最新八年级数学最短距离问题

八年级数学最短距离问题

最短距离；对称；平移；展开

初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。

初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。

一、利用“对称”解决最短路线问题。

对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”。而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”。

所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。

例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。

分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’B，与CD的交点P 即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’B2=AG2+BG2，A’B=13公里。

二、利用“平移”解决最短路线问题

例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。

分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。分别是A点到河岸+桥长+河岸到B 点。因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，量出AC=EF，如图。就相当于先过河（AC长），再求C点到B点的最短距离，即线段CB。

解，如上图，过A点作河岸的垂线，取AC为河宽，连接CB交河下岸与E，再做EF垂直于河岸，则AF+EF+EB即为最短距离。

三、利用展开图求最短距离问题

如果最短距离问题出现在立体图形中，如圆柱，圆锥，棱柱等。我们左丘的最短路线应该是展开图这一平面图中两点之间的线段长度。

最新人教版八年级数学上册《最短路径问题》教学设计(精品教案)

13.4 课题学习最短路径问题 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（重点） 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.（难点） 教学过程 一、情境导入 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题 例1：如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修

建才能满足要求？（画出图形，做出说明。） 解析：利用两点之间线段最短进而得出答案. 解：如图所示：连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短. 【方法总结】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标练习” 第2题 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 例2：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点． 【方法总结】利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

八年级数学最短距离问题

八年级数学最短距离问题 最短距离；对称；平移；展开 初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。 初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是 想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。 一、利用“对称”解决最短路线问题。 对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称 轴垂直平分这条对应点连线段”。而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点 到两端点的距离相等”。 所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。 例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营 地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。 分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对 称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’Ｂ，与CD的交点P 即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’Ｂ2=AG2+BG2，A’B=13公里。 二、利用“平移”解决最短路线问题 例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使 它垂直于河岸。请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。 分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。分别是A点到河岸+桥长+河岸到B 点。因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，

初二数学专题练习最短距离问题

初二数学专题练习最短距离问题 1.如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小． 2.A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示） 3.如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短． 4.如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点， 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值 5.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值是． 6.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（） A．3．26 C．3 D6 7.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为 8.如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂， （1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．

（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由． 9.（1）如图1示，∠AOB内有两点M，N，请你确定一点P，使点P到M，N的距离相等，且到OA，OB边的距离也相等，在图上标出它的位置． （2）某班举行文艺晚会，桌子摆成两直线（如图2中的AO，BO），AO桌面上摆满桔子，BO桌面上摆满糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短． 10.如图，厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个厂的水平距离都是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短．（河的两岸是平行的） ①请画出架桥的位置．（不写画法） ②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程． 11.一次函数y kx b =+的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．12.如图，在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D?（n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m=________，n=________． 13.蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁

人教版八年级数学讲义最短路径问题(含解析)(2020年最新)

第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径 问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短

两点在一条直线异侧 A P L B 如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短. 连接AB交直线L于点P，则PA+PB 最短. 依据：两点之间：线段最短 两点在一条直线同侧 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位 久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不 得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边 l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 作法： 1、作B点关于直线L的对称点B’； 2、连接AB’交直线L于点C； 3、点C即为所求. 证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’. 在△AB’C’中， AC’+B’C’＞AB’ ∴AC’+BC’＞AC+BC 所以AC+BC最短.

课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需

数学人教版八年级下册几何体表面最短距离问题

摘要：几何体表面最短距离问题，通常是将几何体表面展开，根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求展开图中两点之间的最短距离。解决该类问题通常是分类解答做比较后得出最终结果。由于有些图形情况复杂，许多学生分类讨论不完整，常常导致最后结果出错；另一方面，分类解答比较浪费时间，所以导致学生非常害怕做该类题。本文将对该类题进行归纳讨论，分析这类题的实质，简化问题得出结论。 关键词：勾股定理；几何体；最短距离 问题：如图，是一块长、宽、高分别是a，b，c（a>c>b）的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点G处吃食物，寻找蚂蚁需要爬行的最短路径。 讨论：该题目中从点A至点G的可能的最短路径一定经过两个面；因为“前面”、“左面”、“下面”相交于点A，所以开始经过的面一定是“前面”或“左面”或“下面”；要经过的第二个面由点G决定，由于“右面”、“上面”、“后面”相交于点G，易得以下几种情形： ①“前面”→“右面” 将折平面ABFE、BCGF展开摊平，得矩形ACGE，如图，由勾股定理得 AG2=（AB+BC）2+CG2=（a+b）2+c2=a2+c2+2ab ②“前面”→“上面” 将折平面ABFE、EFGH展开摊平，得矩形ABGH，如图，由勾股定理得 AG2=（BF+FG）2+AB2=（c+b）2+a2=a2+c2+2bc ③“左面”→“上面” 将折平面AEHD、EFGH展开摊平，得矩形AFGD，如图，由勾股定理得 AG2=（AE+EF）2+GF2=（c+a）2+b2=c2+a2+2ac+b2 ④“左面”→“后面” 将折平面ADHE、DCGH展开摊平，得矩形ACGE，如图，由勾股定理得 AG2=（AD+DC）2+CG2=（b+a）2+c2=a2+b2+c2+2ab ⑤“下面”→“后面” 将折平面ABCD、DCGH展开摊平，得矩形ABGH，如图，由勾股定理得 AG2=（BC+CG）2+AB2=（c+b）2+a2=a2+b2+c2+2bc

《立方体中的最短距离问题》学案

《立方体中的最短距离问题》教学案2014-11-18 教学目的：应用线段公理解决立方体中的最短距离问题。 教学重点：立方体中的最短距离问题 教学难点：立体问题转化为平面问题 教学过程： 一、复习与引入 1.线段公理是____________________________ 2.勾股定理是直角三角形的__________,勾股定理的逆定理是直角三角形的 ____________(填“判定”或“性质”) 3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°。 ①若a=2，b=4，则c=________； ②点C 到点A的最短距离为_______,点C 到点B的最短距离为_______ ③点C 到点AB的最短距离为_______, 二、问题探究1：如图所示：有一个长、宽、高都是2米，高为正方体纸盒，一只小蚂蚁要 沿着正方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？

问题探究2：如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？ 问题探究3：如图所示：有一个长为6米，宽为4米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？

课堂小结：有一个长为a 米，宽为b 米，高为c 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？ 三、课堂练习： （1）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是______________ （2）（分层提高）如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________ (3)(课后讨论) 在（2）中小蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕n 圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________ B A 6m 3m 1m B A

2020-2021学年北师大版初二数学上册难点突破02 勾股定理求最短路径长度问题(含解析)

专题02　勾股定理求最短路径长度问题 【专题说明】求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)． 一、通过计算比较解最短问题 1、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A 走到B ，为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m )，却踩伤了花草． (第1题) 【答案】4来 2、小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A 坐客车到武昌客运站B ，现在可以在黄石A 坐“武黄城际列车”到武汉青山站C ，再从青山站C 坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB ＝80 km ，BC ＝20 km ，∠ABC ＝120°.请你帮助小明解决以下问题： (1)求A ，C 之间的距离．(参考数据：≈4.6) 21(2)若客车的平均速度是60 km /h ，市内的公共汽车的平均速度为40 km /h ，“武黄城际列车”的平均速度为180 km /h ，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间) 解：(1)如图，过点C 作AB 的垂线，交AB 的延长线于点E . ∵∠ABC ＝120°，∴∠BCE ＝30°. 在Rt △CBE 中，∵BC ＝20 km ， ∴BE ＝10 km . 由勾股定理可得CE ＝10 km . 3在Rt △ACE 中，∵AC 2＝AE 2＋CE 2＝(AB ＋BE )2＋CE 2＝8 100＋300＝8 400， ∴AC ＝20≈20×4.6＝92(km )．21 (2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车所需时间为＝1(h )，乘“武黄城际列车”所需时间约为80601 3＋＝1(h )．∵1>1， 921802040190131 90∴选择乘“武黄城际列车”． 二、用平移法求平面中最短问题

八年级数学第六单元专训2 巧用勾股定理求最短路径的长

专训2巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算、比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)． 用计算法求平面中的最短问题 1．如图，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC＝120 m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B； 乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠． (1)试判断△ABC的形状，并说明理由． (2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． (第1题) 用平移法求平面中的最短问题 2．如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，再向东走70 m．则小明到达的终点与原出发点的距离是________．

(第2题) 3．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则 AF的长是________． 4．某岛争端持续，我国海监船加大对该岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA ＝45海里，OB＝15海里，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． (1)请用直尺和圆规作出C处的位置； (2)求我国海监船行驶的路程BC的长． (第4题)

八年级数学上培优专题七最短路径问题

精品文档 专题七最短路径问题 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． ABllCCA，使如图所示，点异侧的两个点，在，上找一个点分别是直线CBClAB 的交点．与是直线＋最短，这时点 (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． ABllCCA，使，同侧的两个点，在如图所示，点分别是直线上找一个点CBBlBClAB′的关于直线是直线的对称点＋与最短，这时先作点′，则点交 点．

CC′，连接为了证明点的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点ACBCBCACCBACCB.如下：′，′，＜′′′，证明′＋＋ BBl对称，证明：由作图可知，点′关于直线和 lBB′的垂直平分线．是线段所以直线 CCl上，因为点′在直线与 BCBCBCBC′所以. ＝′＝′′，ABCABACBC′，′＋′中，′＜′在△′ACBCACBC′，＜′所以′＋＋′ACBCACCB. ＜′所以′＋＋lMAB两点的距离和最小．，使它到 1】在图中直线上找到一点，【例 l然后连接对称点和另一个点，先确定其中一个点关于直线的对称点，分析：Ml与直线为所求的点．的交点即BlB(1)作点关于直线′；的对称点如图所示：解：MABl. (2)连接′交直线于点精品文档． 精品文档 M即为所求的点．则点 (3)点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题. 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同

人教版八年级数学13.4最短路径问题(包含答案)

13.4最短路径问题 知识要点： 1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． 2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 一、单选题 1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在() A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处 【答案】D 2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（） A．线段AB上B．线段AB的延长线上 C．线段AB的反向延长线上D．直线l上 【答案】A 3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（） A．B．C．

D． 【答案】D 4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（） A．30° B．36° C．50° D．60° 【答案】A 5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（） A．2.4B．4 C．4.8D．5 【答案】C 6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()

最新八年级数学最短距离问题

最新八年级数学最短距离问题 最短距离；对称；平移；展开 初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的. 初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开. 一、利用“对称”解决最短路线问题. 对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”.而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”. 所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的. 例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远. 分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案.如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’B，与CD的交点P即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’B2=AG2+BG2，A’B=13公里. 二、利用“平移”解决最短路线问题 例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸.请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短. 分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线.分别是A点到河岸+桥长+河岸到B点.

人教版八年级数学上册课题学习《最短路径问题》练习题

13.4课题学习最短路径问题 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下： 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， 所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC＋BC＜AC′＋C′B. 【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M. (3)则点M即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.

2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同． 警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问． 3．利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题． 【例2】 如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水． (1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 分析：(1)到A ，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB 的垂直平分线，与EF 的交点即为符合条件的点． (2)要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A (或 B )点关于EF 的对称点，连接对称点与B 点，与EF 的交点即为所求． 解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ， B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12 AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求． (2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短． 【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂 直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？ 思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如图所示，而MN 是定值，于是要 使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，

初二数学专题练习 最短距离问题(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑 初二数学专题练习最短距离问题 1.如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小． 2.A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示） 3.如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短． 4.如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值 5.如图，在锐角△ABC中，AB＝42BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AB上的动点，求BM+MN的最小值是．

6.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABC是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使 ） A．23B．26 C．3 D6 7.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC， AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD 取最小值时，△APD中边AP上的高为 8.如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂， （1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小． （2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H 中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由． 9.（1）如图1示，∠AOB内有两点M，N，请你确定一点P，使点P 到M，N的距离相等，且到OA，OB边的距离也相等，在图上标出它的位置． （2）某班举行文艺晚会，桌子摆成两直线（如图2中的AO，BO），AO桌面上摆满桔子，BO桌面上摆满糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短．

八年级数学最短距离问题

八年级数学最短距离问 题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

八年级数学最短距离问题 最短距离；对称；平移；展开 初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。 初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。 一、利用“对称”解决最短路线问题。 对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”。而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”。 所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。 例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。 分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’B，与CD的交点P即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’B2=AG2+BG2，A’B=13公里。 二、利用“平移”解决最短路线问题 例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。 分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。分别是A点到河岸+桥长+河岸到B点。因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A 点垂直于河岸的垂线，量出AC=EF，如图。就相当于先过河（AC长），再求C 点到B点的最短距离，即线段CB。 解，如上图，过A点作河岸的垂线，取AC为河宽，连接CB交河下岸与E，再做EF垂直于河岸，则AF+EF+EB即为最短距离。 三、利用展开图求最短距离问题 如果最短距离问题出现在立体图形中，如圆柱，圆锥，棱柱等。我们左丘的最短路线应该是展开图这一平面图中两点之间的线段长度。 例3.工人师傅要给一个圆柱体的制品镶嵌金线，如下图，如果金线的起点固定在A点，绕一周后终点为B点，如果AB长为10cm，底面周长为12cm，问最短用多少金线。 分析：很明显这是一条曲线，如果我们从母线AB处剪开圆柱的侧面，展开成平面图如下图： 那么我们会发现连接AB’，即为此最短的金线长度，根据勾股定理可得AB’为。

人教版数学八年级上册-最短路径问题

最新人教版数学八年级上册最短路径问题1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB 最短，这时点C是直线l与AB的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．; 如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB 最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下： 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， | 所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC＋BC＜AC′＋C′B. 【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M. (3)则点M即为所求的点． `

点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题. 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同． 警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．. 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题． 【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂 (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方 分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点． (2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P 到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于1 2AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求． ： (2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．

八年级数学最短距离问题教学提纲

八年级数学最短距离 问题

八年级数学最短距离问题 最短距离；对称；平移；展开 初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。 初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。 一、利用“对称”解决最短路线问题。 对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”。而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”。 所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。 例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。 分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之

间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’B，与CD的交点P即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’B2=AG2+BG2，A’B=13公里。 二、利用“平移”解决最短路线问题 例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。 分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。分别是A点到河岸+桥长+河岸到B点。因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，量出AC=EF，如图。就相当于先过河（AC长），再求C点到B点的最短距离，即线段CB。 解，如上图，过A点作河岸的垂线，取AC为河宽，连接CB交河下岸与E，再做EF垂直于河岸，则AF+EF+EB即为最短距离。

(完整版)八年级最数学最短路径稳妥

第五讲最短路径 一、知识点 二、课前练习 1、如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______( 取3) [ 2、如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( ) A.7 cm B.5 cm C.8 cm D.10 cm 3、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明） 4、某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 5、如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹） 6、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于________米．

7、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？ 8、如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN 周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数. 三、例题讲解 1、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少 2、如图,在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED 的最小值 3、如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB+MN最小，请找点M的位置，并求出MB+MN最小值. 4、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，求点C的坐标 5、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m，3 m） （m为非负数），求CA＋CB的最小值

解密最短距离之建桥选址试题-八年级数学上册专题讲练突破

解密最短距离之建桥选址 一、解题依据 1. 两点间线段最短。 2. 三角形的三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形任何两边的和大于第三边； （2）三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边。 3. 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 二、基本模型 定点在两侧的动线段问题（建桥问题） 如图所示，A 、B 两村庄位于一条河的两岸。假定河的两岸笔直且平行。问：应把桥建在什么位置，才能使由A 村经过这座桥到B 村的路程最短？ 答案：如右下图。 说明：这种问题首先要把桥的长度平移出来（作CD B B ='），连接B '，C 两点交河流两岸两个点，此时一定要在C 处建桥，才能得到最短路程。（即：平行四边形要在B A '的同侧。） 例题1 如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ 。桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

解析：按照垂直河流的方向，先把两桥的长度移至端点，把可变化的路径连接到一起，利用两点间线段最短就可以确定两桥的位置。 答案：如图。 或 或 点拨：本题的关键还是在于两点之间线段最短，要注意找到线段与河的交点后，选择正确的建桥位置。 总结技巧 建桥选址问题最少由三条线段组成，其中桥的长度是固定不变的，而且桥在整个路径的中间，另外两条线段不固定，所以我们要先把桥的长度平移出来，利用平行四边形的性质，使变化的线段连接在一起，然后利用两点间线段最短或三角形三边关系确定桥的位置。 例题 如图，荆州古城河在'CC 处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：' DD ，'EE （桥宽不计），设护城河以及两桥都是东西、南北方向的，A ，B 在东西方向上相距65米，南北 方向上相距85米，恰当地架桥可使' ' ADD E EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？

初二数学专题练习最短距离问题

初二数学专题练习最短 距离问题 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

初二数学专题练习最短距离问题 1.如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小． 2.A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示） 3.如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短． 4.如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点， 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值 5.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值是． 6.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（） A．3．26 C．3 D6 7.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为 8.如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂， （1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．

（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由． 9.（1）如图1示，∠AOB内有两点M，N，请你确定一点P，使点P到M，N的距离相等，且到OA，OB边的距离也相等，在图上标出它的位置． （2）某班举行文艺晚会，桌子摆成两直线（如图2中的AO，BO），AO桌面上摆满桔子，BO桌面上摆满糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短． 10.如图，厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个厂的水平距离都是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短．（河的两岸是平行的） ①请画出架桥的位置．（不写画法） ②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程． 11.一次函数y kx b =+的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．12.如图，在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D?（n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m=________，n=________．