高等代数第五版习题答案

高等代数第五版习题答案

高等代数是一门重要的数学学科，它是数学的基础之一，也是应用数学和理论数学的桥梁。对于学习高等代数的学生来说，理解和掌握习题的解答方法是非常重要的。本文将为大家提供《高等代数第五版》习题的答案，帮助大家更好地学习和应用高等代数知识。

第一章：线性方程组和矩阵

1. 解答过程略。

2. 解答过程略。

3. 解答过程略。

第二章：线性空间

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第三章：线性变换和矩阵

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第四章：特征值和特征向量

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第五章：正交性和对称矩阵

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第六章：二次型

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第七章：线性空间的同构

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第八章：线性空间的直和

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第九章：线性算子的标准形

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第十章：线性算子的Jordan标准形

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通过提供习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握高等代数的知识。然而，仅仅依靠习题答案是不够的，学习高等代数还需要进行大量的练习和思考。在解答习题的过程中，可以尝试不同的方法和思路，培养自己的逻辑思维和问

题解决能力。

此外，还可以参考一些相关的数学工具和资源，如数学软件、参考书籍和在线

学习平台。这些资源可以帮助学生更好地理解和应用高等代数的知识，提高学

习效果。

总之，高等代数是一门重要的数学学科，掌握其基本概念和解题方法对于学习

和应用数学都具有重要意义。通过提供习题答案，希望能够帮助大家更好地学

习和应用高等代数知识。但记住，理解和掌握知识的过程需要自己的努力和思考，习题答案只是一个辅助工具。祝愿大家在学习高等代数的道路上取得好成绩！

高数第五版答案（同济）总习题十

高数第五版答案（同济）总习题十 总习题十 1. 填空: (1)第二类曲线积分 Γ++Rdz Qdy Pdx 化成第一类曲线积分是____________, 其中α、β、γ为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处的_____________的方向角. 解 Γ++ds R Q P )cos cos cos (γβα, 切向量. (2)第二类曲面积分Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑ 化成第一类曲面积分是_______, 其中 α、β、γ为有向曲面∑上点(x , y , z )处的________的方向角. 解 dS R Q P )cos cos cos (γβα++∑ , 法向量. 2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设曲面∑是上半球面: x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0), 曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分, 则有________. (A ) xdS xdS 1 4∑∑ =; (B )xdS ydS 1 4∑∑ =; (C ) xdS zdS 1 4∑∑ =; (D )xyzdS xyzdS 1 4∑∑ =. 解 (C ). 3. 计算下列曲线积分: (1) +L

ds y x 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=ax ; 解 L 的参数方程为θcos 22a a x +=, θsin 2 a y =(0≤θ≤2π), 故 θθθθπd y x ax ds ax ds y x L L )()()(2220 22'+'?==+? θθθθπ π d a d a =?+= 20 4 20 4 |2 cos 2|4 )cos 1(24 22 202022)cos cos (|cos |4a tdt tdt a dt t a =-==πππ π(2θ=t 这里令). (2)?Γ zds , 其中Γ为曲线x =t cos t , y =t sin t , z =t (0≤t ≤t 0); 解+++-? =Γ0 0221)cos (sin )sin (cos t dt t t t t t t t zds 3 2 2)2(23200

高等代数习题答案

《高等代数》习题答案 一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与 2、()()x f x f '和互质 3、()()的重因式为x f x p 4、0 5、1，-2 6、 ()k n n --12 1 7、3 8、- 48 9、相 10、相 11、1或2（有非零解） 12、() ()A r A r = 13、无 14、12 15、 9 8 16、?? ?? ??-00 01 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()2 2 12 2 121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零 21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的 27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵 二、1、1）()()7422+--x x x 有理根2 2）()() 333122 +?? ? ? ? - +x x x 有理根31,2- 2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2 3 4 2 2 11 =b ax x x x +++-2 3463 由7,37,3-==?=-=b a n m 3、1）02 1 1211211=+++→c b a

2)3 113 103 160 5510019 18240 2113- -----→ 9 5 3 20 01235 25001918240 2113-----→409 20 1235 25001918240 2 113=-----→ 3)110 31003210111110 3 31003210111119 9 3 952032101111 =→ → → 4)()()()x a a n x a x a n x a a a n x 111-+-+-+→ ()[] a n x 1-+=x a a x a a 1 11 →()[] a n x 1-+a x a x a a -- 001 =()[]() 1 1---+n a x a n x 5)n n y x + 6)n n a a a a a 1 0010 1001111 0--- → n n a a a a a a 211011????? ?---= 4、1）系数矩阵?? ? ?? ?????---11178424633542 ??? ? ??????---→57 252700 35 42 ????? ? ??????? ? -→00 05700 05 442

XXX第五版高数习题答案

XXX第五版高数习题答案 1.设 $u=a-b+2c,v=-a+3b-c$，则 $2u-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b- c)=5a-11b+7c$。 2.假设平面四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 互相平分，设 $M$ 为 $AC$ 和 $BD$ 的交点，则 $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overri ghtarrow{AC})$， $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BD}+\overri ghtarrow{BA})$。由此可得 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A M}$， $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{B M}$。将两式相加得 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{BA}=2(\overrightarrow{AM}+\overrightarro w{BM})$，即 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD }+\overrightarrow{DA}=0$。因此，四边形 $ABCD$ 是平行四边形。

3.设 $D_1,D_2,D_3,D_4$ 分别为 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的五等分点，则 $\overrightarrow{AD_1}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{ 4}{5}\overrightarrow{AC}$， $\overrightarrow{AD_2}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{ 3}{5}\overrightarrow{AC}$， $\overrightarrow{AD_3}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{ 2}{5}\overrightarrow{AC}$， $\overrightarrow{AD_4}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{ 1}{5}\overrightarrow{AC}$。 4.设 $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{M'}- \overrightarrow{M}$，则 $\overrightarrow{MM'}=(1-0,-1-1,0- 2)=(1,-2,-2)$，$\overrightarrow{MM'}=(0-1,1-(-1),2-0)=(-1,2,2)$。 5.单位向量的长度为 $1$，因此平行于向量 $\overrightarrow{a}=(6,7,-6)$ 的单位向量为 $\frac{1}{\sqrt{6^2+7^2+(-6)^2}}(6,7,- 6)=\frac{1}{\sqrt{121}}(6,7,-6)=\frac{1}{11}(6,7,-6)$ 或 $- \frac{1}{11}(6,7,-6)$。 6.点$A(1,-2,3)$ 在第四卦限，点$B(2,3,-4)$ 在第五卦限，点 $C(2,-3,-4)$ 在第八卦限，点 $D(-2,-3,1)$ 在第三卦限。

高数同济第五版第十二章答案

习题12-1 1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x (y ')2 -2yy '+x =0; 解 一阶. (2)x 2 y '-xy '+y =0; 解 一阶. (3)xy '''+2y '+x 2 y =0; 解 三阶. (4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0; 解 一阶. (5)02 2=++C Q dt dQ R dt Q d L ; 解 二阶(6) θρθ ρ2sin =+d d . 解 一阶. 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy '=2y , y =5x 2 ; 解 y '=10x . 因为xy '=10x 2 =2(5x 2 )=2y , 所以y =5x 2 是所给微分方程的解 (2)y '+y =0, y =3sin x -4cos x ; 解 y '=3cos x +4sin x . 因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0, 所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解. (3)y ''-2y '+y =0, y =x 2e x ; 解 y '=2xe x +x 2e x , y ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x . 因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解. (4)y ''-(λ1+λ2)y '+λ1λ2y =0, x x e C e C y 2121λλ+=. 解 x x e C e C y 212211λλλλ+=', x x e C e C y 212 222 11λλλλ+=''. 因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'' )())((21212121212211212 222 11x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+==0, 所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解. 3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解: (1)(x -2y )y '=2x -y , x 2-xy +y 2=C ; 解 将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x -y -xy '+2y y '=0, 即 (x -2y )y '=2x -y , 所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解. (2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0, y =ln(xy ). 解 将y =ln(xy )的两边对x 求导得 y y x y '+= '1 1, 即x xy y y -='. 再次求导得 )(1)()() 1()(22 22 y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-?-= -+-'-= --'+--'=''. 注意到由y y x y '+= '11可得1-'='y x y y x , 所以

高等代数习题解答

教材部分习题解答 高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.1 1．证明两个数域之交是一个数域。 证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ?∈I 。 又 ,,,,u v A B u v A u v B ?∈?∈∈I 且,u v A u v B ?±∈±∈且 所以，u v A B ±∈I ，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠I I 。 从而证得A B I 是数域。 2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。 证明：000,110, 0,1i i A =+=+∈ ,,,u v A u a bi v c di ?∈?=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈ ()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈ 设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以 2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b ++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。 习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----???????????→???????????? …100010001?? ??→?? ???? ()21231 34142(1) 3(1)5(1)12 3 2123212 3 2214103230323231210775077550 62010912010 912r r r r r r r r r ------?????? ??????---? ???? ????→???→?? ???? ----? ?????----?????? 12 32 32422321032123 212 3 21 34032301310131013103230076010 912010912002122r r r r r r r r r r -----?????? ??????--? ?? ?? ????→????→???? ?? --? ????? -?????? u u u u u u u r

高等代数第9章习题参考答案

第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则

)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β== 故柯西—布湿柯夫斯基不等式为 2.在4 R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。 解 1)由定义,得 012)1(32112),(=?+-+?+?=βα， 所以 2,π βα>= <。 2)因为 1813521231),(=?+?+?+?=βα， 1833222211),(=?+?+?+?=βα， 3633221133),(=?+?+?+?=βα， 2236 1818,cos = >= <βα， ,,ij i j ij i j i j i j a x y a y y ≤ ∑

高等代数__课后答案__高等教育出版社

高等代数习题答案（一至四章） 第一章 多项式 习题解答 1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262 ()99 r x =-- （2）2 ()1q x x x =+-，()57r x x =-+ 2、（1）2100p m q m ?++=?-=? ， （2）由22 (2)010m p m q p m ?--=? ?+--=??得01m p q =??=+?或212 q p m =??+=?。 3、（1）4 3 2 ()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =-- 4、（1）有综合除法：2 3 4 5 ()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）2 3 4 ()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）2 3 4 ()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++ 5、（1）x+1 （2）1 （3）2 1x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222 ()133 v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 3 2 ()32v x x x x =+-- 7、02u t =?? =?或2 3 u t =-??=? 8、思路：根具定义证明 证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。另设()x ?是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ?。 由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。从而()()x f x ?，()()x g x ?，可得()()x d x ?。即证。 9、证：因为存在多项式u （x ），v （x ）使（f （x ），g （x ））=u （x ）f （x ）+v （x ）g （x ），所以 （f （x ），g （x ））h （x ）= u （x ）f （x ）h （x ）+v （x ）g （x ）h （x ），上式说明（f （x ），g （x ））h （x ）是f （x ）h （x ）与g （x ）h （x ）的一个组合。 另一方面，由((),())()f x g x f x 知((),())()()()f x g x h x f x h x 。同理可得 ((),())()()()f x g x h x g x h x 从而((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又 因为((),())()f x g x h x 的首相系数为1，所以(()(),())()((),())()f x h x g x h x f x g x h x =。

同济第五版高数习题答案

习题9?1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ=μ(x, y)的电荷,且μ(x, y)在D上连续,试用二重积分表达该板上全部电荷Q. 解板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 . 2. 设,其中D 1 ={(x, y)|?1≤x≤1, ?2≤y≤2}; 又,其中D 2 ={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}. 试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2 的关系. 解I 1表示由曲面z=(x 2 +y 2 ) 3 与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积. I 2表示由曲面z=(x 2 +y 2 ) 3 与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V 1 的体积. 显然立体V关于yOz面、xOz面对称,因此V 1 是V位于第一卦限中的部分,故 V=4V 1, 即I 1 =4I 2 . 3. 利用二重积分的定义证明: (1)∫∫ (其中σ为D的面积); 证明由二重积分的定义可知, 其中Δσ i 表示第i个小闭区域的面积. 此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以 . (2)∫∫ (其中k为常数); 证明

. (3), 其中D =D 1 ∪D 2 , D 1 、D 2 为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D 1 和D 2 分别任意分为n 1 和n 2 个小闭区域 和, n 1 +n 2 =n , 作和 . 令各 和 的直径中最大值分别为λ1 和λ2 , 又λ=ma x (λ1λ2 ), 则有 , 即 . 4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小: (1)∫∫与, 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线 x +y =1所围成; 解 区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3 ≤(x +y )2 , 从而 ≤. (2)∫∫与其中积分区域D 是由圆周(x ?2)2 +(y ?1)2 =2 所围成; 解 区域D 如图所示, 由于D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2 , 因而 . (3)∫∫与其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0); 解 区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有

高等代数与解析几何1~4章习题答案

高代与解几第二章自测题（一）——行列式 一、 判断题 1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. 2≥n 时，n 级的奇排列共 2 ! n 个. （ √ ） 二、填空题 1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) . 2. 设行列式ij n n D a ?=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 . 3. 行列式D ＝x x x x x x 22133212 323 21--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 . 5. 设8 271849142 3123 267 ----= D ，则14131211M M M M -+-= 240 . 二、证明题 3. n n D n 2 00 12 000302202002210002----= （提示：逐行向下叠加得上三角形行列式） 4. n D n 22223222 2222221=（提示：爪型行列式）

高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组 一、 判断题 1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×） 2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ） 3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √） 4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ） 5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题 1. 54?矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___???? ?? ? ? ?00 0000000000010 00001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n . 三、计算与证明题 1. 求齐次线性方程组?????? ?=+++=++++=-++=++++0 4523,05734, 03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得 A ＝??????? ? ?-452 30573411110312111 →??????? ??----45230452304523012111→?? ?? ??? ? ??-→??????? ??000 00000343532103131310100 00 00 00004523 0121 1 1 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：…… 2. 解线性方程组123412341234 21,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=?? +-+=??+--=? 解 方程组的增广矩阵为： B = ?????112224112--- 111- 1 21???? ? ，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：

高数经典习题

1：( ) （A）－1；（B）1；（C）2；（D）．(2.0分) 2：已知在处偏导数存在，则 (A)0； (B) ； (C) ； (D) ． 3：设空间区域：，，：，，，，则………………（） (A)．(B)．(C)． (D)． 设向量，若则必有[ ] (A) ；(B) ； (C) ；(D) . 球面与平面的交线在面上的投影曲线是[ ] (A) ；(B) ； (C) ；(D) . 下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（） （A），，；（B），，；

（C），，；（D），，． 空间曲线在面上的投影方程为（） (A)； (B) (C) (D) 若函数及在单连通域D内有连续的一阶偏导数，则在D内，曲线积分与路径无关的充分必要条件是（）． (A) 在域D内恒有；(B) 在域D内恒有； (C) 在D内任一条闭曲线上，曲线积分； (D) 在D内任一条闭曲线上，曲线积分． 设在曲线弧L上连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分（）(A) ； (B) ； (C) ； (D)． 设为由曲面及平面所围成的立体的表面，则曲面积分 =（） （A）；（B）；（C）；（D）0 ． 11. 设，有一阶连续偏导数，则． (2.0分)

12. 求函数的极值。 (10.0分) 13. 设，，则. (2.0分) 14. 设直线与平面垂直，则， . (2.0分) 15. 过原点且垂直于平面的直线为__________________ (2.0分) 16. 求的偏导数。 (8.0分) 17. 证明：球面∑：上任意一点处的法线都经过球心。 (8.0分) 18. 设，证明： (1)；(2) ．

高数(上)第二章 复习题(含参考答案)

高数上 第二章 复习题 1. 求下列函数的导数: (1) y =ln(1+x 2); 解 2 22212211)1(11x x x x x x y +=⋅+='+⋅+='. (2) y =sin 2x ; 解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x . (3)2 2x a y -=; 解[ ]2 221 2222121 222 122)2()(21)()(21)(x a x x x a x a x a x a y -- =-⋅-='-⋅-='-='--. (4)x x y ln 1ln 1+-=; 解 2 2)ln 1(2)ln 1(1 )ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='. (5)x x y 2sin =; 解 222sin 2cos 212sin 22cos x x x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='. (6)x y arcsin =; 解 2 222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-= '. (7))ln(22x a x y ++=; 解 ])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y

2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++= . (8)x x y +-=11arcsin . 解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x x x x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--= '. (9)x x y -+=11arctan ; 解 2 22 211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y += -++-⋅-++='-+⋅-++= '. (10)x x x y tan ln cos 2 tan ln ⋅-=; 解 )(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2 tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x y x x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2 tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅. (11))1ln(2x x e e y ++=; 解 x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++= '. 2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ; 解y '=2sin x cos x =sin2x , )22sin(22cos 2π+==''x x y , )222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y , )2 32sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅, ]2 )1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .

高数第十一章习题

第十一章第一节曲线积分习题 一、填空题: 1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为),(y x ρ，则Ｌ的质量Ｍ=_______________； 2、 ⎰L ds =_______________； 3、对________的曲线积分与曲线的方向无关； 4、 ⎰ L ds y x f ),(=⎰'+'β α φϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求α________β . 5、计算下列求弧长的曲线积分： 1、 ⎰+L y x ds e 22，其中Ｌ为圆周222a y x =+,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 2、⎰Γ yzds x 2 ，其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ，这里Ａ,Ｂ,Ｃ，Ｄ依次为点(0，0，0），（0,0,2），（1，0,2）,（1，3，2)； 3、⎰+L ds y x )(2 2 ，其中Ｌ为曲线⎩ ⎨⎧-=+=)cos (sin ) sin (cos t t t a y t t t a x π20≤≤t ； 4、计算⎰L ds y ，其中Ｌ为双纽线 )0()()(2 22222>-=+a y x a y x 。 三、设螺旋形弹簧一圈的方程为t a x cos =，t a y sin =,kt z =，其中π 20≤≤t ,它的线密度222),,(z y x z y x ++=ρ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量Z I ； 2、它的重心 。 答案一、1、⎰L ds y x ),(ρ； 2、L 的弧长； 3、弧长; 4、 〈。 二、1、2)4 2(-+ a e a π ；2、9;3、)21(2232ππ+a ； 4、)22(22-a 。 三、)43(322 22222k a k a a I z ππ++=；2 222436k a ak x π+=; 2222 436k a ak y ππ+-= ； 2 2222243) 2(3k a k a k z πππ++=. 第二节对坐标的曲线积分习题 一、填空题: 1、 对______________的曲线积分与曲线的方向有关; 2、设0),(),(≠+⎰dy y x Q dx y x P L ，则 =++⎰⎰-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(____________； 3、在公式=+⎰dy y x Q dx y x P L ),(),(⎰'+'β α φφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中,下限a 对应于L 的____点,上限β对应 于L 的____点; 4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________。 二、计算下列对坐标的曲线积分: 1、⎰ L xydx ,其中L 为圆周)0() (222 >=+-a a y a x 及X 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） ； 2、⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(，其中L 为圆周2 22a y x =+（按逆时针方向饶行）; 3、⎰Γ +-ydz dy dx ,其中为有向闭折线ABCD ,这里的C B A ,,依次为点(1，0,0)， （0，1,0），(0，0,1）； 4、 ⎰++ABCDA y x dy dx ,其中ABCDA 是以)0,1(A ，)1,0(B ，)0,1(-C ，)1,0(-D 为顶点的正方形正向边界线 。 三、设z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所作的功. 四、把对坐标的曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的积分, 其中L 为:1、在xoy 面内沿直线从点(0，0）到点(1，1） ；2、沿抛物线2x y =从点(0，0)到点(1,1)；3、沿上半圆周x y x 222=+从点（0，0)到点(1,1）. 答案 一、1、坐标； 2、—1; 3、起,点； 4、 dz R Qdy Pdx ⎰Γ ++ds R Q P )cos cos cos (γβα⎰Γ ++=. 二、1、;2 3a π - 2、π 2-；3、 2 1 ； 4、0.三、{})(,,0,012z z mg W mg F -==.

高数课后习题难点67章

第六章 1 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. (1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ 解 曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ交点的极坐标为)3 ,23(πA , )3 ,2 3(π-B . 由对称性, 所求的面积为 πθθθθπππ4 5])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A . (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=. 解 曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6 ,22(π. 所求的面积为 2 316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπ ππd d A . (3)摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a . 解 ⎰⎰--=π π ππa a dx y a dx a V 20 220 2)2()2( ⎰----=π ππ20223)sin ()]cos 1(2[8t t da t a a a 232023237sin )cos 1(8ππππ a tdt t a a =+-=⎰. 2 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的

最小值. 解 设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10A A A +=. 显然当2 πα= 时, A 1=0; 当2 πα<时, A 1 >0. 因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 203 03 83822 a x a dx ax A a a ===⎰ . 3证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰=b a dx x xf V )(2π . 证明 如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得 的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx , 于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰⎰== b a b a dx x xf dx x xf V )(2)(2ππ. 4计算抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长. 解 ⎰⎰ ⎰+=+='+=y y y dy y p p dy p y dy y x s 0 220 20 2 1)(1)(1 y y p y p y p y p 022222])ln(22[1++++= p y p y p y p p y 2 222ln 22++++=. 5在摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上求分摆线第一拱成1: 3的点的坐标. 解 设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0), 则 ⎰ ⎰ +-='+'=0 220 220]sin [)]cos 1([)]([)]([)(t t dt t a t a dt t y t x t s )2 cos 1(42sin 200 t a dt t a t -==⎰ . 当t 0=2π时, 得第一拱弧长s (2π)=8a . 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A (x , y ), 令

高等代数习题

高等代数习题 第一章根本概念 §1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？ 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、以下论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进展改正． (i) (ii) (iii) (iv) 7．证明以下等式： (i) (ii)

(iii) §1.2 映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射？ 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a,b是任意两个实数且a

(iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断以下规那么是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规那么 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 b a b a+ → |) , ( §1.3数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 , 是任意自然数. 3、证明二项式定理: 这里 ， 是个元素中取个的组合数. 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。 §1.4整数的一些整除性质 1、对于以下的整数 ,分别求出以除所得的商和余数:

高等代数习题

高等代数习题 第一章基本概念 §1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？ 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii) (iv)

7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §1.2 映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射？ 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a,b是任意两个实数且a

8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到 A的双射？ (ii)g是不是f的逆映射？ (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？ 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 b a b a+ → |) , ( §1.3数学归纳法

高等代数习题参考答案

第七章线性变换 1. 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是: 1) 在线性空间V 中，A ,其中 V 是一固定的向量; 4) 在 P 3 中，A (X I ，X 2,X 3) (2X 1 5) 在 P[ X ]中，A f (x) f (x 1) 6) 在P[ X ]中，A f (X ) f(X o )，其中X o P 是一固定的数; 7) 把复数域上看作复数域上的线性空间， A 8) 在P nn 中，A X=BXC 其中B,C P n n 是两个固定的矩阵. 解1)当 0时,是;当 0时,不是。 2) 当 o 时，是；当 o 时，不是。 3) 不是•例如当 (1,0,0), k 2 时，k A ( ) (2,0,0) , A (k ) (4,0,0), A (k ) k A()。 4) 是•因取 (X 1, X 2, X 3 ), ( y 1, y 2, y 3) ,有 A( ) = A(X 1 y 「X 2 y 2 ,X 3 y 3) = (2 X 1 2 y 1 X 2 y 2,X 2 y = (2 X 1 X 2, X 2 X 3, X 1) (2 y 1 =A + A , A (k ) A (kX 1, kX 2, kX 3) (2kx 1 kx 2 , kx 2 =k A (), 3 故A 是P 上的线性变换。 5)是.因任取 f(x) P[x], g(x) P[ X],并令 u(x) f(x) g(x)则 A ( f (x) g(x)) = A u(x)=u(x 1) = f(x 1) g(x 1)=A f(x) + A (g(x)), 再令 v( x) kf (x)则 A (kf (x)) A (v( x)) v(x 1) kf (x 1) k A ( f (x)), 故A 为P[x]上的线性变换。 6)是.因任取 f (x) P[x], g(x) P[ x]则. A (f(x) g(x))=f(x 0) g(X 0 ) A ( f (x)) A (g(x)), 2) 3) 在线性空间V 中，A 在 P 3 中,A (X l ，X 2,X 3) 其中 (X I 2,X 2 V 是一固定的向量; 2 、 X 3,X 3 )； X 2, X 2 X 3,X I ). X 3 y 3,X 1 yj y 2,y 2 y 3,y 1) (2kx 1 kx 2 , kx 2 kx 3,kxj kx 3,kxj