13.4课题学习 最短路径问题导学案

13.4课题学习 最短路径问题导学案

【学习目标】

1，复习轴对称的知识，会画轴对称图形。

2，能够利用轴对称的知识解决实际问题。

3，培养同学们自学意思和探究能力。

学习重点：会画轴对称图形。

学习难点：会用轴对称知识解决实际问题。

一、 复习导入：

（1），同学们以前学过的线段最短问题有哪些？还记得吗？

1、

2、

（2），如何做直线外一点关于这条直线的对称点？

1、

2、

二、导入新课

问题1 如图牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地。牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？

作点A 或B 关于直线

L 的对称点B

′或A ′，再连接A B ′或B A ′与对称轴L 的交点即为所求。

（证明方法为：三角形两边之和大于第三边）

问题2 如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造成在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

分析引导：我们可以把河岸看成两条平行线，N 为直线b 上一个动点，MN 垂

直于直线b，交直线a于点M,这样问题可以转化成：当点N在直线b的什么位置时AM+M N+NB最小。

解：将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′,则AA′=MN,AM+NB=A′N+NB.连接A′，B两点的线中，线段A′B最短。因此线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求。

你能证明为什么点N即为所求的点吗？

能力提升：

课堂归纳：

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。

作业：

课本93第15题。

学后反思：

最短路径问题学案教案

最短路径问题 【目标导航】 1.理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”. “饮马问题”，“造桥选址问题”.考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等. 2.解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”.关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理.这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用. 【合作探究】 探究一：（1）如图1，一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线． （2）如图2，直线l 是一条河，A 、B 是两个村庄，欲在l 上的某处修建一个水泵站M ，向A 、B 两地供水，要使所需管道M A +M B 的长度最短，在图中标出M 点． （3）如图3，在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段C D 表示．试问：桥C D 建在何处，才能使A 到B 的路程最短呢？请在图中画出桥C D 的位置．画 出示意图，并用平移的原理说明理由． 变式1．在边长为2㎝的正方形ABC D 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝． 变式2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上 有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为__________ 第2题 第3题 第4题 变式3.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为_________ 变式4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是A D 和AB 上的动点，则B M+MN 的最小值是____． 变式5．一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，则PC ＋PD 的最小值________，此时P 点的坐标为________． 探究二：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， 先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他 确定这一天的最短路线. A D E P B C 第5题 O x y B D A C P

《13-4 课题学习 最短路径问题》教学设计

13.4.课题学习《最短路径》教学设计 一、教材分析 1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题， 于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解 答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方 法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学 解决现实生活问题的数学应用性。 2、目标和目标解析： （1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想. （2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想. 3、教学重、难点 教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决. 二、教学准备：多媒体课件、导学案 三、教学过程

= AC +B ′C = AB ′， AC ′+BC ′ = AC ′+B ′C ′． 方法提炼： 将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 问题4 练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径． 基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC ，这样问题就转化为“点P ，Q 在直线BC 的同侧， 如何在BC 上找到一点R ，使PR 与QR 的和最小”． 问题5 造桥选址问题 如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河 正 互相交流解题经验 独立完成，交流经验 观察思称来解决 经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力. 提炼思想方法：轴对称，线段和最短 体会转化思想， A B C P Q 山 河岸 B l A B ′ C C ′

最短路径问题教学案例

专题学习：最短路径问题 一、教学目标: 知识与技能： 理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 过程与方法： 能利用轴对称解决实际问题中路径最短的问题。 情感态度与价值观： 通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。 二、教学重、难点 教学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。 教学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。 三、学法指导 自主探索，合作交流。 四、教学过程 （一）、创设情景，引入新知。 同学们：我们已经学习过“两点之间的所有连线中，线段最短。”和“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”等问题，我们称他们为最短路径问题。 （二）、自主学习，探究新知。 1、如图所示，从A地到c地有四条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 2、两点在一条直线异侧： F E D C B A

活动1: 已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。 思考：为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证PA+PB最短呢？ 3、两点在一条直线同侧 活动2：如图，牧马人从A地出发到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ （1）你能将这个问题抽象为数学问题吗？ （2）这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小

最短路径问题

最短路径问题 （导学案） 洪湖市龙口镇和里中学 龚宝金 教学目标： 1知识与技能：理解和掌握解决最短距离问题的一般思想方法 2.过程与方法：培养学生转化思想和数形结合思想 3.情感态度与价值观: 通过专项讲解，归纳出方法和规律，消除学生对此类问题的陌生感 和畏惧感，提高学生解决问题的信心和解决问题的能力。 教学重点：利用轴对称作图确定使距离最短的点 教学难点：数形结合思想与数学建模思想的培养 教学过程 一． 温故而知新1. 在公路l 两侧有两村庄，现要在公路l 旁修建一所候车亭P ，要使候车亭到两村庄的 距离之和最短，试确定候车亭P 的位置。 ★思考：本题运用了 。 随堂练习一. 1. 造桥选址问题：如图，A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何 处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） ★思考：本题运用了 。 二．温故而知新2. 如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边L 建一泵站P 分别向A 、B 两村庄同时供水，要使泵站P 到A 村、B 村的距离之和最短，确定泵站P 的位置。 ★思考：本题运用了 。 A B

随堂练习二： 1. 如图,已知正方形ABCD ，点M 为BC 边的中点， P 为对角线BD 上的一动点，要 使PM+PC 的值最小，请确定点P 的位置。 2. 如图，已知菱形ABCD ，M 、N 分别为AB 、BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一动点，要使 PM+PN 的值最小，试确定点P 的位置。 三．合作探究——拓展与延伸. 1.如图，点P 在∠AOB 内部，问如何在射线OA 、OB 上分别找点C 、D ， 使PC+CD+DP 之和最小？ 2. 饮马问题: 如图牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回 到B 处，请画出最短路径。 第1题图 第2题图 B A

13.4 课题学习《最短路径问题》导学案

班级：姓名： 13.4 课题学习《最短路径问题》导学案 【学习目标】1、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形； 2、能够用轴对称的知识解决生活中的实际问题。 【学习重点】按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形 【学习难点】：能够用轴对称的知识解决生活中的实际问题 【教学过程】 （一）【创设情境，引入课题】 如图，一个圆柱的底面周长为20cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径． 这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径．那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？ （二）【探究新知，练习巩固】 探究一：最短路径问题的概念 1、 (1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？ 2．总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题． 探究二：河边饮马问题 问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 提出问题： (1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？ (2)这个问题有什么不同？ (3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？ 归纳： 在解决最短路径问题时，我们通常利用等变化把 ，从而作出最短路径的选择。

探究二 已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？ 让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较 （三）【概括提炼，课堂小结】 在解决最短路径问题时，我们通常利用等变化把 ，从而作出最短路径的选择。 （四）【当堂达标，拓展延伸】 1、如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（） 2、如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分 别交于P、Q，下面的说法正确的是（） A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到B,A、距离相等的点 C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点 D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点 3、如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的 中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 4、如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和 （3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一 条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（） A．（0，3）B．（0，2） C．（0，1）D．（0，0） 5、某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想. 三、学生学情诊断 八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上. 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.

最短路径问题

最短路径问题的研究 学生姓名：苏振国指导老师：王向东 摘要最短路径问题是研究线状分布的地理事物中最常用的方法。其中迪克斯查1959年提出的标号法在最短路径问题的研究中应用最为广泛，尤其在交通选址方面。根据迪克斯查标号法的基本思想及应用现状，本文以其在城市消防站选址问题上的应用为例，详细介绍了迪克斯查标号法的应用、原理及其步骤。展现了最短路径法的突出优点：不仅求出了起点和终点的最短路径及其长度，而且求出了起点到图中其他各点的最短路径及其长度。 关键词最短路径步骤原理应用分类 1引言 在实际中常提出这样的问题，比如说，在交通网中，问A，B两地是否有道路可通?如果有通路且不止一条的话，那么最短的是哪条?所谓最短，可理解为里程数最少，也可理解为旅差费最省，还可理解为道路的建造成本最低等等。总之，这类问题都可归结为在一个有向图中求最短路径的问题。本论文研究的主要目的就是为了详细介绍关于最短路径问题的标号法，及其在实际生活中如何应用。下面我将展开论述。 2最短路径的现状分析及其研究发展方向 2.1现状分析 最短路径问题一直是计算机科学、运筹学、地理信息科学等学科的一个研究热点。国内外大量专家学者对此问题进行了深入研究。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。它们在空间复杂度、时间复杂度、易实现性及应用范围等方面各具特色。针对串行计算机的最短路径算法,已经几乎到达理论上的时间复杂度极限。现在的研究热点,一是针对实际网络特征优化运行结构,在统一时间复杂度的基础上尽可能地提高算法的运行效率;二是对网络特征进行限制,如要求网络中的边具有整数权值等,以便采用基数堆等数据结构设计算法的运行结构;三是采用有损算法,如限制范围搜索、限定方向搜索及限制几何层次递归搜索;四是采用拓扑层次编码路径视图,对最短路径进行部分实例化编码存储;五是采用并行算法,为并行计算服务。 2.2研究发展方向 2.2.1最短路径算法的实时性 目前,静态的最短路径算法已经十分完善。但是,在实践中,网络特征可能时刻会发生变化,要求最短路径算法必须能够实时地自动更新。这类问题主要集中在交通网络的实时导航、通勤、调度和计算机互联网的数据传递路由等方面。在动态最短路径问题中,弧段权值、节点耗费等均为时间t的函数,既可以是连续的,也可以是离散的。在假定网络路径权值服从FIFO原则的一致性假设前提下,任何静态的LS和LC算法均可扩展为时间依赖的最短路径算法。 2.2.2最短路径算法的并行化 随着计算机处理数据量的逐渐增多,传统的串行计算机的负荷也逐渐加重。运行在服务

课题学习 最短路径问题 优秀教学设计

课题学习最短路径问题 【教学目标】 教学知识点 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想。 能力训练要求 在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。 情感与价值观要求 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣。在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有所用的数学。 【教学重难点】 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决。 【教学过程】 一、创设情景引入课题 师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。 （板书）课题 学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识。 二、自主探究合作交流建构新知 追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线。

追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点。设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）。 强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动2：尝试解决数学问题 问题1 ：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B'吗？ 问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：

《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计

C B A 《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计 教材分析 本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计 算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质， 有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁． 学情分析 学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题， 因此对最短路径问题有一定的理解。分类讨论一直都是学生觉得比较难 掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误． 教 学 目 标 知识 目标 能运用勾股定理求最短路径问题 能力 目标 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实 际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透 数学建模的思想． 情感 目标 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验 数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功 感． 教学重点 探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题． 教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题． 教学过程 教学环节 教学内容 教学活动 学生活动 设计意图 复习巩固 1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=?，AC =4，BC =2，则AB = ． 2．如图，小华的家在A 处，书店在B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ） A ．A C D B →→→ B ．A C F B →→→C ．A C E F B →→→→ D ．A C M B →→→ 引导学生复习利用勾股定理计算三角形的边长． 引导学生回顾同一平面内，两点之间线段最短的知识． 学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识． 帮助学生 温故知新

13.4课题学习最短路径问题 精品导学案 新人教版3

L A B L A B A O B P 第十三章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题 一.学习目的 1.掌握利用轴对称，平移等变化把问题转化为易解决的问题。 2.在解决问题中培养学生转化思想和数形结合思想。 3.数学来源于实际服务于生活，激发数学学习兴趣。 二.学习重难点 用对称作法确定最短距离。 三.学习过程 第一课时最短路程 （一）构建新知 1.阅读教材85～87页 （1）如图，已知直线L的两侧有两村庄A、B， 若要在L上找一点到两村庄的路程最短，应怎样选址？ （2）如图，已知直线L的同侧有两村庄A、B。 ①若要在L上找一点到两村庄的路程 相等，应怎样选址？ ②若要在L上找一点到两村庄的路程 最短，应怎样选址？ （3）造桥选址问题：如图，A、B两地在綦河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） （二）合作学习 1.如图，点P在∠AOB内部，问如何在射线OA、O B上 分别找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。

x y –1 –2 –3123 –1 –2 1 2 3 4 O A B N M A B C D x y –1 –21234 –1 –2 1 2 O B E F A C A B C M N （三）课堂检查 1如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点 B（－2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离 之和最小，则P点的坐标是_______。 2.如图，在正方形ABC D中，点E 是BC上的一定点，点P是BD上的 一动点，要使PE+PC的值最小， P应在BD的什么位置？ 3.如图，已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边 的中点，P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小， 试确定点P的位置。 4.如图，在△AB C中，M是边AB上的点，N是边BC上的 一点，在边AC上找一点P，使MN＋PN的值最小。 5.如图，以矩形OABC的顶点，OA所在的直线 为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐 标系，已知OA=4，OC=2，点E、F分别是边AB、BC 的中点，在x轴、y轴上存在点N、M，使得四边 形MNEF的周长最小。这是N，M的坐标是____________和 （四）学习评价 （五）课后练习 1.学习指要42～43页 教学反思 在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下： 1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。 2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。

初中八年级数学 13.4最短路径问题 学案

13.4 课题学习最短路径问题 【学习目标】 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题, 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 【重点难点】 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 【学习过程】 一、自主学习： 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？ 二、合作探究： 探究点一探索最短路径问题 活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？ 追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？你能用所学的知识证明你的作法正确吗？ 探究点二选址造桥问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．) 三、尝试应用

1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（） 2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水 再回家，所走的最短距离是米. 4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。 四、补偿提高 5、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．

最短路径问题--教学设计

13.4课题学习最短路径问题 张龙乡第一初级中学 王玉

最短路径问题 教学内容解析： 本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。 教学目标设置： 1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题 2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。 教学重点难点： 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 学生学情分析： 1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。 2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。 教学策略分析：

最短路径问题从本质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。 解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。 教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。 教学条件分析: 在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。 教具准备：直尺、几何画板，ppt 教学过程：

《立方体中的最短距离问题》学案

《立方体中的最短距离问题》教学案2014-11-18 教学目的：应用线段公理解决立方体中的最短距离问题。 教学重点：立方体中的最短距离问题 教学难点：立体问题转化为平面问题 教学过程： 一、复习与引入 1.线段公理是____________________________ 2.勾股定理是直角三角形的__________,勾股定理的逆定理是直角三角形的 ____________(填“判定”或“性质”) 3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°。 ①若a=2，b=4，则c=________； ②点C 到点A的最短距离为_______,点C 到点B的最短距离为_______ ③点C 到点AB的最短距离为_______, 二、问题探究1：如图所示：有一个长、宽、高都是2米，高为正方体纸盒，一只小蚂蚁要 沿着正方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？

问题探究2：如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？ 问题探究3：如图所示：有一个长为6米，宽为4米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？

课堂小结：有一个长为a 米，宽为b 米，高为c 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？ 三、课堂练习： （1）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是______________ （2）（分层提高）如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________ (3)(课后讨论) 在（2）中小蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕n 圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________ B A 6m 3m 1m B A

13.4最短路径问题教案

13.4课题学习：最短路径问题 教学目标： 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。 教学重点： 将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。 教学难点： 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。 导学过程： 一、创设情景，引入新知。 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题。 二、自主学习，探究新知。 问题1 话说灰太狼从羊村落魄回来途中，不小心掉进茅厕坑，为了不让老婆看到自己落魄不堪的样子，于是决定去河边先洗个澡，冲洗掉身上的脏物，然后再回家，如图所示，请你设计一种路线，教教可怜的灰太狼，告诉他走那条路线回家最近吗？ 河边 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 厕

追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A ，B 两地抽象为两个点，将河ｌ 抽象为一条直线． 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边ｌ洗澡，然后到B 地； （2）在河边洗澡的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到洗澡地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线ｌ上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在ｌ 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． 问题2 如图，点A ，B 在直线ｌ 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在ｌ 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 我们不妨先考略这个问题 : · A ｌ

《勾股定理的应用---最短路径问题》教案及学案

A C A A B §14.2 勾股定理的应用---最短路径问题 安海中学 谢伟良 教学目标： 知识与技能目标：能运用勾股定理解决简单的实际问题． 过程与分析目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件． 情感与态度目标：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情 教学重点：利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求得最短路程． 教学难点：寻找最短路径． 教学关键：把立体图形转化为合适的平面图形寻得最短路径再构造直角三角形应用勾股定理求最短路程. 教学准备： 教师准备：幻灯片、直尺. 学生准备：复习勾股定理，自制圆柱体、立方体和长方体. 教学过程： 一、复习引入，创设情境 1.复习提问：线段性质定理、勾股定理的内容及数学式子表示. 设定情景引入新课. 2.情景设定1（投影出示）： 二、创设情境，解决问题 情景设定2： 在一款长30cm 宽40cm 的砧板上，蚂蚁要从点A 处到点B 处觅食，试问这只蚂蚁要 怎么选择路线才能使路线最短？最短距离是多少？ 如图所示,圆柱体的底面直径为6cm,高为12cm,一只蚂蚁从A 点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程(π取3）. 2 2BC AC + ∴爬行的最短路程约为15cm 。 ∵ 在Rt △ABC 中, ∠C=90o ∴ ) (504030222 2cm BC AC AB =+=+= ∴ 走线段AB 的路线最短，且最短距离为50cm. 解:如图，∵在Rt △ABC 中, ∠ACB=90° ＝?πd ≈?×3×6=9cm ， ∴AB ＝ 22912+=) (15cm =

(完整版)最短路径问题导学案

第十三章第 4 节-----最短路径问题 第 1 课时 学习内容：利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 问题重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 目标要求：能利用轴对称解决简单的最短路径问题 课堂活动： 一知识回顾：在几何问题中，有一类描述最短路径问题的命题。 如： 二古代数学问题： 问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马， 然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走 的路线全程最短？ 1

探究：1。把其抽象成数学问题是： 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． 几何问题是：在直线L上找一点 P，使得AP+BP最小。 2.画出图形，并加以证明

三问题解决： 例1．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短． x p 例2已知直线m∥n,直线m,n外分别有两点A,B如图所示，分别在直线m,n上确定P,Q两点（PQ⊥m），使得AP+PQ+QB最小。 A m n 四课堂显身手 1．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP 为最短．求：最短距离EP+BP． 3

2．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A 、B 在东西方向上相距 65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？ A

最短路径问题教学设计

13.4课题学习 最短路径问题 张龙乡第一初级中学 王玉 最短路径问题

教学内容解析： 本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。 教学目标设置： 1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题 2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。 教学重点难点： 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 学生学情分析： 1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要

在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。 2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。 教学策略分析： 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。 解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC及BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，及直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（及所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。 教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，及直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。 教学条件分析:

最短路径问题--教学设计

教材：人教版初中数学八年级（上） 课题：13.4 最短路径问题 一. 教学内容解析 最短路径问题是生活中常见的实际问题，又是初中数学中的一种重要题型。因此，引导学生运用所学知识解决最短路径问题，体现了数学学习与社会生活的密切联系，强调了数学来源于生活，服务于生活的新课程理念。随着新一轮基础教育改革的推进，以数学课题学习为载体进行数学实践活动教学便顺理成章的成为培养学生创新意识和实践能力的重要方式之一。 本课就以课题学习中的“最短路径问题”，引导学生以“两点之间线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，结合法国数学家笛卡尔的名言“一切问题都可以转化为数学问题”，借助轴对称、平移等全等变换方法进行研究，让学生亲历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用，培养学生的转化意识，使学生对数学理解的同时，获得成功的体验和克服困难的经历。 本节课主要内容包括最短路径问题中基本类型的建立，将军饮马问题的转化，最值问题的迁移。 二．教学目标设置 1. 会将实际问题中的地点、河（湖）岸等抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题，体会实际生活和数学之间的密切联系。 2. 体验利用轴对称和平移全等变换的方法来解决最短路径问题，通过观察、操作、归纳等一系列过程，培养学生的实际动手能力，以此激发学生学习数学的兴趣，培养学生探究科学的热情。 3. 理解把求最短路径的实际问题转化成数学中的线段和最小问题，再利用轴对称等线段变换将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题，进而把最短路径的实际问题迁移到数学学习中的求解最值的题型中来。 三．重点与难点 1. 重点：理解轴对称把“将军饮马问题”转化为最短路径中的“基本类型”，实现等线段变换的实质； 2. 难点：把解决最短路径问题的实际迁移到数学中的最值题型中。

最短路径问题教学设计

最短路径问题教学设计 教学目标： 1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题。 2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化的数学思想。 3、通过探究活动，培养学生的探究能力、数学归纳能力，分析问题和解决问题的能力。 教学重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 教学难点： 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，以及如何证明最短。 教学过程： 一、复习引入： 1、从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选择哪条 路距离最短？你的理由是什么？ ２、牧人在Ａ地想到河边去饮马，怎样走最近？ 你的理由是什么？ 处理方式：由学生独立回答。 回顾知识：①两点之间，线段最短。（三角形两边之和大于第三边） ②垂线段最短。 二、问题探究： 1、点A 、B 在直线L 的两侧，点C 是直线L 上的 一个动点，当点C 在L 的什么位置时，AC+CB 最小？ 处理方式：学生独立思考，画图分析，并尝试回答， 老师加以点评。 2、牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 处理方式： ①要求学生看教材85页第2、3自然段。 ②你能将这个问题转化为数学问题吗？ 点A 、B 在直线L 的两侧，点C 是直线L 上的一个动点， 当点C 在L 的什么位置时，AC+CB 最小？ （给学生时间自己思考解决问题的方法，若有困难可作如下引导） ③此问若能转化为1问中的问题，点A 、B 在直线L 的两侧问题就简单了，那你能在L 的另一侧找到一个这样的点B ′，使B ′C ＝BC 吗？ ④用同样的方法作点A 关于L 的对称点A ′，得到的点C 的位置是一样吗？试一试。 三、问题验证： １、你能用所学的知识证明ＡＣ+ＣＢ最短吗？ 处理方式：引导学生分析并证明。（老师板书） ２、回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助了什么解决问题的？ 处理方式：引导学生进行归纳总结。 A B 河 Ａ L A B L A B