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201x年中考数学总复习第三单元函数课时训练16二次函数的应用练习湘教版

201x年中考数学总复习第三单元函数课时训练16二次函数的应用练习湘教版
201x年中考数学总复习第三单元函数课时训练16二次函数的应用练习湘教版

课时训练(十六)二次函数的应用

(限时:45分钟)

|夯实基础|

1.某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件.现需降价处理,且经市场调查:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,则y关于x的函数表达式为()

A.y=-x2+10x+1200(0

B.y=-x2-10x+1250(0

C.y=-x2+10x+1250(0

D.y=-x2+10x+1250(x≤60)

2.[xx·临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:

t01234567…

h08141820201814…

下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=;③足球被踢出9 s时落地;④足球被踢出1.5 s时,距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

3.[xx·绵阳]图K16-1是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下降2 m,水面宽度增加m.

图K16-1

4.[xx·沈阳]如图K16-2,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m时,矩形土地ABCD的面积最大.

图K16-2

5.某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫,前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下:

(1)月销量y(件)与售价x(元)的关系满足y=-2x+400;

(2)工商部门限制销售价x满足70≤x≤150.给出下列结论(计算月利润时不考虑其他成本):

①这种文化衫的月销量最小为100件;

②这种文化衫的月销量最大为260件;

③销售这种文化衫的月利润最小为2600元;

④销售这种文化衫的月利润最大为9000元.

其中正确的是.(把所有正确结论的序号都填上)

6.如图K16-3,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案,按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为m,到墙边的距离分别为m,m.

(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;

(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?

图K16-3

7.[xx·安徽]小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,平均每盆盆景的利润是160元,平均每盆花卉的利润是19元.调研发现:①盆景每增加1盆,平均每盆利润减少2元;每减少1盆,平均每盆利润增加2元.②平均每盆花卉的利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).

(1)用含x的代数式分别表示W1,W2.

(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大?最大总利润是多少?

. |拓展提升|

8.[xx·荆州]为响应荆州市“创建全国文明城市”的号召,某单位不断美化环境,拟在一块矩形空地上修建绿色植物园,其中一边靠墙,可利用的墙长不超过18 m,另外三边由36 m长的栅栏围成,设矩形ABCD空地中,垂直于墙的边AB=x m,面积为y m2(如图K16-4).

(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

(2)若矩形空地的面积为160 m2,求x的值.

(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表),则丙种植物最多可以购买多少棵?此时,这批植物可以全部栽种到这块空地上吗?请说明理由.

甲乙丙

单价(元/棵)141628

合理用地(m2/棵)0.410.4

图K16-4

参考答案

1.A

2.B[解析] 由表格可知抛物线过点(0,0),(1,8),(2,14),设该抛物线的表达式为h=at2+bt,将(1,8),(2,14)分别代入,得

解得

∴h=-t2+9t=-t-2+,则足球距离地面的最大高度为m,对称轴是直线t=,所以①错误,②正确;令h=-t2+9t=0,解得t=0或t=9,所以③正确;当t=1.5时,h=-t2+9t=11.25,所以④错误.故选B.

3.(4-4)

4.150[解析] 设AB=x m,矩形土地ABCD的面积为y m2,由题意,得y=x·=-(x-150)2+33750,∵-<0,∴该函数图象开口向下,当x=150时,该函数有最大值,即AB=150 m时,矩形土地ABCD的面积最大.

5.①②③[解析] 当70≤x≤150时,y=-2x+400,

∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,

∴当x=150时,y取得最小值,最小值为100,故①正确;

当x=70时,y取得最大值,最大值为260,故②正确.

设销售这种文化衫的月利润为Q元,

则Q=(x-60)(-2x+400)=-2(x-130)2+9800,

∵70≤x≤150,∴当x=70时,Q取得最小值,最小值为-2×(70-130)2+9800=2600,故③正确;当x=130时,Q取得最大值,最大值为9800,故④错误.

6.解:(1)根据题意得B,,C,,

把B,C两点的坐标代入y=ax2+bx,得解得

∴拋物线的函数关系式为y=-x2+2x,

∴图案最高点到地面的距离为=1(m).

(2)令y=0,即-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,

∵10÷2=5,

∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案.

7.解:(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000,

W2=19(50-x)=-19x+950.

(2)W=W1+W2=-2x2+41x+8950(0

∵-2<0,-=,

∴当0

最大总利润为-2×102+41×10+8950=9160(元).

8.解:(1)由题意知四边形ABCD为矩形.

∴AB=DC=x,

∵AB+BC+CD=36,

∴BC=36-2x,

∴y=x(36-2x)=-2x2+36x.

∵BC>0,且BC≤18,

∴0<36-2x≤18,

∴9≤x<18.

(2)由(1)可知y=-2x2+36x(9≤x<18),

当y=160时,

-2x2+36x=160,

解得x1=10,x2=8,

∵9≤x<18,

∴x=10.

(3)设购买甲种植物a棵,乙种植物b棵,则购买丙种植物(400-a-b)棵(a,b为整数).由题意可得14a+16b+28(400-a-b)=8600,

即7a+6b=1300.

由上式得,a的最大值为184,此时b=2.

此时丙最多,为214棵,

用地面积为(184+214)×0.4+2×1=161.2(m2).

y=-2x2+36x,当x=9时,y取得最大值,为162.

∵161.2<162,∴这批植物可以全部栽种到这块空地上.

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湘教版二次函数的应用(2)

湘教版二次函数的应用(2) 二次函数与一元二次方程的联系 教学目标: 知识与技能:掌握求二次函数图象与X 轴交点方法; 过程与方法:经历观察图象求二次函数图象与X 轴交点的过程,找出二次函数与一元二次方程的联系; 情感态度与价值观:培养学生观察,拓展的思维能力。 教学重难点: 重点:二次函数图象与X 轴交点方法; 难点:通过二次函数图象估算一元二次方程的值。 教学过程: 复习:建立二次函数要注意的问题。 新知:掷铅球时,铅球在空中经过的路线是抛物线. 已知某运动员掷铅球时,铅球在空中经过的抛物线的解析式为 其中x 是铅球离初始位置的水平距离,y 是铅球离地面的高度,你能求出铅球被扔出多远吗? 学生交流讨论。 铅球的着地点A 的纵坐标y=0,横坐标x 就是铅球被扔出去的水平距离,由抛物线的解析式①,得 219=++1. 4020 y x x -①2190 = ++1. 4020x x -

即 : x 2-18x-40=0. 通过十字相乘法解得: x 1=20,x 2=-2(不合题意,舍去). 所以,铅球被扔出去20m 远. 当铅球离地面高度为2m 时,它离初始位置的水平距离是多少(精确到0.01m)? 因此,我们可以在直角坐标系中画出铅球所经过的路线图. 如图2-14所示. 从上面例子,求铅球被扔出去多远的解题过程中,你看到在求抛物线与x 轴的交点的横坐标时,需要做什么事情? 需要令y=0,解所得的一元二次方程. 学生思考二次函数与一元二次方程的联系是什么? 例2 求抛物线y=4x 2+12x+5与x 轴的交点的横坐标. 解 : 4x 2+12x+5=0, (2x+5)(2x+1)=0 解得: 所以抛物线y=4x 2+12x+5与x 轴的交点的横坐标为21 -或2 5- 。 12 15= = .22 x x --,

2019-2020年九年级数学下册 第二章二次函数复习教案 湘教版

2019-2020年九年级数学下册第二章二次函数复习教案湘教版 二、要点整合 1、二次函数平移 例1:已知二次函数 y=ax2-bx+c (-1 《 b<1》. 当 b 从一 1 逐渐变化到 1 的过程中 , 它所对应的抛物线位置也随之变动 , 下列关于抛物线的移动方向的移动方向的描述中 , 正确的是( ) (A)先往左上方移动 , 再往左下方移动 (B)先往左下方移动 , 再往左上方移动 (C)先往右上方移动 , 再往右下方移动 (D)先往右下方移动 , 再往右上方移动 2. 二次函数的对称轴及顶点坐标的求法 例2已知抛物线y=ax2 + bx+c经过 (-1,0),(0, - 3),(2, - 3) 三点 . (1) 求这条抛物线的解析式 ; (2) 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标

3. 二次函数的图象及 a 、 c 、 b2-4ac 的符号 (1) 二次函数的图象是一条抛物线 . (2) 二次函数 y= a x2+bx+c( a≠ O) 的性质 例3.在同一直角坐标系中 , 一次函数 y= ax+b 和二次函数 y=ax2+bx 的图象可能为图中的() (A) (B) (C) (D) 4、综合应用 阅读下面的文字后,解答问题. 有这样一道题目:“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a) 、 B(1,-2) ,求证:这个二次函数图象的对称轴是直线x=2.”题目 中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字. (1)根据现有信息,你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能,写出求解过程,若不能请说明理由; (2)请你根据已有信息,在原题中的矩形框内,填上一个适当的条件,把原题补充完整. 三、需要注意的问题 在学习二次函数时,要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中,在用待定系数法求二次函数关系式的过程中,在利用二次函数图象求解方程与方程组时,都体现了数形结合的思想。 四.自我测试 1.抛物线经过点(3,-1),则抛物线的函数关系式为. 2.抛物线,开口向下,且经过原点,则k= . 3.点A(-2,a)是抛物线上的一点,则a= ; A点关于原点的对称点B 是;A点关于y轴的对称点C是;其中点B、点C在抛物线上的是. 4.若抛物线的顶点在x轴上,则c的值是. 5.把函数的图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得新图象的函数关系式为.

201x-201x学年九年级数学下册第1章二次函数1.5二次函数的应用练习新版湘教版

1.5 二次函数的应用 知|识|目|标 1.通过回顾建立方程模型解决实际问题的基本方法,在探究“动脑筋”的基础上,理解通过建立二次函数模型解决实际问题的方法. 2.根据几何图形及其性质建立二次函数关系,并能解决有关面积的问题. 3.能够利用二次函数的最大(小)值解决实际问题中的最值问题. 目标一理解建立二次函数模型解决实际问题的方法 例1 教材“动脑筋”改编有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽为20 m,拱顶距离水面4 m. (1)在如图1-5-1所示的平面直角坐标系中,求出该抛物线的函数表达式; (2)在正常水位的基础上,当水位上升h m时,桥下水面的宽为d m,求d关于h的函数表达式; (3)设正常水位时桥下的水深为2 m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18 m,求水深超过多少米时,就会影响过往船只在桥下的顺利航行. 图1-5-1 【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的“五步骤”: (1)恰当地建立平面直角坐标系; (2)将已知条件转化为点的坐标; (3)合理地设出所求函数表达式; (4)代入已知条件或点的坐标求出函数表达式; (5)利用函数表达式解决问题. 目标二能利用二次函数解决几何图形的面积问题 例2 高频考题如图1-5-2,把一张长15 cm、宽12 cm的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的小正方形,再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).设剪去的小正方形的边长为x cm. (1)请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积. (2)当剪去的小正方形的边长为多少时,其底面积是130 cm2? (3)试判断折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值,若有,请求出最大值和此时剪去的小正方形的边长;若没有,请说明理由.

湘教版九年级下册2.3二次函数的应用3教案

2.3 二次函数的应用 目标与方法: 1、通过简单的实例,了解常量与变量的意义,能确定实际问题中的变量与常量; 2、初步掌握函数的概念,能判断两个变量之间的关系是不是函数关系,能分清函数关系中的自变量与函数(因变量); 3、初步学会用变化的观点及思想去认识世界、解决问题。 重点与难点: 1、确定实际问题中的变量与常量;分清函数关系中的自变量与函数(因变量); 2、判断两个变量之间的关系是不是函数关系。 教学过程: 一、引入 从甲地到乙地,座在匀速行驶 的列车上,小明、小丽、小亮和小华 谈论着车速、路程和时间,谈论着数 量的变化和位置的变化。你如果是 他们中的一员,请思考下列问题: 1、列车行驶这一过程中,哪些数量在改变,哪些数量没有变?(和小明、小丽、小亮和小华的答案作对比) 2、除了小明、小丽所说的那些不变的数量外,在这个问题中还有不变的数量吗? 3、除了小亮、小华所说的那些变化的数量外,在这个问题中还有变化的数量吗? 二、探索新知 在上面的过程中,列车行驶的速度,甲、乙两地的路程都始终保持同一数值;列车行驶的时间,列车与甲、乙两地间的路程不断变化。 ※在某一变化过程中,数值保持不变的量叫做常量;可以取不同数值的量叫做变量。 三、灵活应用 【例】(1)匀速直线运动中,速度是常量,时间与路程均为变量;(2)电影院里统计票房收入,对某一个场次和座位类别而言,票价是常量,而售票张数和收入均为变量;(3)某日或连续几日测量某同学的身高,可以近似地看做常量;… 四、函数的引入 1、工作人员将水库的水位变化与水库蓄水量变化情况列成下表: 水位/m 106 120 133 135 … 蓄水/m3 2.30×1077.09×107 1.18×108 1.23×108…

第2章二次函数检测题及答案(湘教版九年级下)

第2章 二次函数检测题 (本检测题满分:120分,时间:120分钟) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.抛物线向右平移3个单位得到的抛物线对应的函数关系式为( ) A. B. C. D. 2.已知二次函数的图象如图所示,则对应a ,k 的符号正确的是( ) A. B. C. D. 3.把二次函数2 1 3212--- =x x y 的图象向上平移3个单位,再向右平移4个单位,则两次平移后的图象的解析式是( ) A.x y (21- = B.x y (21- = C.x y (2 1- = D.x y (2 1- = 4.一次函数 与二次函数在同一坐标系中的图象可能是( ) 5.在平面直角坐标系中,抛物线 与x 轴的交点的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 x y O 第2题图

6.抛物线轴的交点的纵坐标为( ) A.-3 B.-4 C.-5 D.-1 7.对于任意实数,抛物线 总经过一个固定的点,这个点是( ) A.(1,0) B.(,0) C.( ,3) D.(1,3) 8.已知抛物线经过原点和第一、二、三象限,那么( ) A. B. C. D. 9.若(2, 5),(4, 5)是抛物线 上的两点,则它的对称轴是( ) A. 直线 B.直线 C.直线 D.直线 10.已知二次函数的图象如图所示,其 对称轴为直线,给出下列结论: (1); (2) >0;(3) ; (4) ; (5) . 期中正确的结论是( ) A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(4)(5) C.(2)(3)(4) D.(1)(4)(5) 二、填空题(每小题3分,共24分) 11.若抛物线 经过原点,则= . 12.如果二次函数1 6 图象顶点的横坐标为1,则的值为 . 13.对于二次函数 , 已知当由1增加到2时,函数值减小3,则常数的值是 . 14.将抛物线3)3(22 +-=x y 向右平移2个单位后,再向下平移5个单位,所得抛物线的顶点坐标为_______. 15.抛物线在轴上截得的线段长度是 . 16.二次函数 的图象是由函数 的图象先 向 (左、右)平移 个单位,再向 (上、 下)平移 个单位得到的. 17.如图,已知抛物线 经过点(0,-3), 请你确定一个的值使该抛物线与轴的一个交点在(1,0) 第10题图 第17题图

湘教版九下23二次函数的应用同步测试题

2.3二次函数的应用 【知识要点】 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值,首先用应当求出函数解析式和自变量的取值范围,求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围内. 课内同步精练 ●A 组 基础练习 1. 二次函数y=x 2-3x-4的顶点坐标是 , 对称轴是直线 ,与x 轴的交点是 ,当x= 时,y 有最 ,是 . 2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则a 的符号是 ,b 的符号 是 ,c 的符号是 .当x 时, y >0,当x 时,y=0, 当x 时,y < 0 . 3. 若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点,则m 的值是( ) A .1 B. 0 C. 2 D. 0或2 4. 下列各图中有可能是函数y=ax 2+c,(0,0)a y a c x =≠>的图象是( ) ●B 组 提高训练 5. 心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位:分)之间满 足函数关系y=-0.1x 2+2.6x +43(0≤x ≤30).y 值越大,表示接受能力越强. (l) x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内,学生的接受能力逐 步降低? (2)某同学思考10分钟后提出概念,他的接受能力是多少? (3)学生思考多少时间后再提出概念,其接受能力最强? 课外拓展练习 ●A 组 基础练习 1. 抛物线y=ax 2+bx ,当a>0,b<0时,它的图象象经过第 象限 2. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ). 3. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的最大值为94 ,则m= . 4. 正方形边长为 2 ,若边长增加x ,那么面积增加y ,则y 与二的函数关系式 . 5. 二次函数y=4x 2 -x+1的图象与x 轴的交点个数是( ) A. l 个 B.2个 C. l 个 D.无法确定

新湘教版九年级下册数学全册教案课程

新湘教版九年级下册数学全册教案课程 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

第1章二次函数 二次函数 【知识与技能】 1.理解具体情景中二次函数的意义,理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.【过程与方法】 经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系. 【情感态度】 体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识. 【教学重点】 二次函数的概念. 【教学难点】 在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程. 一、情境导入,初步认识 1.教材P2“动脑筋”中的两个问题:矩形植物园的面积S(m2)与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0

在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax 2+bx+c(a, b,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数,其中x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出. 三、典例精析,掌握新知 例1 指出下列函数中哪些是二次函数. (1)y=(x-3)2-x 2 ;(2)y=2x(x-1);(3)y=32x-1;(4)y= 22x ;(5)y=5-x 2 +x. 【分析】先化为一般形式,右边为整式,依照定义分析. 解:(2)(5)是二次函数,其余不是. 【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路: 1.将函数化为一般形式. 2.自变量的最高次数是2次. 3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0. 例2 讲解教材P3例题. 【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围. 例3 已知函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)(m 是常数),当m 为何值时: (1)函数是一次函数; (2)函数是二次函数. 【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式. 解:(1)由200m m m ?-=?≠? 得01 0m m ?=≠??或 , ∴m=1.即当m=1时,函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是一次函数.

2015新湘教版九年级数学下二次函数知识点(最新整理)

(一)二次函数2014 新湘教版九年级数学下 第一章二次函数 1、二次函数的概念:一般地,形如y =ax2+bx +c (a ,b ,c 是常数,a ≠ 0 )的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二 次方程类似,二次项系数a ≠ 0 ,而b ,c 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 、二次函数y =ax2+bx +c 的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 最高次数是2. ⑵ a ,b ,c 是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. (二)二次函数的图像和性质 1、二次函数的基本形式 (1)二次函数基本形式:y =ax2的图像和性质: a 的符号开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 性质 a > 0 向上(0,0) y 轴 x > 0 时,y 随x 的增大而增大; x < 0 时,y 随x 的增大而减小; x = 0 时,y 有最小值0 . a < 0 向下(0,0) y 轴 x > 0 时,y 随x 的增大而减小; x < 0 时,y 随x 的增大而增大; x = 0 时,y 有最大值0 . (2)y =ax2+c 的图像和性质:(上加下减) a 的符号开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 性质 a > 0 向上(0,c) y 轴 x > 0 时,y 随x 的增大而增大; x < 0 时,y 随x 的增大而减小; x = 0 时,y 有最小值c . a < 0 向下(0,c) y 轴 x > 0 时,y 随x 的增大而减小; x < 0 时,y 随x 的增大而增大; x = 0 时,y 有最大值c . (3)y =a (x-h)2 的性质(左加右减) a 的符号开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 性质 a > 0 向上(h ,0) X=h x >h 时,y 随x 的增大而增大; x

新湘教版九年级下册数学全册教案

第1章二次函数 1.1 二次函数 【知识与技能】 1.理解具体情景中二次函数的意义,理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 【过程与方法】 经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系. 【情感态度】 体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识. 【教学重点】 二次函数的概念. 【教学难点】 在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程. 一、情境导入,初步认识 1.教材P2“动脑筋”中的两个问题:矩形植物园的面积S(m2)与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0

二次函数的概念及一般形式 在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax 2+bx+c(a, b,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数,其中x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出. 三、典例精析,掌握新知 例1 指出下列函数中哪些是二次函数. (1)y=(x-3)2-x 2 ;(2)y=2x(x-1);(3)y=32x-1;(4)y= 22x ;(5)y=5-x 2 +x. 【分析】先化为一般形式,右边为整式,依照定义分析. 解:(2)(5)是二次函数,其余不是. 【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路: 1.将函数化为一般形式. 2.自变量的最高次数是2次. 3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0. 例2 讲解教材P3例题. 【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围. 例3 已知函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)(m 是常数),当m 为何值时: (1)函数是一次函数; (2)函数是二次函数. 【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式. 解:(1)由200 m m m ?-=?≠? 得010m m ?=≠?? 或 , ∴m=1.即当m=1时,函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是一次函数. (2)由m 2-m ≠0得m ≠0且m ≠1,

二次函数单元

湘教版2010年九年级下第二章 二次函数单元测试题 班级 姓名 成绩 一、 选择题 1.二次函数522 -+=x x y 取最小值时,自变量x 的值是 ( ) A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 2.函数12 +-=x y 的图象大致为 ( ) 3.已知二次函数y=x 2 +x+m ,当x 取任意实数时,都有y>0,则m 的取值范围是( ) A .m ≥ 14 B .m>14 C .m ≤14 D .m<1 4 4.无论m 为何实数,二次函数y=x 2 -(2-m)x+m 的图象总是过定点( ) A.(1,3) B.(1,0); C.(-1,3) D.(-1,0) 5.二次函数y=mx 2 -4x+1有最小值-3,则m 等于( ) A .1 B .-1 C .±1 D .± 1 2 6.把抛物线1422 ++-=x x y 的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是 ( ) A.6)1(22+--=x y B. 6)1(22 ---=x y C .6)1(22++-=x y D. 6)1(22 -+-=x y 7.把抛物线y=2x 2 -4x-5绕顶点旋转180o,得到的新抛物线的解析式是( ) (A )y= -2x 2 -4x-5 (B )y=-2x 2 +4x+5 (C )y=-2x 2 +4x-9 (D )以上都不对 8.函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示, 那么关于x 的方程ax 2 +bx+c-3=0的根的情况是( )

A.有两个不相等的实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等实数根 D.无实数根 9.如图,Rt △AOB 中,AB ⊥OB ,且AB=OB=3,设直线x=?t 截此三角 形所得阴影部分的面积为S ,则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( ) 10.已知不等式x 2 +px+q<0的解集是 -3 83 B .m<0 C .m ≤0 D .m>83 12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时,每天能卖出20个,?若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润,则应降价( ) A .5元 B .10元 C .15元 D .20元 二填空题 1.炮弹从炮口射出后飞行的高度h (m )与飞行的时间t (s )?之间的函数关系式为h=v 0tsin α-5t 2 ,其中v 0?是发射的初速度,α是炮弹的发射角,当v 0=300m/s ,α=30°时,炮弹飞行的最大高度为______m ,该炮弹在空中运行了______s 落到地面上. 2.抛物线y=9x 2 -px+4与x 轴只有一个公共点,则不等式9x 2 -p 2 <0的解集是__________. 3 x O y

201X届九年级数学下册 第一章 1.5 二次函数的应用练习 (新版)湘教版

1.5 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题 基础题 知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题 1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y =-1 25 x 2,当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时,这时水面宽度AB 为(C) A .-20 m B .10 m C .20 m D .-10 m 2.西宁中心广场有各种音乐喷泉,其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m ,此时距喷水管的水平距离为1 2 m ,在如图所示的坐标系中,这个喷泉的函数关系式是(C) A .y =-(x -1 2)2+3 B .y =-3(x +12)2 +3 C .y =-12(x -1 2)2+3 D .y =-12(x +1 2 )2+3 3.某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图),大门地面宽AB =4 m ,顶部C 离地面高为4.4 m. (1)以AB 所在直线为x 轴,抛物线的对称轴为y 轴,建立平面直角坐标系,求该抛物线对应的函数表达式; (2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门,货物顶点距地面2.8 m ,装货宽度为2.4 m ,请通过计算,

判断这辆汽车能否顺利通过大门.

解:(1)如图,过AB 的中点作AB 的垂直平分线,建立平面直角坐标系.点A ,B ,C 的坐标分别为 A(-2,0),B(2,0),C(0,4.4). 设抛物线的表达式为y =a(x -2)(x +2). 将点C(0,4.4)代入得 a(0-2)(0+2)=4.4,解得a =-1.1, ∴y=-1.1(x -2)(x +2)=-1.1x 2+4.4. 故此抛物线的表达式为y =-1.1x 2+4.4. (2)∵货物顶点距地面2.8 m ,装货宽度为2.4, ∴只要判断点(-1.2,2.8)或点(1.2,2.8)与抛物线的位置关系即可. 将x =1.2代入抛物线,得 y =2.816>2.8, ∴点(-1.2,2.8)和点(1.2,2.8)都在抛物线内. ∴这辆汽车能够通过大门. 知识点2 利用二次函数解决面积问题 4.(教材P32习题T2变式)如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ,则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C) A .60 m 2 B .63 m 2 C .64 m 2 D .66 m 2 5.某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形的周长为100 m ,则池底的最大面积是(B) A .600 m 2 B .625 m 2 C .650 m 2 D .675 m 2 6.(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是252 cm 2.

九年级数学下册《二次函数的图像与性质(2)》教学教案(湘教版)

九年级数学下册《二次函数的图像与性质(2)》教学教案(湘教版) 【知识与技能】 .会用描点法画函数y=ax2的图象,并根据图象认识、理解和掌握其性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2的图象与性质解决简单的实际问题. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数的经验,培养观察、思考、归纳的优良思维习惯. 【情感态度】 通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2图象和性质的真正理解,从而产生对数学的兴趣,调动学习的积极性. 【教学重点】 ①会画y=ax2的图象;②理解、掌握图象的性质. 【教学难点】 二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会. 【知识与技能】 .会用描点法画函数y=ax2的图象,并根据图象认识、理解和掌握其性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2的图象与性质解决简单的实际问题. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数的经验,培养观察、思考、归纳的优良思维习惯. 【情感态度】

通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2图象和性质的真正理解,从而产生对数学的兴趣,调动学习的积极性. 【教学重点】 ①会画y=ax2的图象;②理解、掌握图象的性质. 【教学难点】 二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会. 【知识与技能】 .会用描点法画函数y=ax2的图象,并根据图象认识、理解和掌握其性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2的图象与性质解决简单的实际问题. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数的经验,培养观察、思考、归纳的优良思维习惯. 【情感态度】 通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2图象和性质的真正理解,从而产生对数学的兴趣,调动学习的积极性. 【教学重点】 ①会画y=ax2的图象;②理解、掌握图象的性质. 【教学难点】 二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.

湘教版_二次函数导学案

二次函数 第1课时二次函数 一、阅读教科书第2—3页 二、学习目标: 1.知道二次函数的一般表达式; 2.会利用二次函数的概念分析解题; 3.列二次函数表达式解实际问题. 三、知识点: 一般地,形如____________________________的函数,叫做二次函数。其中x是________,a是__________,b是___________,c是_____________. 四、基本知识练习 1.观察:①y=6x2;②y=-3 2x 2+30x;③y=200x2+400x +200.这三个式子中,虽然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是______次.一般地,如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),那么y叫做x的_____________. 2.函数y=(m-2)x2+mx-3(m为常数). (1)当m__________时,该函数为二次函数; (2)当m__________时,该函数为一次函数. 3.下列函数表达式中,哪些是二次函数?哪些不是?若是二次函数,请指出各项对应项的系数. (1)y=1-3x2(2)y=3x2+2x (3)y=x (x-5)+2 (4)y=3x3+2x2(5)y=x+ 1 x 五、课堂训练 1.y=(m+1)x m m 2-3x+1是二次函数,则m的值为_________________. 2.下列函数中是二次函数的是() A.y=x+ 1 2B.y=3 (x-1) 2C.y=(x+1)2-x2 D.y= 1 x2-x 3.在一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为 s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为() A.28米B.48米C.68米D.88米 4.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式 _______________________. 5.已知y与x2成正比例,并且当x=-1时,y=-3.求:(1)函数y与x的函数关系式; (2)当x=4时,y的值; (3)当y=- 1 3时,x的值.

湘教版(2012)初中数学九年级下册 1.2.2 二次函数的图象与性质—y=a(x-h)2教案

《二次函数的图像与性质——y=ɑ(x -h)2》教学设计 一、教学目标 通过抛物线y=ɑx 2(ɑ≠0)抛物线得到y=ɑ(x -h)2(ɑ≠0) ,由此探究出y=ɑ(x -h)2(ɑ≠0) 的性质,并利用性质解决相关问题。让学生经历探索过程、体验数学的趣味,以此培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数据分析等数学核心素养。 二、教学重、难点 ( 一 )重点 掌握y=ɑ(x -h)2(ɑ≠0) 的性质,并利用性质解决相关问题。 ( 二 )难点 根据抛物线y=ɑx 2(ɑ≠0)平移后的图像,探究得到它的解析式是:y=ɑ(x -h)2(ɑ≠0) 三、教具准备 投影仪、红外线电子笔 四、教学过程 (一)温故 1、请说出抛物线 ;23x y -=的开口方向、对称轴和顶点。 2、对于 y=2x 2 : (1)当x=2时,y= ,经过点( 2, ); (2)当x=3时,y= ,经过点( 3, ); (3)当x=ɑ时,y= ;经过点( ɑ, )。 3、回答下列问题(其中x 为自变量,y 为因变量):

(1)抛物线y=-3x 2,经过点( m , ); (2)抛物线y= ,经过点( n , 4n 2); (3)点(t,-t 2)为抛物线上任意一点,则它的解析式为y= ; (二)探究 问题1:221x y =的开口方向、对称轴和顶点分别是? (此处利用课件动画演示:y 轴也可以用直线x=1来表示) 问题2:将221x y =向右平移一个单位长度后,观察其开口方向、对称轴和顶点分别是? (PPT 上出示动态课件) 探究一:将抛物线221x y =向右平移一个单位长度,对比平移前后两段抛物线的解析式、开口方向、对称轴和顶点填表 平移前 平移后 解析式 开口方向 对称轴 顶点 若将二次函数221x y =向右平移1个单位长度,得到抛物线: ; (PPT 上出示动态课件,并带学生一起探究得出解析式) 探究二:若将二次函数 221x y =向右平移2个单位长度,平移后 的图像的解析式是什么? (PPT 上出示动态课件,让学生自己探究得出解析式) 填表:若将二次函数221x y =:

2020湘教版数学九年级下册1.5二次函数的应用2

第2课时 二次函数与利润问题及几何问题 1.掌握如何将实际问题转化为数学问题,进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用;(重点、难点) 2.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题及图形中最大面积问题. 一、情境导入 如图所示,要用长20m 的铁栏杆,围成一个一面靠墙的长方形花圃,怎么围才能使围成的花圃的面积最大? 如果花圃垂直于墙的一边长为x m ,花圃的面积为y m 2,那么y =x (20-2x ).试问:x 为何值时,才能使y 的值最大? 二、合作探究 探究点一:最大利润问题 某水果店销售某种水果,由历年市场行情可知,从第1月至第12月,这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势,每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2=mx 2-8mx +n ,其变化趋势如图②所示. (1)求y 2的解析式; (2)第几月销售这种水果,每千克所获得利润最大?最大利润是多少? 解:(1)由题意可得,函数y 2的图象经过(3,6),(7,7)两点,∴? ????9m -24m +n =6,49m -56m +n =7,解得???m =18,n =638.∴y 2的解析式为y 2=18x 2-x +638(1≤x ≤12,x 取整数);

(2)设y 1=kx +b ,∵函数y 1的图象过(4,11),(8,10)两点,∴?????4k +b =11,8k +b =10,解得?????k =-14,b =12.∴y 1的解析式为y 1=-14 x +12(1≤x ≤12,x 取整数).设这种水果每千克所获得的利润为w 元.则w =y 1-y 2=(-14x +12)-(18x 2-x +638)=-18x 2+34x +338,∴w =-18(x -3)2+214 (1≤x ≤12,x 取整数),∴当x =3时,w 取最大值214 ,∴第3月销售这种水果,每千克所获的利润最大,最大利润是214 元/千克. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 探究点二:几何面积问题 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x 米,面积为y 平方米. (1)求y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米? (3)能否围成面积为70平方米的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由. 解析:(1)先表示出矩形的另一边长,再根据矩形的面积公式列出函数关系式;(2)已知矩形的面积,可以转化为解一元二次方程;(3)求出y 的最大值,与70比较大小,即可作出判断. 解:(1)y =x (16-x )=-x 2+16x (0<x <16); (2)当y =60时,-x 2+16x =60,解得x 1=10,x 2=6.所以当x =10或6时,围成的养鸡场的面积为60平方米; (3)方法一:当y =70时,-x 2+16x =70,整理得x 2-16x +70=0,由于Δ=256-280=-24<0,因此此方程无实数根,所以不能围成面积为70平方米的养鸡场;方法二:y =-x 2+16x =-(x -8)2+64,当x =8时,y 有最大值64,即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米,所以不能围成70平方米的养鸡场. 方法总结:与面积有关的函数与方程问题,可通过面积公式列出函数关系式或方程,再利用函数和方程的思想进行解答. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 三、板书设计

新湘教版二次函数单元测试题

- 1 - 二次函数单元测试题一 一、选一.选择题:(每题3分,共30 分) 1.2.3.关于二次函数y=x 2+4x -7的最大(小)值,叙述正确的是( ) A.当x=2时,函数有最大值 B.x=2时,函数有最小值 当x=-1时,函数有最大值 D.当x=-2时,函数有最小值 4.二次函数y ax bx c =++2的图象如图1所示,则下列结论正确的是( ) a b c ><>000,, B. a b c <<>000,, C. a b c <><000,, D. a b c <>>000,, 5.如果二次函数 y ax bx c =++2(a >0)的顶点在x 轴上方,那么( ) A.b 2 -4ac ≥0 B.b 2 -4ac <0 C.b 2 -4ac >0 D.b 2 -4ac =0 6.已知二次函数y=-12x 2-3x -5 2 ,设自变量的值分别为x 1,x 2,x 3, 且-3y 2>y 3 B.y 1y 3>y 1 D.y 2y , 则x 的取值范围是( ) A.14<< -x B.13<<-x C. 4-x D.3-x 8. 已知二次函数 2(0)y kx k k =+≠与反比例函数k y x =- ,它们在同一直角坐标 ) 9. 若抛物线 22y x x c =-+与y 轴的交点为(03)-, ,则下列说法不正确的是( ) A .抛物线开口向上 B .抛物线的对称轴是1x = C .当1x =时,y 的最大值为4- D .抛物线与x 轴的交点为(1 0)(30)-,,, 10.如图所示,已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4, 图象交x 轴于点A(m ,0)和点B ,且m>4,那么AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 二、填空题(每题2分,共20分) 11.若y=(2-m)23 m x -是二次函数,且开口向上,则m 的值为 12. 把抛物线432-=x y 的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的 抛物线 的函数关系式是 13.若二次函数y=ax 2的图象经过点(-1,2),则二次函数y=ax 2的解析式是__ 14.抛物线342++=x x y 与y 轴交点坐标是 A. B. C. D.

九年级数学下册 第二章二次函数复习教案 湘教版

第二章二次函数 二、要点整合 1、二次函数平移 例1:已知二次函数 y=ax2-bx+c (-1 《 b<1》. 当 b 从一 1 逐渐变化到 1 的过程中 , 它所对应的抛物线位置也随之变动 , 下列关于抛物线的移动方向的移动方向的描述中 , 正确的是( ) (A)先往左上方移动 , 再往左下方移动 (B)先往左下方移动 , 再往左上方移动 (C)先往右上方移动 , 再往右下方移动 (D)先往右下方移动 , 再往右上方移动 2. 二次函数的对称轴及顶点坐标的求法 例2已知抛物线y=ax2 + bx+c经过 (-1,0),(0, - 3),(2, - 3) 三点 . (1) 求这条抛物线的解析式 ; (2) 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标

3. 二次函数的图象及 a 、 c 、 b 2 -4ac 的符号 (1) 二次函数的图象是一条抛物线 . (2) 二次函数 y= a x 2 +b x+c( a ≠ O) 的性质 例3.在同一直角坐标系中 , 一次函数 y= ax+b 和二次函数 y=ax 2 +bx 的图象可能为图中的( ) (A) (B) (C) (D) 4、综合应用 阅读下面的文字后,解答问题. 有这样一道题目:“已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2) ,求证:这个二次函数图象的对称轴是直线x=2.”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字. (1)根据现有信息,你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能,写出求解过程,若不能请说明理由; (2)请你根据已有信息,在原题中的矩形框内,填上一个适当的条件,把原题补充完整. 三、需要注意的问题 在学习二次函数时,要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中,在用待定系数法求二次函数关系式的过程中,在利用二次函数图象求解方程与方程组时,都体现了数形结合的思想。 四.自我测试 1.抛物线2 ax y =经过点(3,-1),则抛物线的函数关系式为 . 2.抛物线9)1(2 2 -++=k x k y ,开口向下,且经过原点,则k= . 3.点A (-2,a )是抛物线2 x y =上的一点,则a= ; A 点关于原点的对称点B 是 ;A 点关于y 轴的对称点C 是 ;其中点B 、点C 在抛物线2 x y =上的是 . 4.若抛物线c x x y +-=42 的顶点在x 轴上,则c 的值是 .

湘教版九年级下1.2二次函数的图像与性质(1)教学教案

1.2 二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质 【知识与技能】 1.会用描点法画函数y=ax2(a>0)的图象,并根据图象认识、理解和掌握其性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a>0)的图象和性质解决简单的实际问题. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2(a>0)图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数的经验,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯. 【情感态度】 通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a>0)图象和性质的真正理解,从而产生对数学的兴趣,调动学生的积极性. 【教学重点】 1.会画y=ax2(a>0)的图象. 2.理解,掌握图象的性质. 【教学难点】 二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程. 一、情境导入,初步认识 问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢? 问题2如何用描点法画一个函数图象呢?

【教学说明】 ①略;②列表、描点、连线. 二、思考探究,获取新知 探究1 画二次函数y=ax 2(a >0)的图象. 画二次函数y=ax 2的图象. 【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x 2的图象,同学们画好后相互交流、展示,表扬画得比较规范的同学. ②从列表和描点中,体会图象关于y 轴对称的特征. ③强调画抛物线的三个误区. 误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势. 如图(1)就是y=x 2的图象的错误画法. 误区二:并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形. 如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x 2的图象的错误画法. 误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止. 如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x 2图象的错误画法. 探究2 y=ax 2(a >0)图象的性质在同一坐标系中,画出y=x 2, 212 y x ,y=2x 2的图象. 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a >0)的图象和性质. 【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y 随x 的增

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