高中数学竞赛(00-06年)试题分类汇总——解析几何

1 专题五 解析几何 一、 选择题（每小题6分） 1．（00全国）已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△

ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( C )

(A)33 (B)2

33 (C)33 (D)63 2．（00全国）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=

x y 的距离中的最小值是

(A)17034 (B)8534 (C)201 (D)30

1 ( B ) 3．（02全国）若实数x ，y 满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x 2+y 2的最小值为（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）√3 （D ）√2 解：(x+5)2+(y-12)2=142

是以点C(-5,12)为圆心，半径为14的圆。设P 为圆上任

一点，则∣OP∣≥∣CP∣-∣OC∣=14-13=1。当点C 、O 、P 共线时，等号成立，所以P 到点O 的最小值为1，故选B

4．（02全国）直线x/4+y/3=1与椭圆x 2/16+y 2/9=1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P ，使得

ΔPAB 面积等于3，这样的点P 共有（ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

解：设P 1(4cosα,3sinα)(0＜α＜(π/2)＝，即点P 1在第一象限的椭圆上，

如图，考虑四边形P 1AOB 面积S ，

S=S ΔOAP1+S ΔOBP1=(1/2)×4(3sinα)+(1/2)×3(4cosα)=6(sinα+cosα)=6√2sin(α=(π/4)

),∴S max =6√2(此时α+(π/4)). ∵S ΔOAB =(1/2)×4×3=6为定值，∴S ΔP1AB 的最大值为6√2

－6. ∵6√2－6＜3, ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 。

5．（03全国）在设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2

＝ab 的图形是

（ ）

A B C D

y y y y x

x x x