.0026 0.0019 0.0014 -3.0 -3.1 -3.2 -3.3 -3.4 0.0014 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0013 0.0009 0.0007 0.0005 0.0003 0.0013 0.0009 0.0006 0.0005 0.0003 0.0012 0.0009 0.0006 0.0004 0.0003 0.0012 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0011 0.0008 0.0005 0.0004 0.0003 0.0010 0.0007 0.0005 0.0004 0.0003 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 -3.5 -3.6 -3.7 -3.8 -3.9 -4.0 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 附表：当0≥x 时)(x N 表 这个表表示了当0≥x 时)(x N 的值。使用这张表时可与内插法结合起来使用。例如： )]62.0()63.0([78.0)62.0()6278.0(N N N N -+= 7350 .0)7324.07357.0(78.07324.0=-?+=
标准正态分布表
标准正态分布表 φ( - x ) = 1 –φ( x )（请暂时忽略此公式） x 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060.07 0.08 0.09 0 0.500 0 0.504 0 0.508 0 0.512 0 0.516 0 0.519 9 0.523 9 0.527 9 0.531 9 0.535 9 0.1 0.539 8 0.543 8 0.547 8 0.551 7 0.555 7 0.559 6 0.563 6 0.567 5 0.571 4 0.575 3 0.2 0.579 3 0.583 2 0.587 1 0.591 0 0.594 8 0.598 7 0.602 6 0.606 4 0.610 3 0.614 1 0.3 0.617 9 0.621 7 0.625 5 0.629 3 0.633 1 0.636 8 0.640 4 0.644 3 0.648 0 0.651 7 0.4 0.655 4 0.659 1 0.662 8 0.666 4 0.670 0 0.673 6 0.677 2 0.680 8 0.684 4 0.687 9 0.5 0.691 5 0.695 0 0.698 5 0.701 9 0.705 4 0.708 8 0.712 3 0.715 7 0.719 0 0.722 4 0.6 0.725 7 0.729 1 0.732 4 0.735 7 0.738 9 0.742 2 0.745 4 0.748 6 0.751 7 0.754 9 0.7 0.758 0 0.761 1 0.764 2 0.767 3 0.770 3 0.773 4 0.776 4 0.779 4 0.782 3 0.785 2 0.8 0.788 1 0.791 0 0.793 9 0.796 7 0.799 5 0.802 3 0.805 1 0.807 8 0.810 6 0.813 3 0.9 0.815 9 0.818 6 0.821 2 0.823 8 0.826 4 0.828 9 0.835 5 0.834 0 0.836 5 0.838 9 1 0.841 3 0.843 8 0.846 1 0.848 5 0.850 8 0.853 1 0.855 4 0.857 7 0.859 9 0.86 2 1 1.1 0.864 3 0.866 5 0.868 6 0.870 8 0.872 9 0.87 4 9 0.877 0 0.879 0 0.881 0 0.883 0 1.2 0.884 9 0.886 9 0.888 8 0.890 7 0.892 5 0.894 4 0.89 6 2 0.898 0 0.899 7 0.901 5 1.3 0.903 2 0.904 9 0.906 6 0.90 8 2 0.90 9 9 0.911 5 0.913 1 0.914 7 0.916 2 0.917 7 1.4 0.919 2 0.920 7 0.922 2 0.923 6 0.925 1 0.926 5 0.927 9 0.929 2 0.930 6 0.931 9 1.5 0.933 2 0.934 5 0.935 7 0.937 0 0.938 2 0.939 4 0.940 6 0.941 8 0.943 0 0.944 1 1.6 0.945 2 0.946 3 0.947 4 0.948 4 0.949 5 0.950 5 0.951 5 0.952 5 0.953 5 0.953 5 1.7 0.955 4 0.956 4 0.957 3 0.958 2 0.959 1 0.959 9 0.960 8 0.961 6 0.962 5 0.963 3 1.8 0.964 1 0.964 8 0.965 6 0.966 4 0.967 2 0.967 8 0.968 6 0.969 3 0.970 0 0.970 6 1.90.971 3 0.971 9 0.972 6 0.973 2 0.973 8 0.974 4 0.975 00.975 6 0.976 2 0.976 7 2 0.977 2 0.977 8 0.978 3 0.978 8 0.979 3 0.979 8 0.980 3 0.980 8 0.981 2 0.981 7 2.1 0.982 1 0.982 6 0.983 0 0.983 4 0.983 8 0.984 2 0.984 6 0.98 5 0 0.985 4 0.985 7 2.2 0.98 6 1 0.986 4 0.986 8 0.98 7 1 0.987 4 0.987 8 0.988 1 0.988 4 0.988 7 0.98 9 0 2.3 0.989 3 0.989 6 0.989 8 0.990 1 0.990 4 0.990 6 0.990 9 0.991 1 0.991 3 0.991 6 2.4 0.991 8 0.992 0 0.992 2 0.992 5 0.992 7 0.992 9 0.993 1 0.993 2 0.993 4 0.993 6 2.5 0.993 8 0.994 0 0.994 1 0.994 3 0.994 5 0.994 6 0.994 8 0.994 9 0.995 1 0.995 2 2.6 0.995 3 0.995 5 0.995 6 0.995 7 0.995 9 0.996 0 0.996 1 0.996 2 0.996 3 0.996 4 2.7 0.996 5 0.996 6 0.996 7 0.996 8 0.996 9 0.997 0 0.997 1 0.997 2 0.997 3 0.997 4 2.8 0.997 4 0.997 5 0.997 6 0.997 7 0.997 7 0.997 8 0.997 9 0.997 9 0.998 0 0.998 1 2.9 0.998 1 0.998 2 0.998 2 0.998 3 0.998 4 0.998 4 0.998 5 0.998 5 0.998 6 0.998 6 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 3 0.998 7 0.999 0 0.999 3 0.999 5 0.999 7 0.999 8 0.999 8 0.999 9 0.999 9 1.000 0 0.975就是F（t）