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年全国高考数学试题数列集锦

2005年全国高考数学试题数列集锦

选择题

1. （广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()121

n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，

则(B) （Ａ）

（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５ 2. （福建卷）3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是

（ A ） A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

3. （湖南卷）已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则20a =

（B ）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．

3 4. （湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则

n n a a a a a a -+

+-+-+∞

→12312lim 1

11(

= （C ）

A ．2

B ．

C ．1

D ．

1 5. （湖南卷）设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（C ） A ．sinx

B ．－sinx

C ．cos x

D ．－cosx

6. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=(C )

( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 7. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则(B )

(A)1845a a a a +<+

(B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =

8. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则(B)

(A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 9. （山东卷）{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于(C ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 10. （上海）16．用n 个不同的实数a 1,a 2,┄a n 可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3

一个n!行的数阵.对第i 行a i1,a i2,┄a in ,记b i =- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)n na in , 1 3 2 i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b 1+b 2+┄+b 6=-12+2?12-3?12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1

的数阵中, b 1+b 2+┄+b 120等于 3 1 2

3 2

[答]( C ) (A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720 11. （浙江卷）lim

n →∞2

123n

n ++++＝( C )

(A) 2 (B) 4 (C) 2

(D)0 12. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)

(A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 13. （江西卷）

填空题

1. （广东卷）

设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f _____5________；当ｎ＞４时，()f n ＝__

)1)(2(2

+-n n ___________． 2. （北京卷）已知n 次多项式1

011()n n n n n P x a x a x a x a --=++

++,

如果在一种算法中，计算0k

x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 2

n (n ＋3) 次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…，n －1）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 2n 次运算．

3. （湖北卷）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，

则q 的值为 -2 .

4. (全国卷II ) 在83和27

之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积

为_______216 __．

5. （山东卷）22

223

lim

__________(1)2

n n n n C C n -→∞+=+ 6. （上海）12、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行

写成一个!n 行的数阵。对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n

i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，

!,,3,2,1n i =。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，

所以，2412312212621-=?-?+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ =_-1080_________。

7、计算：1

12323lim -+∞→+-n n n

n n =_3 _________。

8. （天津卷）设*∈N n ,则=++++-1

23216

66n n n n n n C C C C 1(71)6

- 9. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，

则100S =_2600_ ___.

10. (重庆卷)321

3223lim 23n n n n

n +→∞-+= -3 .

解答题 1.（北京卷）

设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11

为偶数

为奇数

n n a n a a n +???=?

?+??,

记211

n n b a -=-

，n ＝＝l ，2，3，…·．（I ）求a 2，a 3；

（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；

（III ）求123lim()n n b b b b →∞

+++

+．

解：（I ）a 2＝a 1+

41=a +41，a 3=21a 2=21a +8

；（II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21

a 4=41a +316,

所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －4

猜想：{b n }是公比为2

的等比数列·

证明如下：

因为b n +1＝a 2n +1－

41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=2

b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为2

的等比数列·

（III ）11121(1)

12lim()lim

2()1141122

n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---

. 2.（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

n n a S +=，n =1，2，3，……，求

（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（II ）2462n a a a a +++

+的值.

解：（I ）由a 1=1，11

n n a S +=

，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116

()3327

a S a a a ==++=

，由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得14

n n a a +=（n ≥2），

又a 2=31

，所以a n =214()33

n -(n ≥2),

∴ 数列{a n }的通项公式为2

114()2

n n n a n -=??

=???≥；

（II ）由（I ）可知242,,

,n a a a 是首项为

，公比为24()3

项数为n 的等比数列，∴ 2462n a a a a +++

+=2224

1()1343[()1]4373

1()3

n n -?

=-- 3．（福建卷）

已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列.

（Ⅰ）求q 的值；

（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比

较S n 与b n 的大小，并说明理由.

解：（Ⅰ）由题设,2,2112

1213q a a q a a a a +=+=即 .012,02

1=--∴≠q q a

11-=∴或q

（Ⅱ）若.2

312)1(2,12n

n n n n S q n +=?-+

==则当.02

)

2)(1(,21>+-=

=-≥-n n S b S n n n n 时故.n n b S >

若.4

9)21(2)1(2,212n

n n n n S q n +-=--+

=-=则当,4

)

10)(1(,21---

==-≥-n n S b S n n n n 时

故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当 4. （福建卷）已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+

a 1

我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,21

:,21;,35,23,

2,1---=得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0；（Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=

)(1

+∈-N n b n ，求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }；（Ⅲ）若

)4(22

≥<

n a a a a +

==+

0.11

111.111

1.111

1,.}{.11,1

,1:)(.

032.32,11.21,1

1.1,01

1,0:.032.1

31111211,1111

1112

212311

21114222

333

4434231

2=∴-==+

=+=∴=+=+=∴=+=+=∴==+=∴-=

-==-=-=∴+==∴+

=-=∴=+∴==-=++=

=++=+=+=

+=+=∴+----++n n n n n n n n n n n n n n a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b b b b

b b II a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

中的任一个数不妨设取数列解法一时故当解法二时故当

故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }

5. （湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且

.)(,112211b a a b b a =-=

（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n

n b a c =

，求数列}{n c 的前n 项和T n . 解：（1）：当;2,111===S a n 时

,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当

故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.4

,4,,11=∴==q d b qd b q 则故.4

2}{,4

121

11---=?

-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即

（II ）,4)12(422411

---=-==n n n

n n n n b a c

]

4)12(4

)32(454341[4],4)12(45431[1

12121n

n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴--

两式相减得

54)56[(9

]

54)56[(31

4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T

6. （湖北卷）已知不等式

n n n 其中],[log 2

131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足

,4,3,2,),0(1

1=+≤

>=--n a n na a b b a n n n

（Ⅰ）证明 ,5,4,3,]

[log 222=+<

n n b b

a n

（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b >0，都有.5

11,0,211111n

a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤

<≥-----时

即

111n

a a n n ≥-- 于是有

.111,,3111,211112312n

a a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得

3121111n

a a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，

].[log 2

1121n a a n >- ∵.]

[log 22.2][log 2][log 21

11,2221n b b

a b

n b n b a b a n n +<

+=+>∴

证法2：设n

n f 1

3121)(+++=

，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1 =+≤

n b

n f b

a n

（i ）当n=3时，由 .)3(112233133331

2223b f b

a a a a a a +=++?≤+=+≤

知不等式成立.

（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1b

k f b

a k +≤

则1)(1)1(1

1)1(1)1()1(1++?++≤

+++=+++≤

b k f k k a k k a k a k a k k

k k ,)1(1)1

)((1)()1()1()1(b

k f b

b k k f b

b k f k k b

k ++=

+++++=

即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤

n b

n f b

a n

又由已知不等式得 .,5,4,3,]

[log 22][log 2

122 =+=

n n b b

b n b a n

（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞

→n n a

（Ⅲ）∵

][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令

则有,10242

,10][log log 10

22=>?>≥n n n

故取N=1024，可使当n>N 时，都有.5

n a 7. （湖南卷）已知数列))}1({log *

2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）证明

.11

1112312<-++-+-+n

n a a a a a a

（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .

由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.

所以,)1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即.12+=n

n a

（II ）证明因为

n n n n a a a 21

21111=-=-++，

所以

n n n a a a a a a 2

21212111132112312++++=-++-+-+

.12112

1121212

1<-=-?

-=n n 8. （湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考

察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （Ⅰ）求x n+1与x n 的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不

要求证明）

（Ⅱ）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N *，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论.

解（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为

.(**)

*),1(.(*)

*,,1212N n cx b a x x N n cx bx ax x x cx n n n n n n n n n ∈-+-=∈--=-++即因此

（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得 ..0*,,0)(11c

a x cx

b a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于因为x 1>0，所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ，且c

a x -=

1时，每年年初鱼群的总量保持不变. （Ⅲ）若b 的值使得x n >0，n ∈N* 由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知

由此猜测b 的最大允许值是1.

下证当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N* ①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2), 则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0.

又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2+1≤1<2, 所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x 1∈(0, 2), 都有x n >0， n ∈N*，则捕捞强度b 的最大允

许值是1.

9. （江苏卷）设数列｛a n ｝的前项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且

1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+, ,,3,2,1 =n 其中A,B 为常数.

(Ⅰ)求A 与B 的值;

(Ⅱ)证明数列｛a n ｝为等差数列;

(Ⅲ)1m n >对任何正整数、都成立. 解：(Ⅰ)由11a =，26a =，311a =，得11S =，22S =，318S =．把1,2n =分别代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28,

248A B A B +=-??+=-?

解得，20A =-，8B =-．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即

11582208n n n na S S n ++--=--，

① 又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-，即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-． ④ ④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=， ∴32120n n n a a a +++-+=，

∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=，又215a a -=，

因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列． (Ⅲ)由(Ⅱ)知，54,()n a n n *=-∈N ．考虑

55(54)2520mn a mn mn =-=-．

21)1

1m n m n m n a a a a a a =++++2515()9mn m n =-++．

∴2

51)15()291522910mn a m n -+-?-=>．

即251)mn a >1>．

1->． 10. （辽宁卷）已知函数).1(1

)(-≠++=

x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*

21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=

（Ⅰ）用数学归纳法证明1

2)13(--≤n n

n b ；

（Ⅱ）证明.3

n S 解：（Ⅰ）证明：当.11

1)(,0≥++

=≥x x f x 时因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥ ………………2分

下面用数学归纳法证明不等式.2

)13(1

--≤n n

n b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，

（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2

)13(1

--≤k k

k b 那么 k

k k k a a a b +--=

-=+-1|

3|)13(|3|11 ………………6分

)13(2131

k k k b +-≤-≤

所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立。 …………8分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， .2)13(1

--≤

n n

n b 所以 1

2212

)13(2)13()13(--++-+-≤+++=n n

n n b b b S 2131)

213(

1)13(----?-=n

…………10分 .3322

311)13(=--

?-<

故对任意.33

∈*n S N n ………………（12分） 11. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项2

1=a ，前n 项和为n S ，且

0)12(21020103010=++-S S S 。

（Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010

S S S S -=-

即,)(220121*********

a a a a a a +++=+++ 可得.)(220121*********

10a a a a a a q +++=+++?

因为0>n a ，所以 ,1210

10=q 解得21=

q ，因而 .,2,1,2

11 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比2

=q 的等比数列，故

.2,2112

11)

211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),2

2221()21(2n

n n

n T +++-+++= ).2

212221()21(212132++-+++-+++=n n n n n n T 前两式相减，得

122)212121()21(212+++++-+++=n n n n n T 122

11)

211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n

n n n T 12. (全国卷Ⅰ)

设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n 。（Ⅰ）求q 的取值范围；

（Ⅱ）设122

++-

=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小。解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得

当;0,11>==na S q n 时

1(1)11,0,0,(1,2,)11n n

n a q q q S n q q

--≠=>>=--当时即

上式等价于不等式组：),2,1(,01,

01 =?

??<-<-n q q n

① 或),2,1(,01,01 =?

??>->-n q q n

② 解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1

（Ⅱ）由2132n a n b a a ++=-

得.)23

(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(2

(-+=q q S n

又∵n S >0且－10

当1

q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >

当1

q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <

当1

q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =

13. (全国卷II ) 已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又

n b a =

，1,2,3,n =．

(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列； (Ⅱ) 如果数列{}n b 前3项的和等于

，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．

(I)证明：∵1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列

∴22lg a =1lg a +4lg a ，即2

214a a a =

又设等差数列{}n a 的公差为d ，则(1a －d )2

=1a (1a －3d )

这样2

1d a d =，从而d (d －1a )=0

∵d ≠0 ∴d =1a ≠0

∴122111(21)22

n n n n n n a a d db a d =+-===? ∴{}n b 是首项为1b =

12d ，公比为1

2的等比数列。 (II)解。∵1231117

(1)22424

b b b d ++=++=

∴d =3 ∴1a =d =3 14.(全国卷II )

已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21

n b a =

，1,2,3,n =．

(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；

(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和1

S =

，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． (注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限)

解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，由 2142lg lg lg a a a =+ 得2

214a a a =

即)3()(112

1d a a d a +=+，得 10a d d ==或因

221

+=+n n a a b b n n ∴ 当d =0时，{a n }为正的常数列就有

221

==++n n a a b b n n 当d =1a 时，11

12112)12(,)12(1a a a a a a n n

n n -+=-+=++,就有1221+=

+n n a a b b n n 2

= 于是数列{n b }是公比为1或

的等比数列（Ⅱ）如果无穷等比数列{}n b 的公比q =1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在。

因而d =1a ≠0，这时公比q =21，112b d = 这样{}n b 的前n 项和为11[1()]

22112

n n d

S -=- 则S=11[1()]

122lim lim 112

n n n n d

S d →+∞→+∞-==-

由1

S =，得公差d =3，首项1a =d =3

15. (全国卷III)

在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等差中项.

已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k 解：由题意得：412

2a a a =……………1分

即)3()(112

1d a a d a +=+…………3分又0,d ≠d a =∴1…………4分又 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列, ∴该数列的公比为3313===

d a a q ，………6分所以1

+?=n k a a n ………8分

又11)1(a k d k a a n n k n =-+=……………………………………10分

13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k ……………………………12分

16. （山东卷）

已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*

15()n n S S n n N +=++∈

（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；

（II ）令2

12()n n f x a x a x a x =++

+，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较

2(1)f '与22313n n -的大小.

解：由已知*

15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得

()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时

21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+

故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而11

n n a a ++=+即数列{}1n a +是等

比数列；

（II ）由（I ）知321n

n a =?- 因为2

12()n n f x a x a x a x =++

+所以112()2n n f x a a x na x -'=+++

从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ?-+?-+

+?- =()232222n n +?+

+?-()12n ++

+=()1(1)

31262

n n n n ++-?-

+ 由上()

()22(1)23131212n f n n n '--=-?-()

21221n n --=

()()1212121(21)n n n n -?--+=12(1)2(21)n

n n ??--+??①

当1n =时，①式=0所以2

2(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式=-120<所以2

2(1)2313f n n '<-

当3n ≥时，10n ->又()011211n

n n n

n n n n C C C C -=+=++

++≥2221n n +>+

所以()()12210n

n n ??--+>??即①0>从而2(1)f '>22313n n -

17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? [解](1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列, 其中a 1=250,d=50,则S n =250n+

502

)

1(?-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n ≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n ≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列, 其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.

由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 18. （天津卷）

已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*

---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n .

（Ⅰ）当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S ；（Ⅱ）求1

lim

-∞→n n

n u u .

（18）解：（Ⅰ）当b a =时，n

n a n u )1(+=．这时数列}{n u 的前n 项和

n n n a n na a a a S )1(432132++++++=- ． ①

①式两边同乘以a ，得 1

432)1(432+++++++=n n n a n na a a a aS ② ①式减去②式，得 1

32)1(2)1(++-++++=-n n n a n a a a a S a

若1≠a ，

a a n a

a a S a n n n ++---=-+1)1(1)

1()1(，

21212)1(2)2()1(1)1()1()1(a a a a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+=

-+-+--=+++ 若1=a ，2

)

3()1(32+=

+++++=n n n n S n （Ⅱ）由（Ⅰ），当b a =时，n

n a n u )1(+=，则a n n a na a n u u n n n

n n n n =+=+=∞→-∞→-∞→)1(lim )1(lim lim 11

．当b a ≠时，112

[1()()n n n n n n n b b b u a a b ab b a a a a

--=++

++=+

+++ 1

111()1()1n n n n b a a a b b a b a

+++-==---

此时，n

n n n n b

a b a u u --=++-1

11．若0>>b a ，a a

a b b a b a b

a u u n

n n

n n n n n n n =--=--=∞→++∞→-∞→)(1)(lim

lim

．若0>>a b ，b b

a b b a

a u u n

n n n n

n =--==∞→-∞→1)()(lim lim

．

19. （天津卷）若公比为c 的等比数列｛n a ｝的首项1a ＝1且满足：12

n n n a a a --+=（n ＝3，4，…）。

（I ）求c 的值。

（II ）求数列｛n na ｝的前n 项和n S 。

20. （浙江卷）已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，了＋1，c ＋4成等比数列，

求a ，b ，c ．

解：由题意，得215 (1)2(2)(1)(4)(1)(3)a b c a c b a c b ?++=?

+=??++=+?

………………

由(1)(2)两式，解得5b =

将10c a =-代入(3),整理得213220a a -+= 解得 2a =或11a =

故2a =,5,8b c ==或11,5,1a b c ===- 经验算，上述两组数符合题意。 21（浙江卷）设点n A (n x ，0)，1

(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n

＝－2－4n －

2n -，n x 由以下方法得到： x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1

上点的最短距离，…，点11(,2)n

n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1

n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．

解：（I ）由题意，得2

111(1,0),:7A C y x x b =-+。

设点(,)P x y 是1C

上任意一点，则1||A P =

=令 2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'2

1()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+-

由题意，得'2()0,f x =即2

222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-=

又22(,2)P x 在1C 上，

222127,x x b ∴=-+

解得213,14.x b ==

故1C 方程为2

714.y x x =-+

(II)设点(,)P x y 是n C

上任意一点，则||n A P = 令

222

()()()n n n g x x x x a x b =-+++，则

'2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++.

由题意得g 1'()0n x +=，即2

11112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++=

又

2112,n n n n n x a x b ++=++

11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= （*）

下面用数学归纳法证明21n x n =- ①当n=1时，11,x = 等式成立。

②假设当n=k 时，等式成立，即21,k x k =- 则当1n k =+时，由（*）知 1

10(12)2k k k k k x x a ++=+-+

又11

242

,k k a k -=---

22 1.12k k k

k k x a x k ++-∴==++

即当1n k =+时，等式成立。由①②知，等式对n N ∈成立。 {}n x ∴是等差数列。

22. (重庆卷)数列{a n }满足a 1=1且8a n +1-16a n +1+2a n +5=0 (n ≥1)。记2

n n a b (n ≥1)。

(1) 求b 1、b 2、b 3、b 4的值；

(2) 求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n 。

解法一：

（I ）111

1,2;112a b ==

=-故22718

,718382

a b ===-故 3344311320,4;,.31420342a b a b =====-故故

（II ）因21344284

()()()33333

b b --=?=，

222213244444()(),()()()33333

b b b b -=--=-

故猜想42

{},2.33

n b q -=是首项为公比的等比数列

因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）。152(1).168n n

a n a ++=

≥-故

∵11

1682016414413363363

n n

n n n n a a b a a a ++---

=-=-=

--- 112016428442(),013363332

n n n n n a b b b a a +--=-==--≠--

故2|3

|=-q b n 确是公比为的等比数列.

n n b b 23

34,32341?=-=-

故因, )1(34231≥+?=n b n n ,12

1+=

n n n n n b b a a b 得由 n

n n b a b a b a S +++= 2211故121

()2

n b b b n

=++++1

(12)

3(251)1233

n n n n -=+=+--

解法二：（Ⅰ）由11111

,816250,12

n n n n n n n n b a a a a a b a ++=

+-++=-

得代入递推关系整理得

1114634

0,2,3

n n n n n n b b b b b b +++-+==-即 .3

20,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由

（Ⅱ）由11144442

2,2(),0,33333

n n n n b b b b b ++=--=--=≠

所以42

{},233n b q -=是首项为公比的等比数列

故4114

2,2(1).3333

n n n n b b n -=?=?+≥即

由1

n n b a =-得112n n n a b b =+

故1122n n n S a b a b a b =+++121

(12)

3()2123

n n b b b n n -=++++=+-

(251)3

n n =+- 解法三：

（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）2213243248284,,,()333333

b b b b b b -=

-=-=?= 11121

{},2,233

522,(1).168n

n n n n n

n n n

b b q b b a a a n a +++-=-=?+≠=≥-猜想是首项为公比的等比数列又因故因此

111112

1152121221682

n n n n n n n b b a a a a a ++-=-=-

+----

- 1681086

;636363

n n n n n a a a a a --=

-=---

12112116816811116363

n n

n n n n n n a a b b a a a a ++++++---=

----

1362416820162().636363

n n n

n n n n n a a a b b a a a +---=

-==----

211121

0,{}2,2,33

n n n n n b b b b q b b ++-=

≠-=-=?因是公比的等比数列从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---

1211

(222)23114

(22)22(1).333

122

n n n n n n n n n n b a b b a --=++++=-+=?+≥==+-由得故1122n n n S a b a b a b =++

+n b b b n ++++=

)(2

21 1

(12)

3(251).1233

n n n n -=+=+--

23. (重庆卷)数列{a n }满足)1(2

)11(1211≥+++

==+n a n n a a n

n n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；

（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2

≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数

e=2.71828….

（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k

那么22

))1(11(1≥+++

=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.

根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2

11(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n n

n n n 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2

11ln(ln 21

++++≤+

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题汇总公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分）当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

近5年高考数学全国卷23试卷分析

2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。一、近五年高考数学考点分布统计表：

从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。具体

来说几个方面： 1．整体稳定，覆盖面广高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2．重视基础，难度适中试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。 4．全面考查新增内容，体现新课改理念如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6．注重数学的应用和创新

全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

绝密★启用前全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入

高考数学数列知识点及题型大总结

20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结等差数列知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2

⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解

2018年高考数学试题分类汇编数列

2018试题分类汇编---------数列一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

2019年全国I卷理科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．2 2 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm

5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图，图中空白框中应填入

1978全国高考数学试题

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2. 解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a 则.42,222 2 πππππa a a a r a r =?? ? ??=?==体积 3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域 4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450= 2 2 5.化简：二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴= k 2; .254:.)()1.0()4(41 2 12 14323 12 1b b a ab = ??? ? ??----原式解

②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴= k 2，半短轴=2 如图： 2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y 如图 3）k<0时，方程为这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图：三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 1 442 2=+-y k x

数列大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题08 数列大题部分【训练目标】 1、理解并会运用数列的函数特性； 2、掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质； 3、掌握根据递推公式求通项公式的方法； 4、掌握常用的求和方法； 5、掌握数列中简单的放缩法证明不等式。【温馨小提示】高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。【名校试题荟萃】 1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1 { }n a 的前n 项和n T ，求使得成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a = （2）10 （2）由（1）可得 112n n a ?? = ??? ，所以，

由，即21000n >，因为，所以10n ≥，于是使得成立的n 的最小值为10. 2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈）。（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（1）（2）（2）由函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -，从而，故22a = 从而n a n =，2n n b =， 2n n n a n b =

全国高考数学试题分类汇编4数列

全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题 1 ．（高考上海卷（理））在数列{}n a 中,21n n a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =?++,(1,2,,7;1,2,,12i j ==)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63 【答案】A. 2 ．（普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知数列{} n a 满足124 30,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于 (A)()10613--- (B)()101 139 -- (C)()10313-- (D)()1031+3- 【答案】C 3 ．（高考新课标1（理））设n n n A B C ?的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ?的面积为 n S ,1,2,3,n =,若11111,2b c b c a >+=,111,,22 n n n n n n n n c a b a a a b c +++++== =,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列 C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列 D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列【答案】B 4 ．（普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212() ()()==,n n f x f x f x x x x 则n 的取值范围是

近5年高考数学全国卷23试卷分析报告

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题

专题14 与数列相关的综合问题考纲解读明方向分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则

但，即，不合题意；因此，，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.

（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为，所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2017年高考数学试题分项版—数列(原卷版)

2017年高考数学试题分项版—数列（原卷版）一、选择题 1．(2017·浙江，6)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．(2017·全国Ⅰ理，4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．(2017·全国Ⅰ理，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 4．(2017·全国Ⅱ理，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 5．(2017·全国Ⅲ理，9)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8 二、填空题 1．(2017·江苏，9)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634 ，则a 8＝________. 2．(2017·全国Ⅱ理，15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则11n k k S ==∑________. 3．(2017·全国Ⅲ理，14)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 4．(2017·北京理，10)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2 ＝

2018-2014年高考近5年全国卷一理科数学含(详细答案)

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（） A ．0 B ． C ． D ． 2．已知集合，则（） A ． B ． C ． D ． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号

则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．12 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（） A．B．C．D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（） A．B． C．D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C．D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（） A．B．C．D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，

2017年全国高考理科数学试题及答案全国1卷

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p

2020年全国高考理科数学试题及答案-全国

绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷) 理科数学(必修+选修II) 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 一、选择题 (1)复数 3223i i +=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k -?=,那么tan100?= A.21k k - B. -21k k - C. 21k k - D. -21k k - (3)若变量,x y 满足约束条件1, 0,20,y x y x y ≤?? +≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则 456a a a = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)35 3(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种（7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 （8）设a=3log 2,b=In2,c=1 2 5 -,则 A a

2019年高考数学数列部分知识点分析

第 1 页共 4 页 2019年全国高考数学数列部分知识点考查分析一、等差数列及其性质 1．（2019年全国Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( ) A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =- D ．21 22n S n n =- 2．（2019年全国Ⅲ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = ． 3．（2019年全国Ⅲ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若35a =，713a =，则10S = ． 4．（2019年北京理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为． 5．（2019年江苏）已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是．二、等比数列及其性质 1．（2019年全国Ⅲ文理）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a = ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，33 4 S =，则4S = ． 3.（2019年上海秋）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______. 三、数列综合 1．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a …的n 的取值范围． 2．（2019年全国Ⅱ理）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；（2）求{}n a 和{}n b 的通项公式． 3．（2019年全国Ⅱ文）已知{}n a 的各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 4．（2019年北京文）设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值． 5．（2019年天津文）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

2019年高考试题汇编理科数学--数列

（2019全国1理）9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（） A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n =- D.2 122 n S n n =- 答案： A 解析：依题意有415146045 S a d a a d =+=??=+=?，可得13 2a d =-??=?，25n a n =-，24n S n n =-. （2019全国1理）14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113 a =，2 46a a =，则5S = . 答案： 5S = 121 3 解答： ∵113 a = ，2 46a a = 设等比数列公比为q ∴32 5 11()a q a q = ∴3q = ∴5S = 121 3 2019全国2理)19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列；（2）求{}n a 和{}n b 的通项公式. 答案：（1）见解析（2）21)21(-+=n a n n ，2 1)21(+-=n b n n . 解析： (1)将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411，整理可得)(2111n n n n b a b a += +++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为2 1 的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ，整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由{}n n b a +是首项为1，公比为 21的等比数列可得1)2 1 (-=+n n n b a ①；