2014年高考数学试题分类汇编之解析几何
数 学
H 单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 14．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )
的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b
2
，即M f (a ，b )
为a ，b 的算术平均数．
(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；
(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab
a ＋b
.
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数)
20．[2014·江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，
B 分别在
C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．
图1-7
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x
a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x
＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |
恒为定值，并求此定值． 20．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.
由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1
a (x －c )，所以B ????c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1
a x ，
则A ????c ，c a ，所以k AB ＝c a －????－c 2a c －c 2
＝3
a
. 又因为AB ⊥OB ，所以3a 2????－1a ＝－1，解得a 2
＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.
(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x
3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0
≠0)．
因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ?
???
2，2x 0－33y 0，直线l 与直线
x ＝32的交点为N 32，3
2x 0－3
3y 0
， 则|MF |2
|NF |2
＝（2x 0－3）2
（3y 0）214＋
????32
x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2
＝ 432（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）
2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 20
3
－y 20＝1， 代入上式得|MF |2|NF |2＝432（2x 0－3）2x 2
0－3＋3（x 0－2）2＝432（2x 0－3）2
4x 20－12x 0＋9＝43
，所以|MF ||NF |＝23＝23
3，为定值．
20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与
长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .
①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；
②当|TF ||PQ |
最小时，求点T 的坐标．
20．解：(1)由已知可得???a 2＋b 2＝2b ，
2c ＝2a 2－b 2
＝4，
解得a 2＝6，b 2＝2，
所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2
2
＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0
－3－（－2）
＝－m .
当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1
m .直线PQ 的方程是x ＝my －2.
当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得?????x ＝my －2，x 26＋y 2
2＝1.
消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，
其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m
m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3
，
x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12
m 2＋3.
设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为? ??
?
?－6m 2＋3，2m m 2＋3.
所以直线OM 的斜率k OM ＝－m
3，
又直线OT 的斜率k OT ＝－m
3，
所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②由①可得，
|TF |＝m 2＋1，
|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]
＝（m 2
＋1）??????????4m m 2＋32－4·－2m 2＋3
＝24（m 2＋1）
m 2＋3.
所以|TF ||PQ |
＝
124·（m 2＋3）2
m 2＋1
＝ 124?
???m 2
＋1＋4m 2＋1＋4≥
124（4＋4）＝3
3
. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF |
|PQ |取得最小值．
故当|TF |
|PQ |
最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5
4
|PQ |.
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．
21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8
p ，
所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8
p
.
由题设得p 2＋8p ＝5438
p
，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，
所以C 的方程为y 2＝4x .
(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.
故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，
所以l ′的方程为x ＝－1
m y ＋2m 2＋3.
将上式代入y 2＝4x ，
并整理得y 2＋4
m y －4(2m 2＋3)＝0.
设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，
则y 3＋y 4＝－4
m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．
故线段MN 的中点为E ????2m 2＋2m 2
＋3，－2m ， |MN |＝
1＋1
m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2
. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1
2|MN |，
从而14|AB |2＋|DE |2＝1
4|MN |2，即
4(m 2
＋1)2
＋????2m ＋2m 2
＋???
?2
m 2＋22
＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）
m 4
，
化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，
故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.
H3 圆的方程
9．、[2014·福建卷] 设P ，Q 分别为圆x 2
＋(y －6)2
＝2和椭圆x 2
10
＋y 2＝1上的点，则P ，
Q 两点间的最大距离是( )
A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2 9．D
H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 10．、[2014·安徽卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →
＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ |≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )
A ．1＜r ＜R ＜3
B ．1＜r ＜3≤R
C ．r ≤1＜R ＜3
D ．1＜r ＜3＜R 10．A
19．、、[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．
19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1.
所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.
故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2
2
.
(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)， 其中x 0≠0.
因为OA ⊥OB ，所以OA →2OB →
＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0
x 0
.
当x 0＝t 时，y 0＝－t 2
2
，代入椭圆C 的方程，
得t ＝±2，
故直线AB 的方程为x ＝±2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．
当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2
x 0－t (x －t )，
即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离
d ＝|2x 0－ty 0|
（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.
又x 20＋2y 2
0＝4，t ＝－2y 0x 0
，故 d ＝
?
???2x 0＋2y 2
0x 0x 20＋y 2
0＋4y 20x 20
＋4
＝???
?4＋x 2
0x 0x 40＋8x 2
0＋16
2x 20
＝ 2.
此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．
6．、[2014·福建卷] 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”
是“△OAB 的面积为1
2
”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件 6．A 12．[2014·湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.
12．2 15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．
15.43
15．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．
15．(210，＋∞) 12．[2014·陕西卷] 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．
12．x 2＋(y －1)2＝1 14．，[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |2|PB |的最大值是________．
14．5 13．[2014·重庆卷] 已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．
13．4±15
21．，[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2
2
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2
＝a 2－b 2. 由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22
＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2
2，故c ＝1.
从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝32
2
，
所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22
＋y 2
＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两
个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x
由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1
⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 2
1＋4x 1＝0，解得x 1＝－43
或
x 1＝0.
当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．
当x 1＝－4
3
时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .
由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的
半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝42
3
.
H5 椭圆及其几何性质
20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与
长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .
①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |
最小时，求点T 的坐标．
20．解：(1)由已知可得???a 2＋b 2＝2b ，
2c ＝2a 2－b 2＝4，
解得a 2＝6，b 2＝2，
所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2
2
＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0
－3－（－2）
＝－m .
当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1
m .直线PQ 的方程是x ＝my －2.
当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得?????x ＝my －2，x 26＋y 2
2＝1.
消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，
其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m
m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，
x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12
m 2＋3
.
设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为? ????－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m
3，
又直线OT 的斜率k OT ＝－m
3，
所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②由①可得，
|TF |＝m 2＋1，
|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]
＝（m 2
＋1）??????????4m m 2＋32－4·－2m 2＋3
＝24（m 2＋1）
m 2＋3.
所以|TF ||PQ |
＝
124·（m 2＋3）2
m 2＋1
＝ 124?
???m 2
＋1＋4m 2＋1＋4≥
124（4＋4）＝3
3
.
当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF |
|PQ |取得最小值．
故当|TF |
|PQ |最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
14．[2014·安徽卷] 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b
2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点
F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．
14．x 2＋3
2
y 2＝1
19．、、[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．
19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1.
所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.
故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2
2
.
(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)， 其中x 0≠0.
因为OA ⊥OB ，所以OA →2OB →
＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0
x 0
.
当x 0＝t 时，y 0＝－t 2
2
，代入椭圆C 的方程，
得t ＝±2，
故直线AB 的方程为x ＝±2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．
当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2
x 0－t (x －t )，
即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离
d ＝|2x 0－ty 0|
（y 0－2）2＋（x 0－t ）2
.
又x 20＋2y 2
＝4，t ＝－2y 0x 0
，故 d ＝
?
???
2x 0＋2y 2
0x 0x 20＋y 2
0＋4y 20x 20
＋4
＝???
?4＋x 2
0x 0x 40＋8x 2
0＋16
2x 20
＝ 2.
此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．
9．、[2014·福建卷] 设P ，Q 分别为圆x 2
＋(y －6)2
＝2和椭圆x 2
10
＋y 2＝1上的点，则P ，
Q 两点间的最大距离是( )
A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2
9．D [解析] 设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 2010
＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 2
0， ∴|CQ |＝
10－10y 20＋（y 0－6）2
＝
－9y 20－12y 0＋46＝
－9?
???y 0＋2
32
＋50， 当y 0＝－2
3时，|CQ |有最大值5
2， 则P ，Q 两点间的最大距离为5
2＋r ＝6
2.
20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为5
3.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．
9．、[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，
且∠F 1PF 2＝π
3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A.433
B.233 C ．3 D ．2
9．A
21．、、、[2014·湖南卷] 如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、
右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y
2b
2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离
心率为e 2.已知e 1e 2＝3
2
，且|F 2F 4|＝3－1.
(1)求C 1，C 2的方程；
(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．
21．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a 2a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝3
4
a 4，因此a 2＝
2b 2
，从而F 2(b ，0)，
F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2
＝2.故C 1，C 2的方程分别为
x 22
＋y 2＝1，x
22－y 2＝1.
(2)因AB 不垂直于y 1x ＝my －1，由?????x ＝my －1，x 22＋y 2＝1
得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，
所以y 1＋y 2＝2m
m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2
.
因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ? ??
??－2
m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ
的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m
2x ，即mx ＋2y ＝0.
由?
??y ＝－m 2x ，
x
22
－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2
＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2
＝2m 2＋42－m 2
.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所
以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|
m 2＋4
.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2
＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|
m 2＋4
.
又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2
－4y 1y 2＝2221＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2
m 2＋4
.
故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |22d ＝2221＋m 22－m 2
＝222－1＋3
2－m 2.
而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.
15．[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)相交于
A ，
B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆
C 的离心率等于________．
15.
2
2
15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C ：x 29＋y 2
4
＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的
焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．
15．12 20．、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，
当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b
2＝1过点P 且离心率
为 3.
(1)求C 1的方程；
(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．
20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0
y 0
，切线方程为y －y 0
＝－x 0y 0
(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为????4x 0，0，????0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝1224x 024y 0＝8x 0y 0
.由x 20＋y 2
0＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．
由题意知?????2a 2－2b 2＝1，
a 2＋
b 2＝3a 2，
解得a 2
＝1，b 2
＝2，故C 1的方程为x 2
－y 2
2
＝1.
(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21
＋y 2
b 21＝1，
其中b 1>0.
由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2
b 21＝1， 解得b 21＝3，
因此C 2的方程为x 26＋y 2
3
＝1.
显然，l 不是直线y ＝0.
设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由?????x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，
得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0. 又y 1，y 2是方程的根，因此
?
????y 1＋y 2＝－2 3m
m 2＋2
， ①
y 1y 2＝－3
m 2＋2
，
②
由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得
?????x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3
m 2＋2
， ③
x 1x 2＝m 2
y 1y 2
＋
3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m 2
m 2＋2
. ④ 因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →2BP →
＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0，
解得m ＝3 62－1或m ＝－6
2
＋1.
因此直线l 的方程为
x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62
－1)y －3＝0.
6．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，
过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )
A.x 23＋y 22＝1
B.x 23＋y 2
＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 2
4＝1 6．A
20．、、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率
为
32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233
，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 20．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.
又c a ＝3
2，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)当l ⊥x 轴时不合题意，
故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．
将y ＝kx －2代入x 24＋y 2
＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，
当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>3
4时，
x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1，
从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.
又点O 到直线l 的距离d ＝2
k 2＋1
. 所以△OPQ 的面积
S △OPQ ＝1
2d 2|PQ |＝44k 2－34k 2＋1
.
设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4
＝4
t ＋4t
.
因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±7
2
时等号成立，满足Δ>0，
所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－7
2
x －2.
20．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦
点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .
(1)若直线MN 的斜率为3
4
，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝ 5|F 1N |，求a ，b .
20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ????c ，b 2a ，2b 2＝3ac .
将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，
解得c a ＝12，c
a
＝－2(舍去)．
故C 的离心率为1
2
.
(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，
2)是线段MF 1的中点，故b 2
a
＝4，即b 2＝4a .①
由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则
?????2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即?????x 1＝－3
2c ，y 1＝－1.
代入C 的方程，得9c 24a 2＋1
b
2＝1.②
将①及c ＝a 2－b 2
代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a
＝1，
解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.
10．，[2014·山东卷] 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2
a 2－
y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为3
2
，则C 2的渐近线方程为( ) A. x ±2y ＝0 B. 2x ±y ＝0
C. x ±2y ＝0
D. 2x ±y ＝0
10．A [解析] 椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2
a .由e 1e 2
＝a 2－b 2a 2a 2＋b 2
a
＝
1－????
b a 2
3
1＋????b a 2＝32
，
解得????b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22
x .故选A.
20．，，[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0，y ≥0)
和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为
32
. (1)求a ，b 的值；
(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．
图1-5
20．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．
设C 1的半焦距为c ，由c a ＝3
2及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2，
∴a ＝2，b ＝1.
(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2
＝1(y ≥0)．
易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得
(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，
∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根． 由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8k
k 2＋4
，
∴点P 的坐标为? ??
??k 2
－4k 2＋4，－8k k 2＋4.
同理，由?
????y ＝k （x －1）（k ≠0），
y ＝－x 2
＋1（y ≤0）， 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →
＝－k (1，k ＋2)．
∵AP ⊥AQ ，
∴AP 2AQ ＝0，即－2k 2
k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，
∵k ≠0，
∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－8
3.
经检验，k ＝－8
3符合题意，
故直线l 的方程为y ＝－8
3
(x －1)．
方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．
20．，，[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0，y ≥0)
和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为
32
. (1)求a ，b 的值；
(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．
图1-5
20．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．
设C 1的半焦距为c ，由c a ＝3
2及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2，
∴a ＝2，b ＝1.
(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2
＝1(y ≥0)．
易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得
(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，
∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8k
k 2＋4
，
∴点P 的坐标为? ??
??k 2
－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由?
???
?y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2
＋1（y ≤0）， 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →
＝－k (1，k ＋2)．
∵AP ⊥AQ ，
∴AP 2AQ ＝0，即－2k 2
k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，
∵k ≠0，
∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－8
3.
经检验，k ＝－8
3符合题意，
故直线l 的方程为y ＝－8
3
(x －1)．
方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．
18．、[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，
上顶点为B .已知|AB |＝
3
2|F 1F 2
|. (1)求椭圆的离心率；
(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．
18．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．
由|AB |＝
3
2
|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2
＝a 2
－c 2
，则c 2a 2＝1
2，
所以椭圆的离心率e ＝
22
. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2
c
2＝1.
设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →
＝(c ，c )．
由已知，有F 1P →2F 1B →
＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①
又因为点P 在椭圆上， 所以x 202c 2＋y 20
c
2＝1.②
由①和②可得3x 2
0＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点
P 的坐标为???
?－4c 3，c
3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c
3＋c 2＝2
3c ，进而圆的半径r ＝
（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝
5
3
c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|
k 2＋1＝r ，
即
???
?k ????－2c 3－2c 3k 2＋1
＝
5
3
c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.
21．、[2014·浙江卷] 如图1-6，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一
个公共点P ，且点P 在第一象限．
(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；
(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b
.
21．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由?????y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2
b 2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋
2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.
由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为????－a 2
km b 2＋a 2k 2，
b 2m b 2＋a 2k 2.
又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P ? ????
－a 2k b 2＋a 2k
2，b 2
m b 2＋a 2k 2.
(2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1
的距离d ＝?????
?－a 2k b 2＋a 2k
2＋b 2
k b 2＋a 2k 21＋k 2，
整理得d ＝a 2－b 2
b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k
2
.
因为a 2k 2
＋b 2
k
2≥2ab ，所以
a 2－
b 2
b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2
k
2
≤
a 2－
b 2
b 2＋a 2＋2ab
＝a －b ，
当且仅当k 2＝b
a
时等号成立．
所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .
21．，[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2
2
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22
＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2
2，故c ＝1.
从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝32
2
，
所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22
＋y 2
＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两
个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x
由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1
⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 2
1＋4x 1＝0，解得x 1＝－43
或
x 1＝0.
当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．
当x 1＝－4
3
时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .
由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的
半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝42
3
.
H6 双曲线及其几何性质 9．、[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，
且∠F 1PF 2＝π
3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A.433
B.233 C ．3 D ．2
9．A
11．[2014·北京卷] 设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2
＝1具有相同渐近线，则C 的
方程为________；渐近线方程为________．
11.x 23－y 2
12
＝1 y ＝±2x 9．[2014·全国卷] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )
A.14
B.13
C.24
D.23 9．A
19．、[2014·福建卷] 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，
l 2：y ＝－2x .
(1)求双曲线E 的离心率． (2)如图1-6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、
四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．
图1-6
19．解：方法一：
(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ， 所以b
a
＝2，
高考数学试题分类汇编集合理
2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
高考数学试题分类大全
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
历年中考真题分类汇编(数学)
第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为()
A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D
2020年高考数学试题分类汇编 应用题 精品
应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
高考数学试题分类汇编(导数)
2007年高考数学试题分类汇编（导数） （福建理11文） 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， （海南理10） 曲线12 e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．29 e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （海南文10） 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．294e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e （江苏9） 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥， 则(1)'(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 （江西理9） 12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （江西理5） 5．若π 02 x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．2 24sin π x x < Ｄ．2 24sin π x x >
（江西文8） 若π 02x << ，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3 sin π x x > （辽宁理12） 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．． 出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 （全国一文11） 曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （全国二文8） 已知曲线2 4 x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （浙江理8） 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） (北京文9) ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3 （广东文12）
2019-2020高考数学试题分类汇编
2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题
专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则
但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
中考数学试题分类汇编
中考数学试题分类汇编 一、选择题 1、（2007湖北宜宾）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）D A ．2a +b B ．2a C ．a D ．b 2、（2007重庆）运算)3(623m m -÷的结果是（ ）B （A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3 3、（2007广州）下列运算中，正确的是（ ）C A ．33x x x =? B ．3x x x -= C ．32x x x ÷= D ．336x x x += 4、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）D Ａ．321x x -= Ｂ．22122x x --=- Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．23 6()a a -=- 4、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）C （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2 5、（2007哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）D A ．325a b ab += B ．44a a a =? C ．623a a a ÷= D ．3262()a b a b = 6．（2007福建晋江）关于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）D A ．9 23)(m m =；B ．623m m m =?；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。 7．（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）C A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-； B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ； C ．22)21(41x x x -=+-； D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。 8、（2007湖北恩施）下列运算正确的是（ ）D A 、623a a a =? B 、4442b b b =? C 、1055x x x =+ D 、87y y y =? 9、（2007山东淮坊）代数式2346x x -+的值为9，则2463x x - +的值为（ ）A A ．7 B ．18 C ．12 D ．9 10、（2007江西南昌）下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）B A ．21a - B ．221a a -+ C ．221a a -- D ．2 1a + 二、填空题 b 0a
全国百套高考数学模拟试题分类汇编001
组距 分数 0.0350.0250.0150005 100 9080 70605040全国百套高考数学模拟试题分类汇编 10概率与统计 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试一)6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________。 答案：18 2、(皖南八校高三第一次联考)假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现以500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样本时，先将500袋牛奶按000，001，┉，499进行编号，如果从随机数表第８行第４列的数开始按三位数连续向右读取，请你依次写出最先检测的５袋牛奶的编号____________________________________________；答案：163，199，175，128，395； 3、(蚌埠二中高三8月月考)设随机变量ξ的概率分布规律为*,)1()(N k k k c k p ∈+==ξ，则 ) 2 5 21(<<ξp 的值为___________答案：2 3 4、(巢湖市高三第二次教学质量检测)从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是. 答案：15 5、(北京市东城区高三综合练习二)从某区一次期末考试中随机抽取了100 个学生的数学成绩，用这100个数据来估计该区的总体数学成绩，各分数段的人数统计如图所示. 从该区随机抽取一名学生，则这名学生的数学成绩及格（60≥的概率为；若同一组数据用该组区间的中点 （例如，区间[60，80)的中点值为70)表示，则该区学生的数学成绩 的期望值为. 答案：0.65，67 6、(北京市宣武区高三综合练习二)某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4， 现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件，那么此样本容量n= 答案：72 7、(东北三校高三第一次联考)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1—— 160编号。按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，……153—160号），若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是________。 答案：6 8、(揭阳市高中毕业班高考调研测试)统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不 低于80分为优秀，则及格人数是；优秀率为。 答案：由率分布直方图知，及格率＝10(0.0250.03520.01)0.8?++?=＝80％， 及格人数＝80％×1000＝800，优秀率＝100.020.220?==％.
高考数学试题分类汇编集合
2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤
高考数学试题分类汇编个专题
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4
2020年高考数学试题分类汇编之立体几何
2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角
高考文科数学试题解析分类汇编
2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 <
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