(0345)《复变函数》复习思考题
一、填空题。
1、38- = _______________ ,
2、 Arg(1-3ⅰ)= ___________
3、 _________)3sin 3(cos )4sin 4(cos 3
2
=-+θθθθi i , 4、 Ln(1+ⅰ)= ________________
5、 变换
w=z 2
将曲线
L :x 2-y 2=4
变成________ , 6、 z
e z z 1
lim 0-→ = _____________
7、 设|z|>5, 则ξξξξd z
?=--13cos =_________ 8、()n
n n
n z n n ∑∞
=+11的收敛半径R=_______ 9、设C 为顺序连接点(0,0),(0,1),(2,1),(3,4),(3,0)的折线, 则?
c dz z 3
=__________
10、 设)(z f 是整函数,,6)(lim =∞
→z f z 则=)7(f _______
11、 设a>0, 则
ξξξξξ
d a
)sin 2(324
?=--- =_________
12、
2
1|2|2
d (1)(2)
z z z
z z -=
--?
的值是 13、级数
)3(1
-∑+∞
=n n
u
收敛时,=∞
→n n u lim _______
14、f(z)=(x 2-y 2-x)+i(2xy-y 2)在复平面上可导的点集为_________.
15、函数)
1(1
)(2-+=z z z z f 在奇点z=0附近的罗朗级数的收敛圆环域为_______.
16、在01z <<内,函数
1
(2)(1)
z z z -+的罗朗展式是 ________.
17
在1z =处的留数是 ____ . 18、问是否存在解析函数()f z 使111()()2122f f n n n
==- ? __ (只需回答是或否).
19、若解析函数()f z 的实部是(cos sin )x
e x y y y -,则f()z = _______
二、判断题。
1、Z 平面上至少有一点z 0使f(z)=z 2+z 在z 0处解析。
2、若z 0≠∞,Argz 0无意义,则z 0=0.
3、如果f(z) 在z 0处可导,则f(z)在z 0处解析。
4、因为sin 2z+cos 2z=1.所以sin 2z ≤1.
5、如果f(z)在围线C 上及其内部解析,则
dz z f C
?
)(=0.
6、设f(z)在区域D 内解析,且在D 内有无穷个零点 z n (n=1,2,3,……),则f(z)在D 内恒等于零。
7、设f(z)=
()
∑∞
=-0
n n
n a z a 在∣z-a ∣ 此级数的收敛半径大于R. 8、设D 是一复连通区域,函数f(z)在D 内连续。如果对D 内任一围线C ,有 ?c dz z f )(dz=0,则f(z)在D 内解析。 9、如果∑∞ =1 n n u 在区域D 中内闭一致收敛,则此级数必然在D 内一致收敛。 三、计算题。 1、若以w=3z 确定在沿负实轴割破了的z 平面上,且w(i)=-i.试求w(-i)之值。 2、设Γ为Z 平面内任一围线,不经过z=0,-1,1 三点,试计算积分?Γ-)1(2z z dz 的所 有可能的值。 3、计算dz z e z n z ?=1 4、计算 dz z z z z ?=-423)1(cos π 5、求下列函数的奇点,并确定它们的类型。 (1) () 2 24 1+-z z z (2) 11 1--z z e e (3) 4 sin z z (4) )1(1-z e z . 6、用残数定理求下列积分。 (1).()?=--+210) 3)(1(z z z i z dz (2).dx x x ?∞++042 1 (3). ? =-3 103) 2(1 z dz z z , . (4). dx x x ?∞ +0215cos . 7、试将函数2 )(+= z z z f 按1-z 的幂展开,并指明其收敛范围。 8、将函数f(z)=z z z z 231 2 32+-+在指定区域G 内展开成罗朗级数。 (1).G: 0 9、设.f(z)=2212+-z z 在 z=0解析,可展成f(z)=k k k z a ∑∞ =1 ,求k a 及收敛半径。 四、证明题。 1、方程z 3+3(λ+μ?)z+(ρ+σ?)=0 有一个纯虚数根。这里λ,μ,ρ,σ为实数。 求证: ρ3-27μ3σ-27λμ2ρ=0. 2、若1231z z z ===,1230z z z ++=,则122313z z z z z z -=-=- . 3、设a, b 为两个复数,且a <1,b <1。求证 b a b a --1<1. 4、设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内解析,且v=u 2, 则f(z)在D 上为常数。. 5、设f(z)=u(x,y)+ⅰv(x,y) 在Z 平面上解析,且f(0)=1, u+v=x 2-y 2+1。求f(z)的表达式。 6、设f(z)`为整函数,且Ref(z)>1在Z 平面上成立,则f(z)为一常数。 7、设f(z)为非常数整函数,则对任何正数α,在Z 平面上都同时存在点z 1与z 2,使得 |f(z 1)|<α<|f(z 2)|. 8、设f(z)=(z-a 1)(z-a 2)…(z-a n ),其中a i (i=1,2,…n) 各不相同, 围线c 不通过a 1,a 2,…a n . 证明:积分 ()? 'C dz z f z f i ) (21π 等于位于c 内部的f(z)的零点个数。 9、设f(z)在z ≤1上解析,且在z =1上z z f -)( 1('≤f (2))(z f 在z <1 内恰有一个零点。 10、设)(z f 以a 为一级极点且 k z f s a z ==)(Re ,证明:k z f z f a z 1) (1)('lim 2 = +→. 11、叙述并证明儒歇定理并利用此定理求方程z 5-3z 3+1=0在圆环1 12、设函数2 1)(z z z f -=, 试证:).1|(|,0])()(Re['<>z z f z f z 13、函数)(z f 在区域D 内解析,试证:.|)(|4|)(|2 '22222z f z f y x =??? ? ????+?? 14、证明:方程:λλ(0=-n z z e e >1), 在单位圆 |z|<1内有n 个根。 (0345)《复变函数》复习思考题答案 一、填空题。 1、i i 31,2,31--+ 2、ππ k 23 +- 3、θθ17sin 17cos i + 4、i k )24 (2ln ππ ++ 5、直线4=u 6、1 7、0 8、1 9、 4 81 10、6 11、0 12、i π2- 13、3 14、{(x,y)|R x y ∈= ,2 1 } 15、{z |10< n n n z z ∑+∞=----0])1(3 1)21(121[1.21 17、1,-1 18、否 19、)cos sin ()sin cos (c y ye y xe i y y y x e x x x +++- 二、判断题。 1、× 2、√ 3、× 4、× 5、× 、6× 7、× 8、√ 9、× 三.计算题。 1、解:由i e i i w k i -=== +3 22/3 )(π π,得k=2,则 i e e i w i i 2 123)(6 73 42/-- ===-+-ππ π. 2、解:①当仅有0在Γ所围区域内, i z z s i z z dz z ππ2) 1(1 Re 2)1(202-=-=-=Γ? ②当仅有-1在Γ所围区域内, i z z s i z z dz z ππ=-=--=Γ?) 1(1Re 2)1(212 ③当仅有1在Γ所围区域内, i z z s i z z dz z ππ=-=-=Γ?) 1(1Re 2)1(212 ④当仅有0、-1在Γ所围区域内, i i i z z s z z s i z z dz z z ππππ-=+-=-+-=--==Γ?2)) 1(1Re )1(1Re (2)1(21202 ⑤当仅有0、1在Γ所围区域内, i i i z z s z z s i z z dz z z ππππ-=+-=-+-=-==Γ?2)) 1(1 Re )1(1Re (2)1(21202 ⑥当仅有1、-1在Γ所围区域内, i i i z z s z z s i z z dz z z ππππ2)) 1(1Re )1(1Re (2)1(21212=+=-+-=--==Γ? ⑦当0、-1、1在Γ所围区域内, 02)) 1(1Re )1(1Re )1(1Re (2)1(2121202=++-=-+-+-=-=-==Γ?i i i z z s z z s z z s i z z dz z z z ππππ ⑧当Γ所围区域内不包含0、1、-1中任一点时,则由柯西定理得 0)1(2=-?Γz z dz . 3、解:原积分= )! 1(2)!1(20-=-n i e n i ππ 4、解:原积分=))(Re )(Re (21 z f s z f s i z z ==+π 因为6))1(cos (!21)(Re 2 20 --=''-= ==ππz z z z z f s ,3)cos ()(Re 131='===z z z z z f s π 所以,原积分=)3(22 --ππi 。 5、(1)解:奇点有0,∞-,2,2i i 因为2 2)4(1 )(,) ()(+-= = z z z z z z f ??其中,显然)(z ?在0的领域内解析,且0)0(≠?, 所以0为)(z f 的一阶极点。 由2 2 ) 2(1 )(,)2() ()(i z z z z i z z z f --= += ψψ其中,显然)(z ψ在i 2-的领域内解析,且0)2(≠-i ψ,所以i 2-为)(z f 的二阶极点。 类似讨论可得i 2也为)(z f 的二阶极点。 由0)4(1 lim 2 2=+-∞→z z z z ,得∞为)(z f 的可去奇点。 (2)解:奇点有1,i k π2)2,1,0(Λ±±=k ,∞ ∞=∞ →i k k π2lim Θ,∞∴为非孤立奇点。 因1 lim 1 11--→z z z e e 不存在,所以1为本质奇点。 因对,Z k ∈?0)1())(1(2112≠'-='=-=i k z z z i k z e e z f ππ,即)2,1,0(2Λ±±=k i k π为) (1z f 的一阶零点,故)2,1,0(2Λ±±=k i k π为)(z f 的一阶极点。 (3)解:奇点有0,∞ 因为4sin lim z z z ∞→不存在,所以∞为本质奇点。 因为=4sin z z z z z sin 13?,z z sin 在0的去心领域内解析且01sin lim 0≠=→z z z , 所以0为4sin z z 的三阶极点。 (4)解:奇点有0,)2,1(2Λ±±=k i k π,∞ ∞=∞ →i k k π2lim Θ,∞∴为非孤立奇点。 01))1(())(1 ( ) 2,1(2)2,1(2) 2,1(2≠+-='-='±±==±±==±±==ΛΛΛk i k z z z k i k z z k i k z ze e e z z f πππ 故)2,1(2Λ±±=k i k π为一阶极点。 01))1(())(1 ( 00 =+-='-='===z z z z z z ze e e z z f 0))1(())(1 ( 00 ≠++=''-=''===z z z z z z z ze e e e z z f 故0为二阶极点。 6. (1)解: ()?=--+210)3)(1(z z z i z dz =))(Re )(Re (21 z f s z f s i z i z =-=+π )(Re )(Re 1 z f s z f s z i z =-=+=)(Re )(Re 3 z f s z f s z z ∞ ==-- 10 3 103 )3(21 ) 1()(1)(Re i z i z z f s z z += -+= == 0]1 )1([Re )(Re 20=-==∞=t t f s z f s t z ∴()? =--+210) 3)(1(z z z i z dz =))(Re )(Re (21z f s z f s i z i z =-=+π10)3(i i +-=π (2)解:记1 )(42 +=z z z f ,)3,2,1,0(4 2==+k e a k i k π π 则 dx x x ? ∞++0 421∑?>=∞+∞-?=+=0 Im 42)(Re 221 121k k a a z z f s i dx x x π))(Re )(Re (10z f s z f s i a z a z ==+=π= π4 2 (3)解: )1 )1(Re (2))(Re (2)2(1 203103t t f s i z f s i dz z z t z z =∞===-=-?ππ 0)21Re (210 0=-==t t s i t π (4)解: 5 52502522]1[Re 21--=∞ ==+=+?e i e i z e s i dx x e z i i z x i πππΘ ∴dx x x ?∞ +0215cos =5 22 15cos 21-+∞∞-=+?e dx x x π 7.解: ∑+?=--?-=---?-=-+?-=+- =0)1()31(321) 3 1(113 2 1)1(3121221)(n n n z z z z z f 收敛域为:31<-z 8.解: 21 25112121)2)(1(1231)(22 32-?+-?+?=--+=+-+=z z z z z z z z z z z z f (1)1||0< 2 1145112121)(z z z z f -? --?+?=∑∑+∞=+∞ =-+?=00)21(452121n n n n n z z z (2)2||1< 2 11 451112121)(z z z z z f -? --?-?==∑∑+∞=+∞=--?00)21(45)1(2121n n n n n z z z z (3)+∞<<||2z z z z z z z f 211 251112121)(-?+-?-?==∑∑+∞=+∞=+-?0 0)1(225)1(2121n n n n n z z z z z 9.解: )11 11(21))1())(1((1)(z i z i i i z i z z f -+---=--+-= ∑∑+∞=+∞=+---+=+-?+---?-=0 0)11(221)11(221)11111111 11(21k k k k k k z i i z i i i z i i z i i k k k k z i i i i ))11(221)11(221( +---+=∑+∞ = (2|| 1、证明:设方程的纯虚根为ai ,则0)(3)(3 =++++i ai i ai σρμλ 故?? ?=++-=-0 3033 σλμρa a a ,从而得μρ3=a 代入033 =++-σλa a 即得结论。 2 、用几何方法易得。 3、证明:2 2 2 2 2 ||1||||0)||1)(1|(|1||,1||ab b a b a b a +<+?<--?<< )1()1()()(||1||||222b a b a b a b a b a b a b a b b a b a a --<--?+--<+--? 11|1||||1|||22<--? -<-?-<-?b a b a b a b a b a b a . 4、证明:)(z f Θ在D 内解析 ???-=-===∴x x y y y x uu v u uu v u 22,解得???==00y x u u 故),(y x u 为一常值函数,从而f(z)在D 上为常数。 5、证明:由12 2 +-=+y x v u 得?? ?-=+=+y v u x v u y y x x 22 因)(z f 在Z 平面上解析,则x y y x v u v u -==,,代入上面方程组得 y x u y x u y x --=-=,,则?+-=-=)(2 )(),(2 y g xy x dx y x y x u , 由y x y g x u y --='+-=)(得c y y g y y g +-=-='2 )(,)(2 c xy y x y x u +--=∴2),(22,c xy y x y x u y x y x v -+-+=-+-=21),(1),(222 2 )2 1(2)(2 222c xy y x i c xy y x z f -+-+++--=∴ 再由1)1()0(=-+=c i c f 得1=c 故)2 (12)(2 222xy y x i xy y x z f +-++--= 6、证明:令) ()(z f e z F -=,因为)(z f 为整函数,则)(z F 也为整函数, 又因为在Z 平面上,1)(Re )()(---<==e e e z F z f z f ,有界。 故由刘维尔定理知)(z F 为常数,则)(z f 也为常数。 7、证明:【反证】若00>?a ,对0)(,a z f z ≥?,则 1 )(1a z f ≤ , 而 )(1z f 为整函数,故由刘维尔定理得) (1z f 为常数,则)(z f 为常数,矛盾。 若00>?b ,对0)(,b z f z ≤?,而)(z f 为整函数, 故由刘维尔定理得)(z f 为常数,矛盾。 得证。 8、证明:显然)(z f 是整函数,对围线C ,)(z f 在C 内部及C 上都解析,则由定理(教材 260页,定理6.9)得 ),(),(),() () (21C f N C f P C f N z f z f i C =-='?π。 9、证明:(1)因为在1||=z 上2||2|)(|= 2 3 |21|21≤-≤z ??==-≤-= '∴1||21 ||2| || 2 1|| )(|21 )2 1()(21 )21(z z dz z z f dz z z f i f ππ82821||42211||=??=?≤?=ππ πz dz (2)z z f -)(Θ及z 均在1||≤z 上解析,且在1||=z 上z z f -)( ∴由儒歇定理,z z z f z f +-=)()(与z 在1|| 有一个零点,故)(z f 在1|| z z z f -=) ()(?,其中)(z ?在点a 的某去心邻域内 解析且 k z f s a a z ===)(Re )(?, k a a z a z z a z z a z z a z z a z z z f z f a z a z a z 1 | )(||)(||)(||||)())((|lim |||)(|1| )() ())((|lim ) (1)('lim 2222 22 2 ==+-+-'=-+ -+-'=+→→→????????。 11. 定理略(参考教材)。因为在圆周2||=z 上,||2251||3|13|5 533z z z =<=+≤+-,故由儒歇定理,方程z 5-3z 3+1=0的5个根都在2|| 2|||3||||3|3535=-≥-z z z z , 则01121|3||13|3 5 3 5 >=-≥--≥+-z z z z ∴原方程在圆环2||1< 12、证明:因为222 4 2 2'1) Im(2111)()(z z i z z z z f z f z -+-= -+=,易证结论成立。 13、证明:令),(),()(y x iv y x u z f +=,则x x iv u z f +=')(,2 22|)(|v u z f +=, 2 22|)(|x x v u z f +=' )22()22(|)(|)(22222y y x x vv uu y vv uu x z f y x +?? ++??=??+?? yy y yy y xx x xx x vv v uu u vv v uu u 222222222 222+++++++= )(2)(2)(22 2 2 2 y x y x yy xx yy xx v v u u v v v u u u +++++++= 因为)(z f 在区域D 内解析,故0,0=+=+yy xx yy xx v v u u ,且x y y x v u v u -==, 故22 222222|)(|4)(4|)(|)(z f v u z f y x x x '=+=??+?? 14、证明:当1||=z 时,1Re ≤z ||||Re n z z z e e e e λ-<≤= (1>λ) 故有儒歇定理知n z z e e λ-在1|| z e λ在1|| z z e e λ-在1|| 第一部分 选择题 一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1. 复数i 25 8-2516z =的辐角为( ) A . arctan 2 1 B .-arctan 2 1 C .π-arctan 2 1 D .π+arctan 2 1 2.方程1Rez 2=所表示的平面曲线为( ) A . 圆 B .直线 C .椭圆 D .双曲线 3.复数)5 ,-isin 5-3(cos z π π=的三角表示式为( ) A .)54isin ,543(cos -ππ+ B .)54 isin ,543(cos ππ- C .)54isin ,543(cos ππ+ D .)5 4 isin ,543(cos -ππ- 4.设z=cosi ,则( ) A .Imz=0 B .Rez=π C .|z|=0 D .argz=π 5.复数i 3e +对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 6.设w=Ln(1-I),则Imw 等于( ) A .4π - B . 1,0,k ,4 2k ±=ππ- C .4 π D . 1,0,k ,42k ±=+ππ 7.函数2z w =把Z 平面上的扇形区域:2||,03 argz 0<< 第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数) (1)1-; (2) ππ2(cos isin )33-; (3)1cos isin αα-+; (4)1i e +; (5)i sin R e θ ; (6)i + 答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ;主辐角为4π 3; 原题即为代数形式;三角形式为 4π4π2(cos isin )33+;指数形式为4π i 32e . (2)略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + (3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα (4)略为 i ;(cos1isin1)ee e + (5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+ (6)该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1)() 10 3 i 1+-;2)()3 1i 1+-; 答案 1)3512i 512+-;2) ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=; 计算下列复数 (1 (2 答案 (1 (2)(/62/3) i n e ππ+ 已知x 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值. 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根,则b a i -一定也是该方程的根. 证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()() k k z z =, 故由共轭复数性质有:()() z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点. 证明: 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 (1) cos5θ; (2)sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明:如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根,但是1≠w 即不是主根,则必有 对于复数 ,k k αβ,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式: 一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列复数中,位于第三象限的复数是( ) A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( ) 3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4.关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ) 6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( ) A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 .在下列复数中,使得z e i =成立的是( ) 8.已知3 1z i =+,则下列正确的是( ) 9.积分 ||342z dz z =-??的值为( ) A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于( ) A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11.以下关于级数的命题不正确的是( ) A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上,条件收敛 12.0=z 是函数(1cos ) z e z z -的( ) A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式:闭卷 专业年级:教改信息班 总分100分,占总评成绩70 % 注:此页不作答题纸,请将答案写在答题纸上 一、单项选择题(15分,每小题3分) 1. 下列方程中,表示直线的是( )。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2. 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在( )处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面 处处不可导 3. 下列命题中,不正确的是( )。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4. 下列级数绝对收敛的是( )。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5. 设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=,那么()() Res ,0f z =( )。 ()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题(15分,每空3分) 1.()Ln 1i -的主值为 。 2.函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3. ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4. 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5. 幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为 。 三.(10分)求解析函数f z u iv ()=+,已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。 四.(20分)求下列积分的值 1. () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2. ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五.(15分)若函数()z ?在点解析,试分析在下列情形: 1.为函数()f z 的m 阶零点; 2.为函数()f z 的m 阶极点; 求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。 六.(15分)试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。 七.(10分)已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=? ,试证明其傅氏变换为()1 j πδωω+。 中南大学考试试卷(A)答案 2010-2011 第一 复变函数与积分变换 (A) 数理学院 自动化各专业 (答案写在答题纸上,写在试题纸上无效) 一、 选择题(每小题3分,共18分) 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ,则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1,则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、-2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n (的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、+∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题 学期 学年 拟题学院(系): 适 用 专 业: 二、 填空题(每小题3分,共21分) 1、当1≤z 时,a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才,则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、 计算题(每小题10分,共50分) 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导?何处解析?在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1 p269第六章习题(一) [ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ] 7.从 Ceiz /√zdz出发,其中C是如图所示之周线(√z沿正实轴取正值),证明:(0, +)cosx/√xdx= (0, +)sinx/√xdx=√(/2). 【解】| C(R)eiz /√zdz| C(R)| eiz |/R1/2 ds = [0,/2]| ei(cos+isin) |/R1/2 ·R d Ri = [0,/2]| e Rsin |R1/2 d R R1/2 [0,/2]e Rsin d. 由sin2/([0,/2] ),故R1/2 [0,/2]e Rsin d R1/2 [0,/2]e(2R/) d C r ri = (/(2R1/2 ))(1–e R )/(2R1/2 所以,| C(R)eiz /√zdz|0 (asR+).rR而由| C(r)eiz /√zdz|(/(2r1/2 ))(1–e r ) 知| C(r)eiz /√zdz|0 (asr0+ ). 当r0+ ,R+时, [r,R]eiz /√zdz= [r,R]eix /√xdx= [r,R](cosx+isinx)/√xdx (0, +)cosx/√xdx+i (0, +)sinx/√xdx. [ri,Ri]eiz /√zdz= [r,R]ei(iy) /√(iy)idy= [r,R]e y ei/4 /√ydy. = (1 +i)/√2 · [r,R]e y /√ydy= 2(1 +i)/√2 · [√r,√R]e u^2 du (1 +i)√2 · (0, +)e u^2 du= (1 +i)√2 ·√/2 = (1 +i)√(/2).由Cauchy积分定理, Ceiz 《复变函数》期中试题本试卷共7道大题,满分100分 1.设f(x,y)是(0,0)∈R2=C邻域上关于实变量(x,y)二阶连续可导 的函数。用复变量z=x+iy和ˉz=x?iy及其相关的一阶、二阶偏导给出这一函数在z=0邻域上的Taylor展开。(20分) 2.证明复函数(x2+2y)+i(y?3x)不是复变量z=x+iy的解析函 数。构造一个尽可能简单地二阶多项式函数p(x,y)+iq(x,y),使得(x2+2y)+i(y?3x)+p(x,y)+iq(x,y)是复变量z=x+iy不为常数的解析函数。(20分) 3.表述Cauchy定理(不证)。利用Cauchy定理证明解析函数的Cauchy 积分公式。(15分) 4.令D={x+iy|y>0}为上半平面,证明D到自身,并且将i∈D 映到i∈D的解析同胚全体构成的群可以用一个实参数来表示,给出群运算(同胚的复合与同胚的逆)与参数的关系。(15分) 5.(a)给出单位圆盘D(0,1)到上半平面D={x+iy|y>0}的所有解 析同胚映射。证明你的结论; (b)证明在这些同胚中,存在唯一的一个同胚f(z),满足f(0)= i,f′(0)>0。(15分) 6.设D={z|1<|z|<2}为圆环,f(z)是D上的解析函数,证明f(z) 可以分解为f(z)=f1(z)+f2(z)的形式,其中f1(z)和f2(z)分别是圆盘D(0,2)={z||z|<2}和扩充复平面ˉC=C∪{∞}中取区域ˉC?D(0,1)上的解析函数。如果上面分解中要求f (0)=0,问这样 1 的分解是否是唯一的,为什么?(8分) 7.令D={z=x+iy||z|<1,y>0}为单位圆盘的上半部分,设f(z) 是D上解析,D上连续的函数,并且当z=x为实数时,f(z)也是实数。在单位圆盘D(0,1)上定义函数g(z)为:g(z)=f(z),如果z=x+iy满足y≤0;g(z)=f(ˉz),如果z=x+iy满足y<0,证明g(z)是单位圆盘D(0,1)上的解析函数(本题的结论如果直接引用定理,请给出定理的证明。证明中用到的其他定理只需表述,不需证明)(7分) (编辑:伏贵荣2017年4月,任课老师:谭小江) 复变函数试题汇总 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分): 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析. ( ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ) 3 . 若 } {n z 收敛,则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析,且 0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点,则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f (z )在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f (z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ,则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点,则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题(40分): 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2,其中 }3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内 习题一答案 1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (1) 1 32i + (2) (1)(2) i i i -- (3)13 1 i i i - - (4)821 4 i i i -+- 解:(1) 132 3213 i z i - == + , 因此: 32 Re, Im 1313 z z ==-, 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ (2) 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- , 因此, 31 Re, Im 1010 z z =-=, 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- (3) 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - , 因此, 35 Re, Im 32 z z ==-, 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= (4)821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re1,Im3 z z =-=, arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i(2 )1 -+(3)(sin cos) r i θθ + (4)(cos sin) r i θθ -(5)1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解:(1)2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= (2 )1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= (4)(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= (5)2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3. 求下列各式的值: (1 )5)i - (2)100100(1)(1)i i ++- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- (4) 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- (5 (6 解:(1 )5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ (2)100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题(A ) 一.填空题(每小题3分,共计15分) 1. 2 3 1i -的幅角是( );2.)1(i Ln +-的主值是 ( );3. 2 11)(z z f +=,=)0() 5(f ( ); 4.0=z 是 4 sin z z z -的( )极点;5. z z f 1 )(=,=∞]),([Re z f s ( ) ; 二.选择题(每小题3分,共计15分) 1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( ); (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(; (C ) y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(. 2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=?C z z f . (A ) 23-z ; (B )2 )1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z . 3.如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛,则级数在 (A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛; (C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散. 4.下列结论正确的是( ) (A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=? C dz z f (C )如果 0)(=? C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析; (D )函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是( ). (A) 的可去奇点;为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分) (1)设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a (2).计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周:2=z ; 得分 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点) ,(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为 i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) 第三章习题详解 1. 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段; 解:连接自原点至i +3的直线段的参数方程为:()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至i +3; 解:连接自原点沿实轴至3的参数方程为:t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为:it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ( ()()()3 3331 02 3 02 302 33 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平方向向右至i +3。 解:连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为:it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??? ???==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为:i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2. 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解:x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 02 10 2 / 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 【最新整理,下载后即可编辑】 【最新整理,下载后即可编辑】 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点,则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题(40分): 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的 罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题(二) 二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.(n 为自然数) 伊犁师范学院数学系考试试题 课程:复变函数 专业:数学与应用数学 年级: 考试形式:闭卷 编号:一 命题教师: 一、 判断题(4x10=40分): 1、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导。( ) 2、如果z 0是f (z )的本性奇点,则)(lim 0 z f z z →一定不存在。( ) 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( ) 4、cos z 与sin z 在复平面内有界。( ) 5、若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。( ) 6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件,则f (z )在z 0解析。( ) 7、若)(lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0是函数的可去奇点。( ) 8、若f (z )在单连通区域D 内解析,则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=? C dz z f 。( ) 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数,则它在D 内有任意阶导数。( ) 10、若函数f (z )在区域D 内的解析,且在D 内某个圆内恒为常数,则在区域D 内恒等于常数。( ) 二、填空题(4x5=20分) 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数∑+∞ =0n n nz 的和函数为__________。 3、设1 1 )(2+= z z f ,则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞ =0 n n nz 的收敛半径为_________。 5、=)0,(Res n z z e _____________。 三、计算题(8x5=40分): 第二章解析函数 1-6 题中: (1)只要不满足 C-R 条件,肯定不可导、不可微、不解析 (2)可导、可微的证明:求出一阶偏导u x, u y, v x, v y,只要一阶偏导存在且连续,同时满足C-R 条件。 (3)解析两种情况:第一种函数在区域内解析,只要在区域内处处可导,就处处解析;第二种情况函数在某一点解析,只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析,如果只在该点可导,而在其邻域不可导则在该点不解析。 (4)解析函数的虚部和实部是调和函数,而且实部和虚部守C-R 条件的制约,证明函数区域内解析的另一个方法为:其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件,反过来,如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导: f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析,并满足下列的条件,证明 f ( z) 必为常数。 (1)f z 0 z D 证明:因为 f ( z) 在区域上解析,所以。 令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ,即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得:u v u v x y 0, 0 。 y x 所以, u( x, y) C1(常数),v( x, y) C2(常数),即 f (z) C1 iC2为 常数。 5、证明函数在z 平面上解析,并求出其导数。 (1) e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y). 证明:设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) , v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ; y u e x ( x sin y sin y y cos y) ; v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件,故函数在 z 平面上 解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、(1)由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。 , , 解: u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析,根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数,再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x , x 2 所以 (x) x ,即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ,所以当 x 0, y 1 ,时 u 1 1 1 , v c 1得 c 2 2 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点,则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题(40分): 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ,求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2,其中 }3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数, 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 1.第1题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:D 题目分数:1.0 此题得分:1.0 2.第2题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:B 题目分数:2.0 此题得分:2.0 3.第3题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:C 题目分数:2.0 此题得分:2.0 4.第4题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:C 题目分数:2.0 此题得分:2.0 5.第5题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:B 题目分数:2.0 此题得分:2.0 6.第6题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:D 题目分数:1.0 此题得分:1.0 7.第7题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:C 题目分数:2.0 此题得分:2.0 8.第8题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:B 题目分数:2.0 此题得分:2.0 9.第9题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:B 题目分数:2.0 此题得分:2.0 10.第10题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:D 题目分数:2.0 此题得分:2.0 11.第11题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:A 题目分数:2.0 此题得分:2.0 12.第12题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:A 题目分数:2.0 此题得分:2.0 13.第13题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:C 题目分数:2.0 此题得分:2.0 14.第14题 A.. B.. C.. D.. 您的答案:B 题目分数:2.0 此题得分:2.0 15.第15题 A.. B.. C.. D..复变函数试题2
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