2019-2020年芜湖市无为县八年级上册期末数学试卷(有答案)

安徽省芜湖市无为县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．在式子中，分式的个数有（）A．2B．3C．4D．5

2．一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（）A．3cm B．5cm C．7cm D．11cm

3．下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．下列运算正确的是（）

A．2+2＝24B．a2?a3＝a5

C．（﹣22）4＝166D．（+3y）（﹣3y）＝2﹣3y2

5．用三个正多边形镶嵌成一个平面时，若前两种是正方形和正六边形，则第三种是（）A．正十二边形B．正十边形C．正八边形D．正三角形

6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

7．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE ⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（）

A．2B．2.5C．3D．4

8．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问

题中，设计划每天加工套服装，则根据题意可得方程为（）

A．+＝18

B．+＝18

C．+＝18

D．+＝18

9．因式分解2+m﹣12＝（+p）（+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1B．4C．11D．12

10．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”＝，则1※2+2※3+3※4+…

+2017※2018的值为（）

A．B．C．D．﹣

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．分解因式：32﹣12y+12y2＝．

12．水由氢原子和氧原子组成，其中氢原子的直径约为0.0000000001米，用科学记数法表示为米．

13．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在．

14．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN 分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；

③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝BC2．其中正确结论是（填序号）．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（1）计算：（﹣）﹣2﹣23×0.125+20050+|﹣1|；

（2）解方程：＝．

16．先化简，再求值：y（+y）+（+y）（﹣y）﹣2，其中＝﹣2，y＝．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．如图①，将一个长方形沿着对角线剪开即可得到两个全等的三角形，再把△ABC沿着AC方向平移，得到图②中的△GBH，BG交AC于点E，GH交CD于点F．在图②中，除△ACD与△HGB全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明．

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．

（1）画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；

（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，

并且规定F（n）＝．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝＝．请解

答下列问题：

（1）计算：F（24）；

（2）当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝．

20．保护环境、低碳出行已渐渐成为人们的习惯．最近无为县城又引进了共享单车，只需要交点押金，就可以通过扫描二维码的方式解锁一辆停在路边的自行车，以极低的费用，轻松骑到目的地．王老师家与学校相距2m，现在每天骑共享单车到学校所花的时间比过去骑电动车多用4min．已知王老师骑电动车的速度是骑共享单车速度的1.5倍，则王老师骑共享单车的速度是多少？

六、（本题满分12分）

21．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．

（1）求证：∠BAD＝∠EDC；

（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．

七、（本题满分12分）

22．北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68 000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售

价至少是多少元？（利润率＝×100%）

八、（本题满分14分）

23．如图，∠ABC＝90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD、AB的延长线相交于点M，连接MC．

（1）求证：∠FMC＝∠FCM；

（2）将条件中的AD⊥DE与（1）中的结论互换，其他条件不变，命题是否正确？请给出理

由．

安徽省芜湖市无为县八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．在式子中，分式的个数有（）A．2B．3C．4D．5

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【解答】解：分式有：，，9+工3个．

故选：B．

【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（）A．3cm B．5cm C．7cm D．11cm

【分析】根据已知边长求第三边的取值范围为：5＜＜11，因此只有选项C符合．

【解答】解：设第三边长为cm，

则8﹣3＜＜3+8，

5＜＜11，

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．

3．下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形．

【解答】解：第一个是中心对称图形，但不是轴对称图形，其它三个是轴对称图形．故选C．【点评】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．下列运算正确的是（）

A．2+2＝24B．a2?a3＝a5

C．（﹣22）4＝166D．（+3y）（﹣3y）＝2﹣3y2

【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，底数不变指数相乘；平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、应为2+2＝22，故本选项错误；

B、a2?a3＝a5，正确；

C、应为（﹣22）4＝166，故本选项错误；

D、应为（+3y）（﹣3y）＝2﹣3y2，故本选项错误；

故选：B．

【点评】本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式，熟练掌握运算性质和公式是解题的关键．

5．用三个正多边形镶嵌成一个平面时，若前两种是正方形和正六边形，则第三种是（）A．正十二边形B．正十边形C．正八边形D．正三角形

【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360即可作出判断．

【解答】解：正方形的每个内角是90°，正六边形每个内角是180°﹣360°÷6＝120°，正十二边形每个内角是180°﹣360°÷12＝150°，

90°+120°+150°＝360°，

故选：A．

【点评】本题考查一种正多边形的镶嵌问题．用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．

6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OC，然后判断出△AOE和△COE全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到△ABC 关于直线AD轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解．

【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，

∴OA＝OC，

又∵OE＝OE，

∴Rt△AOE≌Rt△COE，

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴△ABC关于直线AD轴对称，

∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，

综上所述，全等三角形共有4对．

故选：D．

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握各性质以及全等三角形的判定是解题的关键．

7．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE ⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（）

A．2B．2.5C．3D．4

【分析】过P点作PF⊥OD，利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可．

【解答】解：过P点作PF⊥OD，

∵∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，

∴∠DOP＝∠POE＝75°，

∵DP∥OA，

∴∠DPO＝∠POE＝75°，

∴∠DOP＝∠DPO﹣75°，

∴DP＝OD＝4，

∴∠PDO＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

∵PF⊥OD，

∴∠PFD＝90°，

∴PF＝DP＝2，

∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，

∴PE＝PF＝2，

故选：A．

【点评】此题考查角平分线的性质，关键是利用平行线的性质和角平分线的性质解答．8．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工套服装，则根据题意可得方程为（）

A．+＝18

B．+＝18

C．+＝18

D．+＝18

【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用时间+采用新技术后所用时间＝18天．

【解答】解：设计划每天加工套服装，那么采用新技术前所用时间为：，采用新技术后

所用时间为：，

则所列方程为：+＝18．

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．注意工作时间＝工作总量÷工作效率．

9．因式分解2+m﹣12＝（+p）（+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1B．4C．11D．12

【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝p+q，pq＝﹣12．

【解答】解：﹣12可以分成：﹣2×6，2×（﹣6），﹣1×12，1×（﹣12），3×（﹣4），﹣3×4，

而﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，3+（﹣4）＝﹣1，﹣3+4

＝1，

因为11＞4＞1＞﹣1＞﹣4＞﹣11，

＝p+q＝11．

所以m

最大

故选：C．

【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．

10．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”＝，则1※2+2※3+3※4+…

+2017※2018的值为（）

A．B．C．D．﹣

【分析】根据已知将原式变形进而计算得出答案．

【解答】解：由题意可得：

原式＝+++…+

＝﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）

＝﹣（1﹣）

＝﹣．

故选：D．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．分解因式：32﹣12y+12y2＝3（﹣2y）2．

【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案．

【解答】解：32﹣12y+12y2＝3（2﹣4y+4y2）

＝3（﹣2y）2．

故答案为：3（﹣2y）2．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．12．水由氢原子和氧原子组成，其中氢原子的直径约为0.0000000001米，用科学记数法表示为1×10﹣10米．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000 000 0001＝1×10﹣10，

故答案为：1×10﹣10．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

13．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在AD的中点．

【分析】根据轴对称的性质作出B关于AD的对称点B'，再连接CB'，利用长方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：作出B关于AD的对称点B'，连接CB'，如图；

∵长方形ABCD，

∴AB＝CD，∠B'AP＝∠PDC＝90°，

∵AB'＝AB，

∴AB'＝CD，

在△B'AP与△CDP中

，

∴△B'AP≌△CDP（AAS），

∴AP＝PD，

故答案为：AD的中点．

【点评】此题考查轴对称问题，关键是根据轴对称的性质和矩形的性质以及全等三角形的判定和性质解答．

14．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN

分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；

③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝BC2．其中正确结论是①②④（填序号）．

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AD＝CD＝BD，故①正确，∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠CDF＝∠ADE，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，判断出②正确，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，求出AE＝CF，根据BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出

③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ADF＝S△BDE，从而求出S四边形AEDF＝S△ABD＝

BC2，判断出④正确．

【解答】解：∵∠B＝45°，AB＝AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵点D为BC中点，

∴AD＝CD＝BD，故①正确；

AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴∠EAD＝∠C，

∵∠MDN是直角，

∴∠ADF+∠ADE＝90°，

∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（ASA），故②正确；

∴DE＝DF、BE＝AF，

∴△DEF是等腰直角三角形；

∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，

∵BE+CF＝AF+AE

∴BE+CF＞EF，故③错误；

∵△BDE≌△ADF，

∴S

△ADF ＝S

△BDE

，

∴S

四边形AEDF ＝S

△ABD

＝AD2＝AB2＝BC2

故④正确；

故答案为：①②④．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，熟记三角形全等的判定方法并求出△ADE和△CDF全等是解题的关键．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（1）计算：（﹣）﹣2﹣23×0.125+20050+|﹣1|；

（2）解方程：＝．

【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）原式＝4﹣8×0.125+1+1

＝4﹣1+1+1

＝5．

（2）两边同乘以（2﹣1），得6（2﹣1）＝5，

解得＝．

经检验，＝是原方程的解．

【点评】此题考查了实数的运算与解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

16．先化简，再求值：y（+y）+（+y）（﹣y）﹣2，其中＝﹣2，y＝．

【分析】先根据单项式乘多项式的法则，平方差公式化简，再代入数据求值．

【解答】解：y（+y）+（+y）（﹣y）﹣2，

＝y+y2+2﹣y2﹣2，

＝y，

当＝﹣2，y＝时，原式＝﹣2×＝﹣1．

【点评】本题考查了单项式乘多项式，平方差公式，关键是先把代数式化简，再把题目给定的值代入求值，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．如图①，将一个长方形沿着对角线剪开即可得到两个全等的三角形，再把△ABC沿着AC方向平移，得到图②中的△GBH，BG交AC于点E，GH交CD于点F．在图②中，除△ACD与△HGB全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明．

【分析】由平移的性质得到AG＝CH，根据全等三角形的性质得到∠A＝∠H，推出△AGE ≌△HCF（ASA）；根据全等三角形的性质得到EG＝FC，AG＝HC，根据线段的和差得到BE＝DF，DG＝BC，于是得到结论．

【解答】解：△AGE≌△HCF，△EBC≌△FDG；

证明过程如下：

由平移可知AG＝CH，

∵△ACD与△HGB全等，

∴∠A＝∠H，

又BG⊥AD，DC⊥BH，

∴∠AGE＝∠HCF＝90°，

∴△AGE≌△HCF（ASA）；

∴EG＝FC，AG＝HC，

∵BG＝CD，AD＝HB，

∴BE＝DF，DG＝BC，

∵∠D＝∠B＝90°，

∴△EBC≌△FDG（SAS）．

【点评】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．

（1）画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；

（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标．

【分析】（1）分别作出A、B、C关于轴的对称点即可；

（2）根据图中各点写出坐标即可．

【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．

（2）A1（1，4），B1（3，3），C1（1，1）．

【点评】本题考查轴对称变换知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，

并且规定F（n）＝．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝＝．请解答下列问题：

（1）计算：F（24）；

（2）当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝．

【分析】（1）把24因式分解为1×24，2×12，3×8，4×6，再由定义即可得F（24）（2）把n3+2n2+n因式分解得n（n+1）2，则可化为1×n（n+1）2，n×（n+1）2，（n+1）×n（n+1）

当n为正整数时，n（n+1）2﹣1＝n3+2n2+n﹣1，（n+1）2﹣n＝n2+n+1，n（n+1）﹣（n+1）＝n2﹣1

易得n（n+1）与（n+1）得差绝对值最小，且（n+1）≤n（n+1），得出F（n3+2n2+n）＝

【解答】解：（1）∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，其中4与6的差的绝对值最小，

∴F（24）＝＝．

（2）∵n3+2n2+n＝n（n+1）2，其中n（n+1）与（n+1）的差的绝对值最小，且（n+1）≤n （n+1），

∴F（n3+2n2+n）＝＝．

【点评】此题是因式分解的应用，设计一个新题型考察学生的因式分解能力，（1）中直接列出24的因式，（2）中列出因式后仍需比较因数差的绝对值，找出差绝对值最小即可20．保护环境、低碳出行已渐渐成为人们的习惯．最近无为县城又引进了共享单车，只需要交点押金，就可以通过扫描二维码的方式解锁一辆停在路边的自行车，以极低的费用，轻松骑到目的地．王老师家与学校相距2m，现在每天骑共享单车到学校所花的时间比过去骑电动车多用4min．已知王老师骑电动车的速度是骑共享单车速度的1.5倍，则王老师骑共享单车的速度是多少？

【分析】设王老师骑共享单车的速度为m/h，则王老师骑电动车的速度是1.5m/h，根据时间＝路程÷速度结合骑共享单车到学校所花的时间比过去骑电动车多用4min，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：设王老师骑共享单车的速度为m/h，则王老师骑电动车的速度是1.5m/h，

根据题意得：﹣＝，

解得：＝10，

经检验，＝10是原方程的解．

答：王老师骑共享单车的速度是10m/h．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．六、（本题满分12分）

21．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．

（1）求证：∠BAD＝∠EDC；

（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠E＝∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠BAD+∠DAC＝∠E+∠EDC＝60°，据此可得出∠BAD＝∠EDC；

（2）根据轴对称作图，要证明DA＝AM，只需根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，证△ADM是等边三角形即可．

【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠ACB＝60°．

又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDC+∠DEC＝∠ACB，

∴∠BAD+∠DAC＝∠EDC+∠DEC．

∵DE＝DA，

∴∠DAC＝∠DEC，

∴∠BAD＝∠EDC．

（2）猜想：DM＝AM．理由如下：

∵点M、E关于直线BC对称，

∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM．

又由（1）知∠BAD＝∠EDC，

∴∠MDC＝∠BAD．

∵∠ADC＝∠BAD+∠B，

即∠ADM+∠MDC＝∠BAD+∠B，

∴∠ADM＝∠B＝60°．

又∵DA＝DE＝DM，

∴△ADM是等边三角形，

∴DM＝AM．

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称变换以及三角形外角性质等知识的综合应用．解题时注意运用等边三角形的三个内角都等于60°，三条边都相等．

七、（本题满分12分）

22．北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68 000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售

价至少是多少元？（利润率＝×100%）

【分析】（1）求的是数量，总价明显，一定是根据单价列等量关系，本题的关键描述语是：每套进价多了10元．等量关系为：第二批的每件进价﹣第一批的每件进价＝10；

（2）等量关系为：（总售价﹣总进价）÷总进价≥20%．

【解答】解：（1）设商场第一次购进套运动服，由题意得：

，（3分）

解这个方程，得＝200，

经检验，＝200是所列方程的根，

2+＝2×200+200＝600，

所以商场两次共购进这种运动服600套；

（2）设每套运动服的售价为y元，由题意得：

，

解这个不等式，得y≥200，

所以每套运动服的售价至少是200元．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解

决问题的关键．注意利润率＝×100%的应用．

八、（本题满分14分）

23．如图，∠ABC＝90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD、AB的延长线相交于点M，连接MC．

（1）求证：∠FMC＝∠FCM；

（2）将条件中的AD⊥DE与（1）中的结论互换，其他条件不变，命题是否正确？请给出理由．

【分析】（1）想办法证明△FAM≌△FDC（AAS），即可推出FM＝FC，可得∠FMC＝∠FCM；

（2）正确．只要证明△AMF≌△DCF（ASA），即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵AD＝DE，点F是AE的中点，

∴MF⊥AC，

∴∠AMF+∠MAF＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ACB+∠MAF＝90°，

∴∠AMF＝∠ACB，

∵AD⊥DE，AD＝DE，

∴△ADE为等腰直角三角形，

∠DAF＝45°，

又∵MF⊥AC，

∴∠DFA＝90°，

∴∠ADF＝180°﹣∠DFA﹣∠DAF＝45°，

∴∠ADF＝∠DAF，

∴FA＝FD，

在△FAM和△FDC中，

，

∴△FAM≌△FDC（AAS），

∴FM＝FC，

∴∠FMC＝∠FCM．

（2）解：正确．

理由如下：∵∠FMC＝∠FCM，

∴FM＝FC．，

∵AD＝DE，点F是AE的中点，

∴MF⊥AC，

∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∠AMF+∠MAC＝90°，

又∵∠MAC+∠DCF＝90°，

∴∠AMF＝∠DCF．

在△AMF和△DCF中，

，

∴△AMF≌△DCF（ASA），

∴AF＝DF，

又∵∠AFD＝90°，

∴∠DAF＝∠ADF＝45°，

又∵AD＝DE，

∴∠DEA＝∠DAF＝45°，

∴∠ADE＝180°﹣∠DAF﹣∠DEA＝90°，

∴AD⊥DE．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜