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高中数学必修五知识点大全知识讲解

知识点串讲

必修五

第一章：解三角形 1．1．1正弦定理

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin a

sin c

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

2、已知?ABC 中，∠A 060=，a =求

sin sin sin a b c

A B C

++++

证明出sin sin a b A B =sin c C ==

sin sin sin a b c

A B C

++++ 解：设sin sin a b A B =(>o)sin c

k k C

则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =

从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C

A B C

++++=k

又sin a A =

2k ==，所以sin sin sin a b c

A B C

++++=2 评述：在?ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c

k k A B C

++=>++

恒成立。

3、已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c

（答案：1：2：3）

1.1.2余弦定理

1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-

从余弦定理，又可得到以下推论：

222

cos 2+-=

b c a A bc 222

cos 2+-=

a c

b B a

c 222

cos 2+-=

b a

c C ba

2、在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B

=222+-?cos 045

=2121)+- =8

∴=b

求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：∵cos 2221

,22+-=

b c a A bc

∴0

60.=A

解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b

2.4 1.4

3.8,+=

21.8 3.6,?=

∴a ＜c ，即00＜A ＜090,

∴0

60.=A

评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

3、在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）

1．1．3解三角形的进一步讨论

1、在?ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况分析：先由sin sin b A

B a

=可进一步求出B ；则0180()C A B =-+ 从而sin a C

c A

1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，

如果a ≥b ，那么只有一解；

如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第9:10页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

2、（1）在?ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。（2）在?ABC 中，若1a =，1

c =

，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。（3）在?ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x <<

3、在?ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断?ABC 的类型。解：222753>+Q ，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形?。

4、（1）在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断?ABC 的类型。（2）已知?ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断?ABC 的类型。（答案：（1）ABC 是钝角三角形?；（2）?ABC 是等腰或直角三角形）

5、在?ABC 中，060A =，1b =，面积为

2，求sin sin sin a b c

A B C

++++的值 sin sin a

sin c

sin sin sin a b c

A B C

++++

解：由1sin 2S bc A ==得2c =，

则2222cos a b c bc A =+-=3，即a =

从而

sin sin sin a b c A B C ++++2sin a

1.2解三角形应用举例

1、两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30?，灯塔B 在观察站C 南偏东60?，则A 、B 之间的距离为多少？解略：2a km

2、某人在M 汽车站的北偏西20?的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。公

路的走向是M 站的北偏东40?。开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处。在?ABC 中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得

cosC=BC AC AB BC AC ?-+2222=31

23,

则sin 2C =1- cos 2C =231

432

sinC =31

12,

所以 sin ∠MAC = sin （120?-C ）= sin120?cosC - cos120?sinC =62

35 在?MAC 中，由正弦定理得 MC =

AMC MAC AC ∠∠sin sin =2

331?623

35=35

从而有MB= MC-BC=15

答：汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站。

3、S=

21absin C ，，S=21bcsin A, S=2

1acsinB 4、在?ABC 中，求证：

（1）;sin sin sin 222222C

B A c b a +=+ （2）2a +2b +2

=2（bccosA+cacosB+abcosC ）证明：（1）根据正弦定理，可设

a sin = B

b sin = C

c sin = k

显然 k ≠0，所以

左边=C k B

k A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =C

A 2

22sin sin sin +=右边（2）根据余弦定理的推论，

右边=2(bc bc a c b 2222-++ca ca b a c 22

22-++ab ab

c b a 2222-+)

=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)

=a 2+b 2+c 2=左边

变式练习1：已知在?ABC 中，∠B=30?,b=6,c=63,求a 及?ABC 的面积S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=93;a=12,S=183

5、如图，在四边形ABCD 中，∠ADB=∠BCD=75?，∠ACB=∠BDC=45?，DC=3，求：（1） AB 的长

（2）四边形ABCD 的面积

略解（1）因为∠BCD=75?，∠ACB=45?，所以

∠ACD=30? ，又因为∠BDC=45?，所以 ∠DAC=180?-（75?+ 45?+ 30?）=30?，

所以 AD=DC=3

在?BCD 中，∠CBD=180?-（75?+ 45?）=60?，所以

?75sin BD = ?

sin DC

，BD = ??60sin 75sin 3= 226+ 在?ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2?AD ?BD ?cos75?= 5, 所以得 AB=5

（3） S ABD ?=

?AD ?BD ?sin75?=4323+

同理， S BCD ?= 4

所以四边形ABCD 的面积S=4

36+

第二章：数列

2．1数列的概念与简单表示法

1、概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{a n}

2、数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。

3、数列的表示方法：项公式列表和图象等方法表示数列

4、 = 2 a n-1 + 1（n ∈N ，n>1），（※）式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。

2．2 等差数列

1、数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

2、个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。

3、等差数列中，若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+

4、通项公式：以1a 为首项，d 为公差的等差数列}{n a 的通项公式为：d n a a n )1(1-+=

5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： }{n a 是等差数列，所以 ,1d a a n n =-- ,21d a a n n =--- ,32d a a n n =--- …… ,12d a a =- 两边分别相加得 ,)1(1d n a a n -=- 所以 d n a a n )1(1-+= （迭代法）：}{n a 是等差数列，则有 d a a n n +=-1

d d a n ++=-2 d a n 22+=- d d a n 23++=- d a n 33+=- ……

d n a )1(1-+= 所以 d n a a n )1(1-+=

6、 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？

解：⑴由1a =8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820-=-?-+=a

⑵由1a =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,14)1(45--=---=n n a n 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

解这个关于n 的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

7、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列}{n a 来计算车费.

令1a =11.2，表示4km 处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km 处时，n=11，此时需要支付车费)(2.232.1)111(2.1111元=?-+=a

答：需要支付车费23.2元。

2．2 等差数列的前n 项和

1、倒序相加法求和

我们用两种方法表示n S ：

（1） ],)1([...)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=①

],)1([...)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②

由①+②，得 2n S =1111n n n n a a a a a a a a ++++1444444444244444444443

n 个

（）+（）+（）+...+（）

)(1n a a n +=

由此得到等差数列}{n a 的前n 项和的公式2

)

(1n n a a n S +=

（2）

123...n n S a a a a =+++

=1111()(2)...[(1)]a a d a d a n d +++++++-

=1[2...(1)]na d d n d ++++- =1[12...(1)]na n d ++++- =1(1)

n n na d -+

2、已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？

解：由题意知 10310S =， 201220S =，将它们代入公式 112

n n n S na d -=+（）

，得到

111045310201901220

a d a d +=+=，

解这个关于1a 与d 的方程组，得到1a =4，d=6，

所以214632

n n n S n n n -=+

?=+（）

另解： 110103102

a a S +=?=

得 11062a a +=； ① 120

202012202

a a S +=

?= 所以 120122a a +=； ② ②-①，得1060d =，所以 6d =

代入①得： 14a =

所以有 21132

n n n S a n d n n -=+=+（）

3、已知数列{}n a 的前n 项为2

n S n n =+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果

是，它的首项与公差分别是什么？

解：根据 121...n n n S a a a a -=++++

与 1121

...n n S a a a --=+++（n 1）可知，当n ＞1时，2

1111[11]2222

n n n a S S n n n n n -=-=+

--+-=-（）（） ① 当n=1时，2

11131122

a S ==+?= 也满足①式.

所以数列{}n a 的通项公式为1

22n a n =-.

由此可知，数列{}n a 是一个首项为3

，公差为2的等差数列。

这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n 项和n S ，可求出通项 111n a n S -=-n （）S

4、如果一个数列前n 项和公式是常数项为0，且关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.

5、已知等差数列2

454377

，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.

解：由题意知，等差数列2

454377

，，，....的公差为5

，所以 5

[251]27

n n S n =?+--（）（）

=227555151125

1414256

n n n -=--+（）

于是，当n 取与

最接近的整数即7或8时，n S 取最大值. 6、已知数列{},n a 是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 6，S 12-S 6，S 18-S 12成等差数列，设

k k k k k S S S S S N k 232,,,--∈+成等差数列吗？

生：分析题意，解决问题. 解：设{},n a 首项是1a ，公差为d 则：6543216a a a a a a S +++++=

＞ n a =

（n ＞1）

为等差数列

1218612661212111098712111098718

17161514131218665432165432112

1110987612,,3636)()6()6()6()6()6()6(3636)()6()6()6()6()6()6(S S S S S d

S S d a a a a a a d a d a d a d a d a d a a a a a a a S S d S d a a a a a a d a d a d a d a d a d a a a a a a a S S --∴+-=++++++=+++++++++++=+++++=-+=++++++=+++++++++++=+++++=-

同理可得k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列.

7、求集合{}

100,,7*<∈=m N n n m m 且的元素个数，并求这些元素的和。解由m=100，得7

2147100=

满足此不等式的正整数n 共有14个，所以集合m 中的元素共有14个，从小到大可列为：

7，7×2，7×3，7×4，...7×14 即：7，14，21，28， (98)

这个数列是等差数列，记为{},n a 其中7352

)

987(14 98,714141=+?=∴==S a a

解由m=100，得7

2147100=

满足此不等式的正整数n 共有14个，所以集合m 中的元素共有14个，从小到大可列为：

7，7×2，7×3，7×4，…7×14 即：7，14，21，28，…98 这个数列是等差数列，记为{},n a 其中7352

)

987(14 98,714141=+?=∴==S a a

答：集合m 中共有14个元素，它们和等于735

2. 3等比数列

1、等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），

即：1-n n

a a =q （q ≠0）

2、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

3、等比数列的通项公式1: )

0,(111均不为q a q a a n n -?=

等比数列的通项公式2: )

0(≠?=-q a q a a m m n m n ，

4、若{}n a 为等比数列，m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ?=?．由等比数列通项公式得：111n 1 , m n m a a q a a q --==，111q 1 ,p q p a a q a a q --==?，

故2

21m n m n a a a q +-?=且2

21p q p q a a a q +-?=，

∵m n p q +=+，∴q p n m a a a a ?=?．

5、已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

解：由题意可以设这三个数分别为,,a

a aq q

，得：

22222

91a

a aq q a a a q q ???=????++=???22

231(1)91a a q q =??

?++=?? ∴4298290q q -+=，即得29q =或21

q =

， ∴3q =±或1

q =±，

故该三数为：1，3，9或1-，3，9-或9，3，1或9-，3，1-．

说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为,,a

a aq q

．

6、数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，它的前n 项和为80，且前n 项中数值最大的项为54，它的前2n 项和为6560，求首项1a 和公比q 。

解：若1q =，则应有22n n S S =，与题意不符合，故1q ≠。依题意有：

()()121180(1)116560(2)1n n

a q q

a q q ?-?=??????????????????????-??-?=????????????????????

(2)(1)

得21821n n

q q -=-即282810n n

q q -+= 得81n q =或1n

q =（舍去），81n

q ∴=。

由81n

q =知1q >，∴数列{}n a 的前n 项中n a 最大，得54n a =。将81n

q =代入（1）得11a q =- （3），

由1154n n a a q -==得154n

a q q =，即18154a q = （4），

联立（3）（4）解方程组得123a q =??=?

。

2.4等比数列的前n 项和

1、等比数列的前n 项和公式：一般地，设等比数列

Λn a a a a ,,321+它的前n 项和是

=n S n

a a a a Λ+++321

由??

?=+++=-11321n n n n q a a a a a a S Λ

得?????++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111ΛΛ

n q a a S q 11)1(-=-∴

论同上）∴当1≠q 时，

q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11

② 当q=1时，

na S n =

2、已知等比数列11

,,1,93L ，求使得n S 大于100的最小的n 的值.

答案：使得n

S 大于100的最小的n 的值为7. 3、设数列

{}n a 的前n 项和为

3n n S a

=+．当常数a 满足什么条件时，

{}

n a 才是等比数列？

答案：1a =- 4、已知等比数列

{}n a 中, 4820,1640S S =-=-,求12S .

5、某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先支付货款的31

，

剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5% 到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？

解(1)因为购买电脑时,货主欠商店32的货款,即600032

=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的

欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元. (2)设第i 个月底还款后的欠款数为y i ,则有 y 1=4000(1+0.5%)-a y 2=y 1(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)2

-a (1+0.5%)-a y 3=y 2(1+0.5%)-a y 3=y 2(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)3

-a (1+0.5%)2

-a (1+0.5%)-a

K K

y i =y 1-i (1+0.5%)-a =4000(1+0.5%)i

-a (1+0.5%)1

-i

-a (1+0.5%)2

-i - L -a ,

整理得

y i =4000(1+0.5%)i

-%5.01%)5.01(-+i a .(i =1,2,,Λ36)

(3)因为y 36=0,所以

4000(1+0.5%)36

-%5.01%)5.01(36-+a =0

即每月还款数

a =69.1211%)5.01(%

5.0%)5.01(400036

36≈-+?+(元)

所以每月的款额为121.69元.

第三章不等式 3.1不等式与不等关系

1、不等式的基本性质：（1）,a b b c a c >>?> （2）a b a c b c >?+>+ （3）,0a b c ac bc >>?> （4）,0a b c ac bc >

2、已知0,0,a b c >><求证

c c a b

>。证明：以为0a b >>，所以ab>0,1

0ab

>。

于是 11a b ab ab ?>?，即11b a

> 由c<0 ，得c c

a b >

3.2 一元二次不等式及其解法

1、一元二次不等式的定义

象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

2、设一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为1212x x x x ≤、且，24b ac ?=-，则不等式的解的

0?> 0?= 0?< 二次函数

2y ax bx c =++ (0)a >的图象

一元二次方程 20ax bx c ++= 有两相异实根

1212, ()x x x x <

有两相等实根

122b

x x a ==-

无实根

20ax bx c ++>(0)a >的解集 {}1

x x x x x <>或

2b x x a ??≠-???

20ax bx c ++<(0)a >的解集

{}1

2x x

x x <<

? ?

3造的价值y （元）之间有如下的关系：

22220y x x =-+

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到

222206000x x -+> 移项整理，得 211030000x x -+<

因为1000=>△，所以方程211030000x x -+=有两个实数根1250, 60x x ==．

由二次函数的图象，得不等式的解为：5060x <<．

因为x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．

4、设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ?，求a 的取值范围．

解：令2()28f x x x a =-+-由A B ?，及二次函数图象的性质可得 (1)0(3)0f f ≤??

≤?，即1280

9680

a a -+-≤??-+-≤?，解之得95a -≤≤．因此a 的取值范围是95a -≤≤．

3． 3二元一次不等式（组）与平面区域．

1、画出不等式2x +y －6＜0表示的平面区域。

解：先画直线2x +y －6＝0（画成虚线）。取原点（0，0），代入2x +y －6，∵2×0+0－6＝－6＜0，

∴原点在2x +y －6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y －6＜0表示的区域如图：

2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解

3、有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．

现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？答案：解：设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则

3001502000250100150000x y x y x y +??+?

??≥ ，

≥ ，

≥，≥．

即6340523000x y x y x y +??+?????≥，≥，≥，≥．目标函数为z x y =+．

作出可行域，如图所示．

作出在一组平行直线x y t +=（t 为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线

63400x y +-=和0y =的交点2003A ??

???

，，直线方程为：203

x y +=

．由于

203不是整数，而最优解()x y ，中x y ，必须都是整数，所以，可行域内点2003??

???

，不是最优解．经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是(70)，

，

即为最优解．则至少要安排7艘轮船和0架飞机．

3．4基本不等式

1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有2

2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

2、如果0,0,,a b a b a b >>+≥、可得,也可写成

(0,0)2a b a b +≤

>> 2a b

+≤

3、已知x 、y 都是正数，求证：

（1）

x y +≥2；（2）x ＞0，当x 取何值时x+

有最小值，最小值是多少 4、已知x ＜54，则函数f （x ）＝4x ＋1

4x －5

的最大值是多少？

5、证明：（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.

6、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，

最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy = 篱笆的长为2（x y +）

由

x y

+≥

可得 x y +≥2（x

y +）40≥

等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m

(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（x y +）=36，x y +=18，矩形菜园的面积为xy

2m ，

由18

9,22

x y +≤

==可得 81≤xy ,