八年级数学上册 第十三章《轴对称》课题学习 最短路径问题学案(新版)新人教版

八年级数学上册第十三章《轴对称》课题学习最短路径问题学案（新版）新人教版

13、4 课题学习：最短路径问题课题

13、4 课题学习：最短路径问题课型综合课课时

14、根据你发现的规律，在图（2）中完成本题。探究

（二）问题为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的输气管线最短呢？

四、达标测评

1、如图（3），在铁路的同侧有两个工厂

A、B，要在路边建一个货场C，使

A、B两厂到货场C的距离的和最小、问点C的位置如何选择？

2、如图（4），如果我们把台球桌做成等边三角形的形状，那么从AC的中点D处发出的球，能否依次经BC,AB两边反射后回到D处？如果认为不能，请说明理由；如果认为能，请作出球的运动路线。ADBC图（4）图（3）（（99AB

3、如图（5），A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。图（5）

五、总结反思课堂记录或学法指导学习目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想、学习重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题、学习难点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题、学习过程：

一、自主学习预习课本P85—

87、

二、问题探究

1、把下列图形补成关于对称的图形。

2、仔细观察第三个图形，你能尽可能多的从图中找出一些线段之间的关系吗？

三、自主探究合作展示探究

（一）图（2）BA

1、如图（1）、要在燃气管道上修建一个泵站，分别向

A、B两镇供气、•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？图（1）

2、请同学们任意取点探究，并完成下列表格。=1=2=3=4…

3、通过以上探究，你发现什么规律吗？

新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.4课题学习最短路径问题》赛课教案_5

《最短路径问题--课题复习》导学案 导学目标:1.复习最短路径问题的解决方法和思想。2.能利用轴对称或平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考，合作探究，培养运用数学知识解决实际问题的能力，感受收获的快乐。 导学重点：掌握运用轴对称或平移解决生活中路径最短的问题。 导学难点：掌握确定出最短路径的常用方法。 导学过程： 一、回首旧知 1.基础知识回顾 (1)两点的所有连线中，。 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，。 (3)三角形的任意两边之和_________第三边，任意两边之差________第三边。 (4)线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离____________。 2.基本方法回忆 （1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小（作图并说明理由） 分析：直接运用两点之间线段最短解决 A· l ·B （2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小（作图） 分析：运用轴对称将所求线段之和转化为一条线段的长。 ·B A· l 小组合作探究：为什么这样做最短? 请证明你所得出的结论。 变式训练: 在图中两条直线上分别求一点M、N使三角形MAN的周长最小。 分析：如何运用轴对称将三条线段（三个边）之和转化为一条线段的长。

（3）、造桥选址问题中的最短路径问题：从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 分析：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.在解决最短路径问题时,我们还可以利用平移变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题．思考：沿哪个方向平移可以把AM和BN对接到一起？ 小组合作归纳：在解决最短路径问题时，我通常利用__________、___________等变化，把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。 三.课堂练习 ( 1）.某班举行晚会,桌子摆成如图所示两直排(AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C 处的小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短？

最新2019-2020年度人教版八年级数学上册《课题学习-最短路径问题》教学设计-优质课教案

13.4 课题学习最短路径问题 【教学目标】 教学知识点 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想. 能力训练要求 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学. 【教学重难点】 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决. 【教学过程】 一、创设情景引入课题 师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”. (板书)课题 学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识. 二、自主探究合作交流建构新知 追问1:观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 活动1:思考画图、得出数学问题 将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.

追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗? 师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图). 强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动2:尝试解决数学问题 问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗? 问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小? 师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充 如果学生有困难,教师可作如下提示 作法: (1)作点B 关于直线l 的对称点B'; (2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求. 如图所示:

初中数学人教八年级上册第十三章 轴对称1 课题学习 最短路径问题 教学设计

课题学习最短路径问题教学设计 内容： 利用轴对称研究某些最短路径问题。 内容解析： 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将现实问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形的两边之和大于第三边”）问题。 【学习目标】能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。【学习重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 【学习难点】如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 【课前准备】三角板、直尺、圆规、铅笔、橡皮擦等 教学问题诊断分析： 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。 解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异测的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。 在证明“最短”时，需要在直线上任意取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法大部分学生想不到。 在教学过程中，我让学生首先思考“直线l异测的两点，与l上的点的线段和最小”，为学生搭建桥梁。 教学过程设计 引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有线段中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题，这节课我们将学习著名的“将军饮马问题”，从中体会如何用所学知识选择最短路径。首先请同学们独立思考，完成导学案上的第一个板块——自主学习。 “自主学习”板块，让学生先独立思考，独立完成。然后请学生来公布答案，达到复习旧知的目的，为本节课的学习做好铺垫。 一、自主学习 1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案新版新人教版

13.4课题学习最短路径问题 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 【过程与方法】 体会图形的变换在解决最值问题中的作用. 【情感、态度与价值观】 通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 【教学难点】 利用图形变换进行线段的转移. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由. 二、合作探究 探究点1三角形周长最短的问题 典例1如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹. 第 1 页共 3 页

[解析]如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA 于点P1,交OB于点P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求. 理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F, ∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF, 根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短. 探究点2坐标系中的将军饮马问题 典例2如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x 轴上行驶. (1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标. (2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标. (3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置. [解析](1)由垂线段最短可知当汽车位于点(2,0)处时,汽车距离A点最近. (2)由垂线段最短可知当汽车位于点(7,0)处时,汽车距离B点最近. 第 2 页共 3 页

数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题 教案

13.4课题学习最短路径问题教案 教学目标： 通过问题1进一步熟悉轴对称作图以及平移变换作图等基本技能，体会如何以这些素材为载体，利用本章所学的轴对称等知识解决一类实际问题——选择最短路径问题.在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，获得解决此类问题的基本套路及经验，发展空间观念，激发内在兴趣. 重点难点： 重点：思路获取及问题解决 难点：理解轴对称在选择最短路径问题中的作用. 教学方法： 问题——探究教学法（几何画板辅助） 教学过程： 一、创设情境引入问题 师：首先请同学们看大屏幕.（介绍下图）并依此提出下面三个问题： 问题一：牧马人从A处回到B处休息，怎么走可使路径最短？ 问题二：牧马人从A处到河边l 处饮马，怎么走可使路径最短？ 问题三：牧马人从A地出发，先到一条笔直的河边l 处饮马，然后到B地休息.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 生：思考、讨论并交流. 师：我们把“两点之间，线段最短”，“垂线段最短”等问题称为最短路径问题.本节课我们将结合轴对称知识继续体会在下面的问题中如何选择最短路径.（引出课题） 二、问题引领层级递进 师：首先请看大屏幕:(投影展示) “牧马饮水问题1”：如图，牧马人从A地出发，先到河边某处饮马，再穿过小河回到B处，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请画出最短路径.

生：思考并讨论，口述证明. 师生共同归纳：当点A、B位于直线l 的异侧时，连接AB，与直线l 的交点，即为直线l 上到A、B距离之和最短的点． 师：接下来，请看 “牧马饮水问题2”：如图，牧马人从A地出发，先到河边某处饮马，再回到B处，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？请画出最短路径. 生：思考并讨论，口述证明. 师生共同归纳：当点A、B位于直线l 的同侧时，作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线l的交点，即为直线l上到A、B距离之和最短的点. 师：接下来，请看 “牧马饮水问题3”：如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马，然后回到A处，请画出最短路径.

初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十三章 轴对称1 课题学习 最短路径问题 导学案

课题学习最短路径问题导学案 【学习目标】能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。【学习重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 【学习难点】如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 【课前准备】三角板、直尺、圆规、铅笔、橡皮擦等 【学习过程】 一、自主学习 1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 2、三角形的三边关系：三角形的两边之和________第三边；两边之差________第三边。 3、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。 4、如图，点A、B关于直线l对称，则PA=_______ 二、合作探究 问题1 如图，点A、B分别在直线l 的两侧，如何在直线l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离之和最小？ .A l .B 问题2将军饮马 有一个将军，凯旋归来。他的马非常任性，非要从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮水，然后到军营B 地．将军到河边什么地方饮马可使他所走的路线最短？

小组成员讨论完成以下问题： （1）这是一个实际问题，你能将它抽象为数学问题吗？ 答：将A、B两地抽象为两个_____，将河l抽象为一条______,题目要求在直线l上找到一个点C，使线段_____和线段_____的和最小。 （2）问题2和问题1有什么异同？ 答：相同点：都是要在一条直线上找______点，使它到已知两点的距离之和最________。 不同点：问题1的两点在直线的______侧； 问题2的两点在直线的______侧。 （3）你能利用轴对称的知识将问题2转化为问题1吗？试一试，怎么做？ （4）你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 三、例题精讲 例1、如图：在正方形ABCD中，点M是AB的中点，在AC上找一点N，使 MN+NB最小。

新人教版八年级数学上【教案】课题学习 最短路径问题

新人教版八年级数学上【教案】课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题 【教学目标】 教学知识点 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想. 能力训练要求 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学. 【教学重难点】 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决. 【教学过程】 一、创设情景引入课题 师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.

(板书)课题 学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识. 二、自主探究合作交流建构新知 追问1:观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 活动1:思考画图、得出数学问题 将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线. 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗? 师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来 的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图). 强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动2:尝试解决数学问题 问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?

新人教版八年级数学第13章《轴对称》教案

第十三章《轴对称》教材分析 一、教材内容 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，了解轴对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习等腰三角形的判定方法，并进一步学习等边三角形的性质． 在本章第1小节“轴对称”中，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，概括出轴对称的特征．结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质的得出，讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理． 在第2节“画轴对称图形”中，首先通过操作对轴对称的性质进行了归纳，然后通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴的对称图形的一般方法，最后用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称．教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于x轴或y轴对称的图形． 本章第3节等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质．等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因．在本章第3小节“等腰三角形”中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法等内容． 本章第4节是“课题学习最短路径问题”．教科书在这一节中安排了两个问题，分别是“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移等变化把问题转化为关于“两点之间，线段最短”的问题，在解决这两个问题的过程中渗透了化归的思想． 二、教学目标 1、知识与技能 （1）通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质． （2）探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．

人教初中数学课标八年级上册第十三章13.4 课题学习 最短路径问题 教案

课堂教学设计表 章节名称§13.4 课题学习最短路径问题学时 1 学习目标 课程标准：《数学课程标准（实验稿）》第三学段（7-9年级） 利用轴对称、平移研究某些最短路径问题。 本节（课）学习目标： 知识和能力:理解“两点之间线段最短”的结论并能用这一结论解释一些简单的问题. 过程和方法:经历观察、实验、猜想等数学活动发展合情推理能力能有条理地、清晰地阐述自己的观点, 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题并能应用所学知识解决问题；学会与他人合作并能与他人交流思维的过程和结果.问题情境——组织数学活动——引导自主、合作学习——实践活动、探索新知——问题解决 情感态度和价值观:积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 学生特征二(9)学生好奇心、求知欲强，思维活跃，富有个性，他们的动手能力、感知能力和思考能力都有明显提高，学生已学过轴对称、平移等相关知识，虽然他们以前很少涉及最值问题，经验尚显不足，但学生对运用轴对称、平移等数学知识解决问题兴趣很浓。 学习目标描述知识点 编号 学习 目标 具体描述语句 1 情境引入在创设的温馨情境中复习“两点之间，线段最短”等知识点 2 引导思考为什么要学，怎么样去学？ 3 展示课题明确研究目标 4 探究铺垫引导学生体会如何将实际问题转化为数学问题 5 牧民的困惑这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 6 位置探究一 饮马的地点有无数个，怎样找出使两条线段和最短的直线上的点 并证明 7 造桥选址问题 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题 吗？ 8 位置探究二体会“桥梁”的作用，感悟转化思想，丰富数学基本活动经验 9 目标检测（1、2、3）让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法 10 师生小结 引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会 轴对称和平移在解决问题中的作用，感悟转化思想的重要价值11 作业布置再次让学生加深理解,掌握知识,学会应用. 项目内容解决措施

最新人教版八年级数学上册第十三章最短路径问题教案

13．4 课题学习最短路径问题 教学目标： 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 教学过程： 一、情境导入 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】两点的所有连线中，线段最短 如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明) 解析：利用两点之间线段最短得出答案． 解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．

方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 【类型三】最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案． 解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；

最短路径问题 教学设计 人教版八年级上册数学

13.4课题学习最短路径问题教学设计

我们可以将实际问题抽象为数学问题：我们可以把两条桌子看成两条线段AB和CD，E为学生坐的座位，E到AB的点为F，E到CD的点为H，F 和H为两动点，当F和H在什么位置时，EF+FH+HE最小？ 由这个问题，我们可以联想到下面的问题：牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到河对岸的B地喂马. 同样的，我们可以简化成几何图形问题：如图，点A，B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 利用我们以前学过的知识：“两点之间，线段最短”和“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”，将A、B两点连接起来，与直线l相交于C点，这个C点即为所求. 但是，现在的这个问题和它不同，那我们能不能同样利用“两点之间，线段最短”这个理论呢？ 我们可以利用轴对称，作E点关于CD的对称点E′，作E点关于AB 的对称点E″，连接E′E″，与AB相交于F点，与CD相交于H点. 以例题结合我们曾经学过的“将军饮马”问题，通过“两点之间，线段最短”来探讨“将军饮马”的变式问题. 回顾将军饮马的经典问题，让学生对新知与旧知之间的关系进行对比和分析，从而达到转化新知的目的，通过老师的引导让学生思考最终发现迁移旧知解决新的问题. 让学生体会由两定一动一定线型的最短路径问题拓展到一定两动

由轴对称的性质可知：EH=E′H，EF=E″F 当E″F+E′H+FH最短时，EF+FH+HE最短 又∵两点之间，线段最短 即：当E′E″成一条线段时，E″F+E′H+FH最短，EF+FH+HE也最短.两定线类型问题间的关系，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识． 下边我们来看一看另一类问题 问题2：有一个牧民，他喂了一群马，每天早上，牧民都得到放置水桶的E点去取水桶，然后到远处的小河CD处挑水，最后将水挑到水槽AB处，倒入槽中，让马都可以喝到水，那么，牧民怎么走，才能让自己的行进线路最短呢？ 首先，我们可以把水槽和小河抽象成两条直线，取水点F，可以看成CD上的一个动点，取水回来，将水倒到H点，那么，上面的问题可以转化为：当点F在CD上的什么位置时，EF和FH的和最小. 我们可以将E点对称到河对岸，然后比较不同的F点时，这两条线段距离之和.通过轴对称变化和“点到直线的距离，垂线段最短”来解决“将军饮马”的变式问题. 让学生自己亲身经历实际问题转化成数学问题的过程，提高学生解决实际问题的能力.

人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》教案

第十三章轴对称 13.4课题学习《最短路径问题》 一、教学目标 让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 二、教学重点及难点 重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题． 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺 四、相关资源 微课，动画，图片. 五、教学过程 （一）引言导入 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题． 设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向． （二）探究新知 问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 1．将实际问题抽象为数学问题 学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识． （1）把A，B两地抽象为两个点； （2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．

2．解决数学问题 （1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求． （2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？ （3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决． （4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？ 学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出： 作法：①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求． 3．证明“最短” 师生共同分析，证明“AC＋BC”最短．

初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十三章 轴对称1课题学习 最短路径将军饮马问题

13.4 课题学习最短路径问题(2课时) -----将军饮马 绵阳外国语实验学校王婵 教学目标：1、利用轴对称解决简单的最短路径问题 2、理解最值问题在具体题目中的运用 教学重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题 教学难点: 寻找题目中的最短路径模型 教学过程： 一．复习引入 【师】同学们，以前我们就学过最短路径的理论知识，现在我们先来回顾复习一下涉及到的知识【师】1.如图，连接A、B两点的所有线中，哪条最短？为什么？ 【生】②最短，因为两点之间，线段最短. 【师】2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ 【生】PC最短，因为垂线段最短. 【师】3.在以前学习三角形中，有哪些有关线段大小的结论？

【师】三边关系还可以这样理解，当三点共线时，BA’+CA’最短，BA+CA>BA’+CA’ 【师】如图，如何做点A关于直线l的对称点？ 二．新课讲解 例1.（将军饮马问题）如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（两点一线） B A l 实际问题 【师】这个题求的A到l再到B最短路径即哪些线段和最短？ 【生】AP+BP两条线段和最短 问题1.【师】假如A、B是直线l异侧两个点，你能得到最短路径P所在位置吗？ 【生】连接AB，与l的交点即为P点 【师】你运用的是什么知识点解决这个问题？ 【生】两点之间，线段最短 问题2.【师】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？

【生】将B对称到B’，连接AB’，交l于P点 问题3.【师】此时A、B’、P三点共线，AB’=AP+BP，你能否证明此时AP+BP为最短？证明除了P点以外任意的点C，AC+BC>AP+BP。 【师】提示：此时任取一个点C，AC+BC=AC+CB’ 【生】根据三角形两边之和大于第三边，则AC+CB’>AB’ 【师】即三点共线时，AB’最短 【师】方法总结：

人教版数学八年级上册13.4最短路径问题 教案

课题：最短路径问题

3、小组活动：拿出准备好的随堂练习，以小组形式，完成题目。 4、小组展示:不同做法。 师：究竟哪个组的是正确的能，能有什么样的数学依据呢，今天我们学完本节内容，大家便见分晓。 二、新授课： （一）、自主学习 问题： 1.如图，点M到点N之间有三条路线，第最短。 理由：。 2.如图，在一条笔直的公路AB上，有一辆小车P， （1）当小车行驶到AB的什么位置时，小车P到M和N的距离之和最短？出图形，并积极表 达自己的做法。 （小组讨论） 虽然不一定做 对，但要有表达自 己想法的积极性。 提出问题，先由小 组内部讨论解决， 并发表见解，后大 家共同得出明确 的认识。同时，对 知识进行回顾。 小组内部边学习， 边尝试，尽可能的 让学生感受 实际问题转 化为数学问 题的方法，理 解并转化几 何图形， 第1题，个人 基本都解决， 并回忆：两点 之间，线段最 短。 第2题，进一 步感受“两点 之间线段最 短”，为把同 侧两点，转化 为异侧两点 做铺垫。

（2）如右图，当小车行驶到AB 的什么位置时，小车P 到M 和N 的距离之和最短？ 小组展示： 师归纳：在（1）中点M 、N 分别位于AB 两侧，当 小车行驶到MN 与AB 的交点时，和最短；那么第2小题，能不能像1一样，把点M 或点N 转化到1的形式呢?显然，问题可以解决。 师完成板书做图。 师启发：为什么这种做法是最短的，你能用以前所学的知识进行证明吗？我们都学过哪些比较长短的方法? 小组讨论。 小组展示： 表达本组的思想方法。 学生要有一种模仿和转化意识。 理解转化的具体方法，及依据。 小组继续思考证明方法。 展示正确做法。 虽不能都正 确，但培养学 生的一种敢于表达自己 的想法的坚强毅力。 师给学生演示标准的做图要求，并规范做图方法。

人教版数学八年级上册第十三章13.4《最短路径问题》学案

13.4 课题学习最短路径问题 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直 线的交点即为所求． 如图所示，点A，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C，使CA ＋CB 最短，这时点 C 是直线l 与AB 的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关 于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． CA ＋CB 最短，如图所示，点A，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C，使这时先 作点B 关于直线l 的对称点B′，则点C 是直线l 与AB′的交点． 为了证明点 C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′， B′C′，证明AC＋CB ＜AC′＋C′B.如下： 证明：由作图可知，点 B 和B′关于直线l 对称， 所以直线l 是线段BB′的垂直平分线． 因为点C 与C′在直线l 上， 所以BC ＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， 所以AC ＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC ＋BC＜AC ′＋C′B. 【例1】在图中直线l 上找到一点M，使它到A，B 两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M 即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′； (2)连接AB′交直线l 于点M. (3)则点M 即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.

2022-2023学年人教版八年级数学上册第十三章轴对称图形将军饮马最短路径问题

2022-2023学年人教版八年级数学上册第十三章轴对称图形将军饮马最 短路径问题教学案 学生姓名年级八年级时间 教师姓名李老师科目数学 教学主题最短路径问题 知识梳理 将军饮马问题：两点之间线段最短。 知识点一：垂线段最短 1．如图，∠BAC=30°, AB=4，点P是射线AC上的一动点，则线段BP的最小值是 知识点二：两点之间线段最短 2．如图，A，B在直线l同侧，在直线l上取一点P，使PA＋PB最小. 3．如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一个自来水厂向A村与B村供水。 （1）若要使厂部到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ （2）若要使厂部到A、B村的水管最省料，则应选择在哪建厂？ 4．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC上一点，AE=2，当EF+CF 取得最小值时，求∠ECF的度数.

5．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4, EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP 的最小值是 6、在平面直角坐标系中，A（1,2），B（4,1），在x轴上找一点D使AD+BD最小，画图并求其坐标. 7、如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10，点M，N分别在OA，OB上，求ΔPMN周长的最小值 8．如图，点A，B分别为∠MON边上的定点，在∠MON的两边ON，OM上分别找两点P，Q，使得AP+PQ+QB最小（保留作图痕迹，不要求写作法） 9．如图，ΔABC为等边三角形，AO⊥BC于O，点P在AO上，ΔBPE为等边三角形 （1）求证：ΔABP≌ΔCBE; （2）若AB=8，则OE的最小值为

课题学习：最短路径问题(导学案)-【上好课】八年级数学上册同步备课系列(人教版)

13.4 课题学习：最短路径问题导学案 一、学习目标： 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 重点：应用所学知识解决最短路径问题. 难点：选择合理的方法解决问题. 二、学习过程： 课前热身 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ 问题解决---（牧马人饮马问题） 问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 探究1：现在假设点A,B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 作法：____________ ____________ _________;(依据：____________ ________). 探究2：点A，B分别是直线l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？

请呈现证明过程： 典例解析 例1.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 例2.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（） A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0） 问题解决---（造桥选址问题） 问题：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 由于河岸 宽度是固定的，因此当AM+NB 最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线 b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？ 如图，将

数学人教版八年级上册轴对称—最短路径问题

课堂教学设计表 填表说明：本表包括十个部分，请根据课题填写完整。灰色的单元格是提示语，请勿更改或删除。学员根据提示语，填写在对应的空格内。本表自动根据填写的文字内容，扩大表格范围。 本次研修自选小课题（请根据本次专业发展的研修主题“运用信息技术组织学生课堂学习活动”，自定一个研修小课题，在下面的单元格中说明所选小课题的内容以及对这个课题的思考） 课题：《如何设计“数学课堂导入型”微课》。 本课通过微课与信息技术的运用，让学生了解教材求两结点之间的最短路径问题是图最常见的应用的之一，在交通运输、通讯网络等方面具有一定的实用意义。在逐步分小组合作通过上网搜索资料、看微课等活动自主探究。整个过程，从激发学生兴趣，到学生自主深入合作探究，信息技术的运用贯穿始终，起到穿针引线的关键作用，这也让我充分深刻体会到掌握微课技术已是当代教师必备的一项技能。 接下来，请自选所任教学科学段的一节课或一个单元，按表格要求完成教学设计，要求能够体现出以上所选的小课题方向，重点思考教师如何在课堂组织学生进行学习，提高学生的学习效率。 章节名称轴对称—最短路径问题 学科数学授课班级初二（1）班授课时数 2 设计者方琪任教的学校汕头市达濠第二中学 一、本课学习内容概述（简单说明本课的学习内容） 最短路径问题在现实生活中经常遇到，也是数学分支——图论研究的一个经典算法问题，初中阶段，主要以“两点之间线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。本课以数学史中的两个经典问题—“将军饮马问题”“造桥选址问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题转化为数学问题，利用轴对称、平移等变化再把数学问题转化线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）解决问题，体现了数学化的过程和转化思想。基于以上分析，确定本课的教学重点是：利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题。 二、依据标准（摘录最新版《课程标准》的目标语句） 课程标准： 这节课属于综合与实践这一部分，就是综合运用所学的数学思想、方法、知识、技能解决一些生活和社会中的问题，以实际生活中的问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，是培养学生应用意识、创新意识、过程经验很重要的载体，通过课题学习能够把知识系统化，解决一些实际问题。针对问题情境，学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解。2011年版《数学课程标准》中增