基本不等式及其应用
基本不等式及其应用
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基本不等式及其应用
1．基本不等式＼ｒ(ａb )≤错误!未定义书签。 （1）基本不等式成立的条件：a ≥0,ｂ≥0； (２)等号成立的条件:当且仅当a ＝b 时取等号.
2．几个重要的不等式
(1)a 2+b ２≥２ab (a ,b ∈R ); (2)错误!未定义书签。+a
b ≥２（a ,ｂ同号)． (3)ab ≤错误!未定义书签。2 (ａ,b ∈R ）; （4)＼f(a 2+b ２,2)≥错误!2（a ,b ∈R )．
以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .
3.算术平均数与几何平均数
(1)设a ≥0,b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a +b
2，几何平均数为＼r(a ｂ）.
(２)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数;也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项.
4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >０，则
(1)若ｘ＋y ＝s (和为定值),则当x ＝y 时，积xy 取得最大值
错误!；
(2)若xy ＝p （积为定值），则当x =ｙ时，和x ＋y 取得最小值2错误!未定义书签。.
选择题：
设x >0,y ＞0，且x +y =18，则x ｙ的最大值为( )
A.80 Ｂ．７7 C.8１ Ｄ．８2 解析 ∵x ＞0,y >0，∴错误!未定义书签。≥错误!，即xy ≤(错误!未定义书签。）2=81,当且仅当x =y =
９时,（x ｙ）max ＝8１
若正数ｘ,y 满足4x ２＋9y 2＋3xy =３０，则ｘy 的最大值是( ） A.
错误!
B.错误!未定义书签。 C ．2 D.错
误!未定义书签。
解析 由x ＞0,y ＞0,得4x ２＋9y 2＋3xy ≥2·(2x ）·（3y )+3xy (当且仅当２x =3y 时等号成立)，∴12xy ＋3x
ｙ≤３0,即x ｙ≤２，∴ｘｙ的最大值为２
若２x ＋2y ＝1,则x +ｙ的取值范围是（ ）
Ａ.[0,2］ Ｂ．[-2,０] Ｃ．[-2，+∞) D ．(－∞，－2] 解析 2错误!≤2x +2ｙ＝1，∴2x ＋ｙ≤错误!，即2ｘ+ｙ≤2－２,∴x +y ≤－2
若实数ｘ，y 满足x ｙ>0，则错误!未定义书签。＋＼f(2y,x +2ｙ)的最大值为( ) Ａ．2-错误!未定义书签。 Ｂ．2+错误! Ｃ．４＋２错误!
Ｄ．4-2错误!未定义书签。
解析 ＼f(x,ｘ+y )＋错误!未定义书签。=
错误!=错误!＝1＋错误!=1+错误!未定义书签。≤1
＋错误!未定义书签。＝４-２＼ｒ（2)，当且仅当错误!＝错误!未定义书签。,即x 2＝２y 2时取等
号
若函数()f x =x ＋＼f(1,x －２)(x >2)在x =a 处取最小值,则a 等于( ) A ．1＋错误!未定义书签。 B ．１＋
错误! C ．３ Ｄ．4
解析 当ｘ>2时,x -2>０,f (x )=（x －２)+错误!未定义书签。+2≥２
(ｘ－２)×
1x －2
＋2=4,当且仅当
x －2=错误!(x >２）,即x ＝３时取等号，即当f （x )取得最小值时,x =3,即ａ=3
已知ｘ，y ∈(０，+∞),2x -3＝（错误!未定义书签。)y ,若１
ｘ
+错误!未定义书签。（m >0)的最小值为3,则m
等于( )
A.2
B.2错误!未定义书签。 Ｃ．３ D.4 解析 由２ｘ-3=(错误!未定义书签。)y 得ｘ+y ＝3,错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。＝错误!(ｘ
＋ｙ)(1
x ＋＼f （m,y )）＝
错误!（1+ｍ＋错误!＋错误!未定义书签。)≥错误!未定义书签。(1＋
m ＋2错误!未定义书签。），(当且仅当错误!未定义书签。＝错误!时取等号），∴错误!(１＋ｍ
＋2错误!)＝3,解得ｍ=4
已知直线ａx +by +c -1=0(b ，c >0）经过圆x 2+y 2－2y －５=0的圆心,则
错误!+错误!的最小值是( )
A ．9 Ｂ.8 C ．4 D ．2
解析 圆ｘ２＋y 2-2y －5＝0化成标准方程，得x ２＋(ｙ-1)2=6,∴圆心为C (0,１) ∵直线a ｘ+ｂy +ｃ－１=０经过圆心C ,∴a ×０＋b ×1＋c －１＝０，即ｂ+c =1 ∴错误!未定义书签。+1
c ＝(b +ｃ)(
错误!＋错误!)＝错误!＋错误!未定义书签。+5 ∵b ,c ＞０，∴错误!未定义书签。+错误!≥２错误!未定义书签。＝４，当且仅当错误!=错误!
未定义书签。时等号成立. 由此可得b =２c ,且b +c =1，即b =错误!，c =错误!未定义书签。时，错误!未定义书签。＋错误!未
定义书签。取得最小值9
已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a ７＝a 6+２a ５，若存在两项ａm ,a ｎ使得a ｍa ｎ=4ａ1,则错误!未定义书签。＋＼ｆ（４,ｎ）的最小值为( )
A.错误!未定义书签。 B ．5
3 C.错误!
D.错误!
未定义书签。
解析 由各项均为正数的等比数列{a n ｝满足a 7＝a 6+２a 5,可得a 1q 6=a １q 5+2a 1ｑ4, ∴q 2－q -2=0，解得q ＝2或q ＝－１（舍去)
∵错误!未定义书签。＝4a １，∴ｑｍ+n －2=16,∴２m +n －2＝24，∴ｍ＋ｎ＝6 ∴错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。=1
6（m +n ）(错误!＋错误!)＝错误!(5+错误!未
定义书签。＋
错误!)≥错误!（5＋2错误!)＝错误!未定义书签。
当且仅当错误!未定义书签。＝错误!未定义书签。时，等号成立,故＼f （１，m ）+错误!未定义书签。的最小值等于错误!未定义书签。
在等差数列{a n }中，a n >0,且a １+a 2＋…＋a 10=3０，则a 5a 6的最大值是（ )
A.3
B.6 C．9 D.３6
解析∵a1+a2+…＋a1０＝30，∴5(a１＋a10)=30，即a1+a１0=ａ5+ａ6＝6,∵ａ5＋a6≥2a5a6,∴6≥2ａ5ａ6，即a5a6≤9，当且仅当a5＝a6时取等号,∴a5ａ6的最大值为9
若实数a，b满足错误!未定义书签。＋错误!＝错误!未定义书签。，则ab的最小值为(）
A.2Ｂ．2 C．2＼r(2) Ｄ.4
解析依题意知a＞0，b>0,则错误!未定义书签。+错误!≥２错误!未定义书签。＝错误!,当且仅当＼f（1，a)=错误!未定义书签。,即b＝2a时,“＝”成立．
∵错误!未定义书签。＋错误!=错误!未定义书签。,∴错误!≥错误!未定义书签。,即ab≥２２,∴ab的最小值为2错误!未定义书签。
已知a>0，b＞0，ａ,b的等比中项是1，且ｍ=b+＼f(１,a)，ｎ=a＋错误!未定义书签。,则m＋n的最小值是（)
Ａ.3 B.４ C.5 D.6
解析由题意知：ab=1,∴m=b+错误!未定义书签。=2ｂ，n＝ａ+错误!未定义书签。＝２a,∴m+ｎ＝2(a+b)≥4＼ｒ(aｂ)＝4
若a，b都是正数,则错误!·错误!的最小值为()
A．7Ｂ．８Ｃ．9 Ｄ.1０
解析∵a,ｂ都是正数,∴错误!未定义书签。错误!未定义书签。＝5+＼f（b，a）+＼f（４a,b)≥５+2错误!＝9,当且仅当b＝2a>0时取等号
已知a>0，b>0,若不等式＼f(３,a)＋错误!≥错误!未定义书签。恒成立，则ｍ的最大值为() A．9 B．12 Ｃ．１8D．24
解析由错误!未定义书签。＋１
b≥
m
a+3b，得m≤(a＋3b)(错误!未定义书签。+错误!未定义书
签。)=＼f(9ｂ，a)＋错误!+６
又错误!未定义书签。+错误!未定义书签。＋６≥2错误!未定义书签。+6=12，∴m≤12，∴m的最大值为12
已知a>0，b＞0,a＋b=错误!+错误!未定义书签。，则错误!未定义书签。+错误!未定义书签。的最小值为(）
A．4 B.2＼ｒ（２)Ｃ．８D．16
解析由a＞0，b>0，a+b＝1
a＋错误!未定义书签。=
ａ+b
ab,得ab＝1，则
错误!＋错误!≥2错误!
=2＼r(２).当且仅当错误!未定义书签。＝＼f(２，b)，即a＝错误!未定义书签。，b=错误!未定义书签。时等号成立
已知a>０,b>0,a+b＝2，则y＝1
a＋
错误!的最小值是()
Ａ.错误!B．4 C.错误! D.５
解析依题意,得错误!+错误!＝错误!(错误!未定义书签。＋错误!)·(a+b)＝错误!
[5+(b
ａ
+错误!未定义书签。)]≥错误!未定义书签。(5+2错误!未定义书签。）=错误!未定义书签。, 当且仅当错误!即ａ＝错误!,ｂ=错误!未定义书签。时取等号，即错误!未定义书签。+错误!的最小值是错误!未定义书签。
若loｇ4(3a+4b）=lｏg2＼r(ab)，则ａ+b的最小值是( ）
A．６＋2错误!未定义书签。 B.7＋２错误!Ｃ．6+4错误!Ｄ.7＋４ 3
解析由题意得错误!未定义书签。∴错误!
又log４(3a＋４b)=log2错误!未定义书签。,∴loｇ4(3a＋4ｂ)=log4ａb,∴3a+４b=ａb，故错误!+ 3
b=1.
∴ａ＋b=(a+b)(错误!＋错误!)＝7＋错误!未定义书签。+错误!≥7＋2错误!=7＋4错误!，当且仅当错误!＝错误!时取等号
若正数a，b满足＼f(1,a）＋错误!未定义书签。=1,则错误!未定义书签。＋错误!的最小值是( ) A.1 B.６ C.9D．16
解析∵正数a,ｂ满足１
a+错误!未定义书签。＝1，∴b=错误!未定义书签。＞0，解得
ａ>1,同理可得
b>1,∴错误!未定义书签。+错误!未定义书签。=错误!＋错误!未定义书签。=错误!+9（a-1）≥2错误!未定义书签。＝6,当且仅当错误!=９（a－1),即a＝错误!时等号成立,
∴最小值为6
设()
f x＝ｌn x，0＜ａ＜b，若ｐ=ｆ(错误!),q=ｆ错误!未定义书签。，ｒ＝错误!(f(a)＋ｆ（b）)，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝ｒ＜ｐ B.q=r＞p C.p=r 解析∵0 又∵f(x)=ｌｎx在(0,＋∞)上为增函数,故f错误!>ｆ（错误!)，即q>p． 又r=错误!未定义书签。(f(a)＋f（b)）＝错误!未定义书签。（ｌｎa+lnｂ)=错误!未定义书签。ｌnａ+错误!未定义书签。ln b=ln（ab)错误!未定义书签。＝f(aｂ)=p,故ｐ=r 已知函数() f x=x+错误!(p为常数，且ｐ>0),若ｆ(ｘ）在(1，＋∞)上的最小值为4,则实数p的值为（) A．１ B.２Ｃ．9 4 D.错误!未定义书签。 解析由题意得x-1>0,f（x）＝x－1+ p x-1＋1≥2p+1，当且仅当x＝ 错误!+1时取等号， ∵ｆ(x)在(１，＋∞)上的最小值为4，∴2错误!未定义书签。+1=4，解得ｐ=错误!未定义书签。 填空题： 已知x，y∈R ＋ ,且x+4y=1，则xy的最大值为_＿＿_＿＿__ 解析 1=x ＋4y ≥2错误!＝4错误!,∴x ｙ≤（错误!未定义书签。)2=错误!未定义书签。，当且仅 当x =4ｙ=错误!，即错误!未定义书签。时,(xy )max ＝错误!未定义书签。 已知实数ｍ,n 满足ｍ·n ＞0,m +n =-１，则错误!未定义书签。＋错误!的最大值为__＿＿＿___ 解析 ∵ｍ·n >0,m +n =－１，∴m ＜0，n <0，∴ 错误!＋错误!＝－（m ＋n )错误!＝－错误! 未定义书签。≤－2-２错误!未定义书签。=-4，当且仅当m =n ＝-错误!未定义书签。时,错误!＋ 1 ｎ取得最大值－4 已知x <＼f(5,4)，则()f x ＝4x －2+ 1 4x -５ 的最大值为＿_____＿_ 解析 ∵x <错误!未定义书签。，∴5-4x >0,则f (x ）＝4ｘ-2+错误!＝－(５-4x ＋错误!)＋3≤－２ ＋3=1． 当且仅当５-4x ＝错误!,即x =1时，等号成立．故f （x )＝４x －２+错误!的最大值为1 函数y ＝错误!未定义书签。(ｘ>1)的最小值为_____＿__ 解析 y = 错误!＝错误!＝错误!未定义书签。=(x -1)+错误!＋2≥2错误!＋2 当且仅当（x －1)＝错误!未定义书签。，即x ＝错误!＋1时,等号成立 函数y =错误!未定义书签。的最大值为＿_____＿_ 解析 令t ＝x -1≥０,则ｘ=t ２＋1，∴y = 错误!＝错误!未定义书签。 当t ＝0,即x =1时，y ＝0;当t ＞0,即x >1时,y =错误!, ∵t +错误!未定义书签。≥２错误!＝4(当且仅当 t ＝２时取等号）,∴y ＝错误!未定义书签。≤ 1 5，即y 的最大值为错误!(当t =２,即x =5时y 取得最大值). 若正数ｘ，y 满足x ＋3y =5ｘｙ，则3x ＋4y 的最小值是＿_＿___＿_ 解析 由ｘ+3ｙ=5xy 可得＼f(1,5y )＋错误!未定义书签。＝1,∴3x +4ｙ＝(３x ＋4y )(错误!未定义书签。 ＋ 错误!)=错误!＋错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。+错误!未定义书签。≥错误!未定 义书签。+错误!未定义书签。=5 已知x >0，ｙ>０,x ＋3ｙ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为___＿____ 解析 由已知得ｘ＝错误!，∵x >0,ｙ>0，∴y ＜３， ∴x ＋3y =错误!+3y ＝错误!未定义书签。=错误!＝错误!＋（3y ＋3）-6≥２错误!－6＝ ６, 当且仅当错误!未定义书签。＝3ｙ+3,即y ＝１,x =3时，（x +3y )min ＝6 已知函数()f x =x 2+a ｘ+11ｘ+1(a ∈R )，若对于任意ｘ∈N +，()f x ≥3恒成立，则a 的取值范围是＿__＿ __ 解析 对任意x ∈N ＋,f (x )≥3恒成立,即错误!未定义书签。≥3恒成立，即知a ≥－(ｘ+错误!未定义书签。)+３ 设g (x )=x ＋错误!未定义书签。,x ∈N +，则g （2）=６，g （3)=错误!未定义书签。 ∵g （2)>ｇ(3),∴g (x ）m ｉn ＝错误!未定义书签。，∴－(ｘ+错误!未定义书签。）+3≤－错误!未定义书签。,∴a ≥-＼f(８，3），故ａ的取值范围是[－错误!，＋∞） 已知x >0，y >０,且错误!未定义书签。＋＼f(2,y )=１，则ｘ＋ｙ的最小值是_＿____＿＿ 解析 ∵ｘ＞0,y ＞０，∴x ＋ｙ＝(x ＋y ）( 错误!+错误!)＝3＋错误!+错误!≥3+2错误! 未定义书签。（当且仅当y =错误!未定义书签。x 时取等号), ∴当x ＝错误!未定义书签。+1，ｙ＝2+错误!时，（x +y ）ｍi ｎ＝3+2错误!未定义书签。 函数y =１－2x -＼ｆ（3，x )（x <0）的最小值为____＿__＿ 解析 ∵x <０，∴y ＝１-2x -错误!未定义书签。＝1＋(－2ｘ)+（－３ x ）≥1+2错误!=1＋2错误!, 当且仅当ｘ=-错误!未定义书签。时取等号，故y 的最小值为1＋2＼r(6） 若关于x 的方程9x +(4＋a )3x ＋4=０有解，则实数a 的取值范围是＿＿__＿__＿ 解析 分离变量得-（4＋ａ)＝3ｘ+错误!≥４，得a ≤-8 设a ＋ｂ=2,ｂ>0,则错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。取最小值时,ａ的值为____＿___ 解析 ∵a ＋b =2，∴１ 2｜a | +＼f(｜ａ|，b )＝ 错误!＋错误!未定义书签。=错误!未定义书签。＋错误! 未定义书签。＝错误!未定义书签。+错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。≥错误!未定义书签。＋2错误!未定义书签。=错误!+1, 当且仅当 b 4|a | ＝错误!未定义书签。时等号成立 又a ＋b ＝2,b >0,∴当b ＝-2a ,ａ＝－2时，错误!＋错误!取得最小值 若当x >－3时,不等式a ≤x + 错误!恒成立，则a 的取值范围是________ 解析 设f （x )=ｘ＋错误!未定义书签。=(ｘ＋３)+＼f(2,x +3)-３, ∵ｘ>－３，所以ｘ＋3＞0，故ｆ(x ）≥２错误!未定义书签。－3=2＼r(2)-3, 当且仅当x =错误!未定义书签。-3时等号成立，∴ａ的取值范围是(-∞，2错误!-3] 若对于任意x >0, x x ２ ＋３ｘ＋1 ≤a 恒成立，则a 的取值范围是________ 解析 错误!未定义书签。=错误!，∵x >０,∴x +错误!未定义书签。≥2（当且仅当x =1时取等号）, 则 1 3＋x +1x ≤错误!未定义书签。=错误!未定义书签。，即 错误!的最大值为错误!,故a ≥错误!. 解答题: 已知ｘ>0，y >0,且2ｘ+5y =2０. （1）求u ＝ｌg x +lg y 的最大值; (2）求错误!未定义书签。+错误!未定义书签。的最小值. 解 (１)∵x >0，y >0,∴由基本不等式,得2x +５y ≥2错误!未定义书签。. ∵2x +５y ＝20，∴2 错误!≤20,xy ≤10, 当且仅当2ｘ=5ｙ时,等号成立.因此有错误!未定义书签。解得错误!未定义书签。此时xy 有最大值１ ０. ∴u =ｌg x +ｌg y ＝lg （ｘy )≤lg1０=1,∴当x =5，y =２时，u =l ｇx +lg y 有最大值１． (2)∵x >0，y ＞0，∴错误!未定义书签。+错误!=错误!未定义书签。·错误!=错误!未定义书签。 错误!未定义书签。≥1 20 错误!=错误!未定义书签。, 当且仅当错误!未定义书签。=2x y 时,等号成立．由错误!未定义书签。解得错误!未定义书签。 ∴错误!+错误!的最小值为错误!未定义书签。 专项能力提升 设x ,y 均为正实数，且错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。＝1,则ｘy 的最小值为( ) A.4 Ｂ.4错误!未定义书签。 C.9 D ．16 解析 由 错误!＋错误!未定义书签。＝１得ｘｙ＝8+x +y , ∵ｘ，ｙ均为正实数,∴xy =8+x +y ≥８+2错误!(当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即x ｙ-2错误!－8≥０，解得错误!未定义书签。≥4，即x ｙ≥16，∴ｘy 的最小值为16 设正实数ｘ，y ,z 满足x 2-3x ｙ＋４ｙ２ －z =０，则当错误!未定义书签。取得最大值时，＼f(2,ｘ)＋＼f(1,ｙ)－2 z 的最大值为( ) Ａ.0 B.１ Ｃ．错误!未定义书签。 Ｄ.3 解析 由已知得z ＝x 2-3x ｙ＋4y ２，(*)则错误!未定义书签。=错误!未定义书签。＝错误!未定义书签。≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x =2y 代入(*)式,得z ＝2y 2，∴错误!＋错误!未定义书签。-错误! =1 y +＼f(1,y )-错误!未定义书签。=－错误!2＋１≤1 已知m ＞０,a １>a 2＞0,则使得错误!≥|a i x -2|(i ＝１,2）恒成立的x 的取值范围是( ) Ａ．[0，错误!］ Ｂ．［0, 错误!］ C.[0, 错误!] D.[0， 4 ａ2 ］ 解析 ∵错误!未定义书签。=m ＋ 错误!≥2(当且仅当ｍ=１时等号成立)，∴要使不等式恒成立, 则2≥|a i x-２｜（i＝1,2)恒成立,即-2≤a i x-２≤2,∴０≤ａi x≤4, ∵ａ１>a2>0，∴错误!未定义书签。即0≤x≤＼ｆ（４,a1),∴使不等式恒成立的ｘ的取值范围是[0，错误!］ 已知ｘ,y∈R且满足x2＋2xｙ＋4y2＝6，则z＝x2+４y2的取值范围为__＿＿__＿_ 解析∵2xy=6－(x2+4y2),而2xy≤错误!，∴6－(x２＋4y2)≤错误!, ∴x2＋4ｙ2≥４(当且仅当ｘ＝2y时取等号）． 又∵(x+2ｙ)2=6+2ｘy≥0，即2xｙ≥－6，∴z=x２+4y2＝6-２xy≤1２(当且仅当x＝－2y时取等号）综上可知４≤x２+4y2≤1２ 设a>０，b＞0,若3是3ａ与３b的等比中项，则错误!未定义书签。+错误!未定义书签。的最小值为＿＿＿_____ 解析由题意知3a·3b＝3,即３a+b＝３，∴ａ+b＝1，∵a>０，b＞0, ∴错误!未定义书签。＋错误!=错误!(a+ｂ)=２＋错误!＋错误!未定义书签。≥２+２错误!未定义书签。=4，当且仅当ａ＝ｂ＝＼f(1,2)时，等号成立 点（a,b)为第一象限内的点，且在圆(ｘ＋１)2+(y+１)2=8上,则aｂ的最大值为___＿_＿__ 解析由题意知ａ＞0，b>0，且（a＋1)２＋(b+1)2=8,化简得a2+b2＋２(ａ+b)＝6，则6≥2ab＋4错误! (当且仅当a＝b时取等号），令t＝错误!(t>0）,则t2＋2t-3≤0，解得0 正数ａ，b满足错误!未定义书签。+错误!未定义书签。＝1，若不等式ａ＋ｂ≥-x２+4ｘ+1８－ｍ对任意实数ｘ恒成立，则实数m的取值范围是___＿＿_＿＿ 解析∵a>０,b>0，错误!+错误!=１,∴a＋b＝(a＋b）错误!＝1０＋错误!＋错误!≥１0+2错误!未定义书签。=16，由题意,得1６≥-x2＋4x＋1８－ｍ,即x2-4x-２≥-m对任意实数ｘ恒成立，而x2－4x-２=(x-2)２－６，∴x2-4x-2的最小值为－6,∴－6≥－m，即m≥６. 基本不等式应用解题技巧归纳 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 基本不等式ab b a 22 2≥+的变式及应用 不等式ab b a 222≥+是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用 1、十种变式 ①222b a ab +≤； ②2 )2(b a ab +≤； ③2 )2(222b a b a +≤+ ； ④)(222b a b a +≤+ ⑤若0>b ，则b a b a -≥22 ； ⑥ ,,+∈R b a 则b a b a +≥+411 ⑦若ab b a R b a 4 )11(,,2≥ +∈+ ⑧若 ≠ab ，则 2 2 2)11(2111b a b a +≥+ 上述不等式中等号成立的充要条件均为： b a = ⑨若R b a R n m ∈∈+ ,,,，则n m b a n b m a ++≥+2 22)(（当且仅当bm an =时 等号成立） ⑩)(3)(2222c b a c b a ++≤++（当且仅当c b a ==时等号成立） 2、应用 例1、若+∈R c b a ,,，且2=++c b a ，求证：4111<+++++c b a 证法一：由变式①得21 111++≤ +? a a 即12 1+≤+a a 同理：121+≤ +b b ，12 1+≤+c c 因此 12111+≤+++++a c b a 41212≤++++c b 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故 4111<+++++c b a 评论：本解法应用“2 2 2b a ab +≤ ”观察其左右两端可以 发现，对于某一字母左边是一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幂与降幂功能，本解法应用的是升幂功能。 证法二：由变式④得)11(211+++≤+++b a b a 同理： )11(211++≤++c c ∴≤ ++++++1111c b a )4(2)2(2)2(2+++≤++++c b a c b a 512<= 故结论成立 评论：本解法应用“)(222b a b a +≤+” ，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三：由变式⑩得 1(3)111(2+≤+++++a c b a 15)11=++++c b 故4111<+++++c b a 即得结论 基本不等式在实际中的应用 1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ） A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元 2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ） A ．a v << B ．v C 2a b v +< D ．2 a b v += 3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为8 x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （ ） A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 4．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20 y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象有限一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 5．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式C ＝3+x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 满足函数关系式 35(06)814(6)k x x S x x ?++< 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值 【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果 基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。 【学生分析】 从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。 从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。 重点：创设基本不等式使用的条件。 难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计： 问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？ 问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？ 问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带 【最新整理，下载后即可编辑】 用基本不等式解决应用题 例1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35 k p x x = ≤≤+， 若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值． 变式：某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩 形区域的总面积．．． 为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值． 17．解：（1）由题设，得 ()9007200822916 S x x x x ?? =--=--+ ???， ()8,450x ∈． ………………………6分 （ 2） 因 为 8450 x <<，所以 72002240x x + =≥， ……………………8分 当且仅当60 x =时等号成 立． ………………………10分 从 而 676S ≤． ………… ……………12分 答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区 基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式： 宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为: 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 第7课时基本不等式的实际应用 1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题. 3.能利用基本不等式解决实际问题. 今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分),上下空白各2dm,左右空白各1dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2. 问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为错误！未找到引用源。dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(错误！未找到引用源。+2)-72=8+2(x+错误！未找到引用源。)≥8+2×2错误！未找到引用源。= . 当且仅当时,取得最小值. 问题2:用基本不等式解实际应用问题的步骤 (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把定为函数; (2)建立相应的,把实际问题抽象为问题; (3)在定义域内,求出函数的; (4)正确写出答案. 问题3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+错误！未找到引用源。,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+错误！未找到引用源。≥2错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。,因为当x∈(0,π)时无法满足sin x=错误！未找到引用源。. 问题4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性. 1.在下列不等式的证明过程中,正确的是(). 2 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 a + b I — 了解基本不等式 ab （a ，b ?R ）的证明过程. 2 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 利用基本不等式证明不等式 . 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多 章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断 ，求取值范围问题? 本专题知识的考查综合性较强 ，解答题一般为较难题目，每年分值为5 8分. 知识点精讲 1.几个重要的不等式 （1）a 2 启 0（a € R ）,需 兰 0（a 兰 0）, a 3 0（a w R ）. ④重要不等式串：-ab < 1 1 2 -+- 厶 a b 调和平均值 乞几何平均值 乞算数平均值 乞平方平均值（注意等号成立的条件）. 2?均值定理 已知 x ，y ?二 R X + V c s 2 （1）如果X y = S （定值），则xy 乞（ ）2 （当且仅当“ x = y ”时取“ 2 4 大值”. （2）如果xy = p （定值）,则x ■ y _ 2、, xy 二2 p （当且仅当“ x = y ”时取“ =”）?即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证 . a 2 + b 2 1. 2 . （2）基本不等式：如果 a b a,b R ,则 2 ..ab （当且仅当“ a =b ”时取 ”）. 1 特例：a 0，a 2; a （3）其他变形： a b 「 （a, b 同号）. b a 2 2 （a +b ） 2 ①a b （沟通两和a b 与两平方和 2 2 （沟通两积ab 与两平方和a 2 b 2的不等关系式） ②ab 4 2 2 a - b 的不等关系式） 2 a + b ③ab 乞（ ）2 （沟通两积ab 与两和a b 的不等关系式） 2 2 （a ，b R ）即 a 2 b ”）.即“和为定值，积有最 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 基本不等式及其应用 1．ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤? ????a ＋b 22 (a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab . (2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 2 4； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 选择题： 设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y 2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81 若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54 解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋ 基本不等式及应用 一、考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2 (a ，b ∈R) (3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+ ： 当且仅当a ＝ b 时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数． (1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14 S 2 . 强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．） 想一想:错在哪里？ +≤≤2 a b ≤ +2ab a b １．已知函数，求函数的 最小值和此时x 的取值．x x x f 1)(+=1:()22112. f x x x x x x =+≥===±解当且仅当即时函数取到最小值２．已知函数，求函数的最小值． )2(23)(>-+=x x x x f 3()222 3326f x x x x x x x =+≥->?? =?=?-?解：当且仅当即时，函数的最小值是 基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； 试卷第1页，总7页 高考数学：基本不等式在实际生活中的应用 典例1．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为： 250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元． （1）当[] 10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+- ()2 35325x =--+，[10,15]x ∈. ∵35[10,15]x =?，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数， 可求得[300,75]P ∈--. ∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损． （2）设平均处理成本为 90050y Q x x x ==+- 5010≥=， 当且仅当900x x = 时等号成立，由0x >得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． 点评：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润(1010)P x y =+-，化简后它是关于x 的二次函数，利用二次函数的知识求出P 的取值范围，如果P 有非负的取值，就能说明可能获利，如果P 没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是P 中最大值的绝对值.（2）每吨平均成本等于 y x ，由题意90050y x x x =+-，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的x 值. 变式题1．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化 基本不等式及其应用 【考试要求】 1.掌握基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (a ，b ≥0)； 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】 1.基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中 a ＋b 2 称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4(简记：和定积最大). 【微点提醒】 1.b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2. 21a ＋ 1b ≤ab ≤a ＋b 2 ≤a 2＋b 2 2 (a >0，b >0). 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2 ＋b 2 ≥2ab 与 a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4 sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x ≥2的充要条件.( ) 【教材衍化】 2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81 3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1 x ( ) A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2 【真题体验】 4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在???? ??12，3上的最小值为( ) A.1 2 B.43 C.－1 D.0 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． (2)2 a b ab +≤ ()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab ≤2 2??? ??+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22?? ? ??+b a ≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R ). （6） b a a b b a b a 112 2222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc≤a3＋b3＋c3 3; () ,,0 a b c> (8)a＋b＋c 3≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是() A.6 B.42 C.2 2 D.2 6 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为() A.1 2 B.1 C.2 D.4 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2.当且仅当a ＝1，b＝1 2时等号成立.故选A. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则() A.a＜v＜ab B.v＝ab C.ab＜v＜a＋b 2 D.v＝ a＋b 2 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab ≤2 2?? ? ??+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22?? ? ??+b a ≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R ). （6） b a a b b a b a 112 2222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤ a 3＋ b 3＋ c 3 3 ;(),,0a b c > (8) a ＋ b ＋ c 3 ≥3 abc ；(),,0a b c > 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ， a 2＋ b 2≥ . (2)求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ；或a 2＋b 2 为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 . 设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A.6 B.42 C.2 2 D.26 解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝3 2 时取等号，故选B. 若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )基本不等式应用-解题技巧归纳
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