2020-2021学年山东省新泰市第一中学老校区(新泰中学)高二上学期第一次月考数学试题

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山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）2020-2021学年高二上学期

第一次月考数学试题

考试时间：120分钟 满分150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题)

一、单选题.(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．已知向量()()1,1,01,0,2a b ==-，且2ka b a b +-与互相垂直，则k 的值是（ ）

A ．7

5 B ．2 C ．53

D ．1

2．{}

,,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是

A ．{},,a a b a b +-

B ．{},,b a b a b +-

C ．{},,c a b a b +-

D ．{}

,,2a b a b a b +-+ 3．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =（ ）

A B C D

4.已知m 是实常数，若方程x 2+y 2+2x +4y +m ＝0表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，20） B ．（﹣∞，5）

C ．（5，+∞）

D ．（20，+∞）

5．已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －4＝0 D ．x ＋y ＝0 6、已知直线()1:21230l x a y a +-+-=，22:340l ax y a +++=，则“3

2

a =”是“12l l //”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7、 直线2xcos α－y －3＝0? ????

α∈??????π6，π3的倾斜角的变化范围是( )

A.??????

π6，π3 B.??????

π4，π3 C.????

??π4，π2 D.????

??π4，2π3 8．在如图3的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝3，点M 是侧面BCC 'B '内的动点，满足AM ⊥BD '，设AM 与平面BCC 'B '所成角为θ，则tanθ的最大值为（ ）

A ．

B ．

B ．

C ．

D ．

二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,至少有一个选项是符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分) 9.下面四个结论正确的是

A ．向量()

,0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ?=

B ．若空间四个点P ，A ，B ，

C ，13

44

PC PA PB =

+，则A ，B ，C 三点共线 C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若3

10

x <，则,a b 为钝角 D ．任意向量a ，b ，c 满足()()

a b c a b c ??=??

10．已知直线l ：2(1)10a a x y ++-+=，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ） A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0 C ．直线l 过定点(0，1)

D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 11. 下面说法中错误的是（ ）

A ．经过定点P （x 0，y 0）的直线都可以用方程y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0）表示

B ．经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y ＝kx +b 表示

C ．不经过原点的直线都可以用方程

表示

D ．经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）表示 12、如图，正方体的棱长为1，

是

的中点，则

A ．直线

平面

B ．

C ．三棱锥的体积为

D ．异面直线与所成的角为

第II 卷（非选择题)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13、已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 14．已知圆C 的圆心在直线230x y --=上，且过点(2,3)A -，(2,5)B --，则圆C 的标准方程为____________

15、已知一个等腰三角形ABC 的一个顶点是A(4,2),底边的一个端点B(3,5)，底边另一个端点C 的轨迹方程是______________________________________________________. 16、已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则二面角C ﹣AM ﹣N 的余弦值为 ．若动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且P A 1∥平面AMN ，则线段P A 1的长度范围是 ．

四、解答题(共6小题,70分) 17． 已知空间三点

()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---， 设,a AB b AC ==．

（1）求a 和b 的夹角θ的余弦值； （2）若向量()()

,2k ka b a b -+互相垂直，求k 的值． 18．如图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且:1:3GM GA =，设AB a =，AC b =，AD c =，试用a ，b ，c 表示BG ，BN ．

19、求过点(2,3)P ，且满足下列条件的直线方程：

（1）倾斜角等于直线40x +=的倾斜角的二倍的直线方程； （2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．

20．已知ABC ?的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=． （1）求顶点A 和B 的坐标； （2）求ABC ?外接圆的一般方程．

21．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=. （1）证明：直线恒过定点；

（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？ （3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此

时直线的方程.

22．如图所示的几何体P ABCDE -中，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB AE ⊥，//AB CE ，//AE CD ，24CD CE AB ===，M 为PD 的中点．

（1）求证：CE PE ⊥；

（2）求二面角M CE D --的大小；

（3）设N 为线段PE 上的动点，使得平面//ABN 平面MCE ，求线段AN 的长．

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新泰中学高二年级第一次阶段性数学检测试题答案

1-5ACB B C 6-8CBB

9AB 10．AC 11. ABC 12、AB

13、2 14 .22(1)(2)10x y +++=

15：)1553(10)2()4(22）两点，），（，

去掉（-=-+-y x 16、已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则二面角C ﹣AM ﹣N 的余弦值为

．若动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运

动，且P A 1∥平面AMN ，则线段P A 1的长度范围是 ．

五、解答题(共6小题,70分)

17【答案】（1）10

-

；（2）52k =-或2

18．【答案】BG 3

114

4

4

a b c =-++；BN 113

3

b c a =+-．

19、【答案】（130y -+-=，（2）320x y -=或50x y +-=

20．【答案】（1）(5,1)和(7,3)-;（2）2246120x y x y +-+-=．． 21．

【解析】（1）直线方程为()()221340m x m y m -++++=， 可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，

所以230240x y x y -++=??++=?，解得12x y =-??

=-?，所以直线恒过定点()1,2--；

（2）点()3,4Q 到直线的距离最大，

可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，

=423

312

PQ k +=

=+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23

-

， 可得22321

m m --

=-+，解得47=m .

（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，

k 0<， 则21,0A k ??

- ???

，()0,2B k -，

(

)121221212224222AOB k S k k k k k -????

=

--=--=++≥+= ? ?-????

△， 当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4. 此时直线的方程240x y ++=. 22．

【解析】依题意得，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，

则PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以PA ⊥面ABCDE ， 又AB AE ⊥，可以建立以A 为原点，

分别以AB →

，AE →

，AP →

的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），

可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()4,2,0C ，()4,6,0D ，()0,2,0E ，()002P ,

,，()2,3,1M ，

（1）由题意，()4,0,0CE →=-，()0,2,2PE →

=-， 因为0CE PE →

→

?=，所以CE PE ⊥． （2）()2,1,1ME →

=---，()2,1,1MC →

=--， 设(),,n x y z →

=为平面MEC 的法向量，则

00n ME n MC ??=?

?=?

，即20

20x y z x y z ---=??--=?， 不妨令1y =，可得()0,1,1n →

=-， 平面DEC 的一个法向量()0,0,2AP →

=，

因此有cos ,n AP

n AP n AP

→

→

→

→

→

→

?=

=，

由图可得二面角M CE D --为锐二面角，

所以二面角M CE D --的大小为45?．

（3）（方法一）设[]()0,1PN PE λλ→→

=∈，(),,N x y z ， 所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-， 令AN n →

→

⊥，即0AN n →→

?=， 解得1

2

λ=，即N 为PE 的中点，

因为//AB 平面MCE ，//AN 平面MCE ，AB

AN A =，

所以当N 为PE 的中点时，平面//ABN 平面MCE ，

此时即()0,1,1N ，AN →

==

所以线段AN ．

（方法二）设[]()0,1PN PE λλ→

→

=∈，(),,N x y z ， 所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-， 设(),,m x y z →

=为平面ABN 的法向量，

则00m AB m AN ??=??=?，即()402220x y z λλ=??+-=?，

不妨令1y λ=-，可得()0,1,m λλ→

=-， 因为平面//ABN 平面MCE ，所以//m n →→

，

解得：1

2

λ=，此时即()0,1,1N ，AN →

=

=

所以线段AN．

【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题