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微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解

第9章

习题9-1

1．判定下列级数的收敛性：

(1)

n a

∞

=?∑（a ＞0）； (2)

∑∞

)1(

n n n ;

(3)

∑

∞

=+13

1n n ; (4)

∑

∞

=-+12

)

1(2n n

;

(5)

∑∞

=+11

n n n

; (6)

∑∞

=-1

1(n n

;

(7)

∑

∞

=+1

1n n

n ; (8)

(1)21

n n n ∞

=-?+∑

．

解：（1）该级数为等比级数，公比为1a

,且0a >,故当1||1a

<,即1a >时，级数收敛，当1||1

≥即01a <≤时，级数发散.

（2）

n S =-+++

l i m n n S →∞

=∞

∴

n ∞

=∑发散.

（3）1

n n ∞

=+∑

是调和级数1

1n n

∞

=∑

去掉前3项得到的级数，而调和级数1

1n n

∞

=∑

发散，故原

级数1

n n ∞

=+∑

发散.

（4）

12(1)

1(1)2

22n

n n

n n ∞

∞

-==??+--=+ ???∑

∑ 而1

n n ∞

-=∑

(1)2

n ∞

=-∑

是公比分别为

的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)22n

n n

n ∞

-=??-+ ???

∑收敛，即原级数收敛.

（5） ln

ln ln(1)1

n n n n =-++

于是(ln 1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ l n 1l (

l n (n n =-+=-+ 故lim n n S →∞

=-∞,所以级数1

n n n ∞

=+∑发散.

（6） 2210,2n n S S +==-

∴

lim n n S →∞

不存在，从而级数1

(1)2n n ∞

=-∑发散.

（7） 1lim lim

10n n n n U n

→∞

+==≠

∴ 级数1

1n n n

∞

=+∑

发散.

（8） (1)(1)

, l i m 2121

n n n

n U n n →∞--=

=++ ∴ l i m 0n x U

→∞

≠，故级数1

(1)21

n n n ∞

=-+∑

发散.

2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：

(1) ∑∞

=??? ??+1312

n n n ； (2) ※

∑∞

=++1)2)(1(1

n n n n ;

(3)

∑

∞=?1

2sin

n n

n π; (4)

πcos

n n ∞

=∑

．

解：（1）1

11, 2

n n ∞

∞

==∑

∑

都收敛，且其和分别为1和

，则1

112

n n ∞

=??

???

∑收敛，且其和为1+

（2） 1

1121(1)(2)

212n n n n n n ??

-+ ?++++??

∴1211121112

1112

1122322

3423

45212n S n n n ?????

???

-++-++-

+++-+ ? ? ? ?++???????

11112212n n ??

-+ ?++?? 1lim 4

n n S →∞

故级数收敛，且其和为

（3）πsin 2n U n n =,而π

sin

π2lim lim 0π222n n n U n

→∞→∞=?=≠，故级数1

πsin

2n n n ∞

=?∑发散. （4）π

cos 2

n n U =,而4lim lim cos 2π1k k k U k →∞→∞==,42lim lim cos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-

故lim n n U →∞

不存在，所以级数0

πcos

n n ∞

=∑发散.

3※

．设1

n n U ∞

=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明1

n n U ∞

=∑亦收敛．

证：设1

(0)n n n U U ∞

=>∑加括号后级数1

n n A ∞

=∑收敛，其和为S .考虑原级数1

n n U ∞

=∑的部分和

n k

k S U

∞

∑，并注意到0(1,2,)k U k >= ，故存在0n ,使

n n k

t k t S U

A s ∞

===

<∑∑

又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim n

n S →∞

存在，即原级数1

n n U ∞

=∑亦收敛.

习题9-2

1．判定下列正项级数的收敛性：

(1)

∑∞

=++1n n n )

2)(1(1

; (2)

∑

∞

=+1

n n n 1

;

(3)

∑∞

=++1n n n n )

2(2

; (4)

∑

∞

=+1n n n )

5(12

；

(5)

n a

∞

=+∑ (a ＞0); (6)

∑∞

=+1

n n

a 1

(a , b ＞0);

(7)

(

)

∑∞=--

n a n a n 2

(a ＞0); (8)

∑∞

=-+1

n n

n 1

；

(9)

∑∞

=?1n n

n n 2

； (10) ※

∑

∞

n n

;

(11)

∑∞

=+????+????1

n n n )

13(1074)

12(753 ; (12)

∑∞

n n

；

(13) ※

∑

∞

=1n n

n 2

)!(2

； (14) ∑∞

=???

?+1n n

n n 12;

(15)

∑∞

πn n

sin

; (16)

∑

∞

n n

n n 2

cos 3

2．

解：（1）因为2

11(1)(2)

n n n

++而2

1n n

∞

=∑

收敛，由比较判别法知级数1

1(1)(2)

n n n ∞

=++∑

收

敛.

（2

）因为lim lim

10n n n U →∞

→∞

==≠，故原级数发散.

（3）因为

21(1)

(1)

n n n n n n n +>

+++，而1

n n ∞

=+∑

发散，由比较判别法知，级数

(1)

n n n n ∞

=++∑

发散.

（4）

111

n <

而1

n ∞

=∑

是收敛的p -

级数3(1)2

p =

由比较判别法知,

级数1

n ∞=∑

收敛.

（5）因为1

11lim lim

lim (1)1

11n

n n n n

→∞→∞

→∞

+==-

120

a a a >???==?

而当1a >时，11n

n a

∞

=∑

收敛，故1

11n

n a

∞

=+∑

收敛;

当1a =时，1

n a

∞

=∑

1n ∞

=∑发散，故1

11n

n a

∞

=+∑

发散;

当01a <<时1

lim

101n

n a

→∞

=≠+，故1lim

n a

→∞

+发散;

综上所述，当01a <≤时，级数1lim

n a

→∞

+发散，当1a >时，1lim 1n

n a

→∞

+收敛.

（6）因为1

lim lim

lim (1)1

n n

n n n n

a a b

a b

→∞→∞

→∞

+==-

11110

b b a b >???==?

+?<

而当1b >时,

n b

∞

=∑收敛，故1

n a b

∞

=+∑

收敛;

当1b =时，1

11n

n n b

∞

===

∑

∑发散，故而由0a >, 101

a <

<+∞+,故1

n a b

∞

=+∑

也发散;

当01b <<时，11lim

n a b

→∞

≠+故1

n a b

∞

=+∑

发散;

综上所述知，当01b <≤时，级数1

n a b

∞

=+∑

发散;当b >1时，级数1

n a b

∞

=+∑

收敛.

（7

）因为lim

lim

1n n n

→∞

lim

0n a →∞

==>

而1

1n n

∞

=∑

发散，故级数1

0)n a ∞

=>∑发散.

（8）因为43

21lim lim 1212

n n n n n n n n

→∞→∞++-==- 而3

1n n

∞

=∑

收敛，故级数2

121

n n n ∞

=+-∑

收敛.

（9）因为1

233lim

lim

1(1)2

2(1)

n n

n n n

n n n n

U n n U n n +++→∞

→∞

>+?+由达朗贝尔比值判别

法知，级数1

n n

n n ∞

=?∑

发散.

（10）因为1

1(1)

!1lim

lim

lim (1)1(1)!

n n

n n n n

U n n e U n n

++→∞

→∞

+=?

=>+，由达朗贝尔比值判别

法知，级数1

n n

n ∞

=∑

发散.

（11）因为1357(21)(23)4710(31)lim

lim

4710(31)(34)357(21)

n n n n

U n n n U n n n +→∞

→∞

????+?+????+=?

????+?+????+

2l i m

134

n n n →∞

+==

<+,

由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.

（12）因为111311

lim

lim lim 1333

n n n n n n

U n n U n n ++→∞

→∞→∞++=?==<，由达朗贝尔比值判别法知，级数1

n n ∞

=∑

收敛.

（13）因为2

(1)

[(1)!]2

(1)lim

lim

(!)2

n n n n n n n

U n n U n +++→∞

→∞

++=?

由2

(1)2(1)1

lim

2ln 22

ln 2

x x x x x x x x x +++→∞

→+∞

+++==??

l i m

2(l n 2)

x x +→+∞

==?知2

121

(1)lim lim

012

n n n n n

U n U ++→∞

→∞

+==<

由达朗贝尔比值判别法知，级数2

(!)2

n n ∞

=∑

收敛.

（14

）因为1

lim lim 1212n n n n →∞

→∞==<+，由柯西根值判别法知级数121n

n n n ∞

=??

?+??

∑收敛.

（15）因为π

π2sin

sin 33

lim

1π2π3

n n n n

→∞

==?

而1

1223

n n

n n ∞

∞

==??

= ???∑

∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数1

2π3n

n ∞

=?∑仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1

π2sin

n n

n ∞

=∑收敛.

（16）因为

cos

322n

n n n ≤而与（12）题类似地可证级数

2n n n ∞

=∑收敛，由比较判别法知级数1

cos 32

n n n ∞

=∑

收敛.

2．试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：

(1)

∑

∞

n n

n x

; (2) n

n x n ∑∞

=???

??1

23．解：（1）因为1

1lim

lim

n n n

n n n n

U x

nx x U n x

n ++→∞

→∞

==++

由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散; 当01x <<时，原级数收敛;

而当1x =时，原级数变为调1

1n n

∞

=∑

，它是发散的.

综上所述，当01x <<时，级数1

n x

∞

=∑

收敛.

（2）因为1

313(1)2lim

lim

2n n n

n n n

x n U x U x n ++→∞

→∞

+? ?

??==

??? ?

,由达朗贝尔比值判别法知，当

x >即

2x >时，原级数发散;

当012

x <

<即02x <<时，原级收敛.

而当

x =即 2x =时，

原级数变为3

n n ∞

=∑，而由3

lim n n →∞

=+∞知31

n n ∞

=∑发散，综上所述，当02x <<时，级数31

()2

n n x

n ∞

=∑收敛.

习题9-3

1．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：

(1)

∑∞

=--11

21)

1(n n

n ; (2)

1(1)2

(1)

n n

n ∞

-=-+-?∑;

(3)

∑

∞

=12

sin n n

nx ; (４)

1π(1)

sin

πn n n

∞

+=-∑;

(5) ∑∞

=-??? ??-1121012

n n n ； (6)

∑

∞

=+-1

)

1(n n

n ;

(7)

∑

∞

=?1

)

2sin(n n

n x ．

解：（1）这是一个交错级数121

n U n =

-, 1lim lim

021

n n n U n →∞

→∞

==-,

11121

n n U U n n +=

=-+ 由莱布尼茨判别法知1

1(1)21

n n ∞

=--∑.

又1

(1)

21n

n n n n ∞

∞

==-=

--∑∑

，由1

121lim 12n n n

→∞-=,及11n n

∞

=∑发散，知级数1121n n ∞=-∑发散，所以级数1

1(1)21

n n ∞

=--∑条件收敛.

（2）因为

(1)211(1)

(1)

n n

n n ----+-=

-?-?,故

11(1)2111

1(1)

(1)2

(1)

n n

n n n n n

------+--=

+≤

+-?-?

1132

n n

-=+=

而1

n ∞

=∑

收敛，故1

n ∞

=∑

亦收敛，由比较判别法知1

(1)2(1)

n n

n ∞

-=-+-?∑

收敛，所以级数

(1)2

(1)

n n

n ∞

-=-+-?∑绝对收敛.

（3）因为

sin 1,nx n

≤

而级数2

1n n

∞

=∑

收敛，由比较判别法知2

sin n nx n

∞

=∑

收敛，因此，

级数2

sin n nx n

∞

=∑

绝对收敛.

（4）因为1

1π

π|(1)

sin

|sin πlim

lim

11πn n n n n n n

+→∞

→∞

-==

而2

1n n

∞

=∑

收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1

1π|(1)sin

|πn n n

∞

+=-∑收敛，从而级数

1π(1)

sin

πn n

+-绝对收敛.

（5）因为21

1111112

n n

n ----

≤

,而级数1

n ∞

=∑

收敛的等比级数

1()2

q =

;由比值判别法，易知级数21

110

n n ∞

-=∑

收敛，因而21

112

n n ∞

-=??

???

∑收敛，由比较判别法知级数21

112

n n ∞

-=-

∑

收敛，所以原级数21

112

n n ∞

-=-

∑

绝对收敛.

（6）当x 为负整数时，级数显然无意义；当x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼

茨判别法的条件，故它是收敛的，但因1

1n x n

∞

=+∑

发散，故原级数当x 不为负整数时仅为条件

收敛.

（7）因为

sin(2)

x n n ?≤

由比值判别法知1

!n n ∞

=∑

收敛( 1

(1)!

lim 01!

n n n →∞+=)，从而由比较判别法知1

sin(2)!n

n x n ∞

=?∑收

敛，所以级数1

sin(2)

n x n ∞

=?∑

，绝对收敛.

2．讨论级数∑∞

=--1

1)1(n p

n n

的收敛性(p ＞0)．

解：当1p >时，由于1

(1)

n p

n n n

∞

-==-=

∑∑收敛，故级数1

1(1)n p

n n

∞

-=-∑绝对收敛.

当01p <≤时，由于111,(1)

n n p

u u n

n +=

=+ lim 0n n u →∞

=,由莱布尼茨判别法知交错级数

11(1)

n p

n n

∞

-=-∑

收敛，然而，当01p <≤时，1

(1)

n p

n n n

∞

-==-=

∑∑发散，故此时，级数

1(1)

n p

n n

∞

-=-∑

条件收敛.

综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛;当p >1时，原级数绝对收敛. 3※

．设级数∑∞

=12

n n a 及∑∞

=12

n n b 都收敛，证明级数∑∞=1n n n b a 及()∑∞

=+1

n n n b a 也都收敛．

证：因为22

||||

110||2

n n n n n n a b a b a b +≤≤

而由已知1

n a ∞

=∑及2

n n b ∞

=∑都收敛，故2

2n n n n a b ∞

∞

==∑

∑

收敛，从而221112

2n n n a b ∞

=??

+ ???∑收敛，由正项级数的比较判别法知1

n n n a b ∞

=∑也收敛，从而级数1

n n n a b ∞

=∑绝对收敛.又由

()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2

,n n n n a b ∞

∞==∑∑,以及1

n n n a b ∞

=∑收敛，利用数项级数的基本性

质知，2

(2)n n n n n a a b b ∞

=++∑收剑，亦即21

()n n n a b ∞

=+∑收敛.

习题9-4

1．指出下列幂级数的收敛区间：

(1)

∑

∞

=0!n n

n x

(0!=1)； (2)

∑∞

n n

x n

n ；

(3)

∑∞

=?0

n n

； (4)

∑∞

=++-0

1(n n n

n x

．

(5)

∑

∞

=?+0

2)2(n n

n n

x ； (6)

∑

∞

=-0

)1(2

n n

x n

．

解：（1）因为11

1(1)!

lim

lim 01

n n n n n

a n p a n n +→∞

→∞

→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1

n x

n ∞

=∑

的收敛区间为(,)-∞+∞.

（2）因为-1

11lim

lim

lim 1e 1

n n n n n

a n p a n n +→∞

→∞

→∞??===-= ?++?

?，所以收敛半径1e r p ==. 当x =e 时，级数0

e n

n n n n x n

∞∞

===

∑

∑，此时

11(1)

n n

u e u n +=+

，因为1(1)n

是单调递增

数列，且1(1)n

1n n

u u +>1,从而lim 0n n u →∞

≠，于是级数当x =e 时，原级数发散.

类似地，可证当x =-e 时，原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞

≠),综上所述，级数0

n n x n

∞

=∑

的

收敛区间为(-e,e).

（3）因为2

1lim

lim

(

)21

n n n n

a n

p a n +→∞

→∞

===

+,所以收敛半径为r =2.

当2x =时，级数2

1012n n

n n x

n n

∞

===

?∑

∑

是收敛的p 一级数（p =2>1）;

当x =-2时，级数2

1(1)2n n

n n n x

∞

===

?∑

∑

是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，

故它收敛.

综上所述，级数2

2n n

n x

∞

=?∑

的收敛区间为[-2,2].

（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.

令21

(1)

n n

n x

u n +=-+，则22

121lim

lim

n n n n

u n x x u n +→∞

→∞

+=?=+.

当2

1x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛.

当2

1x >时，即||1x >时，级数0

||n n u ∞

=∑发散，从而21

(1)

n n

n x

n +∞

=-+∑发散，当1x =时，

级数变为0

1(1)

n n ∞

=-+∑;当1x =-时，级数变为1

1(1)21

n n n ∞

+=-+∑;它们都是交错级数，且

满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.

综上所述，级数21

(1)

n n

n x

n +∞

=-+∑的收敛区间为[-1,1].

（5）此级数为（x +2）的幂级数. 因为11lim

lim

2(1)

n n n n

a n p a n +→∞→∞

===+.

所以收敛半径12r p

=，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛.当

|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散.

当4x =-时，级数变为0

1(1)n

n n ∞

=-∑是收敛的交错级数，

当x =0时，级数变为调和级数1

1n n

∞

=∑

,它是发散的.

综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0).

（6）此级数（x -1）的幂级数

12lim

lim

n n n n

a n p a n +→∞

→∞

===+

故收敛半径12r =. 于是当1|1|2x -<即

1322

x <<时，原级数绝对收敛.

当1|1|2

x ->

即12

x <或32

x >

时，原级数发散.

当32x =

时，原级数变为01n n

∞

=∑

是调和级数，发散.

当12

x =

时，原级数变为1

1(1)n

n n

∞

=-∑，是收敛的交错级数.

综上所述，原级数的收敛区间为13,

22??

????

2．求下列幂级数的和函数：

(1)

∑∞

=-1)

1(n n

； (2)

∑∞

=-11

22n n nx

；

(3)

n x

n n ∑∞

=+1

)1(1

； (4)

∑∞

=+0

)12(n n

n ．

解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r =1.

设1

()(1)

n x

S x n

∞

-∑,则

1()(1)(1)1n n n n n n x S x x

n x

∞

-=='??'=-=

-=-

??+?

?∑∑

∴0

1()()d d ln(1) (||1)1x x S x S x x x x x x

-'=

=-+<+?

又当x =1时，原级数收敛，且()S x 在x =1处连续.

∴

(1)

l n (1) (11)

n x

x x n

∞

=-=-+-<≤∑ （2）所给级数的收敛半经r =1，设21

()2n n S x nx

∞

-==

∑,当||1x <时，有

()d 2d 2d x x

x n n n n S x x nx

x nx

x ∞∞

--===

∑

∑?

222

n x

∞

-∑

于是2222

2()1(1)x x

s x x x '

??== ?--??

又当1x =±时，原级数发散.

故

22 (||1)(1)

n n x nx

x x ∞

-==

<-∑

（3）可求所给级数的收敛半径为1.

令1

()(0)(1)(1)

n n n x

s x x n n x

n n +∞

∞

===

≠++∑

∑

令1

()(1)

n n x

g x n n +∞

+∑

,则1

1()1n n g x x

∞

-=''=

-∑

1()d ()(0)d 1x x g x x g x g x x

''''=-=

(0)0,()l n (1

g g x x ''==-

()d ()(0)ln(1)d ,(0)0x

g x x g x g x x g '=-=--=?

所以0

()ln(1)d ln(1)ln(1)x g x x x x x x x =--=+---?; 所以1

()11ln(1),||1,S x x x x ??

=+--<

???

且0x ≠. 当1x ±时，级数为1

1(1)

n n n ∞

=+∑

和1

1(1)(1)

n n n ∞

=-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =.

故111ln(1)

(1,0)(0,1)

()00,1

x x S x x x x ???+--∈-?? ?=??

??=±?

（4）可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时，级数发散，设1

()n n S x nx

∞

-==

∑,

则0

1()d .1x

n s x x x x

∞

-∑

于是2

11()(

)1(1)

S x x

x '==

--,即12

11(1)

n n nx x ∞

-==

-∑.

所以1

(21)2n

n n

n n n n x x nx

∞

-===+=+

∑∑∑

1112(1)

1(1)

x x x x

x +=?+

--- (||1)

x < 3．求下列级数的和：

(1)

∑

∞

=125

n n

n ； (2)

∑∞

=-1

)12(1

n n

n ；

(3)

∑

∞

=--1

12n n n ； (4)

(1)2

n n n ∞

=+∑

．

解：（1）考察幂级数21

n n n x ∞

=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2n

n u n x =，

lim ||lim n n n u n →∞

→∞

==+∞，因而li m 0n n u →∞

≠，故当1x ±时，级数

n n

x ∞

=∑发散，故幂级数

n n

x ∞

=∑的收敛区间为（-1，1）.

设2

1() (||1)n n S x n

x x ∞==

<∑，则21

()n n S x x n x

∞

-==∑

令2

()n n S x n

∞

-==

∑,则1

()d x

n n n S x x nx

x nx

∞

-===

=∑∑?.

再令1

()n n S x nx

∞

-==

∑

,则20

()d 1x

n x S x x x x

∞

-∑

故221()(||1)1(1)x S x x x x '??

==< ?--??

，从而有120()d (1)x x S x x x =-?. 123

1() (||1)(1)(1)x x

S x x x x '

??+==< ?--??

于是 213

()()

(||1)

(1)

x x

S x xS x x x +==<- 取1

5x =

，则2

231

1()

1555()5

532115n n n S ∞

=+===?

?- ?

?∑

. （2）考察幂级数21

121

n x

n ∞

=-∑

，可求得收敛半径r =1，设

221

11() (||1)21

21n

n n n S x x

x x

x n n ∞

∞

-===

=<--∑

∑

令21

1()21

n n S x x

n ∞

-==

-∑

,则22

()1n n S x x

x ∞

-='=

=-∑.

d 11()d ln 1-2

1x x x

x S x x x

+'=

即 1111()(0)ln

(,(0)0)21x S x S s x

+-==-.

于是 111()ln ,(||<1)21x S x x x

-，从而

11()()ln

(||1)2

1x x S x xS x x x

+==

取x =

则1

(21)2

n S n ∞

∑

1n (12

+ （3）考察幂级数211

(21)n n n x ∞

-=-∑，可求得其级数半经为r =1,因为

(21)2n n n n n n n x

∞

---===-=

-∑∑∑

令21

()2n n S x nx

∞

-==

∑，则2212

()d 1x

n x

S x x x

∞

-∑?.

所以21222

2() (||1)1(1)x x

S x x x x '

??==< ?--??

,于是

(21)

2n n n n n n n x n x

x ∞

∞

---

===-

-∑∑

∑

22 (||1)

(1)

1(1)

x x x x

x x

<--- 取12

x =，得

321

1()

121102212291()2n n n S ∞

-=+-??

=== ??

???

- ?

?∑

. （4）考察幂级数1(1)n n n n x ∞

=+∑，可求得其收敛半径r =1.

设1

()(1) (||1)n

n S x n n x

x ∞

+<∑

则1

()d x

n n n n S x x nx

∞

+-===

=∑∑?.

又设1

()n n S x nx

∞

-==

∑

则10

()d 1x

n x S x x x x

∞

-∑

从而12

1()1(1)x

S x x

x '??

?--??

, 2

()d ()(1)

x x

S x x x S x x ==

223

2() ||1(1)(1)x x

S x x x x '

??==< ?--??

取12

x =

，则

121(1)2

822

112n

n n n S ∞

=?+??

= ???

??- ?

?∑

习题9-5

1．将下列函数展开成x 的幂级数： (1) 2

cos

x ; (2) 2

sin x ； (3) 2

x -e ; (4)

11x

-； (5)πcos()4

x -

．

解：（1）22

01cos 11

cos

(1)2

(2)!

n x x

n ∞

=+=

-∑

1(1)

(-)

2(2)!

n x

x n ∞

==+-∞<<+∞∑ （2）21

sin (1) ()2(21)!2n n

n x

x x n +∞

=??

=--∞<<+∞ ?

+??

∑

（3）2

221

11e

()(1)

()!

n n n x x x x

x n n ∞

∞

-+===-=

--∞<+∞∑

∑

（4）

11111211x

x x ??

+??--+??

020

(1)2

[(1)]2

||1

n n n

n n

n x x

x x x

x ∞

∞

==∞

=∞

+-=

<∑∑∑∑

（5）πππ

cos cos cos sin sin 444

x x x ?

=+ ?

221

0c o s s i n )2

(1) ()

2(2)!(2

1)!n

n n n x x x x

x n n +∞

=-+-∞<<+∞??+?

∑

2．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间： (1) x

-31,在x 0＝１； (2) cos x,在x 0=

π;

(3)

++x x ,在x 0=1; (4)

, 在x 0＝３．

解：（1）因为

1113212

x x

=?---

,而

11 (||112212

n x x x ∞

=--??

=< ?-??-∑即13x -<<). 所以1

1(1) (13)3222

n n n x x x x ∞

∞

+==--??

=?=

-<< ?-??

∑∑

收敛区间为：（-1，3）.

（2）πππ2π2

cos cos ()cos cos()sin sin()3

33333x x x x ??=+-=---????

221

()

33(1)

(1)

(2)!

(21)!

n n

n n x x n n π

+∞

∞

==--

-+∑∑

221

1(1)()[

)2(2)!3(2

1)!

n n x x n n ππ

∞

+=??

=--+

-??+?

∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞.

（3）

11111(

)1143

2134

112

x x x x x

?--+++++

111(1)(1)4284n

n n n n x x ∞

∞

==--??

=--- ? ???

??∑∑

223

11(1)(1)22n n

n n n x ∞

++=??=

--- ???

∑ 由

112

x -<且

114

x -<得13x -<<，故收敛区间为（-1，3）

（4）因为

1111

3(1)(

)33

n x x x

∞

=-=

-?-+

∑

(3)(1)

n n x ∞

+=-=

-∑

而21

1(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''??

-??=-=-- ???????

∑ 1

1(1)(3)3

n n n n x ∞

-+=-=-?-∑

(1)(3)3

n n n n n x +∞

-+=-=

-∑

(1)(1)

(3)3

n n n x ∞

+=-+=

-∑

由

313

x -<得06x <<.

故收敛区间为（0，6）.

微积分课后习题答案

习题1—1解答 1．设y x xy y x f + =),(，求) ,(1 ),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f += +=+=2 2 2 ) ,(1; ),(;1)1,1( 2．设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）;11),(2 2 -+ -= y x y x f （2）;) 1ln(4),(2 2 2 y x y x y x f ---= （3）;1),(2 22 22 2c z b y a x y x f - - -= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---+ + = 解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2） { y y x y x D ,10),(22<+<=

（3） ????++=),(2 2222b y a x y x D （4）{} 1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D 4．求下列各极限：（1）2 2 1 01lim y x xy y x +-→→= 11 001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim 2 2 )0 1=++= ++→→e y x e x y y x （3）4 1) 42() 42)(42(lim 42lim 00 0- =++ +++- =+- →→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2)sin(lim )sin(lim 20 2=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在：（1）;lim 0y x y x y x -+→→ （2）2 2 2 2 20 0) (lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 20 -=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 20 ==-+→→=→y y y x y x y y x y

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分） 1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。证明题(2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求（１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-1 1．判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑．解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）六、应用题 1、描绘下列函数的图形 21y x x =+

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

大一上微积分试题(山东大学)

数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（） 3、计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（） 4、设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（） 5、已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分）６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤

（）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分（１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分）（３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f

微积分--课后习题答案

习题1—1解答 1．设y x xy y x f + =),(，求) ,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1( 2．设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）;11),(22-+-=y x y x f （2）;) 1ln(4),(222y x y x y x f ---= （3）;1),(22 2222c z b y a x y x f ---= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---++= 解（1）（2）（3）（4） 4（1）1 lim y x →→（2）lim 1→→y x

（3）41 )42()42)(42(lim 42lim 000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2) sin(lim )sin(lim 202=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在：（1）;lim 0 0y x y x y x -+→→ （2）22 22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 00 20-=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 00 20==-+→→=→y y y x y x y y x y 所以极限不存在。（2）证明如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0( 则1lim )(lim 44 022 2220 0==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 244 0222220 20=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。 6．指出下列函数的间断点：（1）x y x y y x f 22),(2-+=；（2）y x z -=ln 。解（1）为使函数表达式有意义，需022 ≠-x y ，所以在022 =-x y 处，函数间断。（2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。习题1—2 1．（1）x y y x z += ,21x y y x z -=??，2 1y x x y z -=??. (2) )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x z -=-=?? )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y z -=-=??

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为（A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为（A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜

安徽大学高等数学期末试卷和答案

安徽大学2011—2012 学年第一学期《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120 分钟）考场登记表序号题号一二三四五总分得分阅卷人一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分 1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。（A）(2A)?1 =2A?1 ；（B）(2A?1)T=(2A T)?1 ；（C） ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ；（D）((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组（）。 βββ线性表示，则下列说法正确的是 1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法正确的是（A）r≤s；（B）r≥s；（C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。（A）λE?A=λE?B；（B）A与B有相同的特征值和特征向量；（C）A与B都相似于一个对角矩阵；（D）对任意常数k，kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。（A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α；（B）ααα+α；（C） 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。

大一微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题一．单项选择题 1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（） A ． ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()()()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ．()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（） A ．201 sin lim x x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 1 lim → D ．() x x x x +-∞ →63 2 21 3lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振荡间断点 5．设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（） A ．当()()0

电子科技大学微积分试题及答案

电子科技大学期末微积分一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、 __________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设（，则的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线是的切线，则 __________

5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin x y x =求函数的导数 2、21 ()arctan ln(12 f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、计算 6、2 1 lim(cos )x x x + →计算五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大（8分） 2、描绘函数21 y x x =+ 的图形（12分）六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01 lim (),lim ()x x f x A f A x +→+∞→==则

电子科技大学微积分试题及答案

电子科技大学微积分试题及答案

电子科技大学期末微积分一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求024 lim x x x →+等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、2 1x +__________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设（，则的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线是的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）

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