当前位置：文档库 › 高等代数第六章1

高等代数第六章1

第四章向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量

n 维列向量⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α与n 维行向量

[]n T

b b b 21=β即为n n ⨯⨯11及矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。

注为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。

4.1.2 向量的内积

设[]T n a a a 21=α，[]T

n b b b 21=β

(1) 定义

称

∑==+++=n

i i

i n n b a b a b a b a 1

2211, βα

为向量βα,的内积。 (2) 性质

αββααββαT T ===,,

γβγαγβα,,,+=+

βαβα,,k k =

0,≥αα 等号当且仅当0=α时成立

(3) 有关概念向量的范数：α

ααααT ==,

单位向量：若

1=α，则称α为单位向量。

向量的标准化（规范化）；0≠α称α

α1

为α的标准化向量。

两向量的正交：若

0,=βα，则称βα与正交。

4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义

设m ααα,,,21 是一组n 维向量

(1) 线性组合：设β是一个n 维向量，若存在一组数m t t t ,,,21 ，使

m m t t t αααβ+++= 2211

则称β为向量组m ααα,,,21 的一个线性组合，或称β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。

注设两组向量（I ）m ααα,,,21 ，（II ）m βββ,,,21 ，若每一个()

m i i ,,2,1 =α都可由m βββ,,,21 线性表出，则称向量组（I ）可由向量组（II ）线性表出；当向量组（I ）与（II ）可互相表出时，称向量组（I ）与（II ）等价。

(2) 线性相关：若存在一组不全为零的数m t t t ,,,21 ，02211=+++m m t t t ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关。

(3) 线性无关：若当且仅当021====m t t t 时，02211=+++m m t t t ααα 才成立，则称m ααα,,,21 线性无关。

注对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。

4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系

(1) β可由m ααα,,,21 线性表出⇔线性方程组[]βααα=x m ,,,21 有解⇔矩

阵[]m ααα,,,21 的秩等于矩阵[]βααα,,,,21m 的秩 (2)

m ααα,,,21 线性相关⇔齐次线性方程组[]0,,,21=x m ααα 有非零解⇔矩

阵[]m ααα,,,21 的秩小于m (3)

m ααα,,,21 线性无关⇔齐次线性方程组[]0,,,21=x m ααα 只有零解⇔矩

阵[]m ααα,,,21 的秩等于m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论

(1) 仅含一个向量α的向量组线性相关⇔0=α

(2) 任何含有零向量的向量组必线性相关

(3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关）注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关

(4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相

关）

注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意m 个n 维向量，当n m >时必线性相关

(6) 向量组m ααα,,,21 )2(≥m 线性相关⇔m ααα,,,21 中至少有一个向量可

由其余向量线性表出

(7) 向量组m ααα,,,21 线性无关，而βααα,,,,21m 线性相关⇔β可由

m ααα,,,21 线性表出，且表达式唯一

(8) 若向量组（I ）r ααα,,,21 线性无关，且可由向量组（II ）s βββ,,,21 线性表

出，则s r ≤

(9) 不含零向量的正交向量组必线性无关

4.1.6 向量组的极大无关组与向量组的秩

(1) 定义：设（I ）r i i i ααα,,,21 是（II ）m ααα,,,21 的一个部分组，并且满足：

①

i i i ααα,,,2

线性无关，②（II ）中任一向量()m k k ,,2,1 =α都可由（I ）

线性表出。则称部分组（I ）为原向量组（II ）的一个极大无关组，并称数r 为向

量组（II ）的秩，记作r （II ）或{

}m r ααα,,,21 注一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数

必是相等的，即为该向量组的秩 (2) 性质：

① 线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ② 向量组与其任一极大无关组等价 ③ 向量组的任意两个极大无关组等价 ④ 等价向量组的极大无关组等价

⑤ 等价向量组的秩相等，但其逆不成立

⑥ 若向量组的秩为r ，则其中任意r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关

组

(3) 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

将n m ⨯矩阵A 按行或列分块

[]

n T m T T A βββαα

α 21

21=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

向量组（I ）T m T T ααα,,,21 ，（II ）n βββ,,,21 分别为A 的行向量组与列向量

组，则r （A ）=r （I ）=r （II ）

注1 由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式

注2 T m T T ααα,,,21 线性无关⇔ r （A ）=m

n βββ,,,21 线性无关⇔ r （A ）=n

注 3 上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变

换

4.1.7 极大无关组的求法

(1) 录选法

① 在向量组中任取一个非零向量作为1

i α

② 取一个与

i α的对应分量不成比例的向量作为2

i α

③ 取一个不能由

i α，2

i α线性表出的向量作为3

i α，继续作下去便可求得极大

无关组

注这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2) 行初等变换法

第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ① 对A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 将所做过的行对换回去

则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ① 对A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 在每个阶梯上取一列

则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组

4.1.8 向量空间

(1) 定义：在非空集合V 的元素间定义加法αβαk 和数乘+，若V 对所定义的加

法与数乘封闭，即任意的V k V V ∈∈+∈αβαβα，有,，且加法满足： ①αββα+=

②)()(γβαγβα++=++

③ 存在零元素αα=+∈00，有V

④ 对任一元素α，存在负元素α-，使0=-+

）（αα 数乘满足： ⑤αα=⋅1 ⑥αα)()(kl l k = 两种运算满足： ⑦βαβαk k k +=+)( ⑧αααl k l k +=+)(

则称带有这种线性运算的集合V 为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向

量空间,我们仅讨论向量空间。

注所有n 维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间n

R ，本书中所讨论的向量空间仅限于n

R 或其子空间

(2) 子空间：设有向量空间21,V V ，若21V V ⊆，则称21V V 为的子空间注向量空间V 的一个非空子集，若对V 上的线性运算封闭则是V 的子空间 (3) 生成空间：设有向量组m ααα,,,21 ，则m ααα,,,21 的所有线性组合构成的

向量空间，称为由m ααα,,,21 生成的空间，记作()m span ααα,,,21 ，即

(){}m i R t t t t span

i m m m ,,2,1,|,,,221121 =∈+++==ααααααα 4.1.9 向量空间的基和维数

(1) 基与维

若向量空间V 中的一组向量r ααα,,,21 满足： ①r ααα,,,21 线性无关 ②每个

可由αα,V ∈r ααα,,,21 ，即r r t t t αααα+++= 2211，则称

r ααα,,,21 为V 的一组基，其所含向量个数r 为向量空间V 的维数，记作

r V =dim ，也称V 为r 维向量空间，而称系数r t t t ,,,21 为α在基r ααα,,,21 下

的坐标。

注1 一个向量空间V 的基一般不止一个，但任一组基所含向量个数是固定的，

即为V dim ，可以推出n R n

=dim 注2 向量α在一组基下的坐标是唯一的

注3 任一向量空间V 必是其一组基r ααα,,,21 的生成空间，即

()r span V ααα,,,21 =

*（2）基变换与坐标变换 ①

设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是向量空间n

R 的两组基，且

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n

nn n n n n n n n t t t t t t t t t αααβαααβαααβ 22112222112212211111

上式称为由基n ααα,,,21 到n βββ,,,21 的基变换公式，若记()n n ij t T ⨯=，则

基变换公式可表示为

[][]T n n αααβββ 2121

矩阵T 称为基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵注过渡矩阵必可逆

② 对V 中任一向量α，若α在基n ααα,,,21 与基n βββ,,,21 下的坐标分别为n x x x ,,,21 和n y y y ,,,21 ，则由

[]⎥⎥⎥

⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=n n n n x x x x x x 212

12211ααααααα []⎥⎥⎥

⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=n n n n y y y y y y 212

2211ββββββα

可得[][]T

n T

n y y y T x x x 21

或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-n n x x x T y y y 21121 称为坐标变换公式

4.1.10 施密特正交化方法

任给V 中的一组基r ααα,,,21 ，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基

r βββ,,,21

1111111

12211,,,,,,-------

==r r r r

r r r r βββαββββαβαββββαβαβαβ

4.1.11 标准正交基

(1) 定义：若V 的一组基r ηηη,,,21 满足

()

r j i j

i j i j

i ,,2,1,10, =⎩⎨

⎧=≠=ηη

则称r ηηη,,,21 是V 的一组标准（规范）正交基。

(2) 求法：第一种：对V 中的任一组基r ααα,,,21 可先由施密特正交化方法，得

到一组正交基r βββ,,,21 ，再把每个k β单位化

)

,,2,1(1

r k k

t ==

ββη

得到的r ηηη,,,21 即为V 的标准正交基

第二种：对任一n

n R ∈≠⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ααααα,021 ，可以扩充为n R 的一组标准正交

基，设[]T

n x x x x 21

=满足0,=αx 即

(*)0

2211=+++n n x a x a x a

求得（*）的一个基础解系121,,,-n βββ ，从而121,,,,-n βββα 必为n

R 的

一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基

4.1.12 正交矩阵

(1) A 为正交矩阵的定义是：A 满足）或1

(-===A A I A A AA T T T (2) A 为正交矩阵的充要条件是A 的列（行）向量组为标准正交向量组

注由(2)可知，若n ααα,,,21 是n

R 的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准

正交基n ηηη,,,21 ，以它们为列作出矩阵

[]n Q ηηη 21=

则Q 必为正交阵。 (3) 正交阵的性质：

若A 为正交阵，则*

1,,,1A A A A T -±=且均为正交阵

若B 也为正交阵，则AB 也是正交阵

4.1.13 齐次线性方程组Ax=0的解空间（A 为n m ⨯矩阵）

齐次线性方程组Ax=0若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为Ax=0的解空间，记作N （A ）

(1) Ax=0的一个基础解系即为N （A ）的一组基，故基础解系不唯一。 (2) Ax=0的每一个基础解系所含向量个数n-r （A ）即为)(dim A N 是固定的 (3) 若已知

)(21,,,A r n -ααα 是

Ax=0的一个基础解系，则

())(21)(A r n span A N -=ααα

(4) 从而Ax=0的通解

)()(2211A r n A r n t t t x --+++=ααα

其中

)(21,,,A r n t t t - 为任意常数

注由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。

4.2 典型例题分析

1) 向量α可由向量组m βββ,,,21 线性表出的判定方法：(1)用定义

(2)

α可否由m βββ,,,21 线性表出等价于线性方程组

[]αβββ=x n 21

是否有解。

例1 设

[][][][]T

T T T 1111,1111,1111,1121321--=--===βββα[]T 11114--=β，问α可否由4321,,,ββββ线性表出，若可以，请写出线性表

示式。

解设[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=432143

44332211x x x x x x x x ββββββββα

记[]T x x x x x 43

=，则问题转化为方程组[]αββββ=x 4321

是否有解。

[]⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎥⎦⎤⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎢⎣

⎡--⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡------⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡------=41100041

0100

410010

4500

~0101

011004110001100100

22002

02012

20011

111~111

1111111211

1111

143

αββββ

可见α可由4321,,,ββββ唯一线性表示，且

432141414145ββββα--+=

例2

[][][][]T

T T T a a 8421,1211,5311,32014321+=+-===αααα[]T b 5311+=β

(1) a,b 为何值时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合？ (2) a,b 为何值时，β可由4321,,,αααα唯一线性表出？解设44332211ααααβt t t t +++=则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++++=++++=+-=+++5)8(5334)2(32121432143214324321t a t t t b t t a t t t t t t t t t

其增广矩阵

⎥

⎦⎤

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡++-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-=

010000100

12110

11111~58153342321211011111

~ a b a a b a A

当0,1≠-=b a 时，r （A ）=2，r （A ~

）=3，可知方程组无解，即β不能表示成4

321,,,αααα的线性组合。

当1-≠a 时，方程组有唯一解，故β可由4321,,,αααα线性表出，且表达式唯一，表

达式为

321011112ααααβ⋅++++++++-

=a b

a b a a b

2) 线性相关性的判定

常用方法：(1)从定义出发；

(2)利用矩阵秩或行列式； (3)利用性质。

例3 已知

⎥⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k 84120011211321ααα线性相关，求k 解解法一（利用矩阵的秩）

[]⎥⎥

⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡---==000200310111~21802401111

1k k A ααα

由321,,ααα线性相关可知必有r （A ）<3，故k=2

解法二（利用行列式及性质）将321,,ααα的第三个分量去掉，地向量组

[][][]T T T k 41,201,111321--===βββ，则

k k k

-=+---=+---=--=22

1201401

112

1401111,,321βββ

由于321,,ααα线性相关，所以321,,βββ线性相关故

2,0,,321==k 即βββ

例4 设)(,,,21n m a a a m ≤ 是m 个互不相等且不为零的常数，向量

[]),,2,1(,,,2m i a a a T

n i i i i ==α，问m ααα,,,21 是否线性相关？

解由于

),,2,1(0),,2,1,,(,m i a m j i j i a a n m i j i =≠=≠≠≤且，故

2从而

[][][]T

m m m m T

n T

n a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,22222212111 ===βββ线性无关，所以向量组m ααα,,,21 亦线性无关。

例5 设向量组)1(,,,21>m m ααα 线性无关，且m αααβ+++= 21，判断向量

组m αβαβαβ---,,,21 的线性相关性。解解法一（从定义出发）

设0)()()(2211=-+-+-m m t t t αβαβαβ

即0)()()(121231132=++++++++++++-m m m m t t t t t t t t t ααα 由m ααα,,,21 线性无关知，系数m t t t ,,,21 必满足

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++-0001213132m m m t t t t t t t t t

这是一齐次线性方程组没，其系数行列式

)1()1(011

01110

1≠--==

-m D m

所以齐次方程组只有零解，即021====m t t t ，故m αβαβαβ---,,,21 线性无关。

解法二（利用矩阵的秩）

[][]

[]⎥

⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=+++++++++=----011

101

110,,,,,,,,,21121313221 m m m m m αααααααααααααβαβαβ由解法一知，矩阵⎥

⎥

⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡011101110 满秩，故

[][]m m r r ααααβαβαβ,,,,,,2121 =---

而由m ααα,,,21 线性无关性知[]m r m =ααα,,,21 ，所以

[]m r m =---αβαβαβ,,,21 ，即m αβαβαβ---,,,21 线性无关。

3) 有关线性表出与线性相关性的证明

其证明方法为： (1) 要证α可由m βββ,,,21 线性表出，可以

① 证明式002211≠=++++t t t t t m m 中αβββ 。 ② 证明方程组[]αβββ=x m 21有解。

③ 用反证法。

(2)

要证m ααα,,,21 线性相关，可以利用

① 定义 ② 结合齐次线性方程组利用矩阵的秩或行列式 ③ 反证法（这是重要方法）

(3) 也可用线性表出与线性相关之间关系的有关定理.

例6 设n ααα,,,21 是一个n 维向量组,证明n ααα,,,21 线性无关当且仅当人仪n 维向量均可由它们线性表出. 证:""⇒ 对任意n

R ∈β

若i αβ=,则显然有n i i i αααααβ0000111++⋅++⋅++⋅=+- 若i αβ≠,则由βααα,,,,21n 线性相关,得存在全不为零的数t t t t n ,,,,21 使

02211=++++βαααt t t t m m

若t=0,由n ααα,,,21 线性无2关性知必有021====n t t t ,与t t t t n ,,,,21 不全为

零矛盾,所以0≠t ,从而β可由n ααα,,,21 线性表出,即

i i t t αβ∑=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=1. ""⇐设单位向量n e e e ,,,21 为n 阶单位阵I 的n 个列向量. 证法一由已知得i e 均可由n ααα,,,21 线性表示,从而有

[][]P a a a e e e n n ,...,, (2121)

其中n 阶方阵P 的每一列即为i e 由n a a a ,...,21线性表出的表示式中的系数,由于

[]01,...,det 21≠==I e e e n ,所以[]0,...,det 21≠n a a a ,这就说明n a a a ,...,21是线性无关

的.

证法二设[]n a a a A ,...,21=,由IA A =,即[][]A e e e a a a n n ,...,,...,2121=可知,i a 均可由

n e e e ,...,21线性表出,又由已知i e 也可都由n a a a ,...,21线性表出,所以两向量等价,从而它

们有相同的秩,得n e e e r a a a r n n ==),...,(),...,(2121,即n a a a ,...,21线性无关. 例7.设)3(,...,121>-m a a a m 线性无关,而m m a a a a ,,...,132-线性相关,试证: (1)m a 可由121,...,-m a a a 线性表出 (2)1a 不能由m a a a ,...,32线性表出

证: (1)证法一因为121,...,-m a a a 线性无关,所以其部分组132,...,-m a a a 也线性无关,而

m m a a a a ,,...,132-线性相关,由4.3.5的结论(7)知m a 必可由132,...,-m a a a 线性表出, 113322...--+++=m m m a t a t a t a ,从而11221...0--+++⋅=m m m a t a t a a ,即m a 可由

121,...,-m a a a 线性表出2

证法二因为m m a a a a ,,...,132-线性相关,所以m a a a ,...,21也线性相关,又121,...,-m a a a 线性无关,故m a 可由121,...,-m a a a 线性表出 (2)(用反证法)

若1a 能由m a a a ,...,32线性表出,由(1)知m a 可由132,...,-m a a a 线性表出,得1a 必可由

132,...,-m a a a 线性表出,从而121,...,-m a a a 线性相关,这与已知121,...,-m a a a 线性无关矛盾,

所以1a 不能由m a a a ,...,32线性表出.

例8 如果0≠β,且可被向量组r a a a ,...,21线性表出,证明表示法唯一的充要条件是

r a a a ,...,21线性无关.

证证法一由已知可设r r a t a t a t ...2211++=β 必要性假设0...2211=++r r a k a k a k 成立，则可得

r r r a k t a k t a k t )...()()(222111+++++=β，由于β的表示法唯一，所以

),...2,1(r i t k t i i i ==+，从而得

0...21===r k k k ，故r a a a ,...,21线性无关。

充分性倘若另有一β的线性表达式r r a l a l a l +++=...2211β，其中至少有一个i 使

)1(r i t l i i ≤≤≠，则可得

0)...()()(222111=-+-+-r r r a l t a l t a l t ，因为i i t l ≠，故r a a a ,...,21线性相关，与r a a a ,...,21线性无关矛盾，

所以β的表示式唯一。

证法二已知非零向量β可由r a a a ,...,21线性表出，这时有

[]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=r r r r t t t a a a a t a t a t 21212211,...,...β表示式唯一⇔方程组[]β=x a a a r , (21)

唯一解

r a a a r a a a r r r ==⇔),,...,(),...,(2121β r a a a ,...,21⇔线性无关

例

9 设A 是n n ⨯方阵，321,,a a a 是三个n 维列向量，且

323212111,,,0a a Aa a a Aa a Aa a +=+==≠，试证 321,,a a a 线性无关。

证设0332211=++a t a t a t （*）

则由⎪⎩⎪

⎨⎧+=+==32321211a

a Aa a a Aa a Aa

可得⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=-=-23121)()(0

)(a

a I A a a I A a I A

进一步还可得

⎪⎩

⎪⎨⎧=-=-=-=-=-1232122

12)()(0)()(0

)(a

a I A a I A a I A a I A a I A 所以对（*）两边左乘2

)(I A -得0)(0032

3=-++a I A t ，即13a t =0，因为01≠a ，

所以03=t

故（*）为02211=+a t a t ，两边左乘I A -，得012=a t ，故02=t ，再代入（*）得011=a t ，故01=t ，所以（*）成立，当且仅当0321===t t t ，即321,,a a a 线性无关。例10

设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，其中m n <，若I AB =，证明B 的列

向量组线性无关。

证证法一设[][]n n e e e I B ,...,,,...,2121==βββ，则已知条件I

AB =，即为

),...2,1(n i e A i i ==β

若0...2211=++n n t t t βββ两边左乘A 得0...2211=+++n n A t A t A t βββ，即

0...2211=+++n n e t e t e t

由

n e e e ,...,21之线性无关性知必成立0...21====n t t t ，

所以n βββ,...,21线性无关。证法二由I AB =，得n AB r =)(，而)()(B r AB r ≤，所以n B r ≥)(，又B 是n

m ⨯矩阵，所以n B r ≤)(，故

n B r =)(，即B 列满秩，所以B 的列向量组线性无关。

例11 设n 维向量组121,,,-n ααα 线性无关，21,ββ与121,,,-n ααα 正交，证明

21,ββ线性相关。

证因为n+1个n 维向量21121,,,,,ββααα-n 必线性相关，故存在n+1个不全为零的数21121,,,,,k k t t t n - ，使

(*)0...2211112211=+++++--ββαααk k t t t n n

又由121,,,-n ααα 线性无关可得21,k k 必不全为零。（*）两边分别与21,ββ作内积，由正交条件，得

习题答案(第六章)

1、R n 中分量满足下列条件的全体向量1(,,)n x x 的集合，是否构成R n 的子空间？ ①10n x x ++= ；②120n x x x ???= ；③2211n x x ++= 。解：①是，设(){}11 1 ,,|0n n V x x x x = ++= ，显然V 1≠?，1,,,a b F V ξη?∈?∈，设 1212(,,),(,,)x x y y ξη== ，则 ()()()1111,,,,,,n n n n a b a x x b y y ax by ax by ξη+=+=++ ，而 1111()()()()000n n n n ax by ax by a x x b y y a b ++++=+++++=+= 所以1a b V ξη+∈，所以V 1是R n 的子空间； ②不是，取(1,0,,0),(0,1,,1)αβ== ，则(){}1 1 ,,,|0n n V x x x x αβ∈= ??= ，但 (1,1,,1)V αβ+=? ，所以V 不是R n 的子空间； ③不是，取(1,0,,0),(0,1,0,,0)αβ== ，则(){}2 2 1 1 ,,,|1n n V x x x x αβ∈=++= ，但(1,1,0,,0)V αβ+=? ，所以V 不是R n 的子空间。 2、子集{}1|,,V X AX XB A B n ==为已知的阶矩阵是否是()n M F 的子集？解：是()n M F 的子集；证：显然1V ≠?，1,,,X Y V a b F ?∈∈，有 ()()A aX bY aAX bAY aXB bYB aX bY B +=+=+=+，所以1aX bY V +∈，所以1V 是 ()n M F 的子集。 3、设12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-，求含12,αα的R 4的一组基。解：因为1010101010 10112001100010?????? →→ ? ? ?---?????? ，取34(0,0,1,0),(0,0,0,1)αα==，所以{}1234,,,αααα为R 4的一组基。 4、求R n 的下列子空间的维数和一组基： 111{(,,)|0,,,}n n n W x x x x x x R =++=∈ 解：W 生成元分量满足方程10n x x ++= 的其基解系，其基础解系为

高等代数第六章1

第四章向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量 n 维列向量⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α与n 维行向量 []n T b b b 21=β即为n n ⨯⨯11及矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。注为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。 4.1.2 向量的内积设[]T n a a a 21=α，[]T n b b b 21=β (1) 定义称 ∑==+++=n i i i n n b a b a b a b a 1 2211, βα 为向量βα,的内积。 (2) 性质 αββααββαT T ===,, γβγαγβα,,,+=+ βαβα,,k k = 0,≥αα 等号当且仅当0=α时成立 (3) 有关概念向量的范数：α ααααT ==, 单位向量：若 1=α，则称α为单位向量。向量的标准化（规范化）；0≠α称α α1 为α的标准化向量。两向量的正交：若 0,=βα，则称βα与正交。 4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义设m ααα,,,21 是一组n 维向量 (1) 线性组合：设β是一个n 维向量，若存在一组数m t t t ,,,21 ，使

m m t t t αααβ+++= 2211 则称β为向量组m ααα,,,21 的一个线性组合，或称β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。注设两组向量（I ）m ααα,,,21 ，（II ）m βββ,,,21 ，若每一个() m i i ,,2,1 =α都可由m βββ,,,21 线性表出，则称向量组（I ）可由向量组（II ）线性表出；当向量组（I ）与（II ）可互相表出时，称向量组（I ）与（II ）等价。 (2) 线性相关：若存在一组不全为零的数m t t t ,,,21 ，02211=+++m m t t t ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关。 (3) 线性无关：若当且仅当021====m t t t 时，02211=+++m m t t t ααα 才成立，则称m ααα,,,21 线性无关。注对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。 4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 (1) β可由m ααα,,,21 线性表出⇔线性方程组[]βααα=x m ,,,21 有解⇔矩阵[]m ααα,,,21 的秩等于矩阵[]βααα,,,,21m 的秩 (2) m ααα,,,21 线性相关⇔齐次线性方程组[]0,,,21=x m ααα 有非零解⇔矩阵[]m ααα,,,21 的秩小于m (3) m ααα,,,21 线性无关⇔齐次线性方程组[]0,,,21=x m ααα 只有零解⇔矩阵[]m ααα,,,21 的秩等于m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论 (1) 仅含一个向量α的向量组线性相关⇔0=α (2) 任何含有零向量的向量组必线性相关 (3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关）注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关 (4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相关）注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意m 个n 维向量，当n m >时必线性相关 (6) 向量组m ααα,,,21 )2(≥m 线性相关⇔m ααα,,,21 中至少有一个向量可

第六章习题与复习题(二次型)----高等代数

习题6.1 1．写出下列二次型的矩阵. （1）222 123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++ （2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =- （3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ?? ?= ? ??? 2．将二次型 222 1231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+- 表成矩阵形式，并求该二次型的秩. 3．设 A = ??? ? ? ? ?3210 000 00a a a ，B = ???? ? ? ?132 00000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =T C A C ． 4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ???? ? ????? 与合同. 习题6.2 1．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换. （1）222 12312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++ 2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2. (1) 求c; (2) 求一正交变换化二次型为标准形. 3．已知二次型22 12323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形

222 1236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换. 22224. 222444,,. x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ???? ? ? +++++== ? ? ? ????? +=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面方程求的值与正交矩阵 5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换. （1）222 123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++ 6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令 ??? ??-=-=-=133 3222 11x x y x x y x x y 得f =2 3 2221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩. 7．判断矩阵01111213A B ???? == ? ????? 与是否合同. 习题6.3 1．判定下列实二次型的正定性. （1）222 1231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+ （3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+ n j i j i n i i x x x 11 2 2． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.

第六章高等代数练习

1 第六章练习一、填空题 1、在3F 中，计算()()()112,0,11,1,20,1,1_____________32 ;-+---+= 2、若1234,α,α,αα线性无关，则12233441,,α+α,α+αα+αα+α的极大无关组是；()12233441dim ,,L α+α,α+αα+αα+α＝； 3、若向量α关于基123,,ααα的坐标为()123,,x x x 则α关于基1232,,ααα-的坐标为；在向量空间()2M F 中，向量a b c d ?? ???关于基1000?? ???，0010?? ?? ?，0100?? ??? ，0001?? ??? 的坐标是； 4、向量组()()()()12340,1,13,1,2α=1,1,1,, α=2,1,0, α=, α=的一个极大无关组是；向量组1(1,1,0,0)α=，2(0,1,1,0)α=，3(1,0,1,0)α=，4(1,0,0,1)α=的极大无关组是； 5、设0,a V a b R a b ????=∈?? ?-????则dim V = ； 6、设(){}11220n n V x x x x nx =+++=，则dim V = ； 7．由基123,,2ααα到基1232,,ααα-的过渡矩阵是； 8、设A 为n 阶方阵，且()()r A s s n =≠则齐次线性方程组AX=0的解空间的维数为； 9、若1234,,,αααα线性无关，则123,,ααα线性； 10、向量空间没有基；含一个向量的向量空间是空间；二、解答题 1、检验下列集合对所规定的运算是否构成所给数域上的线性空间： 1）设{},V a a b Q =+∈，对普通数的加法和乘法； 2）V 为定义在数域P 上的一切n 阶方阵，对数与矩阵的乘法及以下定义的加法：,,n n X Y P X Y XY YX ??∈⊕=-； 3）(){},|,V x y x y P =∈，加法按普通矩阵相加，并定义数乘为： ()()2111,,,0,x y P k P k ky αα?=∈∈?=：

第六章高等代数练习及答案

一、填空题 1、在3 F 中，计算 ()()()11 2,0,11,1,20,1,1____32 ;-+---+=1111,,326⎛⎫ --- ⎪⎝⎭ 2、若1234,α,α,αα线性无关，则12233441,,α+α,α+αα+αα+α的极大无关组是；()12233441dim ,,L α+α,α+αα+αα+α＝； 122334,α+α,α+αα+α；3 3、若向量α关于基123,,ααα的坐标为()123,,x x x 则α关于基1232,,ααα-的坐标为；在向量空间()2M F 中，向量a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于基1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，0010⎛⎫ ⎪⎝ ⎭，0100⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，0001⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标是；1231,,2x x x ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ ；(),,,a c b d 4、向量组()()()()12340,1,13,1,2α=1,1,1,, α=2,1,0, α=, α=的一个极大无关组是；向量组1(1,1,0,0)α=，2(0,1,1,0)α=，3(1,0,1,0)α=， 4(1,0,0,1)α=的极大无关组是；123α,α,α；1234,α,α,αα。 5、设0,a V a b R a b ⎧⎫ ⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 则dim V = 2 ；0 6、设(){}1 1 220n n V x x x x nx = +++= ，则dim V = n-1 ； 7．由基123,,2ααα到基1232,,ααα-的过渡矩阵是；20001 01002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 8、设A 为n 阶方阵，且()()r A s s n =≠则齐次线性方程组AX=0的解空间的维数为 n-s ； 9、若1234,,,αααα线性无关，则123,,ααα线性无关； 10、向量空间没有基；含一个向量的向量空间是空间；二、解答题 1、检验下列集合对所规定的运算是否构成所给数域上的线性空间： 1 ）设{} ,V a a b Q =+∈，对普通数的加法和乘法；是

高等代数(二)第六章习题

第六章习题一、填空题 1、已知000,,00a V a b c a b c R c b ?????? ? =+∈?? ??? ?+???? 是33R ?的一个子空间，则维(V ) ＝， V 的一组基是 . 2、在4 P 中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是 . 3、已知a 是数域P 中的一个固定的数，而 1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈= 是1n P +的一个子空间，则a ＝，而维(W )＝ . 4、设n P 是数域P 上的n 维列向量空间，2,n n A P A A ?∈=且记 12{},{,0},n n W AX X P W X X P AX =∈=∈= 则12,W W 都是n P 的子空间，则12W W +＝，12W W ＝ 5、设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基 231,,εεε的过渡矩阵T ＝，而α在基321,,εεε下的坐标是 6、复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数等于，它的一个基为。 7、复数域看成它本身上的向量空间，其维数为，它的一个基为。 8、实数域R 上全体n 阶上三角形矩阵，对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间，它的维数等于。 9、设? ?? ???∈? ??? ??=R d c b a d c b a V ,,,，(){}R e d e d W ∈=,都是实数域R 上的向量空间。 =V dim ；=W dim 。

高数第六章答案

. 习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 ( 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3)

解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 》解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[ 1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 22 1 x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34 238cos 16402+=-=?ππ tdt 3 4 6)22(122- =-=ππS A — (2)x y 1 =与直线y x 及x 2

解所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解所求的面积为 ?-+=-=-102 1 )(e e dx e e A x x \ (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3 求抛物线y x 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积解