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高中数学选修导学案

§2.1.1 离散型随机变量

1．理解随机变量的定义；

2．掌握离散型随机变量的定义．

课前预习导学案

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：掷一枚骰子，出现的点数可能是，出现偶数点的可能性是．

复习2：掷硬币这一最简单的随机试验，其可能的结果是，两个事件．

课内探究导学案

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：

在掷硬币的随机试验中，其结果可以用数来表示吗？

我们确定一种关系，使得每一个试验结果都用一个表示，在这种关系下，数字随着试验结果的变化而变化

新知1：随机变量的定义：

像这种随着试验结果变化而变化的变量称为, 常用字母、、、…表示．

思考：随机变量与函数有类似的地方吗？

新知2：随机变量与函数的关系：

随机变量与函数都是一种，试验结果的范围相当于函数的，随机变量的范围相当于函数的．

试试：

在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个，其值域是．

随机变量{}0=

X表示；

{}4=

X表示；

{}3<

X表示；“抽出3件以上次品”可用随机变量表示．

新知3：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量．

思考：

①电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？

②随机变量

≥

小时

寿命

小时

寿命

1000

Y是一个离散型随机变量吗？

※典型例题

例1．某林场树木最高可达36m，林场树木的高度η是一个随机变量吗？若是随机变量，η的取值范围是什么？

例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果

（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；

（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．

※动手试试

练1．下列随机试验的结果能否用离散型号随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果

（1）抛掷两枚骰子，所得点数之和；

（2）某足球队在5次点球中射进的球数；

（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差．

练2．盒中9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前已取出的次品数为ξ．

（1）写出ξ可能取的值；（2）写出1=ξ所表示的事件

三、总结提升 ※ 学习小结

1．随机变量； 2．离散型随机变量．

课后练习与提高

※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.下列先项中不能作为随机变量的是（）．

A ．投掷一枚硬币80次，正面向上的次数

B ．某家庭每月的电话费

C ．在n 次独立重复试验中，事件发生的次数

D ．一个口袋中装有3个号码都为1的小球，从中取出2个球的号码的和

2．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么，4=ξ表示随机实验结果是 ( ) ． A ．一颗是3点，一颗是1点

B ．两颗都是2点

C ．两颗都是4点

D ．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

3．某人射击命中率为0.6，他向一目标射击，当第一次射击队中目标则停止射击，则射击次数的取值是（）． A ．1,2,3,… ,n 6.0 B ．1,2,3,…,n ,… C ．0,1,2,… ,n 6.0 D ．0,1,2,…,n ,…

4．已知ξ2=y 为离散型随机变量，y 的取值为1，2，…，10，则ξ的取值为． 5．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出的球

的最大号码，则4=ξ表示的试验结果是．

1在某项体能测试中，跑1km 成绩在4min 之内为优秀，某同学跑1km 所花费的时间X 是离散型随机变量吗?如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？

2下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．

（1）从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数；

（2）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的成绩．

§2.1.2 离散型随机变量的分布列

1．理解离散型随机变量的分布列的两种形式； 2．理解并运用两点分布和超几何分布．

课前预习导学案

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则ξ的值可以是（）． A ．2 B ．2或1 C ．1或0 D ．2或1或0

复习2：将一颗骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差是2的概率是．

课内探究导学案

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：

抛掷一枚骰子，向上一面的点数是一个随机变量X ．其可能取的值是；它取各个不同值的概率都等于问题：能否用表格的形式来表示呢？

新知1：离散型随机变量的分布列：

若离散型随机变量X 可能取的不同值为n i x x x x ,,,,,21ΛΛ，X 取每一个值),,2,1(n i x i Λ=的概率

i i p x X P ==)(．则

①分布列表示：

②等式表示： ③图象表示：

新知2：离散型随机变量的分布列具有的性质：（1）；

（2）试试：

某同学求得一离散型随机变量的分布列如下：

※ 典型例题

例1在掷一枚图钉的随机试验中，令???=.

,0;,1针尖向下针尖向上X 如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X 的

分布列．

变式：篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，求他一次罚球得分的分布列

新知3：两点分布列：

称X 服从；称)1(==X P p 为

例2在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：（1）取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．

变式：抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X 的分布列？

新知4：超几何分布列：

※ 动手试试

练1．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．

练2．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A 的概率．

三、总结提升 ※ 学习小结

1．离散型随机变量的分布列； 2．离散型随机变量的分布的性质； 3．两点分布和超几何分布．

课后练习与提高

※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.若随机变量ξ的概率分布如下表所示，则表中a 的值为（）．

A ．1

B ．1/2

C ．1/3

D ．1/6

2．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的

人数，则概率等于6

35C C C 的是( ) ． A ．)2(=ξP B ．)3(=ξP

C ．)2(≤ξP

D ．)3(≤ξP

3．若a n P -=≤1)(ξ，b m P -=≥1)(ξ，其中n m <，则)(n m P ≤≤ξ等于（）． A ．)1)(1(b a -- B ．)1(1b a -- C ．)(1b a +- D ．)1(1a b

-- 4．已知随机变量ξ的分布列为

则ξ为奇数的概率为．

．在第4题的条件下，若32-=ξη，则η的分布列为．

1．学校要从30名候选人中选10名同学组成学生会，其中某班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班恰有2名同学被选到的概率．

2．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：

（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；（2）他能及格的概率．

§2.2.1 条件概率

1．在具体情境中，了解条件概率的意义； 2．学会应用条件概率解决实际问题．

课前预习导学案

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：下面列出的表达式是否是离散型随机变量X 的分布列（）． A ．0.2)(==i X P ，4,3,2,1,0=i B ．0.2)(==i X P ，5,4,3,2,1=i

C ．50

)(2+==i i X P ，5,4,3,2,1=i

D ．10

)(i

i X P ==，4,3,2,1=i

复习2：设随机变量的分布如下：

求常数K ．

课内探究导学案

二、新课导学 ※ 学习探究

探究：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？

若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y ”表示，则所有可能的抽取情况为{=Ω }，

用B 表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则{=B

}，故最后一名同学抽到中奖奖券的概率为：

=Ω=

)

()

()(n B n B P 思考：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是？

因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，故所有可能的抽取情况变为{=A }

最后一名同学抽到中奖奖券的概率为=)

()

(A n B n 记作：)(A B P

新知1：在事件A 发生的情况下事件B 发生的条件概率为：)(A B P =)

()

(A n AB n = 新知2：条件概率具有概率的性质：

≤)(A B P ≤

如果B 和C 是两个互斥事件，则)(A C B P ?=

※ 典型例题

例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：

（1）第1次抽到理科题的概率；

（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；

（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．

变式：在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率？

例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，

忘记了密码的最后一位数字．求：

（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．

变式：任意按最后一位数字，第3次就按对的概率？

※ 动手试试

练1．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张．已知第1次抽到A ，求第2次也抽到A 的概率．

练2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为52，既刮风又下雨的概率为10

，设A 为下雨，B 为刮风，求：（1）)(B A P ；（2）)(A B P ．

三、总结提升

※ 学习小结

1．理解条件概率的存在； 2．求条件概率；

3．条件概率中的“条件”就是“前提”的意思．

课后练习与提高

※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.下列正确的是（）． A ．)(A B P =)

(B A P B ．)(B A P =

)

()

(B n AB n C ．1)(0<

2．盒中有25个球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，则它是黄球的概率为( ) ．

3．某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，问它能活到25岁的概率是（）．

4．5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，2.0)(=AB P ，则)(B A P = ，)(A B P = ． 5．一个家庭中有两个小孩，已知这个家庭中有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是．

1．设某种灯管使用了500h 能继续使用的概率为0.94，使用到700h 后还能继续使用的概率为0.87，问已经使用了500h 的灯管还能继续使用到700h 的概率是多少？

2．100件产品中有5件次品，不入回地抽取2次，每次抽1件．已知第1次抽出的是次品，求第2次抽出正品

的概率．

§2.2.2 事件的相互独立性

1．了解相互独立事件的意义，求一些事件的概率；

2．理解独立事件概念以及其与互斥，对立事件的区别与联系．

课前预习导学案

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：把一枚硬币任意掷两次，事件=A “第一次出现正面”，事件B =“第二次出现正面”，则)(A B P 等于？

复习2：已知0)(>B P ，φ=21A A ，则成立． A ．0)(1>B A P

B ．=+)(21B A A P )(1B A P +)(2B A P

3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学有放回地抽取，事件A 为“第一名同学没有抽到奖券”，事件B 为“最后一名同学抽到奖券”，事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗？

新知1：事件A 与事件B 的相互独立：

设B A ,为两个事件，如果，则称事件A 与事件B 的相互独立．注意：

①在事件A 与B 相互独立的定义中，A 与B 的地位是对称的；

②不能用)()(B P A B P =作为事件A 与事件B 相互独立的定义，因为这个等式的适用范围是0)(>A P ；

③如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．试试：

分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A 是事件“第1枚为正面”，B 是事件“第2枚为正面”，C 是事件“2枚结果相同”，问：C B A ,,中哪两个相互独立？

小结：判定相互独立事件的方法：

①由定义，若)()()(B P A P AB P =，则B A ,独立； ②根据实际情况直接判定其独立性． ※ 典型例题

例1某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是05.0，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码．

变式：两次都没有抽到指定号码的概率是多少？

思考：二次开奖至少中一次奖的概率是一次开奖中奖概率的两倍吗？

例2．下列事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？

（1）“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一枚骰子，向上的点是2点”；

（2）“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”；

（3）在一个口袋内有3白球、2黑球，则“从中任意取1个球得到白球”与“从中任意取1个得到黑球”

※动手试试

练1．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是2.0，乙地的降雨概率是3.0，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：

（1）甲、乙两地都降雨的概率；

（2）甲、乙两地都不降雨的概率；

（3）其中至少一个地方降雨的概率．

练2．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为6.0,7.0,8.0，且各题答对与否相互之间没有影响．

（1）求这名同学得300分的概率；

（2）求这名同学至少得300分的概率．三、总结提升

※学习小结

1．相互独立事件的定义；

2．相互独立事件与互斥事件、对立事件的区别．

课后练习与提高

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1. 甲打靶的命中率为7.0，乙的命中率为8.0，若两人同时射击一个目标，则都未中的概率为（）．A．06

、，三人同时独自解这题，则只有一人解出的概率为( ) ．

5．有100件产品，其中5件次品，从中选项取两次：（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取得合格品的概率分别为、．

1．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么先摸出1个白球放回，再摸出1个白球的概率是多少？

2．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不

是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121

，甲、丙两台

机床加工的零件都是一等品的概率为9

（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．

§2.2.3独立重复试验与二项分布

1．了解独立重复试验； 2．理解二项分布的含义．

课前预习导学案

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：生产一种产品共需5道工序，其中1～5道工序的生产合格率分别为96%，99%，98%，97%，96%，现从成品中任意抽取1件，抽到合格品的概率是多少？

复习2：掷一枚硬币 3次，则只有一次正面向上的概率为．

课内探究导学案

二、新课导学 ※ 学习探究

探究1：在n 次重复掷硬币的过程中，各次掷硬币试验的结果是否会受其他掷硬币试验的影响？

新知1：独立重复试验：

在的条件下做的n 次试验称为n 次独立重复试验．

探究2：投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p ，则针尖向下的概率为p q -=1，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？

新知2：二项分布：

一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在

n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：

)(k X P == ，n k ,,2,1,0Λ=

则称随机变量X 服从．记作：X ～B （），并称p 为．

试试：某同学投篮命中率为6.0，他在6次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，X ～B （）

故他投中2次的概率是． ※ 典型例题

例1某射手每次射击击中目标的概率是8.0，求这名射击手在10次射击中（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．

变式：击中次数少于8次的概率是多少？

例2．将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数X 的分布列？

变式：抛掷一颗骰子5次，向上的点数是2的次数有3次的概率是多少？

※动手试试

练1．若某射击手每次射击击中目标的概率是9.0，每次射击的结果相互独立，那么在他连续4次的射击中，第1次未击中目标，但后3次都击中目标的概率是多少？

练2．如果生男孩和生女孩的概率相等，求有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率．

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.某学生通过计算初级水平测试的概率为

，他连续测试两次，则恰有1次获得通过的概率为（）．

2．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率为( ) ．

p，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（）．

4．在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率的范围是．

5．某种植物种子发芽的概率为7.0，则4颗种子中恰好有3颗发芽的概率为．

1．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7.0，那么在这段时间内吊灯能照明的概率是多少？

2．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为6.0，乙胜的概率为4.0，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

复习1：甲箱子里装3个白球，2个黑球，乙箱子里装2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，则它们都是白球的概率？

探究：某商场要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按1:2:3的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？

新知1：均值或数学期望：

列为：

则称=EX ．为随机变量X 的均值或数学期望．它反映离散型随机变量取值的．

新知2：离散型随机变量期望的性质：

若b aX Y +=，其中b a ,为常数，则Y 也是随机变量，且b aEX b aX E +=+)(．

注意：随机变量的均值与样本的平均值的：

区别：随机变量的均值是，而样本的平均值是；

联系：对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值． ※ 典型例题

例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为7.0，那么他罚球1次的得分X 的均值是多少？

变式：．如果罚球命中的概率为8.0，那么罚球1次的得分均值是多少？新知3：

①若X 服从两点分布，则=EX ； ②若X ～),(p n B ，则=EX ．

例2．一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，

不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为9.0，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求甲学生和乙学生在这次测验中的成绩的均值．

思考：学生甲在这次单元测试中的成绩一定会是90分吗？他的均值为90分的含义是什么？

※ 动手试试

练1．已知随机变量X 的分布列为：

求EX ．

练2．同时抛掷5枚质地均匀的硬币，求出现正面向上的硬币数X 的均值．

三、总结提升 ※ 学习小结

1．随机变量的均值； 2．各种分布的期望．

课后练习与提高

※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1. 随机变量X 的分布列为则其期望等于（）．

3．若随机变量X 满足1)(==c X P ，其中c 为常数，则=EX （）．

一大批进口表的次品率15.0=P ，任取1000只，其中次品数ξ的期望=ξE ．

5．抛掷两枚骰子，当至少有一枚出现6点时，就说这次试验成功，则在30次试验中成功次数的期望．

1．抛掷1枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1-分，求得分X 的均值．

2．产量相同的2台机床生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数21,X X 的分布列分别如下：

问哪台机床更好？请解释所得出结论的实际含义．

§2.3.1离散型随机变量的均值（2）

1．进一步理解数学期望； 2．应用数学期望来解决实际问题．

课前预习导学案

一、课前准备

（预习教材P 72~ P 74，找出疑惑之处）

复习1：设一位足球运动员，在有人防守的情况下，射门命中的概率为3.0=p ，求他一次射门时命中次数ξ的期望

复习2：一名射手击中靶心的概率是9.0，如果他在同样的条件下连续射击10次，求他击中靶心的次数的均值？

课内探究导学案

二、新课导学

探究：

某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类拟项目开发的实施结果：

则该公司一年后估计可获收益的期望是元．

※ 典型例题

例1 已知随机变量X 取所有可能的值n ,,2,1Λ是等到可能的，且X 的均值为5.50，求n 的值

例2．根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为25.0，有大洪水的概率为01.0．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元

方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．

思考：根据上述结论，人们一定采取方案2吗？

※ 动手试试

练1．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张， 10元的彩票300张， 50元的彩票100张， 100元的彩票50张， 1000元的彩票5张，问一张彩票可能中奖金额的均值是多少元？

练2．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，求在20次试验中成功次数X 的期望．

三、总结提升 ※ 学习小结

1．随机变量的均值； 2．各种分布的期望．

课后练习与提高

※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.若ξ是一个随机变量，则)(ξξE E -的值为（）． A ．无法求 B ．0 C ．ξE D ．ξE 2 2设随机变量ξ的分布列为4

)(=

=k P ξ，4,3,2,1=k ，则ξE 的值为 ( ) ． A ．2

B ．5.3

C ． 25.0

D ． 2

3．若随机变量ξ～)6.0,(n B ，且3=ξE ，则)1(=ξP 的值是（）． A ．4

4.02? B ．5

4.02? C ．4

4.03? D ．4

6.03? 4．已知随机变量ξ的分布列为：

则x =

；=<≤)31(ξP ；ξE = ．

5．一盒内装有5个球，其中2个旧的，3个新的，从中任意取2个，则取到新球个数的期望值为．

1．已知随机变量X 的分布列：

求

)52(,+X E EX

2．一台机器在一天内发生故障的概率为1.0，若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利5万元；发生1次故障仍可获利5.2万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次或3次以上故障要亏损1万元，问这台机器一周内可能获利的均值是多少？

§2.3.2 离散型随机变量的方差（1）

1．理解随机变量方差的概念； 2．各种分布的方差．

课前预习导学案

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：若随机变量 Y ～)8.0,5(B ，则=EY ；又若42+

=Y X ，则=2EX 复习2：已知随机变量ξ的分布列为：

要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩纪录，第一名同学击中目标靶的环

数1X ～)8.0,10(B ，第二名同学击中目标靶的环数42+=Y X ，其中Y ～)8.0,5(B ，请问应该派哪名同学参赛？

新知1：离散型随机变量的方差：当已知随机变量ξ的分布列为()k k p x P ==ξ ),2,1(Λ=k 时，则称=ξD 为ξ的方差，=σξ 为ξ的标准差

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．ξD 越小，稳定性越，波动越．

新知2：方差的性质：

当b a ,均为常数时，随机变量b a +=ξη的方差=+=)()(b a D D ξη ．特别是： ①当0=a 时，()=b D ，即常数的方差等于；

②当1=a 时，=+)(b D ξ ，即随机变量与常数之和的方差就等于这个随机变量的方差； ③当0=b 时，()=ξa D ，即随机变量与常之积的方差，等于常数的与这个随机变量方差的积新知2：常见的一些离散型随机变量的方差：（1）单点分布：=ξD ；（2）两点分布：=ξD ；（3）二项分布：=ξD ．

一是列出分布列，求出期望，再利用方差定义求解；另一种方法是借助方差的性质求解例2．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X 的均值、方差和标准差．

※ 动手试试

练1

．已知X 是一个随机变量，随机变量5+X 的分布列如下：

试求DX ．

练2．设ξ～),(p n B ，且12=EX ，4=DX ，则n 与p 的值分别为多少？

三、总结提升 ※ 学习小结

1．离散型随机变量的方差、标准差； 2．方差的性质，几个常见的随机变量的方差．

课后练习与提高

※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

=ξη，且13=ξD ，那么ηD 的值为 ( ) ． A ．39 B ．117 C ． 8139 D ． 8

5．设随机变量ξ可能取值为0，1，且满足p P ==)1(ξ，p P -==1)0(ξ，则ξD = ．

1．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，求任意取出的3件产品中次品数的数学期望、方差和标准差？

2．已知随机变量X 的分布列为：

求DX 和)12(-X D ．

§2.3.2 离散型随机变量的方差（2）

1．进一步理解随机变量方差的概念； 2．离散型随机变量方差的应用．

课前预习导学案

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：若随机变量 Y ～)8.0,5(B ，则=DY ；又若42+=Y X ，则=2DX

甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：

例1有甲、乙两个单位都愿意用你，而你能获得如下信息：

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

思考：如果认为自已的能力很强，应选择单位；如果认为自已的能力不强，应该选择单位．

例2．设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求

ξD

E,．

※动手试试

练1．甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数的分布列分别是

根据环数的期望和方差比较这两名射击队手的射击水平．

练2．有一批零件共10个合格品，2个不合格品，安装机器时从这批零件中任选一个，取到合格品才能安装；

若取出的是不合格品，则不再放回

(1)求最多取2次零件就能安装的概率；

(2)求在取得合格品前已经取出的次品数ξ的分布列，并求出ξ的期望ξE和方差ξ

D．

三、总结提升 ※ 学习小结

1．离散型随机变量的方差、标准差；

2．求随机变量的方差，首先要求随机变量的分布列；再求出均值；最后计算方差（能利用公式的直接用公式，不必列分布列）．

课后练习与提高

※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.随机变量X 满足1)(==c X P ，其中c 为常数，则DX 等于（）． A ．0 B ．)1(c c - C ．c D ．1

)(==k P ξ，3,2,1=k ，则)53(+ξD 的值为（）．

4．设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当=p 时，成功次数的标准差最大，且最大值是．

5．若事件在一次试验中发生次数的方差等于25.0，则该事件在一次试验中发生的概率为．

1．运动员投篮时命中率6.0=P

（1）求一次投篮时命中次数ξ的期望与方差；（2）求重复5次投篮时，命中次数η的期望与方差．

2．掷一枚均匀的骰子，以ξ表示其出现的点数．

（1）求ξ的分布列；（2）求)31(≤≤ξP ；（3）求ξE 、ξD 的值．

§2.4 正态分布

1．了解正态曲线的形状；

2．会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布．

的定义域是；它是（奇或偶）函数；当=x 时，函数有最值，

是．

复习2：已知抛物线322

++-=x x y ，则其对称轴为；该曲线与直线1=x ，2=x ，x 轴所围的成的图形的面积是？

课内探究导学案

二、新课导学 ※ 学习探究

探究：

1．一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左

右；

2．某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少．生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻划呢？新知1：正态曲线：函数2

22)(,21)(σμσμσ

π?--

x e

x ，),(+∞-∞∈x ，（其中实数μ和σ)0(>σ为参数）的图象为正态分布密度曲

线，简称正态曲线．

试试：下列函数是正态密度函数的是（） A ．2

2)(21)(σμπσ

x e

x f ，)0(,>σσμ是实数 B ．2

如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足，

)(b X a P ≤<= ，

则称X 的分布为正态分布．记作：X ～N （）．新知3：正态曲线的特点：

（1）曲线位于x 轴，与x 轴；（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；（3）曲线在处达到峰值；（4）曲线与x 轴之间的面积为．

新知4：正态曲线随着μ和σ的变化情况： ①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴； ②当μ一定时，曲线的由σ确定．

σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越．

试试：

把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中不正确的是（）． A ．曲线b 仍然是正态曲线

B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等

C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望大2

D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2

新知5：正态分布中的三个概率：

=+≤<-)(σμσμX P ；

=+≤<-)22(σμσμX P ； =+≤<-)33(σμσμX P ．

新知6：小概率事件与σ3原则：

在一次试验中几乎不可能发生，则随机变量X 的取值范围是．

※ 典型例题

例1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于π

241，求该正态分布的概率密

度函数的解析式．

例2．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～)100,90(N ．

（1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？

（2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？

※ 动手试试

练1．某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线图形最高点坐标（π

281,60），成绩X 位于

区间(]68,52的概率是多少？

三、总结提升 ※ 学习小结

1．正态密度曲线及其特点； 2．服从正态分布的随机变量的概率．

课后练习与提高

※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

σμN ，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（）．

A ．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”

B ．σ越小，曲线越“矮胖”，σ越大，曲线越“高瘦”

C ．σ的大小，和曲线的“高瘦”、“矮胖”没有关系

D ．曲线的“高瘦”、“矮胖”受到μ的影响 4．期望是2，标准差为π2的正态分布密度函数的解析式是． 5．若随机变量X ～)2,5(2

（3）利用指数函数的性质说明)(x f 的增减性．

2．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布)1.0,10(2

N （单位：kg ）任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg 的概率是多少？

第二章随机变量及其分布（复习）

1．掌握离散型随机变量及其分布列； 2．会求离散型随机变量的期望和方差； 3．掌握正态分布的随机变量X 的概率分布．

课前预习导学案

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）复习：知识结构：

1．离散型随机变量及其分布列 ①离散型随机变量； ②分布列； ③两点分布；

高中数学选修2-2导学案

高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．探究点一函数的平均变化率问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题3 平均变化率有什么几何意义？跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则：（1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；（2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．探究点二求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率：（1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]．跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )

【人教A版】2020年秋高中数学选修1-1：全一册学案(23套,含答案)

1.1.1 命题学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点) [自主预习·探新知] 1．命题的定义与分类 (1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类命题? ?? ?? 真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题． 2．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”． [基础自测] 1．思考辨析 (1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题． ( ) [解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x >2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③ B ．①③④

高中数学选修1-1第一章复习题

数学选修1-1复习资料第一章知识要点: 1、命题的概念及四种命题的关系要求：（1）会判断命题的真假；（2）会写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题；（3）了解四种命题的关系。 2、充分条件和必要条件 3、逻辑联结词“且”、“或”、“非”。 4、含有一个量词的命题的否定。 5、用反证法证明命题。一．选择题： 1、下列语句中不是命题．．．．的是（） A 、空集是任何集合的真子集 B 、若整数a 是素数，则a 是奇数 C 、x>2 D 、12>6 2、有下列命题：①2 0ax bx c ++=是一元二次方程；②四条边相等的四边形是正方形；③若,a b R ∈，且ab>0，则a>0且b>0；其中真命题．．．的个数．．为（） A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 3、一个命题的否命题．．．为真，则这个命题的逆命题．．．（） A ．一定为假 B.一定为真 C.可能为假 D. 不能确定 4、命题“方程2 1x =的解是1x =±”，使用逻辑联结词的情况是（） A ．使用了逻辑联结词“非” B.使用了逻辑联结词“或” C ．使用了逻辑联结词“且” D.没有使用逻辑联结词 5、“1 4 m =- ”是直线mx+(m+1)y+1=0与直线(m-2)x+3my-2=0相互垂直的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要 6、p ：三角形全等； q ：三角形面积相等；则p 是q 的（） A ．充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 7、设p, q 是两个命题，若p q ∧为真，则（） A ．p 真，q 真 B 、p 真，q 假 C 、p 假，q 真 D 、p 假，q 假 8、设p, q 是两个命题，若p q ∨为真，且p ?为真，则（） A ．p 不一定是假命题 B 、q 一定是真命题 C 、q 不一定是真命题 D 、p 与q 同为真 9、“用反证法证明命题“如果x5 1y ”时，假设的内容应该是（） A 、5 1 x ＝51 y B 、51x <51 y C 、51x ＝51y 或51x <51 y D 、51x ＝51y 或51x >5 1y

高中数学导学案

§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）班级：二年级组名：数学设计人：审核人：领导审批：学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． P 86~ P 87，找出疑惑之处）复习1：化简：⑴ 5（32a b - ）+4（23b a - ）； ⑵ ()()63a b c a b c -+--+- . 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件学习探究（由学生完成）问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠ ，注意零向量与任何向量共线. 知识应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线. 精讲例题例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若O P xO A yO B =+ ，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？

变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12 O P O A tO B =+ ，那么t ＝例2 已知平行六面体''''ABC D A B C D -，点M 是棱AA ' 的中点，点G 在对角线A ' C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD =a ，' ,CB b CC c == ，试用向量,,a b c 表示向量' ,,,C A C A C M C G . 变式1：已知长方体''''ABC D A B C D -，M 是对角线AC ' 中点，化简下列表达式：⑴ ' AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ ' 111222 AD AB A A +- 变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32O Q O A AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+- ⑷ 23OS OA AB AC =+- . 小结（由学生完成）空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. ※ 动手试试（由学生完成）练1. 下列说法正确的是（） A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量a 与b 共线，则a b λ= . 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠ ，若//a b ，求实数.x 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.

高中数学选修11人教A教案导学案充分条件与必要条件

1. 2.1充分条件与必要条件教学目标：正确理解充分条件、必要条件的概念；通过对充分条件和必要条件的概念理解和运用，培养学生逻辑思维能力和良好的思维品质。教学重点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：理解必要条件的概念. 教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0ab =，则0a =；（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. 二、讲授新课： 1. 认识“?”与“”： ①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >?函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. ②练习：教材P10 第1题 2. 教学充分条件和必要条件： ①若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件. ②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x >，则33x -<-；（2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =- ，则()f x 为减函数；（4）若x 为无理数，则2x 为无理数. （5）若12//l l ，则12k k =. （学生自练→个别回答→教师点评）解析: 若p q ?，则p 是q 的充分条件解：（1）（2）（3）p 是q 的充分条件。点评：判断p 是不是q 的充分条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ③变式练习：P10页第2题 ④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若0a =，则0ab =；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；（4）若x y =，则22x y =. （学生自练→个别回答→教师点评）解析: 若p q ?，则q 是p 的必要条件。解：（1）（4）q 是p 的必要条件。点评：判断q 是不是p 的必要条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ⑤变式练习：P10页第3题 ⑥例3：判断下列命题的真假：（1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件. （学生自练→个别回答→学生点评）

2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案

(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案统计导学案含答案

9.1随机抽样考点学习目标核心素养抽样调查理解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据等概念数学抽象简单随机抽样理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数法数学抽象、逻辑推理分层随机抽样理解分层随机抽样的概念，并会解决相关问题数学抽象、逻辑推理问题导学预习教材P173－P187的内容，思考以下问题： 1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？ 2.什么叫简单随机抽样？ 3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？ 4.抽签法是如何操作的？ 5.随机数法是如何操作的？ 6.什么叫分层随机抽样？ 7.分层随机抽样适用于什么情况？ 8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？ 9.获取数据的途径有哪些？ 1.全面调查与抽样调查（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ. （2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ. （3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况

作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ. （4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ. （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ. （6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样（1）有放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N （N 为正整数）个个体，从中逐个抽取n （1≤n

高中数学选修2-1学案：1.1.1命题

1.1.1 命题 [学习目标] 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式. 知识点一命题的定义 (1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. [思考](1)“x>5”是命题吗？ (2)陈述句一定是命题吗？ [答案](1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题.

知识点二命题的结构从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 题型一命题的判断例1(1)下列语句为命题的是() A.x－1＝0 B.2＋3＝8 C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树 (2)下列语句为命题的有________. ①一个数不是正数就是负数； ②梯形是不是平面图形呢？ ③22 015是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}的元素； ⑤作△ABC≌△A′B′C′. [答案](1)B(2)①④ [解析](1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句. 反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故

高中数学必修1导学案

班级：组别：组号：___________ 姓名： 2.2.1对数（1）【学习目标】 1. 理解对数的概念； 2. 能够进行对数式与指数式的互化； 3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。【自主学习】认真阅读教材62页至63页例2，探究并思考: 1.问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？请问：（1）问题具有怎样的共性？（2）已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x . 2.一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）. 记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数试试：将问题1中的指数式化为对数式. 3我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义. 4.思考：（1）指数与对数间的关系？ 0,1a a >≠时，x a N =? . （2）负数与零是否有对数？为什么？（3）log 1a = ， log a a = . (4) log ____;n a a = log _____a N a = 5. 1)将下列指数式写成对数式：（1）4 216=；（2）3 1 3 27 -= ；（3）520a =；（4）10.452b ??= ??? ． 2)将下列对数式写成指数式：（1）5log 1253=；（2） log 32=-；（3）lg 0.012=-；（4） 2.303=．小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 【合作探究】 1．求下列各式的值： ⑴2log 64； ⑵2 1 log 16 ； (3)lg10000；

高中数学必修2全册导学案精编

高中数学必修二复习全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计算【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称：（1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。（2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)）

高中数学学案制作格式标准

学案样板模式 1.页面设置：纸张B5长25.7，宽18.2 ，页边距上下均是 2.54 ，左右均是3.17 2.设置页眉、页脚如下面例子，请根据内容写清楚归属第几册书 3.注意居中插入页码第一章集合与函数

新课按下列格式规范: 1.2.1排列 (小四宋体加粗居中) 【课标要求】【知识要点】【情景设置】【导学求思】【范例剖析】 (小标题：五号宋体加粗) 【双基测评】 (标题下的内容：五号宋体) 【能力培养】【课后作业】习题课按下列格式规范: 1.2.1排列 (小四宋体加粗居中) 【复习目标】【方法介绍】 (小标题：五号宋体加粗) 【典型例题】 (标题下的内容：五号宋体) 【巩固练习】复习课按下列格式规范: 1.2.1排列(小四宋体加粗居中)【知识系统】【经典例题】(小标题：五号宋体加粗) 【运用导练】 (标题下的内容：五号宋体) 【自我反思】

第一章集合与函数

1.1.1集合的含义与表示【课标要求】 1.集合语言是现代数学的基本语言。高中数学课程将集合作为一种语言来学习。通过本模块的学习，使学生学会用最基本的集合语言表示有关对象，并能在自然语言、图型语言、集合语言之间进行转换。体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，发展运用集合语言进行交流的能力。 2.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。 3.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。【知识要点】元素：一般的，我们把____________统称为元素；集合：把一些元素组成的___-叫做集合。集合的性质：_______、________、_______ 元素与集合间的关系：属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：________；不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作:__________ 4常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作____；正整数集，记作_______；整数集，记作________；有理数集，记作________；实数集，记作_________。集合的表示法列举法：把集合中的元素_________，并用花括号{ }括起来表示集合的方法。描述法：用集合所含元素的_________表示集合的方法。【情景设置】在小学和初中时，我们已经接触过一些集合，比如说，到定点的距离等于定长的点的集合，自然数的集合等，你还能说说我们还接触过哪些集合吗？那集合的含义是什么呢？请同学们自己阅读教材第二页的内容。【导学求思】 1、你能从教材给出的8个例子中自己总结出集合和元素的概念吗？ 2、那我们来判断一下下列情况能不能构成集合 (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流； (3)非负奇数； (4)我校高一全体学生； (5)著名的数学家； 3、同学们，我们来思考一下，如果我想描述张三同学是不是我班的一员，

高中数学选修2-1双曲线导学案

双曲线及其标准方程导学案【学习要求】 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程. 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程. 【知识要点】 1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做，叫做双曲线的焦距. 2 探究点一双曲线的定义问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|? 问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？（1） 6)5()5(2222=+--++y x y x ；（2）6)4()4(2 222=+--++y x y x （3）方程x ＝3y 2 －1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分探究点二双曲线的标准方程问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和???? 94，5，求双曲线的标准方程；（2）求与双曲线x 216－y 2 4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 跟踪训练1 （1）过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是 ( ) A ．12 122 =-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2 －y 212＝1 D ．x 212－y 2＝1或y 2 12 －x 2＝1 （2）若双曲线以椭圆x 216＋y 2 9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______ 探究点三与双曲线定义有关的应用问题例2 已知双曲线的方程是x 216－y 2 8＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 2 5＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A ． 3 B ． 5 C ．5－ 3 D ．5＋ 3 例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 【当堂检测】 1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 2 9 ＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【课堂小结】 1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.

人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学 ※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ，同理可得sin sin c b C B = ，从而sin sin a b A B =sin c C =．类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =．试试：（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ．（3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题例1. 在ABC ?中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．

高中数学选修1-1第一章课后习题解答

新课程标准数学选修1—1第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系练习（P4） 1、略? 2、（1）真；⑵假；（3）真；（4）真. 3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等.这是真命题. （2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称.这是真命题. （3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.这是假命题. 练习（P6） 1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0.这是假命题. 否命题：若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除.这是假命题. 逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.这是真命题. 2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等.这是真命题. 否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等.这是真命题. 逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等?这是真命题. 3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题. 否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称?这是真命题. 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数?这是真命题. 练习（P8）证明：若a -b = 1，则a2「b2? 2a「4b「3 =（a b）a -b ）2（b - ）b -2 =a b 2- 2D -3 =a「b _1 = 0 所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题. 习题1.1 A组（P8） 1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是. 2、（1）逆命题：若两个整数a与b的和a b是偶数，则a,b都是偶数?这是假命题. 否命题：若两个整数a,b不都是偶数，则a b不是偶数.这是假命题. 逆否命题：若两个整数a与b的和a b不是偶数，则a,b不都是偶数.这是真命题. （2）逆命题：若方程x2，x-m=0有实数根，则m?0.这是假命题. 否命题：若m乞0，贝y方程X2? x-m =0没有实数根?这是假命题. 逆否命题：若方程x2，x-m=0没有实数根，则m^0.这是真命题. 3、（1 ）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等. 逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上. 这是真命题.