【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)

1.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.

圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).

(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，

而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.

(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.

2.点与圆的位置关系

(1)点在圆上

①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.

②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.

(2)点不在圆上

①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足

F(x，y)<0，则该点在圆内.

②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.

注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：

d min＝|PC|－r.

3.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方

程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).

(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.

(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.

(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.

①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.

(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.

4.圆与圆的位置关系

两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断).

(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.

(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.

5.空间直角坐标系

(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.

(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离

|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.

(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.

题型一 求圆的方程

求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：

(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程.

例1 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ， 得⎩⎪⎨⎪

⎧

(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43

＝－1.

解得a ＝5，b ＝92，r 2＝25

4

.

∴圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝25

4

. 方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，

得⎩⎪⎨⎪⎧

32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，

52

＋22

＋5D ＋2E ＋F ＝0，

－E 2－6

－D 2

－3×4

3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪

⎧

D ＝－10，

E ＝－9，

F ＝39.

∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.

方法三 设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－3

4(x

－3)，

即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝

6－23－5

＝－2，∴k BP ＝1

2，

∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.

解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝7，

y ＝3.

∴P (7,3).∴圆心为AP 中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝25

4. 跟踪训练1 若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______. 答案 ()x －22＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝25

4

解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ).又

因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.

(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.

例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.

(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1

和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.

解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |

1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0.

即k ＝0或k ＝－7

24

，

所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.

(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1

k (x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆

C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即

|1－k (－3－a )－b |1＋k 2

＝

⎪

⎪⎪⎪

5＋1k (4－a )－b 1＋1k

2

，

整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，

从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，

即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧

a －

b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，

解得⎩⎨⎧

a ＝5

2，b ＝－1

2

或⎩⎨⎧

a ＝－3

2，

b ＝13

2.

这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，13

2. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.

跟踪训练2 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程.

解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.

作示意图如图，作MC ⊥AB 于C . 在Rt △MBC 中， |BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，

由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |

k 2

＋1＝1， 解得k ＝3

4

.

所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.

(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意.

综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2. 题型三 与圆有关的最值问题

在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.

例3 在△ABO 中，|OB |＝3，|OA |＝4，|AB |＝5，P 是△ABO 的内切圆上一点，求以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解 如图所示，建立平面直角坐标系，

使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0). 设内切圆的半径为r ，点P 的坐标为(x ，y )， 则2r ＋|AB |＝|OA |＋|OB |，∴r ＝1.

故内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 整理得x 2＋y 2－2x －2y ＝－1.①

由已知得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2 ＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1，③

将③代入②得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22. ∵0≤x ≤2，

∴|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18.

又三个圆的面积之和为π⎝⎛⎭⎫|P A |22＋π⎝⎛⎭⎫|PB |22＋π⎝⎛⎭⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， ∴以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值为112π，最小值为9

2π.

跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设x ＋y ＝t ，由题意，知直线x ＋y ＝t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点， 所以d ≤r ，即|3＋3－t |

2≤ 6.

所以6－23≤t ≤6＋2 3.

所以x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.

题型四 分类讨论思想

分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.

例4 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.

解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.

①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0. 由题意可知⎝

⎛⎭

⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝⎛⎭⎫822＝52

，

解得k ＝－4

3

，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.

综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.

跟踪训练4 如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；

(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .

由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5

＝2 5.

∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.

(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；

②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝

|k －2|

k 2＋1

＝1，得k ＝3

4.

直线方程为3x －4y ＋6＝0.

综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 题型五 数形结合思想

数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率. 例5 已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程. 解 画图如下：

由直线方程易知l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直， ∴三个交点A ，B ，C 构成直角三角形， ∴经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.

由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2，y ＝－1.

∴点A 的坐标为(－2，－1).

由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝－1.

∴点B 的坐标为(1，－1).

∴线段AB 的中点坐标为(－1

2，－1).

又∵|AB |＝|1－(－2)|＝3.

∴圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝9

4

.

跟踪训练5 已知点A (－1,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足|MA ||MB |＝1

2，设动点M 的轨迹为C .

(1)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； (2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；

(3)设直线l ：y ＝x ＋m 交轨迹C 于P ，Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得|MA |＝(x ＋1)2＋y 2， |MB |＝(x －2)2＋y 2.

∵|MA ||MB |＝1

2，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简，得(x ＋2)2＋y 2＝4.

∴轨迹C 是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆. (2)设过点B 的直线为y ＝k (x －2). 由题意，得圆心到直线的距离d ＝

|－4k |k 2＋1

≤2.

解得－

33≤k ≤33.即k min ＝－3

3

. (3)假设存在，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).

联立方程⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋m ，

(x ＋2)2＋y 2＝4，

得2x 2＋2(m ＋2)x ＋m 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－m －2，x 1x 2＝m 2

2. ①

y 1＋y 2＝m －2，y 1y 2＝m 2－4m

2

. ②

设以PQ 为直径经过点A 的圆的圆心为O ，

则O 的坐标为O (x 1＋x 22，y 1＋y 2

2)，

|OA |＝|OP |, (x 1＋x 22＋1)2＋(y 1＋y 22

)2 ＝

(x 1＋x 22－x 1)2＋(y 2－y 12

)2

. 整理得(x 1＋x 2＋2)2＋(y 1＋y 2)2

＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2－4x 1x 2－4y 1y 2，③ 将①②代入③得m 2－3m －1＝0， 解得m ＝3±13

2

.

故当m ＝3±13

2

时，存在线段PQ 为直径的圆经过点A .

初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.

圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：

(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.

(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.

(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.

[推荐学习]2018版高中数学第四章圆与方程习题课学案新人教A版必修2

第四章 圆与方程习题课 目标定位 1.能根据条件求直线或圆的方程. 2.能利用坐标法解决一些简单的位置关系问题.3.通过研究圆上任意一点与直线上任意一点之间距离的最值问题及两圆关于直线对称问题，体会数形结合.化归的思想方法及解析法思想. 自 主 预 习 1.直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2 ＋y 2 －2y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 解析 l 过定点A (1，1)，∵12 ＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在，∴l 与圆一定相交，故选C. 答案 C 2.已知圆C ：(x －a )2 ＋(y －2)2 ＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1 D.2＋1 解析 因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为3，所以圆心到直线的距离为1，即 |a －2＋3| 2＝1，解得a ＝±2－1，因为a >0所以a ＝2－1，故选C. 答案 C 3.与圆(x －3)3 ＋(y ＋2)2 ＝4关于直线x ＝－1对称的圆的方程为( ) A.(x ＋5)2 ＋(y ＋2)2 ＝4 B.(x －3)2 ＋(y ＋2)2 ＝4 C.(x －5)2 ＋(y ＋2)2 ＝4 D.(x －3)2 ＋y 2 ＝4 解析 已知圆的圆心(3，－2)关于直线x ＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x ＋5)2 ＋(y ＋2)2 ＝4. 答案 A 4.已知半径为1的动圆与圆(x －5)2 ＋(y ＋7)2 ＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.(x －5)2 ＋(y －7)2 ＝25 B.(x －5)2 ＋(y －7)2 ＝17或(x －5)2 ＋(y ＋7)2 ＝15 C.(x －5)2 ＋(y －7)2 ＝9 D.(x －5)2 ＋(y ＋7)2 ＝25或(x －5)2 ＋(y ＋7)2 ＝9 解析 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则（x －5）2 ＋（y ＋7）2 ＝4＋1，∴(x －5)2 ＋(y ＋7)2 ＝25；若动圆与已知圆内切，则（x －5）2 ＋（y ＋7）2 ＝4－1，∴(x －5)2

【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.2.1

4.2.1 直线与圆的位置关系 [学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系. 知识点一 直线与圆的位置关系及判断 思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？ 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法 (1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1 k ，由点斜式方程可求得切 线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程： 几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半

径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式 (1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2. (2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F . 题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)， ∴当Δ>0，即m >0或m <－4 3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－4 3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ<0，即－4 30或m <－4 3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d ＝2，即m ＝0或m ＝－4 3 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

人教A版数学必修二第四章第五课时导学案§4.2.3直线与圆的方程的应用

§4.2.3直线与圆的方程的应用 学习目标 1．理解直线与圆的位置关系的几何性质； 2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 3．会用“数形结合”的数学思想解决问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 130~ P 132，找出疑惑之处） 1．圆与圆的位置关系有 . 2．圆224450x y x y ++--=和圆2284x y x y +-+70+=的位置关系为 . 3．过两圆22640x y x +--=和22628x y y ++-0=的交点的直线方程 . 二、新课导学 ※ 学习探究 1．直线方程有几种形式? 分别是? 2．圆的方程有几种形式?分别是哪些? 3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? ※ 典型例题 例1 如图所示，已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m =,拱高4OP m =,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑,求支柱22P A 的高度(精确0.01m)

变式：如图所示，是距今已有约1400年历史，是当今世界上现存最早、保存最完善的赵州桥。其跨度是37.4m.，拱高约为7.2m.，求这座圆拱桥的拱圆的方程 例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半. ※ 动手试试 练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.

练2. 讨论直线2 =+与曲线y=. y x 三、总结提升 ※学习小结 1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”. 2．用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈. 学习评价 ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学

圆的一般方程

例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2 =16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程. 活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求. 图1 解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|= 2 1 |OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2 +y 2 =4. 点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0). 因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2 +y 2 =16上,所以x 02 +y 02 =16.将(*)代入得 (2x-10)2 +(2y)2 =16. 故所求的轨迹方程为(x-5)2 +y 2 =4. 点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0). ②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==). ,(), ,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)

2019-2020年新课标人教a版高中数学必修二第四章《圆与方程》word教学设计

2019-2020年新课标人教a版高中数学必修二第四章《圆与方程》word教 学设计 学习目标 1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程； 2. 会用待定系数法求圆的标准方程. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P124~ P127，找出疑惑之处） 1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？ 2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 二、新课导学 ※学习探究 新知：圆心为，半径为的圆的方程叫做圆的标准方程. 特殊：若圆心为坐标原点，这时，则圆的方程就是 探究：确定圆的标准方程的基本要素？ ※典型例题 例写出圆心为，半径长为5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上.

小结：点与圆的关系的判断方法： ⑴>，点在圆外； ⑵=，点在圆上； ⑶<，点在圆内. 变式:的三个顶点的坐标是 ，求它的外接圆的方程 反思： 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于的方程组，求或直接求出圆心和半径. 2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于的方程组；（3）解方程组，求出的值，并代入所设的方程，得到圆的方程. 例2已知圆经过点和,且圆心在直线上,求此圆的标准方程. ※动手试试 练1. 已知圆经过点，圆心在点的圆的标准方程.

练2.求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程 三、总结提升 ※学习小结 一．方法规纳 ⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径. ⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系. ⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度. 二．圆的标准方程的两种求法： ⑴根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程. ⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 学习评价 ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 已知，则以为直径的圆的方程（）. A．B． C．D． 2. 点与圆的的位置关系是（）. A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定 3. 圆心在直线上的圆与轴交于两点，则圆的方程为（）. A．B． C．D． 4. 圆关于关于原点对称的圆的方程 5. 过点向圆所引的切线方程 .

高一数学必修2第4章圆与方程的导学案

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长: 圆的标准方程 一、学习目标 学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标 准方 程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。 情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。 二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程 学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 三、运用说明及学法指导: 1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。 2、不会的，模棱两可的问题标记好。 3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？ 2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ 平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究) A 问题1阅读教材118页内容，回答问题 已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？ 问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 例1：1写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2 = 9 (3) 2 2 2 ()()x a y a ++= 例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2 上、内、外的条件是什么？

高中数学必修二导学案-圆的一般方程

4. 1.2 圆的一般方程 【教学目标】 １．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． ２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． ３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 【教学重难点】 教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 教学难点：圆的一般方程的特点． 【教学过程】 （一）情景导入、展示目标 前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”． （二）检查预习、交流展示 1.写出圆的标准方程. 2.写出圆的标准方程中的圆心与半径. （三）合作探究、精讲精练 探究一：圆的一般方程的定义 1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆； (3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、 法． 2．引出圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． 探究二：圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题： 问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0． (2) 与圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)． (3) 的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论． 当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件： (1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0； (2)没有xy项，即B=0； (3)D2+E2-4AF＞0． 它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出． 强调指出： (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件． 例1 求下列圆的半径和圆心坐标：

【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)

1.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)， 而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程. 2.点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上. ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上. (2)点不在圆上 ①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足 F(x，y)<0，则该点在圆内.

②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内. 注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离： d min＝|PC|－r. 3.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方 程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断). (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离. (2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形. (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线. ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意. (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数. 4.圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断). (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长. (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 5.空间直角坐标系 (1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应. (2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离 |P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2. (3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.

人教版高中数学必修二 导学案：第四章第一节圆的一般方程

第四章第一节圆的一般方程 三维目标 1．掌握圆的一般方程，会将圆的一般方程和圆的标准方程相互转化； 2. 会用待定系数法求圆的一般方程； 3. 会用坐标法求点的轨迹方程； 4．体会代入消元的思想。 ___________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1 问题1.对下列方程进行配方，得到的方程表示什么? (1)222210x y x y +-++=； (2) 05422 2=++-+y x y x ； (3) 064222=+-++y x y x 问题2. 方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？此时圆的圆心坐标和半径是 多少？ 【试试】1. 圆的一般方程： （ ） 圆心坐标（ ， ），半径为 . 【试试】2. 若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是（ ） A.k>1 B.k<1 C.1≥k D.k 1≤

【学做思2】 *1.已知ABC ∆中，顶点()2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=，边AC 上高BE 所在直线的方程是340x y ++=． （1）求点B 、C 的坐标； （2）求ABC ∆的外接圆的方程． 【思考】根据这题的解法，请你总结出求圆的方程的一般步骤 2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆4)1(2 2=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。 （学生小组讨论展示解题思路） 【小结】求轨迹方程的一般步骤 【变式】自圆422=+y x 上的点A(2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程。 3. 已知方程01464)1(2222=+-+---+m m my x m y x 表示圆． (1)求m 的取值范围；

2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修2_第4章 圆与方4.1.2

4.1.2 圆的一般方程 知识导图 学法指导 1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤． 2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别． 高考导航 1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分． 2．考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分. 知识点一 圆的一般方程 1．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，该方程叫作圆的一般方程． 2．圆的一般方程下的圆心和半径： 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)表示的圆 的圆心为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－D 2，－E 2，半径长为D 2＋E 2－4F 2. 知识点二 求动点的轨迹方程的方法 求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x ，y )所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系．

求轨迹方程的一般步骤为： 圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F>0.

求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，

吉林省舒兰市第一中学高中数学人教A版导学案 必修二 4.1 圆的方程

第四章 4.1 圆的方程 编号041 【学习目标】１．把握圆的标准方程的特点，能依据所给有关圆心、半径的具体条件精确 地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简洁的实际问题． ２．通过圆的标准方程的推导，培育同学利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的力量． ３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想训练． 【学习重点】(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)依据具体条件正确写出圆的标准方程． 【学问链接】（1）圆的定义；（2）直线方程的定义，直线上点的坐标与直线方程解得关系。 【基础学问】探究一：如何建立圆的标准方程呢？ 1．建系设点： 2．写点集： 3．列方程： 4．化简方程： 探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 【例题讲解】例1： 写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； （2）圆心在C(3,4),半径为5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径： (1)5)2()3(22=-+-y x ；(2)7)3()4(2 2 =+++y x ；(3)4)2(2 2 =+-y x 例２： (1)已知两点P (4，9)和P (6， 3)，求以PP 为直径的圆的方程；(2)试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 【基础学问】问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程22 2460x y x y +-++=表示什么图形？ 问题2．方程 220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ 新知：方程 220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹. ⑴当22 40D E F +->时，表示以(,)22D E --为圆心,22142D E F +-为半径的圆； ⑵当22 40D E F +-=时，方程只有实数解 2D x =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不肯定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如 220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程 思考： 1．圆的一般方程的特点？ 2．圆的标准方程与一般方程的区分？ 例3：推断下列二元二次方程是否表示圆的方程？假如是，恳求出圆的圆心及半径. ⑴ 224441290x y x y +-++=； ⑵ 2244412110x y x y +-++= 例4 ：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2 214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨 迹方程. 【达标检测】 １．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是 （ D ） A ．(1,－2),4 B ．(1,－2),2 C ．(－1,2),4 D ．(－1,2),2 ２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为 2)3(2 2=+-y x 3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．

新课标高中数学人教A版必修二教案-4.1.1圆的标准方程(学案)

新课标高中数学人教A版必修二教案 4. 1.1圆的标准方程 【教学目标】 １．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力． ３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 【教学重难点】 教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． 【教学过程】 （一）情景导入、展示目标 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)． 2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． （二）检查预习、交流展示 求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9 (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． （三）合作探究、精讲精练 探究一：如何建立圆的标准方程呢？ 1．建系设点 由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)． 2．写点集 根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程 由两点间的距离公式得： 4．化简方程 将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程． 探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2． 教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决． 例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板) (1)圆心在原点，半径是3； (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；

【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 综合检测

综合检测 一、选择题 1.点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2内，则直线x 0x ＋y 0y ＝r 2和已知圆的公共点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 答案 A 解析 ∵点P 在圆内，∴x 20＋y 20＜r 2 .又∵圆心 O (0,0)到直线x 0x ＋y 0y ＝r 2 的距离d ＝|r 2| x 20＋y 2 ＞r ，∴直线与圆无交点. 2.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4) D.(4，－2) 答案 B 解析 因为直线l 1与直线l 2关于点(2,1)对称，且直线l 1恒过定点(4,0)，所以直线l 2必过点(4,0)关于点(2,1)对称的点(0,2). 3.已知在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使其绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( ) A.32π B.52π C.72π D.92π 答案 A 解析 所得几何体是大圆锥挖去同底的一个小圆锥，所以所形成几何体的体积V ＝V 大圆锥 － V 小圆锥＝13πr 2(1＋1.5－1)＝13π(3)2×1.5＝32 π. 4.若点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2x －2y －2≤0，则点P 到直线3x ＋4y －22＝0的最大距离是( ) A.5 B.1 C.2－11 D.2＋1 答案 A 解析 由题意知，点P 在以(1,1)为圆心，2为半径的圆上或其内部，因为圆心到直线的距离d ＝|3＋4－22| 32＋42 ＝3，所以点P 到直线的最大距离为d ＋r ＝5. 5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C 解析 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2＋3|22＋(3)2＝4(a ＞0)，解得a ＝2－1. 6.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，若SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝

2019-2020学年高中人教A版数学必修二教师用书：第4章 4.1.1 圆的标准方程 Word版含答案

4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点) 2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3．掌握点与圆的位置关系．(易错点) 教材整理1 圆的标准方程 阅读教材P118～P119第1行的内容，完成下列问题． 1．以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆心位置和圆的半径确定，圆就惟一确定．( ) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( ) (3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9.( ) 【解析】(1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)错误．当m＝0时，不表示圆． (3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3. 【答案】(1)√(2)×(3)× 教材整理2 点与圆的位置关系 阅读教材P119“例1”及“探究”部分，完成下列问题． 设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：

已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)( ) A．是圆心B．在圆上 C．在圆内D．在圆外 【解析】圆心M(2,3)，半径r＝2，∵|PM|＝－＋－＝2＜r，∴点P在圆内．【答案】 C (1)圆心在y A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 (2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( ) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 【精彩点拨】(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程． (2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程． 【自主解答】(1)设圆心坐标为(0，b)， 则由题意知－＋－＝1，解得b＝2. 故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. (2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝－＋＋＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 【答案】(1)A (2)A 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.

【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2021-2022高中数学必修二 第四章 圆与方程 4.3学案设计

第四章圆与方程 4.3空间直角坐标系 学习目标 1.把握空间直角坐标系的有关概念;会依据坐标找相应的点,会写一些简洁几何体的有关坐标. 2.把握空间中两点的距离公式. 学习过程 一、设计问题,创设情境 在房间(立体空间)内如何确定一个空间的物体所在位置?在同学思考争辩的基础上,老师明确:确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应当需要几个数呢? 借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何表示呢? 二、同学探究,尝试解决 图1 借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何表示呢? 1.在学校,我们学过数轴,那么什么是数轴?打算数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示? 2.在学校,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?打算平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示? 3.我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢? 4.观看图1,体会空间直角坐标系该如何建立. 5.观看图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢? 三、信息沟通,揭示规律 1.在平面直角坐标系的基础上,通过原点再增加一根,就成了空间直角坐标系. 2.如无特殊说明,本书建立的坐标系都是直角坐标系. 3.空间直角坐标系像平面直角坐标系一样,有“三要素”:. 图2 4.在平面上画空间直角坐标系O xyz时,一般使∠xOy=∠xOz=135°,∠yOz=90°,且使y轴和z轴的单位长度相同,x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半,即用斜二测法画. 已知M为空间一点,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P,Q,R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的.坐标为x,y,z的点M通常记为 M(x,y,z). 5.反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P,Q与R分别作的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的关系. 留意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有肯定的特征. 6.假如点M在yOz平面上,则;同样,zOx面上的点;面上的点,z=0;假如点M在x 轴上,则;假如点M在y轴上,则;假如点M在轴上,则x=y=0;假如M是原点,则 x=y=z=0. 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应当是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z). 7.你能用空间两点的坐标表示这两点间的距离吗?类比平面两点间距离公式的推导,猜想空间两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离公式. 四、运用规律,解决问题 8.如图,长方体OABC—D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,写出D',C,A',B'四点的坐标. 总结规律:(试总结如何依据题设条件写出点的坐标?) 9.在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等. 总结规律:(试总结坐标轴上点的特征及空间中两点间的距离公式是什么?) 10.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和D1B1的中点,棱长为1,求E,F点的坐标. 总结规律:(试总结空间直角坐标系中中点坐标公式?) 五、变练演编,深化提高

高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案

高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案 高二数学必修2 第四章圆与方程 第四章圆与方程 §4.1圆的方程 §4.1.1圆的标准方程(1) 【学习目标】 1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程. 2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系. 【学习重点】 求圆的标准方程. 【学习难点】 根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习) 1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离. 2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？ 3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆心和半径分别确定了圆的_______和_______. 4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一

点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么? 5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,a b r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________. 6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ . 思考：圆的标准方程222 ()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件. 二、合作探究 例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在 这个圆上. 推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=. 1，M 在圆上?2200()()x a y b -+- 2r ； 2，M 在圆外?2200()()x a y b -+- 2r ； 3，M 在圆内?2200()()x a y b -+- 2r ； 例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系 推广: 已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是 1212()()()()0.x x x x y y y y --+--= 三、达标检测 1.写出下列各圆的标准方程. (1) 圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在(3,4)C (3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；

新编高一数学人教A版必修二 习题 第四章 圆与方程 4.2.1 含答案

新编人教版精品教学资料 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2015·景德镇期末)直线4x －3y －2＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y －11＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交过圆心 D ．相交不过圆心 解析： 圆心(1，－2)到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×1－3×(－2)－2|42＋(－3) 2＝85，圆的半径r ＝4.所以d ＜r . 又圆心(1，－2)不在直线4x －3y －2＝0上，故选D. 答案： D 2．(2015·扬州竹西中学月考)如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A ．P 在圆外 B ．P 在圆上 C ．P 在圆内 D ．P 与圆的位置关系不确定 解析： 由题意，得4 a 2＋ b 2＜2， 得a 2＋b 2＞4，即点P (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4外，故选A. 答案： A 3．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 的值为( ) A ．0或2 B ．2 C. 2 D ．无解 解析： 因为直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切， 所以(0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离为m (m ＞0)， 即|0＋0＋m | 12＋12＝m ，整理，得m 2＝2m . 解得m ＝2或m ＝0(舍去)，故选B.

答案： B 4．过点(0,1)的直线与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．2 5 解析： 当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G (0,1)的连线与直线AB 垂直时，圆心到直线AB 的距离取得最大值， 即d ＝|OG |＝1，此时弦长最短，即 |AB |2≥R 2－d 2＝4－1⇒|AB |≥23，故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________． 解析： 根据圆的弦的性质和直线与圆的位置关系求解． 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254 . 答案： (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254 6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 解析： 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝355， 所以弦长为2r 2－d 2＝24－95＝25 55. 答案： 2555 7．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________． 解析： 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，即圆心为(1,2)，半径长为1.设所求直线的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. 由于直线与圆相交所得弦的长为2，圆的半径长为1，则圆心到该直线的距离为 12－⎝⎛⎭ ⎫222＝0，即圆心在直线kx －y ＝0上，于是k －2＝0，即k ＝2. 故所求直线的方程为y ＝2x .