概率论习题试题集
第一章 随机事件与概率
一、填空题
1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)(=A B P ，则
______________)(=B A P Y 。
2.设A ，B 为随机事件，已知
3.0)(=A P ，
4.0)(=B P ，
5.0)(=B A P Y ，则____________)(=B A P 。 3. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为
6.0和5.0，现目标被击中，则它是甲命中的概率为___________。
4. 某射手在3次射击中至少命中一次的概率为87
5.0，则该射手在一次射击中命中的概率为
___________。
5. 设随机事件 A 在每次试验中出现的概率为
3
1
,则在3次独立试验中A 至少发生一次的概率为___________.
6. 袋中有黑白两种球,已知从袋中任取一个球是黑球的概率为4
1
,现从袋中不放回地依次取球,则第k 次取得白球的概率为___________。
7. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为7.08.09.0，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率是___________。
8. 电路由元件A 与两个并联的元件B ，C 串联而成，若A ，B ，C 损坏与否相互独立，且它们损坏的概率依次为1.02.03.0，，，则电路断路的概率是___________。
9. 甲乙两个投篮，命中率分别为6.07.0，，每人投3次，则甲比乙进球数多的概率是___________。
10. 3人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是
4
1
3151，，，则此密码被译出的概率是________。 二、选择题
1. 对于任意两个事件A ，B ，有)(B A P -为（ ） （A ）)()(B P A P - （B ）)()()(B A P B P A P -+ （C ）)()(AB P A P -
（D ）)()()(AB P B P A P +-
2. 设A ，B 为两个互斥事件，且0)(,0)(>>B P A P ，则下列正确的是（ ） （A ）)()(A P B A P =
（B ）0)(=A B P
（C ）)()()(B P A P AB P =
（D ）0)(>A B P
3. 其人独立地投了3次篮球，每次投中的概率为3.0，则其最可能失败（没投中）的次数为（ ） （A ）2 （B ）2或3 （C ）3
（D ）1
4. 袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）
（A ）
53
（B ）
43 （C ）4
2
（D ）10
3
5. n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率是（ ）
（A ）m n
C m
（B ）k
n k m
n C C --1 （C ）k
n
k m
n m C C C 11--
（D ）∑=k
r k n
r m
C C 1
三、计算题
(随机事件、随机事件的关系与运祘) 1. 指出下面式子中事件之间的关系：
⑴ A AB =； ⑵ A ABC =； ⑶A B A =Y 。
2. 一个盒子中有白球、黑球若干个，从盒中有放回地任取三个球.设i A 表示事件“第i 次取到白球” )3,2,1(=i ，试用i A 的运算表示下列各事件.
⑴ 第一次、第二次都取到白球； ⑵ 第一次、第二次中最多有一次取到白球； ⑶ 三次中只取到二次白球; ⑷ 三次中最多有二次取到白球; ⑸ 三次中至少有一次取到白球.
3. 掷两颗骰子，设i A 、i B 分别表示第一个骰子和第二骰子出现点数i 朝上的事件，试用i A 、i B 表示下列事件.⑴ 出现点数之和为4; （2） 出现点数之和大于10.
4. 对若干家庭的投资情况作调查，记{=A 仅投资股票},{
=B 仅投资基金
},{
=C 仅投资债券
}，
试述下列事件的含义.
⑴ C AB ; ⑵ C B A Y Y ; ⑶ A Y B Y C ; ⑷ C ABC =; ⑸ C AB C Y .
5. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间及随机事件A . ⑴ 掷一颗骰子，点数为偶数的面朝上; ⑵ 掷二颗骰子，两个朝上面的点数之差为2;
⑶ 把三本分别标有数字1，2，3的书从左到右排列，标有数字1的书恰好在最左边; ⑷ 记录一小时内医院挂号人数，事件=A {一小时内挂号人数不超50人};
⑸ 一副扑克牌的4种花式共52张，随机取4张，取到的4张是同号的且是3的倍数.
6. 对某小区居民订阅报纸情况作统计，记C B A ,,分别表示订阅的三种报纸，试叙述下列事件的含义. ⑴ 同时订阅B A ,两种报纸; ⑵ 只订阅两种报纸; ⑶ 至少订两种报纸;
⑷ 一份报纸都不订阅; ⑸ 订C 报同时也订A 报或B 报中的一种; ⑹ 订A 报不订B 报.
7．某座桥的载重量是1000公斤（含1000公斤），有四辆分别重为600公斤，200公斤，400公斤和500公斤的卡车要过桥，问怎样过法即省时间而桥又不会损坏。
(古典概型及其概率)
8. 设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率：
（1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； （2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。
9. 设有3个人和4间房，每个人都等可能地分配到4间房的任一间房内，求下列事件的概率：（1）指定的
3间房内各有一人的概率；（2）恰有3间房内各有一人的概率；（3）指定的一间房内恰有2人的概率。
10. 一幢12层的大楼，有6位乘客从底层进入电梯，电梯可停于2层至12层的任一层，若每位乘客在任
一层离开电梯的可能性相同，求下列事件的概率：（1）某指定的一层有2位乘客离开；（2）至少有2位乘客在同一层离开。
11. 将8本书任意放到书架上，求其中3本数学书恰排在一起的概率。
12.某人买了大小相同的新鲜鸭蛋，其中有a只青壳的，b只白壳的，他准备将青壳蛋加工成咸蛋，故将鸭
蛋一只只从箱中摸出进行分类，求第k次摸出的是青壳蛋的概率。
13.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人
随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到订货的概率是多少？
14. 将12名新技工随机地平均分配到三个车间去，其中3名女技工，求：
（1）每个车间各分配到一名女技工的概率；（2）3名女技工分配到同一车间的概率。
15．从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有两只配对的概率。
16．从0，1，2，......，9十个数中随机地有放回的接连取三个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）三个数字排成一奇数；（2）三个数字中0至多出现一次；
（3)三个数字中8至少出现一次；（4）三个数字之和等于6。
（利用事件的关系求随机事件的概率）
17. 在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被4整除，又不能被6整除的概率是多少？
18. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张，
（1）若甲抽后将牌放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率；
（2）若甲抽后不放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率。
19. 在某城市中发行三种报纸A,B,C，经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，
同时订阅A及B的有10%，同时订阅A及C的有8%，同时订阅B及C的有5%，同时订阅A,B,C的有3%。
试求下列事件的概率：
（1）只订A报的；（2）只订A及B报的；（3）恰好订两种报纸。
20．某人外出旅游两天，据预报，第一天下雨的概率为，第二天下雨的概率为，两天都下雨的概率为，试求：
（1）至少有一天下雨的概率；（2）两天都不下雨的概率；（3）至少有一天不下雨的概率。
21．设一个工人看管三台机床，在1小时内三台机床需要工人照管的概率的依次是,,,试求：（1）至少有一台机床不需要人照管的概率；（2）至多只有一台机床需要人照管的概率。
（条件概率与乘法原理）
22．某种动物活15年的概率为，活25年的概率为，求现年15岁的这种动物活到25岁的概率。
23．设口袋有5只白球，4只黑球，一次取出3只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。
24．10件产品中有3件是次品，从中任取2件。在已知其中一件是次品的条件下，求另一件也是次品的概率。
25．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，并将其中的1张拿到验钞机上检验，结果发现是假钞，求抽出的2张都是假钞的概率。
26. 小王忘了朋友家电话号码的最后一位，他只能随意拨最后一个号，他连拨了三次，求第三次才拨
通的概率。
27. 设袋中装有a只红球，b只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m只与所
取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。
28. 一个游戏需要闯过三关才算通过，已知一个玩家第一关失败的概率是3/10，若第一关通过，第二
关失败的概率是7/10，若前两关通过，第三关失败的概率为9/10，。试求该玩家通过游戏的概率。
29.盒中有六个乒乓球，其中2个旧球，每次任取一个，连取两次（不放回），求至少有一次取到旧球
的概率。
（全概率与贝叶斯公式）
30. 设有两台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率是，第二台机床出废品的概率是，加工
出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。试求：
（1）求任意取出的一个零件是合格品的概率；
（2）如果任意取出一个零件经检验后发现是废品，问它是第一台机床还是第二台机床生产出来的可能性大？
31. 已知男子有5%是色盲患者，女子有%是色盲患者，假设人群中男女比例1：1。试求：（1）人群中患色盲的概率是多少？
（2）今从人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？
32．盒中有10只羽毛球，其中有6只新球。每次比赛时取出其中的2只，用后放回，求第二次比赛时取到的2只球都是新球的概率。
33．一种传染病在某市的发病率为4%。为查出这种传染病，医院采用一种新的检验法，它能使98%的患有此病的人被检出阳性，但也会有3%未患此病的人被检验出阳性。现某人被此法检出阳性，求此人确实患有这种传染病的概率。
34．某人下午5：00下班，他所累计的资料表明：
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。
35．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求：
（1）学生回答正确的概率；
（2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。
36．有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是，，，，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/6，而乘飞机则不会迟到，试问：（1）他迟到的概率多大？
（2）结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？
37．要验收100台微机，验收方案如下：自该批微机中随机地取出3台独立进行测试，三台中只要有一台在测试中被认为是次品，这批微机就会被拒绝接受，由于测试条件和水平，将次品微机误认为正品的概率为，而将正品的微机误判为次品的概率为。如果已知这100台微机中恰有4台次品，试问：（1）这批微机被接受的概率是多少?(2) 假如被接受，而3台微机中有1台次品微机的概率是多少？
（贝努利概型）
38. 五架飞机同时去轰炸一目标，每架飞机击中目标的概率为6.0，求：五架飞机中至少有三架击中目标的概率.
39. 有一场短跑接力赛，某队有4名运动员参加，每人跑四分之一距离，每名运动员所用时间超过一分钟的概率为,当四名中有一名运动员所用时间超过一分钟,则该队必输,求: ⑴ 该队中没有一个运动员所用时间超过一分钟的概率; ⑵ 最多二人超过一分钟的概率; ⑶ 该队输掉的概率.
40. 某人骑车回家需经过五个路口，每个路口都设有红绿灯，红灯亮的概率为5
2
，求： ⑴ 此人一路上遇到三次红灯的概率； ⑵ 一次也没有遇到红灯的概率.
41. 某台电视机能接收到十个频道的电视节目，每个频道独立地播放广告，每小时放广告的概率均为5
1
，问某一时刻打开电视机:
⑴ 十个频道都在放广告的概率； ⑵ 只有三个频道在放广告的概率； ⑶ 至少有一个频道在放广告的概率.
42．有五个儿童在玩跳绳比赛，每个儿童跳绳能超过100下的概率为，问： ⑴ 五人中最多有二人超过100下的概率； ⑵ 至少一人超过100下的概率.
43．据统计某地区五月份中各天下雨的概率为
62
1
，求：
⑴五月份中下雨的天数不超过五天的概率；
⑵五月份每天都下雨的概率.
44．三名运动员射击同一靶，射中靶的概率都为，问：
⑴靶被射中的概率；
⑵最多二名运动员射中的概率.
45. 五家电视台同时接受由卫星转播的一套节目，但受天气影响，五家电视台各自能收到节目的概率都为，问，至少有三家电视台能收到节目的概率.
46.某幢大楼有20户居民，每户订日报的概率为，问邮递员每天至少要给这幢大楼送10份日报的概率.
47. 20个鞭炮受了潮，每个能放响的概率为，问：
⑴只有5个鞭炮能放响的概率；
⑵最多有10个能放响的概率.
（利用事件的独立性求概率）
48. 三家电视台独立地播放广告节目，在一小时内各电视台播放广告的概率分别为, , .
⑴求一小时内三家电视台同时播放广告的概率；
⑵求一小时内没有一家电视台在播放广告的概率；
⑶至少有一家电视台在播放广告的概率.
49. 一个系统由三个电器并联组成，三个电器会损坏的概率分别为, , .
⑴求系统不能正常工作的概率；
⑵求系统能正常工作的概率.
50. 有两组射击手各5人，每组射击手射击时射中目标的概率分别为：
⑴ , , , , ;
⑵ , , , , .
两组进行射击比赛，哪组击中目标的概率大.
51. 一个会议室装有若干组独立的照明系统，每组照明系统由一个开关和一个灯组成，开关、灯损坏的概率分别、. 当开关、灯都正常工作时，这组系统才能正常工作，问会议室里至少需有多少组系统，才能以95%的把握使室内有灯照明.
52. 五架飞机同时去轰炸一目标，每架飞机投中目标的概率为. 求⑴ 5架飞机都投中目标的概率； ⑵ 只有一架投中目标的概率；
⑶ 要以90%以上的概率将目标击中，至少应有几架飞机去轰炸.
53. 某班级4名学生去参加数学竞赛，他们能得满分的概率分别为, , , ，求： ⑴ 只有一张卷子得满分的概率； ⑵ 没有一人得满分的概率.
54. 某人回家需打开大门、过道门和房门三道门，这三道门的钥匙各不相同并放在一起，此人每到一道门便随机地取一把钥匙开门，然后放回，问此人取了三次钥匙开门锁即能进屋的概率.
55. 有三个人从公司回家分别乘公交车、地铁和出租车，三种方式所花的时间超过半小时的概率分别为, , . ⑴ 三人中至少有一人回家时间超过半小时的概率; ⑵ 至少有二人回家时间超过半小时的概率.
56. 某台电视机能接收到三个频道节目，这三个频道独立地播放广告，每小时播放广告的概率分别为4
1
,51,61，问：
⑴ 打开电视机三个频道都在放广告的概率； ⑵ 最多有二个频道在播广告的概率.
57. 5名运动员各划一条船进行划船比赛，若在规定时间内到达对岸的，可以得到一面锦旗，5名运动员在规定时间内能到达对岸的概率分别为, , , , , 求: ⑴ 至少一人拿到锦旗的概率；
⑵ 恰有一人拿到锦旗的概率.
（四）证明题
1.设A ，B 为两个随机事件，且有1)(=AB C P ，证明：1)()()(-+≥B P A P C P 。
2.设A ，B 为两个随机事件，)()(,1)(0A B P A B P A P =<<，证明：A 与B 相互独立。
参考答案
一、填空题： (1) ：(2) ；(3)
43；(4) ；(5) 27
19；(6)43；(7)；(8)；(9) ；(10)53二、选择题：(1)C; (2) B; (3) A; (4) A; (5) B.
三、计算题：
（随机事件、随机事件的关系与运算） 1.解：⑴事件B 包含事件A ，A B ?.
⑵事件B 与事件C 的交包含事件A ，A BC ?. ⑶事件A 包含事件B ，B A ?.
2. 解：⑴ 21A A 。 ⑵212121A A A A A A Y Y . ⑶321321321A A A A A A A A A Y Y . ⑷321321A A A A A A Y Y =. ⑸321A A A Y Y .
3. 解：⑴221331B A B A B A Y Y . ⑵665665B A B A B A Y Y .
4. 解：⑴被调查到的家庭同时投资了股票和基金，没投资债券. ⑵被调查到的家庭，至少投资了一项. ⑶被调查到的家庭，至少一项没投资.
⑷被调查到的家庭，凡投资债券的同时都投资了股票和基金.
⑸被调查到的家庭，或同时投资了股票和基金，但没投资债券，或仅投资债券.
5. 解：⑴}{6,5,4,3,2,1=Ω }{6,4,2=A .
⑵}{)
6,5(,),2,1(),1,1(Λ=Ω共36个样本点,
}{)
3,5(,)5,3(,)2,4(),4,2(,)1,3(,)3,1(=A .
⑶}{321,312,213,231,132,123=Ω, }{132,123=A .
⑷记X 为一小时内挂号的人数，}{Λ
,2,1,0===ΩK K X ，}{50,,1,0Λ===K K X A .
⑸记,,,,i i i i D C B A 分别表示4种花式的第i 张(13,,1Λ=i )，
{}131131131131,,,,,,,,,,,D D C C B B A A ΛΛΛΛ=Ω.
{})(),(),(),(12121212999966663333D C B A D C B A D C B A D C B A A =.
6. 解：⑴AB . ⑵C AB B A Y A C Y BC . ⑶BC AC AB Y Y . ⑷C B A . ⑸B A C (?A Y B ）. ⑹B A .
7. 解：记{=A 600公斤的卡车过桥}，{
=B 200公斤的卡车过桥
}，
{=C 400公斤的卡车过桥
}，{
=D 500公斤的卡车过桥
}，
{=E 卡车过桥速度快且桥不会损坏}.
BD C A D B AC CD B A D C AB E +++=.
（古典概型及其概率）
8. 解：（1）0
4
145
31()()0.99968
8
p C =-=
（2）13
5325
85
0.089356
C C p C === 9．解：2133334123
3333!3129
,,432432464
P C C C p p p ??====== 10．解 ：（1）24
616
(10)0.084711
C p == （2）611
2610.812211
P p =-=
11．解：16358
3
2.14328C P P p P ===
12．解：1111a a b a a b k
a b a b C P C P a a
p p P a b P a b
+-+-++====++或
13．解：43210439
17252
0.1042431
C C C p C === 14．解：3333963
144412840.2909PC C C p C C C ==； 114439842444
1284
0.0545C C C C p C C C == 15．解：121165224
1216
0.48533
C C C C p C ===（分子：先从6双中取一双，两只都取来；再从剩下的5双中任取两双，再从每双中任取1只）
16．解：12513100.510C p ?=
=； 312
323
990.97210C p +?== 3
33910.02810
p =-= （考虑它的对立事件{三个数字未出现8}）
433123456728
0.0281010
p ++++++=
==
（穷举法，仅适合分子较容易穷举的题目。本题第一个数字取6、5、4、3、2、1、0的基本事件分别是1、2、3、4、5、6、7）
（利用事件的关系求随机事件的概率）
17. 解：设A ={能被4整除}，B ={能被6整除}
依题意()1()1[()()()]P AB P A B P A P B P AB =-?=-+-
这里1000/4250[1000/6]166[1000/12]83
(),(),()100010001000100010001000P A P B P AB ======
2516683
()1[]0.892100010001000
P AB ∴=-+-=
18. 解：设A ={甲拿到4A}，B ={乙拿到4A}
1） 依题意,A B 相互独立，9924848
13135252()()()()()2()C C P A B P A P B P A P B C C ?=+-=?-
2） 依题意,A B 互不相容，948
1352
()()()2C P A B P A P B C ?=+=?。
19. 解：设A ={订阅A 报}，B ={订阅B 报}，C ={订阅C 报} 依题意
()45%,()35%,()30%,()10%,()8%,()5%,()3%P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ======= 1()()()()()0.450.10.080.030.3p P ABC P A P AB P AC P ABC ==--+=--+=
2()()()0.10.030.07p P ABC P AB P ABC ==-=-=
3()()()0.070.050.020.14p P ABC P ABC P ABC =++=++=
（提示：画出文式图，会帮助求出概率） 20．解：设i A ={第i 天下雨},i=1,2
依题意1212()0.6,()0.6,()0.1P A P A P A A ===
1121212()()()()0.60.30.10.8p P A A P A P A P A A =?=+-?=+-= 2121212()()1()10.80.2c p P A A P A A P A A ==?=-?=-= 3121212()()1()10.10.9c p P A A P A A P A A =?=?=-?=-=。
21．解：设i A ={第i 台机床需要人照顾},i=1,2,3
依题意123()0.8,()0.7,()0.6P A P A P A ===，且三个i A （,i=1,2,3）三个相互独立。
1123()()1()10.80.70.60.664p P A A A P ABC P ABC =??==-=-??= 2123123123123()
0.20.30.40.80.30.40.20.70.40.20.30.60.212
p P A A A A A A A A A A A A =+++=??+??+??+??=
（条件概率与乘法原理）
22．解：设A ={活了25岁}，B ={活了15岁} 依题意()0.3
()0.375()0.8
P AB P A B P B =
==。
23．解：设A ={黑色}，B ={同一种颜色}，且AB A =
依题意333
454
33
99
(),()C C C P A P B C C +==；()()48()0.286()()168P AB P A P A B P B P B ====。 24．解：设A ={2件都是次品}，B ={2件中至少有1件次品}，
依题意2211
3337
22
1010
(),()C C C C P A P B C C +==；()1()0.125()8P AB P A B P B ===。 25．解：设A ={2张都是假钞}，B ={至少有一张假钞}，
依题意2211
55515
22
2020
(),()C C C C P A P B C C +==，且AB A = ()()2()0.118()()17
P AB P A P A B P B P B =
===。
26. 解：设i A ={第i 次拨通},i=1,2,3 依题意,由乘法原理知123981
()0.11098
P A A A =
??=。 27. 解：设i A ={第i 次取到红球},i=1,2,3,4 依题意，由乘法原理知12342()23a a m b a m
P A A A A a b a b m a b m a b m
++=
???
+++++++ 28. 解：设i A ={第i 次关通过},i=1,2,3 依题意，由乘法原理知123379
()(1)(1)(1)0.021101010
P A A A =-
?-?-= 29. 解：设i A ={第i 次取到旧球},i=1,2 依题意121212()()()()P A A P A P A P A A ?=+-
这里12121212211
()(),()()()66515P A P A P A A P A P A A ===?=?= 所以1221
()20.6615
P A A ?=?-=。
（全概率与贝叶斯公式）
30. 解：设i A ={第i 台机器生产},i=1,2，B ={产品为次品} 依题意1212()2/3,()1/3,()0.03,()0.02P A P A P B A P B A ==== 由全概公式()2/30.031/30.020.027P B =?+?=
由贝叶斯公式122/30.031/30.02
(),()()()
P A B P A B P B P B ??=
=，
所以第一台机器生产的可能性大。
31.解：设1A ={女性}，2A ={男性}，B ={色盲}
依题意1212()0.5,()0.5,()0.25%,()5%P A P A P B A P B A ==== 由全概公式()0.50.25%0.55%0.02625P B =?+?=
由贝叶斯公式20.50.25%
()0.0476()
P A B P B ?=
=
32．解：设i A ={第一次取出i 只新球},i=0,1,2，B ={第二次取出新球} 依题意
1122
4664
012222101010
222654012222101010
(),(),(),
(),(),()C C C C P A P A P A C C C C C C
P B A P B A P B A C C C
====
==
由全概公式21122226465644
222
222101*********
()28/135C C C C C C C P B C C C C C C =?+?+?=。 33．解：设1A ={患有传染病}，2A ={没有患传染病}，B ={被检出阳性} 依题意1212()4%,()96%,()98%,()3%P A P A P B A P B A ==== 由贝叶斯公式14%98%
()0.5764%98%96%3%
P A B ?==?+?。
34．解：设1A ={乘地铁}，2A ={乘汽车}，B ={到家时间为5：45~5：49} 依题意1212()0.5,()0.5,()0.45,()0.2P A P A P B A P B A ==== 由贝叶斯公式10.50.45
()0.6920.50.450.50.2
P A B ?=
=?+?。
35．解：设1A ={知道正确答案}，2A ={不知道正确答案}，B ={回答正确} 依题意1212()0.9,()0.1,()1,()0.25P A P A P B A P B A ==== 由全概公式()0.910.10.250.925P B =?+?= 由贝叶斯公式10.10.25
()0.0270.910.10.25
P A B ?=
=?+?。
36．解：设1A ={乘火车}，2A ={乘轮船}，3A ={乘汽车}，2A ={乘飞机}，B ={迟到}，依题意
12341234()0.3,()0.2,()0.1,()0.4,()1/4,()1/5,()1/6,()0
P A P A P A P A P B A P B A P B A P B A ========
由全概公式()0.31/40.21/30.11/60.400.1583P B =?+?+?+?= 由贝叶斯公式10.31/4
()0.4740.31/40.21/30.11/60.40
P A B ?=
=?+?+?+?。
37．解：设i A ={三台微机中的次品数为i},i=0,1,2,3，B ={微机被接受}; 依题意
312213964964964
01243333
100100100100
3223
0123(),(),(),()()0.99,()0.050.99,()0.050.99,()0.05C C C C C C P A P A P A P A C C C C P B A P B A P B A P B A ======?=?=
由全概公式
312213322
39649649643333100100100100
()0.990.050.990.050.990.050.8629C C C C C C P B C C C C =?+??+??+?=。
38.解：)2()1()0(1)2(1)3(P P P P P ---=≤-=≥ξξ.
3
2254155)4.0(6.0)4.0(6.0)4.0(1??-??--=C C .
=.
39．解：⑴ 4
)7.0()0(==ξP =.
⑵ 2
2
2
43
1
44
7.03.07.03.07.0)2()1()0()2(??+??+=++=≤C C P P P P ξ=. ⑶ 4
7.01)0(1)1(-=-=≥P P ξ=.
40．解：⑴ 625144
)53()5
2()3(23
3
5=
==C P ξ.
⑵ 3125
243
)53()0(5===ξP .
41．解：⑴ 10)51(. ⑵ 7
3310)54()51(C . ⑶ 10)5
4(1-.
42．解：⑴ 2
32541556.04.06.04.0)4.0()2()1()0()2(??+??+=++=≤C C P P P P ξ=
⑵ 5
)4.0(1)0(1)1(-==-=≥ξξP P = 43．解：⑴2
162131=?
==np λ )5()4()3()2()1()0()5(=+=+=+=+=+==≤ξξξξξξξP P P P P P P
()()()
99.0)!
521!421!321!2)21(211(5
4
3
22
1
=+++++=-e . ⑵ 0!
31)21()31(31
2
1≈?==-e P ξ.
44．解：⑴ 3
)3.0(1)0(1)1(-==-=≥ξξP P =. ⑵ 3
)7.0(1)3(1)2(-==-=≤ξξP P =.
45. 解：5
554452335)6.0(4.0)6.0()4.0()6.0()3(C C C P ++=≥ξ=.
46. 解：0081.0!
4)10(420
104
≈=≥=∑=-k k e k P ξλ.
47．解：6=λ ⑴ 16.0!
56)5(6
5===-e P ξ.
（利用事件的独立性求概率）
48. 解：记{=i A 第i 家电视台在播放广告}，A 为待求概率的事件.
⑴ 321A A A A =，事件321,,A A A 独立.
003.02.015.01.0)()()()(321=??==A P A P A P A P . ⑵ 1A A =2A 3A ，事件1A ,2A ,3A 独立，
612.0)2.01)(15.01)(1.01()()()()(321=---==A P A P A P A P . ⑶ 321321A A A A A A A ==Y Y ，)()()(1)(321A P A P A P A P -=388.0=. 49. 解：记{=i A 第i 个电器损坏
} )3,2,1(=i ，A 为所求概率的事件.
⑴ 321A A A A =，由题意,事件321,,A A A 独立.
06.05.04.03.0)()()()(321=??==A P A P A P A P .
⑵ 1A A =2A Y 3313A A A A =Y , 06.01)(-=A P = 50. 解：设{=A 目标被击中
}，{
=i A 第一组第i 个射击手射中目标
}，
{=i B 第二组第i 个射击手中目标
} (i =1,2,3,4,5)，
则：54321A A A A A A Y Y Y Y =，)5,,1(Λ=i A i 是独立的，
∴)(1)(A P A P -=982.0)(154321=-=A A A A A P .
同理：9832.0)(1)(54321=-=B B B B B P A P . 所以第二组击中目标的概率大.
51. 解：设需n 组系统，{=A 室内有灯照明
}，{
=i A 第i 组系统正常
}),,1(n i Λ=，
则：3.05.06.0)(=?=i A P n A A A Y ΛY 1=，
)(1)(A P A P -==95.0)7.0(1)()()(121>-=-n n A P A P A P Λ n
)7.0(05.0> 39.81549
.03
.17.0log 05.0log ≈--=?n
9=n .
52. 解：⑴ 记{=i A 第i 架飞机投中目标
}(5,,1Λ=i )，
54321A A A A A A =，i A 独立(5,,1Λ=i )；
（1）08.0)6.0()(5
≈=A P .
（2）5432154321...A A A A A A A A A A A ++=，08.05)4.0(6.0)(4
≈??=A P . （3）设应有n 架飞机去轰炸， )(1)(A P A P -=1.0)4.0(9
.0)4.0(1)(11
<>-=-
=∏
=n n i n
i A P
4
.0lg 1
.0lg >
n ， 3=n . 53．解：记{=i A 第i 名得满分
}(4,,1Λ=i ), 记A 为所求事件.
⑴ )()()()()(4321432143214321A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A P +++=
=.
⑵ 0024.04.03.02.01.0)(=???=A P . 54. 解：记{=i A 第i 道门被打开
}(3,2,1=i )，321,,A A A 独立，
{=A 此人进屋
}，321A A A A =，3
1)(=i A P ，(3,2,1=i )，
27
1
313131)()()()(321=
??==A P A P A P A P . 55．解：记D 为所求事件.
{=A 乘公交车回家时间超过半小时}，
{=B 乘地铁回家时间超过半小时
}， {=C 乘出租车回家时间超过半小时
}，
⑴)(1)()(A P C B A P D P -==Y Y )(B P )(C P =. ⑵ ABC BC A C B A C AB D +++=,
)()()()()(ABC P BC A P C B A P C AB P D P +++==.
56. 解：记B ={三个频道都在放广告}为所求事件，则
⑴ 记{=i A 第i 个频道在播广告} )3,2,1(=i ，
1201415161)()(321=??=
=A A A P B P . ⑵ 120
11912011)(1)(=-=-=B P B P .
57. 解：记{=i A 第i 个运动员能拿到锦旗} )5,,1(Λ=i ，{
=B 所求事件
}.
⑴ 99.0)(1)(1)(54321=-=-=A A A A A P B P B P . ⑵ 543215432154321A A A A A A A A A A A A A A A B +++=Λ，
02.0)(=B P .
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论期末试卷
填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3．设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________.
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
概率统计试题库及答案
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
概率论试题及答案
试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
概率论复习题及答案
复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
概率论期末试题A
A. 一．填空题（每题3分，共15分） 1．三人随机进入五层楼的任一层，则至少有两人在同一层的概率为： 。 。 ，则，若 )( 6.0)|(2.0)( .2=-==A B P A B P A P 3． 3只红球，2只白球，每次从中任取一件，取后放回。则第5次取到第2次白球的概率为 。 4．。 ，则，且泊松分布～，指数分布～若随机变量= =DX DY Y e X 2)()()()(λπλ 。的矩估计为：参数的样本，则二项分布为取自总体若____________ )(),10(~),,(.51p p b X X X n 二、选择题（每题3分，共15分） ) ()()() ()()()|()|()()()()()()(1)()() (0 1ABC A C C B B A P C B A P D A BC P C AB P C B C P A B P A P ABC P B C P B P A P C B A P A C B A =-=-=-=，则以下一定成立的为的概率均大于，，，设有事件 15 9) (158)(157)(156)() ( 32012D C B A 的概率为：件，则至少有一件次品件次品，从中任取件产品中有， 5 1) (41)(31)(21)() ()(),3,2,1(21)( 3D C B A X P k k X P X k =====偶数，则的概率分布为：，若随机变量 4，若随机变量X,Y,Z 相互独立，且DX = 2,DY = 3,DZ = 1。则D (3X - Y - 2Z ) =( ） (A) 1 (B) 11 (C) 18 (D) 25 5. 若(321X X X ，，)为取自总体X 的样本,且EX = p ,则关于p 的无偏估计为( ） （A ） 321636261X X X ++ （B ）321616263X X X +- （C ）321616263X X X -+ （D ）321616263X X X -- 三、计算题（每题10分，共70分） 1，三门炮同时向一飞机射击，彼此互不影响，设击中飞机的概率分别为：0.2、0.3、0.4， 若其中只有一门炮击中飞机，则飞机被击落的概率为0.1；
概率统计试题及答案
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
概率论与数理统计期末考试题及答案
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
概率统计试题及答案
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤
概率统计期末考试试题附答案
中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）.
《概率统计》期末考试题(有答案)
《概率论》期末 A 卷考试题（免费） 一 填空题(每小题 2分，共20 分) 1．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，则目标被击中的概率为（ ）. 2．设()0.3,()0.6P A P A B == ，则()P A B =( ). 3．设随机变量X 的分布函数为??? ? ? ????> ≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x a x x F ，则=a （ ）， ()6 P X π > =（ ）. 4．设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布，则=-)1(2 X E ( ). 5．若随机变量X 的概率密度为2 36 ()x X p x -= ，则(2)D X -=（ ） 6．设Y X 与相互独立同服从区间 (1,6)上的均匀分布，=≥)3),(max(Y X P （ ）. 7．设二维随机变量（X,Y ）的联合分布律为 X Y 1 2 ?i p 0 a 12 1 6 1 1 3 1 b 则 ( ), ( ).a b == 8．设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为? ? ?>>=--其它 00,0),(2y x ae y x f y x ，则 =a （ ） 9．若随机变量X 与Y 满足关系23X Y =-，则X 与Y 的相关系数X Y ρ=（ ）. 10.设二维随机变量)0,4,3,2,1(~),(N Y X ，则=-)52(Y X D （ ）. 二．选择题（每小题 2分，共10 分) 1．设当事件C B 和同时发生时事件A 也发生，则有（ ）.
) ()()(1 )()()()(1)()()()() ()()(C B P A P d C P B P A P c C P B P A P b BC P A P a =-+≤-+≥= 2．假设事件B A 和满足1)|(=B A P ，则（ ）. (a ) B 是必然事件 （b ）0)(=-A B P (c) B A ? (d ) 0)|(=B A P 3．下列函数不是随机变量密度函数的是( ). (a )sin 0()20 x x p x π? <=（ ）. 1 11() 1 () () ()4 28 a b c d 三、解答题（1-6小题每题9分，7-8小题每题8分，共70分） 1.某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为5：3：2, 已知三 车间的正品率分别为0.95, 0.96, 0.98. 现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。 2．设10件产品中有3件次品，从中不放回逐一取件，取到合格品为止.（1）求所需取件次数X 的概率分布 ；（2）求X 的分布函数()F x . 3．设随机变量X 的密度函数为(1) 01()0 A x x f x -<. 4．设随机变量X 的密度函数为sin 0()20 x x f x π? <
概率论与数理统计期末考试试题库及答案
概率论与数理统计
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2) (1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=
《概率论》期末考试试题(B卷答案)
《概率论》期末考试试题（B卷答案） 考试时间：120分钟（2005年07月） 班级姓名成绩 1.设甲、乙两人在同样条件下各生产100天，在一天中出现废品的概率分布分别如下： 求甲、乙两人生产废品的数学期望，比较甲、乙两人谁的技术高？（） A甲好B乙好C一样好D无法确定 2.某厂产品的合格率为96%,合格品中一级品率为75％。从产品中任取一件为一级品的概率是多少？（） A 0.72 B 0.24 C 0.03 D 0.01 3. 任一随机事件A的概率P(A)的取值在（） A （0，1） B [0,1] C [-1,0] D (0,∞) 4.已知P（A）＝1，P（B）＝0，则（） A. A为必然事件，B为不可能事件 B. A为必然事件，B不是不可能事件 C. A不必为必然事件，B为不可能事件 D. A不一定是必然事件，B不一定是不可能事件 5. 设A、B两个任意随机事件，则= A P （） (B ) A. P（A）+ P（B） B. P（A）－P（B）+ P（AB） C. P（A）+ P（B）－P（AB） D. P（AB）－P（A）－P（B） 6.若已知φ A ，且已知P（A）＝0，则（） B = A.A与B独立 B. A与B不独立
C.不一定 D.只有当φ=A ，φ=B 时，A 、B 才独立 7.已知X ～B （n ，p ），则D （X ）＝（ ） A.np B.p （1－p ） C.n （1－p ） D.np （1－p ） 8.设),(~2σμN X ，将X 转化为标准正态分布，转化公式Z ＝（ ） A. 2 σ μ -x B. σ μ -x C. σ μ +x D. μ σ -x 9. 设),(~2 σμN X ，P (a ≤x ≤b )=( ) A.()()a b φφ- B.?? ? ??--??? ??-σμφσμφa b C.??? ??-+??? ??-σμφσμφa b D.?? ? ??--??? ??-σμφσμφb a 10. )1,0(~N X ,P (X ≤2）＝（ ） A.0.6826 B.0.9545 C.0.9973 D.0.5 二、 多项选择题（3*8=24分） 1. 设A 、B 是两个独立随机事件，则（ ） A.)()()(B P A P B A P ?= B. )()|(A P B A P = C. )()|(B P A B P = D. )()()(B P A P B A P += E. )()|()(B P B A P B A P ?= 2. 离散型随机变量的概率分布具有性质（ ）
概率论模拟试题(附答案)
模拟试题（一） 一．单项选择题（每小题2分，共16分） 1．设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立 (C) 0)(0)(==B P A P 或 (D) AB 未必是不可能事件 2．设每次试验失败的概率为p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ） (A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 21 3 )1(p p C - 3．若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则下面说法中一定成立 的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续 4．若随机变量ξ的概率密度为)( 21)(4 )3(2 +∞<<-∞=+- x e x f x π ， 则=η（ ）)1,0(~N (A) 2 3 +ξ (B) 2 3 +ξ(C) 2 3-ξ(D) 2 3 -ξ 5．若随机变量ηξ ,不相关，则下列等式中不成立的是（ ） (A) 0),(=ηξCov (B) ηξηξD D D +=+)( (C) ηξξηD D D ?= (D) ηξξηE E E ?= 6．设样本n X X X ,,,21???取自标准正态分布总体X ，又S X ,分别为样本均值及样本标准差，则（ ） (A) )1,0(~N X (B) )1,0(~N X n (C) ) (~21 2n X n i i χ∑= (D) )1(~-n t S X 7．样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ，则下列估计量中，（ ）不是总体期望μ的无偏估计量
概率统计试题及答案(本科完整版)
一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时， 06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >， 必有概率{}P c x c e <<+ ＝?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝ ，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。则X 的数学期望=)(X E 4.5 。 9、设随机变量(,)X Y 的分布律为 则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 . 10、设121,,X X Λ来自正态总体)1 ,0(N , 2 129285241?? ? ??+??? ??+??? ??=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数 k = 1/4 时，kY 服从2χ分布。 二、计算题（每小题10分，共70分） 1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率 解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则: ABC ABC ABC U U
概率论期末考试试题A卷及答案
07级《概率论》期末考试试题 A 卷及答案 一、 填空题（满分15分）： 1. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概 1 o 10 — 解答: 单项选择题（满分15分）： ，B 、C 为三个事件,用A 、B C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为 B C . ② ABC ABC ABC ABC . ④ ABC ABC ABC ABC 率为 解答：P 1 2 3! 5! 1 10 2.设 P(A) P,P(B) q, P(A B) r,则 P(AB) 解答：P （AB ） P(A B) P[(A B) B)] P(A B) P(B) r q 3.设随机变量 的分布列为 P(X k) 3^,k 0,1,2,... 解答: 3 -a 2 4.设随机变量为 已知D =25,D =36, 0.4,则 D( - )=_37 D( )D cov(, 2cov( D( 25 36 5 6 0.4 37 5.设随机变量服从几何分布 P( k) p,k 12... o 贝u 的特征函数 (t) 解:f t E(e it ) itk k 1 e q p k 1 it pe it qe k 1 P e" 1 qe . 1.设.A 、
2.下列函数中, ( ） 可以作为连续型随机变量的分布函数 x 3.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为 土, k S. 0,k 0,1,2... （③）。 ①二项分布 ③均匀分布. 三、（满分20分） （1）把长度为a 的线段，任意折成三折，求此三线段能构成三角形的概 率。 解：设X 、y 分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为 (x, y)0 x a,0 y a,0 x y a ， 又设 A = “三条线段能构成一个三角形” a x, y x y 2,x ①P( n k) k p k (1 P)n k ,0 p 1,k 0,1,...,n . ④.P( k) (1 p)k 1 p, 0 p 1, k 1,2, … 4.设 （， 2 ）服从二维正态分布 N （a 1,a 2； 1 2 、 2 ;r)，r 0是，独立的（③）。 ①充分但不必要条件 ③充分且必要条件 ②必要但不充分条件. ④.既不充分也不必要条件 5.设随机变量 1 、 2为相互独立的随机变量，下面给出的分布中不具有再生性的为 （② ②P( ③P( ②.泊松分布 ④正态分布 a (x y)，则 =(x, y) x y a (x y),x a (x y) y, y a (x y) x
《概率论》期末考试试题
《概率论》期末考试试题 1. 一本书共有1,000,000个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 校对时每个排版错误被改正的概率为0.9, 求在校对后错误不多于15个的概率. 2. 某赌庄有资产100,000元. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使该赌庄破产. 他每次压注1000元, 每次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大? 3. 考虑[0,∞]上的Poisson 过程, 参数为λ. T 是与该Poisson 过程独立的随机变量,服从参数为μ的指数分布. 以T N 表示[0,T ]中Poisson 过程的增量, 求T N 的概率分布. 4. 设ξ1ξ2……ξn 是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零, 四阶矩存在，求∑==n k k n 11ξξ和21)(1ξξ-∑=n k k n 的相关系数. 5. 设X 是连续型随机变量,密度函数f X (x)= (1/2)exp(-|x|), -∞< x < ∞. a. 证明特征函数φX (t) = 1/(1+t 2). b. 利用上述结果和逆转公式来证明 dt t e dt t e e ixt ixt x ) 1(1)1(122||+=+= ??∞∞-∞ ∞---ππ 6. 设随机变量序列ξn 依概率收敛于非零常数a, 而且ξn ≠0. 证明1/ξn 依概率收敛于1/a. 7. 假设X 与Y 是连续型随机变量.记Var[Y|X=x]为给定X=x 的条件下Y 的方差. 如果E[Y|X=x]=μ与X 无关, 证明EY=μ而且VarY=?∞ ∞-=dx x f x X Y Var X )(]|[. 8. 设{ξn }为独立随机变量序列, 且ξn 服从( -n, n)上的均匀分布, 证明对{ξn }中心极限定理成立. 9. 设X,Y 和Z 的数学期望均为0, 方差均为1. 设X 与Y 的相关系数为ρ1, Y 与Z 的相关系数为ρ2, X 与Z 的相关系数为ρ3. 证明 213ρρρ≥211ρ--22 1ρ-. 10. 用概率方法证明如下Weierstrass 定理:对区间[0,1]上任何连续函数f(x), 必存在多项式序列{b n (x)}, 使在区间[0,1]上一致地有b n (x) → f(x). 附: 常用正态分布函数值: Φ(1.28)= 0.9, Φ(2)= 0.977, Φ(2.33)= 0.99, Φ(2.58)= 0.995 Φ(1.64)= 0.95, Φ(1.96)= 0.975,