不等式选讲大题及答案[精品文档]
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选修4-5：不等式选讲
不等式选讲考点问题解答题：利用基本不等式等主要不等式和绝对值不等式定理，求解或证明有关不等式，包括求已知不等式的解集；根据已知条件列出并求解有关参数的不等式；通过证明有关不等式，解决与不等式有关的问题。
1.（2013全国I 24．）已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+。
（Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；
（Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-
时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围。
2.（2014全国I 24）若,0,0>>b a 且
ab b
a =+11 （I ）求33
b a +的最小值；
（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.
3.（2015全国I 2
4. ）已知函数()12,0f x x x a a =+--> .
（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；
（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
4.（2013全国II 24．）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=， 证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤； （Ⅱ）222
1a b c b c a
++≥．
5.（2014全国II 24.）设函数1()||||(0)f x x x a a a =+
+-> （1）证明：()2f x ≥；
（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.
6.（2015全国II 24. ）设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.
证明：（I ）若ab cd > ,a b c d >
（II a b c d >
a b c d -<-的充要条件.
选修4-5：不等式选讲答案1.
1．解：（I ）当2()a f x =-时，不等式 设函数y=21223x x x -+---，则15,212,1,236, 1.x x y x x x x ?-??? 其图像如图所示 从图像可知，当且仅当x (0,2)∈时，y <0，所以原不等式的解集是{}02x x <<； （II ）当)1,,()1.22a x f x a ?∈-=+?? 不等式()f x ≤g(x)化为1+a ≤x+3. 所以x ≥a-2对x ∈1,22a ??- ????都成立，故22a a -≥-，即43a ≤，所以a 的范围 41,3??- ???. 2.解：（I 11ab a b ab =+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立. 故3333242a b a b +≥≥，且当2a b == . 所以33a b +的最小值为42.……5分 （II ）由（I ）知，23264 3.a b ab +≥≥ 由于436>，从而不存在,a b ，使得236a b +=. ……10分 3. （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-??=+--≤≤??-++>? ， 所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3 a +. 由题设得22(1)3 a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）……10分 4． 5.解：（I ）()f x 111()2x x a x x a a a a a =++-≥+--=+≥.所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a =++-. 当时a ＞3时，(3)f =1a a + ，由(3)f ＜5得3＜a ＜5212+。 当0＜a ≤3时，(3)f =16a a -+，由(3)f ＜5得152+＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是（152+，5212+）. 6.解：（I ）因为22,,a b a b ab c d c d cd =++=++ 选修4－5不等式选讲 最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法． 1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)?f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|0)?－a 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 不等式选讲习题 1.（2014全国新课标I 卷）若0,0,a b >>且 11a b += （I ）求33a b +的最小值； （II ）是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由. 2.（2014全国新课标II 卷）设函数1()(0).f x x x a a a =++-> （I ）证明：()2;f x ≥ （II ）若(3)5,f <求a 的取值范围. 3.（2013全国新课标I 卷）已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+ （I ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （II ）设1,a >-且当1,22a x ??∈-??? ?时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围. 4.（2013全国新课标II 卷）设,,a b c 均为正数，且1,a b c ++=证明： （I ）1;3 ab bc ac ++≤ （II ）222 1.a b c b c a ++≥. 5.（2012全国新课标卷）已知函数() 2.f x x a x =++- （I ）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （II ）若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围. 6.（2011全国新课标卷）设函数 ()3f x x a x =-+，其中0a >. （I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （II ）若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-，求a 的值. 7.（2015第一次省统测）已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都成立. （I ）求a 的值； （II ）设,0>>n m 求证：.22122 2a n n mn m m +≥+-+ 不等式选讲综合测试 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若||||a c b -<，则下列不等式中正确的是（ ）． A ．a b c <+ B ．a c b >- C ．||||||a b c >- D ．||||||a b c <+ 2．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y =+++，则,A B 的大小关系是（ ）． 2．B 11111x y x y x y B A x y x y y x x y +=+>+==++++++++，即A B <． 3．设命题甲：|1|2x ->，命题乙：3x >，则甲是乙的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知,,a b c 为非零实数，则222222111()()a b c a b c ++++最小值为( ) ． A ．7 B ．9 C ．12 D ．18 4．B 22222222111111()()()(111)9a b c a b c a b c a b c ++++≥?+?+?=++=， ∴所求最小值为9． 5．正数,,,a b c d 满足a d b c +=+，||||a d b c -<-，则有（ ）． A ．ad bc = B ．ad bc < C ．ad bc > D ．ad 与bc 大小不定 5．C 特殊值：正数2,1,4,3a b c d ====，满足||||a d b c -<-，得ad bc >． 或由a d b c +=+得222222a ad d b bc c ++=++， ∴2222()()22a d b c bc ad +-+=-，（1） 由||||a d b c -<-得222222a ad d b bc c -+<-+，（2） 将（1）代入（2）得2222bc ad bc ad -<-+，即44bc ad <，∴ad bc >． 6．如果关于x 的不等式250x a -≤的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a 的取值 范围是（ ）． A ．4580a ≤< B ．5080a << C ．80a < D ．45a > 6．A 250x a -≤，得≤，而正整数解是1,2,3，则34≤<． 7．设,,1a b c >，则log 2log 4log a b c b c a ++的最小值为（ ）． 不等式选讲习题 1. （ 2014 全国新课标 I 卷）若a 0, b 0, 且1 1 ab. a b （ I ）求a3 b3 的最小值； （ II ）是否存在a, b, 使得2a 3b 6? 并说明理由. 2. （ 2014 全国新课标 II 卷）设函数 f ( x) x 1 x a (a 0). a （I ）证明：f ( x) 2; （II ）若f (3) 5,求a的取值范围 . 3. （ 2013 全国新课标I 卷）已知函数 f ( x) 2x 1 2x a , g( x) x 3. （ I ）当a 2 时，求不等式 f ( x) g( x) 的解集； （ II ）设a 1, 且当 x a , 1 时， f ( x) g( x) ，求 a 的取值范围. 2 2 4. （ 2013 全国新课标 II 卷）设 a,b,c 均为正数，且 a b c 1,证明： （ I ）ab bc ac 1 ; a2 b2 c2 （ II ） c 1. . 3 b a 5. （ 2012 全国新课标卷）已知函数 f ( x) x a x 2. （ I ）当a 3 时，求不等式 f (x) 3 的解集； （ II ）若f ( x)x 4 的解集包含1,2 ，求a的取值范围. 6. （ 2011 全国新课标卷）设函数 f (x) x a 3x ，其中 a 0 . （ I ）当a 1时，求不等式 f ( x) 3x 2 的解集； （ II ）若不等式f ( x) 0的解集为{ x | x 1}, ，求 a 的值. 7. （ 2015 第一次省统测）已知a 是常数，对任意实数x ，不等式 | x 1| | 2 x | a | x 1| | 2x | 不等式选讲内容题型大全不看后悔 1.绝对值不等式的解法 一．简单的去绝对值情形 1．不等式：32-x ≤1的解集是_______ ___． 2.不等式：1-x ≥3的解集是_______ _ _． 3.解不等式：312>-+ x x 的解集是_______ _ _． 4．（2008·山东高考题）若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围为 。 5．设集合{}1,A x x a x = -<∈R ，{}2,B x x b x =->∈R ．若A B ?，则实数,a b 必满足（ ）． Ａ．3a b +≤ Ｂ．3a b +≥ Ｃ．3a b -≤ Ｄ．3a b -≥ 6. 不等式： 123-<+x x 的解集是_______ _ _． 7．（2007广东，14）（不等式选讲选做题） 设函数)2(,3|12|)(-++-=f x x x f 则= ；若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 。 8.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 解不等式：|21|3x x +-< 9. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲 设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集； (2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。 二．只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值 例：1. 不等式130x x +--≥的解集是___ ___. 2.（2011年高考广东卷理科9)不等式 130x x +--≥的解集是______. 3. （2009广东14)不等式1| 2||1|≥++x x 的实数解为 . 4.若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。 不等式选讲知识点归纳及近年高考真题 考点一：含绝对值不等式的解法 例1．(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集. 解：（I ）3, 2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤?? =---=-<+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{} 1-≤x x ，求a 的值。 选修4-5 不等式选讲 考点不等式选讲 1.（2017?新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x ﹣1|．（10分） (1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； (2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．1.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数， g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ， 当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g （x）的解集为（1，]； 当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在 [﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是[﹣1，1]． 2.（2017?新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当= ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴=ab， 由均值不等式可得：=ab≤（）2， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴（a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立． 3.（2017?新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． 不等式选讲专题答案 1.（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 2.（2020?全国2卷）已知函数2 ()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 3.（2020?全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1． （1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0； （2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c } 4.（2020?江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 不等式选讲专题答案 1.（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6? ?-∞- ??? . 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ??+≥??=--< （2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示： 由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6??-∞- ?? ?． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题． 2.（2020?全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ? ≤??或112x ?≥??；（2）(][),13,-∞-+∞. 【解析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()2 1f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时， ()43f x x x =-+-. 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3 2x ≤； 当34x <<时， ()4314f x x x =-+-=≥，无解； 选修4-5 :不等式选讲 不等式选讲考点问题解答题：利用基本不等式等主要不等式和绝对值不等式定理，求解或证明有关不等式, 包括求已知不等式的解集；根据已知条件列出并求解有关参数的不等式；通过证明有关不等式，解决与不等式有关的问题。 1. ( 2013 全国I 24 .)已知函数f(x) |2x 1| |2x a|, g(x) x 3。 (i)当a 2时，求不等式f(x) g(x)的解集； a 1 (n)设a 1，且当x [ 2,2＞时，f(x) g(x)，求a的取值范围。 2. （2014 全国1 24 ）若a 0,b 1 1 0,且丄丄 ,ab a b (I )求a3b3的最小值； (II )是否存在a,b，使得2a 3b 6 ?并说明理由 3. （2015全国1 2 4.）已知函数f x x 1 2 x a ,a 0 (I )当a 1时求不等式f x 1的解集； (II )若f x 图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围 4. (2013全国II 24 .)设均为正数，且, 证明：(i)；(n) 1 |X a |(a 0) 5. (2014 全国II 24.)设函数f(x) |X | a (1)证明：f(x) 2 ; (2)若f (3) 5，求a的取值范围 6. ( 2015 全国II 24. )设均为正数，且. 证明：(I )若，则; (ll )是的充要条件 1 2x 2 x 3，则 y x 2 - x 1, 2 3x 6,x 1. 其图像如图所示 从图像可知，当且仅当 x (0,2)时，y<0,所以原不等式的解集是 x 0 x 2 a 1 (II )当 x , f (x) 1 a.不等式 f (x) W g(x)化为 1+a w x+3. 2 2 所以x > a-2对x 二丄都成立，故 a a 4 2 ，即a ，所以a 的范围 2 2 2 3 3 __ 1 1 2.解：(I )由,ab ，得 ab 2 , 且当a b .. 2时等号成立. a b '一 ab 故 a 3 b 3 2 a 3b 3 4、、2 ,且当 a b .2 时等号成立. 所以a 3 b 3的最小值为412 .……5分 (II )由(I )知，2a 3b 2.6 . ab 4,3. 由于4 .3 6，从而不存在a,b ，使得2a 3b 6. ……10分 3. x 1 2a, x 1 (n)由题设可得， f (x) 3x 1 2a, 1 x a ， x 1 2a, x a 所以函数f (x)的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 2a 1 2 A( ,0) , B(2a 1,0), C(a,a+1)，所以△ ABC 的面积为三(a 1)2. 1 ?解： (1 )当 a 2时，不等式 f (x) 盘县第五中学高二数学选修4—5不等式选讲 测试题 （命题教师：晏波 时间90分钟 总分120分） 一、选择题 （每题4分 共48分） 1．若b a >，c 为实数，下列不等式成立是（ ）． A bc ac > B bc ac < C 2 2 bc ac > D 2 2 bc ac ≥ 2．若a ，b 是实数，且b a >，则下列结论成立的是（ ）. A. b a )21()21(< B. 1-b a D . 2 2b a > 3．若0> B. a ab ab >>2 C. 2 ab b ab >> D. a ab ab >>2 4．不等式│3-x │＜2的解集是（ ）． A {x │x ＞5或x ＜1} B {x │1＜x ＜5} C {x │-5＜x ＜-1} D {x │x ＞1} 5. 不等式21x -<的解集为（ ）. A {|13}x x << B {|02}x x << C {|12}x x << D {|23}x x << 6．不等式1≤│2x -7│＜3的解集是（ ）． A {x │4≤x ＜5} B {x │x ≥4或x ≤5} C {x │2＜x ≤3或4≤x ＜5} D {x │x ≤3或x ＞2} 7．如果（a +1）x ＞a +1的解集是x ＜1，则a 必须满足（ ）． A a ＜0 B a ≤-1 C a ＞-1 D a ＜-1 8．函数3 44 )(2 3 +++= ax ax x x f 的定义域是（),∞+∞-，则实数a 的取值范围是（ ）. A. )43,0( B. )4 3,0[ C. ),4 1(+∞ D. ),(+∞-∞ 9．不等式（x +5）（3－2x ）≥6的解集是（ ）. A. Y ]1,(--∞),2 9 [+∞ B. ]2 9,1[- C. ),1[]2 9,(+∞--∞Y D. ]1,2 9[- 10．设二次不等式） ，的解集是（3 1 102->++c bx ax ，则a b =（ ）. A. －6 B. －5 C. 6 D. 5 11.设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）. A 、0b a -> B 、3 3 0a b +> C 、2 2 0a b -< D 、0b a +> 12.不等式22x x -<的解集为( ). Ａ ()1,2- Ｂ ()1,1- Ｃ ()2,1- Ｄ ()2,2- 二． 填空题（每题4分 共40分） 1．当0＜x ＜1时，x 2，x ， x 1 的大小关系是 . 2．│x +3│＞4的解集是 . 3．若│x -1│＜3，化简│x -4│+│x +2│得 . 4．数集{2a ，a a -2 }中，a 的取值范围是 ． 5．若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域是R ，则k 的取值范围是 . 6．不等式（1－|x |）（x +1）>0的解集是 . 7.不等式0)1()52()1)(3()52()2(2 23>-++-+-x x x x x x 的解集是 . 8．不等式1 1x <的解为 . 9．对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为 . 10．已知集合{} |12,A x R x Z =∈-<为整数集，则集合A Z ?中所有元素的和等于 第十六章 不等式选讲 五年高考 A 组统一命题·课标卷题组 考点一不等式的证明 1．（2017课标全国II ．23，10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知.2,0,03 3=+>>b a b a 证明： ;4))()(1(55≥++b a b a .2)2(≤+b a 2．（2015课标II ．24,10分，0.353）选修4-5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d 证明： (1)若ab>cd ，则;d c b a +>+ d c b a +>+)2(是︱a-b ︱<︱c-d ︱的充要条件． 3．（2014课标I ．24,10分．0.111选修4-5：不等式选讲 若a>O,b>0．且 .11ab b a =+ (1)求33b a +的最小值： (2)是否存在a ，b ，使得?632=+b a 并说明理由． 考点二绝对值不等式 1．（2018课标全国I ，23,10分）[选修4-5:不等式选讲] 已知.|1||1|)(--+=ax x x f (1)当a=l 时，求不等式1)(>x f 的解集： (2)若)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，求a 的取值范围． 2．（2018课标全国II ．23，10分）[选修4-5：不等式选讲] 设函数.|2|||5)(--+-=x a x x f (1)当a=l 时，求不等式0)(≥x f 的解集： (2)若,1)(≤x f 求a 的取值范围． 3．（2018课标全国Ⅲ，23，10分）[选修4-5：不等式选讲] 设函数.|1||12|)(-++=x x x f (1)画出)(x f y =的图象： (2)当),0[+∞∈x 时，,)(b ax x f +≤求a+b 的最小值． 4．（2016课标全国II ．24,10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数M x x x f |,21||21|)(++=为不等式2)( 高三数学考前复习——第2讲 不等式选讲(大题) 热点一 含绝对值不等式的解法 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点. (2)划区间、去绝对值符号. (3)分别解去掉绝对值的不等式. (4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值. 2.用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法. 例1 (2019·四川调研)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －1|. (1)若正数a ，b 满足a ＋2b ＝f (－1)，求2a ＋1 b 的最小值； (2)解不等式f (x )>1 2 . 解 (1)由题意得a ＋2b ＝f (－1)＝1， 又a >0，b >0， 所以2a ＋1b ＝????2a ＋1b ×(a ＋2b )＝4＋4b a ＋a b ≥4＋24＝8. 当且仅当a ＝12，b ＝1 4时等号成立. 所以2a ＋1 b 的最小值为8. (2)f (x )＝|x －2|－|x －1|. ①当x ≤1时，f (x )＝2－x －(1－x )＝1， 由f (x )>1 2 ，解得x ≤1； ②当1 选修4-5：不等式选讲 不等式选讲考点问题解答题：利用基本不等式等主要不等式和绝对值不等式定理，求解或证明有关不等式，包括求已知不等式的解集；根据已知条件列出并求解有关参数的不等式；通过证明有关不等式，解决与不等式有关的问题。 1.（2013全国I 24．）已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+。 （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22 a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围。 2.（2014全国I 24）若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 3.（2015全国I 2 4. ）已知函数()12,0f x x x a a =+--> . （I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集； （II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 4.（2013全国II 24．）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=， 证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤； （Ⅱ）222 1a b c b c a ++≥． 5.（2014全国II 24.）设函数1()||||(0)f x x x a a a =++-> （1）证明：()2f x ≥； （2）若(3)5f <，求a 的取值范围. 6.（2015全国II 24. ）设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+. 证明：（I ）若ab cd > ,> （II ）>a b c d -<-的充要条件. 不等式选讲(大题) 热点一 含绝对值不等式的解法 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点； (2)划区间、去绝对值符号； (3)分别解去掉绝对值的不等式； (4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值. 2.用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法. 例1 (2019·郴州质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|. (1)求不等式f (x )≤3的解集； (2)若函数y ＝f (x )的图象的最低点为(m ，n )，正数a ，b 满足ma ＋nb ＝2，求2a ＋1 b 的取值范 围. 解 (1)当x ≤－1时，f (x )＝－3x ＋1≤3， 得x ≥－2 3 ，所以x ∈?， 当－1 当且仅当a ＝2b ＝1时等号成立， 所以2a ＋1 b 的取值范围是[4，＋∞). 跟踪演练1 设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值. 解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1， 即|2x －3|＋5x ≥5x ＋1， 即|2x －3|≥1，解得x ≥2或x ≤1， ∴不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}. (2)由f (x )≤0，得|2x －a |＋5x ≤0， 即????? x ≥a 2，7x －a ≤0 或????? x 0， ∴不等式f (x )≤0的解集为?????? ??? ?x ? ?? x ≤－ a 3， 由题意得－a 3 ＝－1，解得a ＝3. 热点二 含绝对值不等式恒成立(存在)问题 绝对值不等式的成立问题的求解策略 (1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式. (2)转化最值：f (x )>a 恒成立?f (x )min >a ；f (x )a 有解?f (x )max >a ； f (x )a 无解?f (x )max ≤a ；f (x ) 知识网络 § 1绝对值型不等式 典例精析 题型一解绝对值不等式 【例1】设函数f(x) =| x-1| +1 x—2|. (1)解不等式f (x) > 3; (2)若f(x) >a对x € R恒成立，求实数a的取值范围. 3 2x, x v1, 【解析】(1)因为f (x) = |X- 1| + | x- 2| = 1,1 W x <2, 2x-3,x> 2. 所以当x v 1时，3- 2x> 3,解得x v 0; 当 1 < x< 2 时，f (x) >3 无解；当x>2 时，2x- 3> 3,解得x>3. 所以不等式f (x) > 3的解集为(一汽0) U (3，+ ^). 3 2x, x v 1, (2)因为f (x) = 1,1 一、能力突破训练 1.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4| 4.(2018全国Ⅲ,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值. |x-12|+|x+12| 5.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|. 6.设关于x 的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A. (1)若a=1,求A ; (2)若A=R ,求a 的取值范围. 7.已知函数f (x )=|2x-1|+|x-a|,a ∈R . (1)当a=3时,解不等式f (x )≤4; (2)若f (x )=|x-1+a|,求x 的取值范围. 二、思维提升训练 8.已知函数f (x )= g (x )=af (x )-|x-2|,a ∈R . {x ,x ≥1, 1x ,0 9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|. (1)当a=2时,解不等式f(x)≤-; (2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围. 10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若a=-1,解不等式f(x)≥3; (2)如果?x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围. 数学选修4-5 不等式选讲 [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列各式中，最小值等于2的是（ ） A ．x y y x + B ．4 522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+ 2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y ++的最小值是（ ） A ． B ．1+ C ．6 D ．7 3设0,0,1x y x y A x y +>>= ++, 11x y B x y =+ ++，则,A B 的大小关系是（ ） A ．A B = B ．A B < C ．A B ≤ D ．A B > 4．若,,x y a R +∈，且y x a y x +≤+ 恒成立，则a 的最小值是（ ） A ． 2 B C ．1 D ．12 5．函数46y x x =-+-的最小值为（ ） A ．2 B C ．4 D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ ） A ．[2,1)[4,7)- B ．(2,1](4,7]- C ．(2,1][4,7)-- D ．(2,1][4,7)- 二、填空题 1．若0a b >>，则1 () a b a b + -的最小值是_____________。 2．若0,0,0a b m n >>>>，则 b a , a b , m a m b ++, n b n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________。 4．设1010101111112212221 A =++++++- ，则A 与1的大小关系是_____________。 5．函数212 ()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________。 三、解答题 1．已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥《选修4-5 不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
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