平行线的判定和性质知识点详解
平行线的判定和性质（综合篇）
一、重点和难点：
重点：平行线的判定性质。
难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。
二、例题：
这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。
上述类型题目大致可分为两大类。
一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7
分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a//c。
法（一）证明：∵d是直线（已知）
∴∠1+∠4=180°（平角定义）
∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠4（等角的补角相等）
∴a//c（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）
法（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠3=180°（等量代换）
∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）
∴∠5+∠6=180°（等量代换）
∴a//c （同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。
例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。
分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而
∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。因此又可得AD//BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推
出∠EBC=∠DBC。
证明：∵∠2+∠BDC=180°（平角定义）
又∵∠2+∠1=180°（已知）
∴∠BDC=∠1（同角的补角相等）
∴AE//FC（同位角相等两直线平行）
∴∠EBC=∠C（两直线平行内错角相等）
又∵∠A=∠C（已知）
∴∠EBC=∠A（等量代换）
∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）
∠ADF=∠C（两直线平行，同位角相等）
又∵DA平分∠BDF（已知）
∴∠ADB=∠ADF（角平分线定义）
∴∠EBC=∠DBC（等量代换）
∴BC平分∠DBE（角平分线定义）
说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。
把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。
三、小结：证明角相等的基本方法
1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：
（1）同角（或等角）的余角相等；
（2）同角（或等角）的补角相等；
（3）对顶角相等；
（4）两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。
以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。首先必须分析，在题设中给出了哪些条件，与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。
例3，如图∠1=∠2=∠C，求证∠B=∠C。
分析：题设中给出三个相等的角，其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角，由∠2=∠C则DE//BC。再看题中要证明的结论是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要证明∠1=∠B，而∠1与∠B是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，∠1=∠B是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径：
证明：∵∠2=∠C（已知），
∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠C（已知），
∴∠B=∠C（等量代换）。
例4、已知如图，AB//CD，AD//BC，求证：∠A=∠C，∠B=∠D。
分析：要证明∠A=∠C，∠B=∠D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例10一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB//CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁内角，∠B、∠C，因此∠B+∠C=180o，同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截，构成的一对同旁内角∠B、∠A，∠B+∠A=180o，通过∠B的中介，就可以证明得∠A=∠C。同理，也可得到∠B=∠D，整个思路为：
证明：AD//BC（已知），
∴∠A+∠B=180o（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB//CD（已知），
∴∠B+∠C=180o（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A=∠C（同角的补角相等），
同理可证∠B=∠D。
例5、已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求证：∠1=∠2。
分析：要证明∠1=∠2，而从图中所示的∠1和∠2的位置来看，根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下∠1、∠2与周边各角的关系，我们看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角∠1、∠E；被AB所截，形成内错角∠2、∠3；而题设明确告诉我们∠3=∠E，于是目标集中到证明AD//GE，根据题设中AD⊥BC，EG⊥BC，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序：
证明：∵AD⊥BC于D（已知），
∴∠ADC=90o（垂直定义），
∵EG⊥BC于G（已知），
∴∠EGD=90o（垂直定义），
∴∠ADC=∠EGD（等量代换），
∴EG//AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠E（两直线平行同位角相等），
∠2=∠3（两直线平行内错角相等），
又∵∠E=∠3（已知），
∴∠1=∠2（等量代换）。
四、两条直线位置关系的论证。
两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行，证明两条直线垂直，证明三点在同一直线上。
1、学过证明两条直线平行的方法有两大类
（一）利用角；
（1）同位角相等，两条直线平行；
（2）内错角相等，两条直线平行；
（3）同旁内角互补，两条直线平行。
（二）利用直线间位置关系：
（1）平行于同一条直线的两条直线平行；
*（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。
例6、如图，已知BE//CF，∠1=∠2，求证：AB//CD。
分析：要证明AB//CD，由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对内错角∠ABC 和∠DCB，只要证明这对内错角相等，而图中的直线位置关系显示，∠ABC=∠1+∠EBC，∠BCD=∠2+∠FCB，条件中又已知∠1=∠2，于是只要证明∠EBC=∠BCF。
证明：∵BE//CF（已知），
∴∠EBC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等），
即∠ABC=∠BCD（等式性质），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
例7、如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：DG//BC。
分析：要证明DG//BC，只需证明∠1=∠DCB，由于∠1=∠2，只需证明∠2=∠DCB，∠2
与∠DCB又是同位角，只需证明CD//EF。根据题设CD⊥AB，EF⊥AB，CD//EF，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。
（1）（平行线的判定）
（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行线的性质）
（3）∠1=∠DCB DG//BC（平行线判定）
在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。
证明：∵CD⊥AB于D（已知），
∴∠CDB=90o（垂直定义），
∵EF⊥AB于F（已知），
∴∠EFB=90o（垂直定义），
∴∠CDB=∠EFB（等量代换），
∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠DCB（等量代换），
∴DG//BC（内错角相等，两直线平行）。
说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。因此，交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。
2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：
（1）两直线垂直的定义
（2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。（即证明两条直线的夹角等于90o而得到。）
例8、如图，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求证：CD⊥AB。
分析：这是一个与例14同样结构的图形，但证明的目标却是两条直线垂直。证明CD⊥AB，根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条。”又由于已知条件EF⊥AB，只要证明EF//CD，要证EF//CD，结合图形，只要证明∠2=∠DCB，因为∠1=∠2，只需证明∠DCB=∠1，而∠DCB与∠1是一对内错角，因而根据平行线的性质，就需证明DG//BC，要证明DG//BC 根据平行线的判定方法只需证明∠3=∠B，而这正是题设给出的条件，整个推理过程经过以下几个层次：
∠3=∠B DG//BC∠DCB=∠2
（1）平行线判定（2）平行线性质
CD⊥AB
（3）平行线判定性质（4）垂直定义
证明：∵∠3=∠B（已知），
∴DG//BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等），
∵∠1=∠2（已知），
∴∠DCB=∠2（等量代换），
∴DC//EF（同位角相等，两直线平行），
有括号部分的五步也可以用以下证法：
接DC//EF（同位角相等，两直线平行），
又∵EF⊥AB（已知），
∴CD⊥AB（一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。）
3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明E、O、F三点共线，通常采用
∠EOF=180o，利用平角的定义完成三点共线证明。此方法不再举例。
五、一题多解。
例9、已知如图，∠BED=∠B+∠D。求证：AB//CD。
法（一）分析：要证明AB//CD，从题设中条件和图形出发考虑，图形中既不存在“三线八角”，又不存在与AB、CD同时平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线，这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行。能不能为此创造条件呢？如果我们能够在图中添置一条直线，使这条直线和AB、CD中的一条平行，那么我们就有可能证明它也平行于另一条，从而得到AB//CD。根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以这样的直线是存在的。接下来的问题是：过哪一点作这条平行线，考虑题设中的已知条件，三个角的关系围绕着E点展开的，因而选择E点作AB的平行线是较为理想的位置。
证明：过点E作EF//AB，
∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠BED=∠1+∠2（全量等于部分之和），
∴∠2=∠BED-∠1（等式性质），
又∵∠BED=∠B+∠D（已知），
∴∠D=∠BED-∠B（等式性质）
∴∠2=∠D（等量代换）
∴EF//CD（内错角相等，两直线平行），
∵EF//AB（作图），
∴AB//CD（平行于同一直线的两直线平行）。
说明：在光凭题设条件无法直接证得结论时，在图中添置新的线，以构成一个条件充分的图形，从而得出所求证的结论，像这样添置的线叫做辅助线，在画图时，辅助线用虚线画出。
法（二）分析：如果在E点的另一侧添置AB的平行线（如图），同样可以凭此证得结论，但是由于所取的角的位置不同，推理的依据过程也有所不同。
证明：过点E作EF//AB（如图），
∴∠B+∠1=180o（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2+∠BED=360o（周角定义），
∠BED=∠B+∠D（已知），
∴∠B+∠D+∠1+∠2=360o（等量代换），
∴∠D+∠2=360o-（∠B+∠1）（等式性质）
=360o-180o（等量代换）
=180o
∴EF//CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵EF//AB（作图），
∴AB//CD（平行于同一直线的两条直线平行）。
注意：在添置辅助线EF时，只能过E点作直线EF平行于直线AB、CD中的一条，而不能同时平行于AB和CD。
从另一个方面考虑这个命题，仍然是这个图形如果我们交换题设和结论部分：即已知
AB//CD，能否得到∠BED=∠B+∠D的结论，仍然像例16法（一）那样添置AB的平行线EF，可得到∠B=∠BEF，又由于AB//CD，则EF//CD。于是又有∠D=∠DEF，很显然∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED。可知，交换原命题的题设和结论部分，仍然得到一个真命题。
平行线的性质
考点扫描:
会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算．
名师精讲:
平行线的性质是指在两条直线平行的前提条件下，能够得到的与图形有关的位置及数量关系．平行线的性质有：
（1）平行线永远不相交（定义）；
（2）两直线平行，同位角相等（性质公理）；
（3）两直线平行，内错角相等（性质定理1）；
（4）两直线平行，同旁内角互补（性质定理2）．
平行线的判定和平行线的性质不能混淆，应分清定理（或公理）的条件结论：
（1）判定定理说的是满足了什么条件（性质）的两条直线是互相平行的．
（2）性质定理说的是如果两条直线平行，它具有什么性质．
由此可见，判定定理与性质定理是因果关系倒置的两类定理（称为“互逆”定理）．
1．已知：如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠ECD的度数等于（）
A、110°
B、70°
C、55°
D、35°
考点：平行线的性质，角平分线
评析：因为∠A与∠ACD是同旁内角，又AB∥CD，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可知
∠A+∠ACD=180°．当∠A＝110°时，∠ACD=70°．又CE平分∠ACD，所以∠ACE=∠ECD=∠ACD=35°，故应选D．
2．如图，已知：l1//l2，∠1=100°，则∠2=．
考点：平行线的性质
评析：∠1与∠3是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”的性质：可知∠1=∠3=100°．又∠2与∠3是邻补角，所以∠2=180°–100°=80°
真题专练:
1．如图，直线a、b被直线c所截，且a//b，若∠1=118°，则∠2的度数为_________．
⑴
2．如图AB∥CD，若∠ACD=69°，则∠CAB= __________
3．如图AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF, 若∠1=72°，则∠2=_______
（3）
4．如图直线L1∥L2、L3分别与L1，L2相交,则∠1与∠2的关系为（）
（4）
A、∠1=∠2
B、∠1+∠2=180°
C、∠1+∠2=90°
D、∠1+∠2=360°
5．如图l1∥l2, ∠α是∠β的2倍, 则∠α等于（）
A：60°B：90°C：120°D：150°
6．如图AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3=（）
A、180°
B、360°
C、540°
D、720°
7．如图DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共有（）A、3个B、2个C、5个D、4个
答案：
1、62°
2、111°
3、54°
4、B
5、C
6、B（提示：过E作EF∥AB（或连结AC）
利用平行线间的同旁内角互补可知∠1+∠AEF=180°∠3+∠CEF=180°∴∠1+∠2+∠3=360°；
7、D（提示：图中∠1、∠2、∠3、∠4都与∠BFE互补）．
平行线的判定和性质 一、选择题 1.如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2+∠4=180°，③∠4=∠5， ④∠2=∠3，⑤∠6=∠2+∠3中能判断直线l1∥l2的有（） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2.如图，已知∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是（） A. B. C. D. 3.下列条件中，能说明AD∥BC的条件有（）个 ①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠1+∠2=∠3+∠4 ④∠A+∠C=180°⑤∠A+∠ABC=180°⑥∠A+∠ADC=180 °． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（） A. ∠ ∠ B. ∠ ∠ C. ∠ ∠ D. ∠ ∠ 5.将一直角三角板与两边平行的纸 条如图放置．若∠1=60°，则∠2的 度数为（） A. B. C. D. 6.如图，直线a∥b，若∠1=50°，∠3=95°，则∠2的度数为（） A. B. C. D.
7.如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（） A. B. C. D. 8.如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（） A. B. C. D. 9.如图，已知∠1=∠2，∠3=30°，则∠B的度数是( ) A. B. C. D. 10.如图，已知AB//CD//EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A 的度数是（） A. B. C. D. 11.如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°， 则∠4等于（） A. B. C. D. 12.已知直线m//n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如 图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直 线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（） A. B. C. D. 13.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且 a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（） A. B. C. D.
易达彼思教育学科教师辅导讲义 知识回顾 写出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角
用该符号语言表示：如图， 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
两直线平行的判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单地说: 同旁内角互补 ,两直线平行. 例4. 如图所示，回答下列问题，并说明理由． （1）由∠C＝∠2，可判定哪两条直线平行？ （2）由∠2＝∠3，可判定哪两条直线平行？ （3）由∠C＋∠D＝180°，可判定哪两条直线平行？ 注：（1）要掌握直线平行的判定方法，首先要掌握同位角、内错角、同旁内角的定义； （2）判定方法是从角的关系得到两直线平行的。 知识点4：平行线的判定方法的推论 （一）两条平行线间的距离 1、定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。 如图所示，a//b，A是直线上任意一点，，垂足为B，则线段AB的长即是两平行线、间的距离。若在直线上任找一点，过作，垂足为D，则线段CD的长也是两平行线、间的距离。由此可见： 2、平行线间的距离处处相等。 例4.如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1=∠2. （1）请说明AB∥CD的理由 （2）试问BM与DN是否平行？为什么？ 二、平行线的性质 知识点1：平行线的性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等. 如图所示，AB∥CD，有∠1=∠2. 格式：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 例1.如图，已知a∥b,∠1=65°,则∠2的度数为（） A.65° B.125° C.115° D.25° 知识点2：平行线的性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 格式：如图所示，AB∥CD，有∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）. 说明：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） ∵∠1=∠3，∴∠2=∠3 例2.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C=50°， ∠BDE=60°，则∠CDB的度数等于（） A.70° B.100° C.110° D.120° 知识点3：平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 格式：如图所示，∵AB∥CD（已知）. ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） 例3.如图，若AB∥DE，BC∥FE，则∠E+∠B= . 注：同位角相等、同旁内角互补；内错角相等，都是平行线特有的性质，且不可忽略前提条件“两直线平行”，不要看到同位角或内错角，就认为是相等的。 三、平行线的性质和判定方法的综合应用 平行线的判定和性质的区别和联系：
平行线的判定和性质经典题 一．选择题（共18小题） 1．如图所示，同位角共有（） 3．下列说法中正确的个数为（） ①不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 4．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5… 6．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（）
8．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（） 11．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（） 13．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（） 14．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（） 15．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角
16．把直线a 沿水平方向平移4cm ，平移后的像为直线b ，则直线a 与直线b 之间的距离为 17． （2009?宁德）在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是 18．（2004?烟台） 4根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移火柴棒后，原图形变成的象形文字是（ ） 二．填空题（共12小题） 19．已知∠α和∠β的两边互相平行，且∠α=60°，则∠β= _________ ． 20．（2004?西宁）如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有 _________ 个；若∠1=50°，则∠AHG= _________ 度． 第20题 第21题 第22题 21．（2009?永州）如图，直线a 、b 分别被直线c 、b 所截，如果∠1=∠2，那么∠3+∠4= _________ 度．直线a 、b 分别被直线c 、b 所截． 22．（2010?抚顺）如图所示，已知a∥b，∠1=28°，∠2=25°，则∠3= _________ 度． 23．如图，已知BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB，MN∥BC，且过点O ，若AB=12，AC=14，则△AMN 的周长是 _________ ．
平行线的判定和性质（综合篇） 一、重点和难点： 重点：平行线的判定性质。 难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。 二、例题： 这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。 上述类型题目大致可分为两大类。 一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。 另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。 例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7 分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a//c。 法（一）证明：∵d是直线（已知） ∴∠1+∠4=180°（平角定义） ∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知） ∴∠3=∠4（等角的补角相等） ∴a//c（同位角相等，两直线平行） ∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等） 法（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠3=180°（等量代换） ∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等） ∴∠5+∠6=180°（等量代换） ∴a//c （同旁内角互补，两直线平行） ∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。 例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。 分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而 ∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。因此又可得AD//BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推
87 65 4 3 21 B C D E 易达彼思教育学科教师辅导讲义 学员姓名： 年 级：七年级 课时数： 辅导科目：数学 授课时间： 学科教师： 学科组长签名 及日期 教务长签名及日期 课 题 平行线及其判定及性质 教学目标 1.理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的两种位置关系； 2.掌握平行公理及其推论，会按要求画平行线； 3.掌握平行线的判定方法，并会运用这些方法进行简单的推理证明； 教学内容 知识回顾 写出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角 同位角： 内错角： 同旁内角： 新课知识 一、平行线的判定 知识点1：平行线的判定1 用该符号语言表示：如图， ∵∠1=∠2， ∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） 两直线平行的判定方法1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单地说: 同位角相等 ,两直线平行. 例1.如图，直线a,b都与直线c相交，若∠1=120°，,2=60°，则a∥b.在下列括号中填写推理理由. ∵∠1=120°（）. ∴∠3=60°（）. 又∵∠2=60°（）. ∴∠2=∠3（）. ∴a∥b 知识点2：平行线的判定2 思考：下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗?写出你的推理过程. 解：∵∠1=∠7 ( ) ∠1=∠3( ) ∴∠7=∠3( ) ∴ AB∥CD( ) 用该符号语言表示：如图， ∵∠2=∠3（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 两直线平行的判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单地说: 内错角相等 ,两直线平行. 知识点3：平行线的判定3 下图中，如果∠4+∠7=180°，能得出AB∥CD? 解: ∵∠4+∠7=180 °（） ∠4+∠3=180°（） ∴∠7=∠3（） ∴ AB∥CD（） 用该符号语言表示：如图， ∵∠2+∠4=180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的判定与性质 4.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°，那么另一角是 度． 9.如图，已知∠l+∠2=１８0°，∠3＝∠B,试判断∠AED 与∠ＡCB 的大小关系，并对结论进行证明． 1３．如图，已知21//l l ，AB ⊥1l ，∠ABC=1３0°，则∠α= ． 14.如图,直线AB ∥CD ，∠E ＦＡ=30°，∠ＦＧH=90°,∠HM Ｎ＝３0°,∠CNP ＝ ５0°，则∠G ＨM 的大小是 ． 1６．如图,若AB ∥ＣD ，则( ). A ．∠１＝∠2+∠3 Ｂ.∠1=∠３一∠2 Ｃ．∠1+∠２+∠3=１8０° ∠l 一∠2十∠3=18０° １7．如图，AB ∥ＣＤ∥EF,ＥＨ⊥CD 于Ｈ,则∠BA Ｃ＋∠ACE ＋∠ＣEH 等于( )． A ．１80° B ．270° C ． 360° Ｄ． 45０ 例２ 如图,某人从A 点出发,每前进１0米,就向右转18°，再前进10米,又向右转１8°,这样下去,他第一次回到 出发地Ａ点时，一共走了________米． 变式训练： １. 如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过， 如果第一次拐的角∠A 是1２0°,第二次拐的角∠B 是１50°, 第三次拐的角是∠C ，这时恰好和第一次拐弯之前的道路 A C A A 1 A 2 18o 18o
平行，则∠C= . 2２．如图，已知射线CB∥OA，∠Ｃ=∠ＯAB=100°，E、Ｆ在CB上，且满足∠FOB=∠ＡOB,OE平分∠COF． （1）求∠EＯB的度数. (2)若平行移动AB，那么∠ＯBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化,找出变 化规律；若不变,求出这个比值. （３)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OＢＡ?若存在，求出其度数;若不存在,说明理由． 2．一学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是( ). (A）第一次向左拐30°,第二次向右拐3０° (B)第一次向右拐50°,第二次向左拐1３0° （C)第一次向右拐５0°，第二次向右拐１３0° (Ｄ）第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 例3 如图，将纸片△ＡBC沿ＤE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=１0０°， 求∠Ａ的度数． 变式训练:1.如图, 已知:∠1=∠2,∠3＝∠4,∠5＝∠6. 求证: ＡD∥ＢC． 2．已知CD⊥ＡＢ于Ｄ，EF⊥AB于Ｆ, ∠DGC=１05°,∠ＢCG＝７５°,求∠1+∠2的度数. A D B C 1 2 A E A B C D E F 2 3 1 4 5 6 B C A E G 2 1
（第1题） O A B C D E （第2题） C D （第3题） D E D 平行线的判定与性质培优经典题（1） 知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质； ② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用； ③ 平行线的判定方法 、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交. 基础训练： 1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE . 2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD . 3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， 则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ . 4. 如图，直线AB 、CD 交于点O . （1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ;
（第5题） E D （第7题）O A B C D F E （第6题） O A B C D E F B D A （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ . 5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍 大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE . 6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF . 7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ， 垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .
C B 8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 . 经典题型： 1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以 O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2） 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中 与∠1相等的角有（ ）对. A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 （西 宁市中 考题） 3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛题)
平行线的判定和性质的综合应用 2. 如图，AD ⊥BC 于点D ，EF ⊥BC 于点F ，EF 交AB 于点G ，交CA 的延长线于点E ，且∠1=∠2．AD 平分∠BAC 吗？说说你的理由． C E 1 2 A B C D F G E
3. 如图，若AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E =∠F ，为什么？ 4、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°， 求 ∠A 的度数． 5、如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连结P A ，PB ，构成∠P AC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．） （1）当动点P 落在第①部分时，试说明：∠APB =∠P AC +∠PBD ． （2）当动点P 落在第②部分时，∠APB =∠P AC +∠PBD 是否成立？ （3）当动点P 落在第③部分时，请全面探究∠P AC ，∠APB ， ∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论， 选择其中一种结论加以说明． 1 2 A B C D E F A D B C 1 2 A E
一、能力提升 1. 如图，已知∠ABC +∠ACB =110°，BO 、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF 过O 与BC 平行，则∠BOC = ． 2. 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°， 则∠AED ′的度数为 ． 3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠= ． 4.如图,已知∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD 平分∠BDF.求证:BC 平分∠DBE. B 1 2 F D E C A 5、如图，已知∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°． 求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°． 6、如图，已知AB ∥CD ，∠BAE =30°，∠DCE =60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． （1）求∠AEF 的度数； （2）求证：EF ∥AB ． E G D C F A B 1 2 3 E D B C′ F C D ′ A 第1题图 第2题图 第3题图 C 1 2 3 A B D F E
学习资料 仅供学习与参考 平行线的判定和性质拔高训练题 1．如图1，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在'D ，' C 的位置．若 ∠EFB =65°，则'AED 等于__________． 2. 如图2，AD ∥EF ，EF ∥BC ，且EG ∥AC ．那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)的个 数是__________． 3. 如图3，AB ∥CD ，直线AB ，CD 与直线l 相交于点E ，F ，EG 平分∠AEF ，FH 平分 ∠EFD ，则GE 与FH 的位置关系为__________． （1） （2） （3） 4．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°， 那么这两个角分别是( ) A ．30°和150° B ．42°和138° C ．都等于10° D ．42°和138°或都等于10° 5．如图4，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于点F ，且∠BDE =∠AEF ，∠B =∠C ， ∠EFA 比∠FDC 的余角小10°，P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足∠FQP = ∠QFP ，FM 为∠EFP 的平分线．则下列结论：①AB ∥CD ，②FQ 平分∠AFP ，③∠B ＋∠E =140°，④∠QFM 的角度为定值．其中正确的结论有( )个数 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 （4） （5） 6．如图5，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D =192°， ∠B －∠D =24°，求∠GEF. 7. 已知：如图6，AD ⊥BC 于点D ，EG ⊥BC 于点G ，∠E ＝∠3． 求证：AD 平分∠BAC ． （6)
平行线的判定及性质（一） 【知识要点】 一.余角和补角: 1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余 2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等. 四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行. 2、内错角相等, 两直线平行. 3、同旁内角互补, 两直线平行. 4、同平行于一条条直线平行. 5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等； 2. 两直线平行, 内错角相等； 3. 两直线平行, 同旁内角互补. 【典型例题】 一、余角和补角 例1. 如图所示， 互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________； 变式训练：1. 一个角的余角比它的的 1 3 还少20o，则这个角为_____________。 2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD 是∠AOB 的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=1 2 ∠EOC, ∠DOE=72o, 求∠EOC 的度数。 二、“三线八角” 例2 （1） 如图，哪些是同位角？内错角？同旁内角？ E D C B A O A B C D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3
（2） 如图，下列说法错误的是（ ） A. ∠1和∠3是同位角 B. ∠1∠5是同角 C. ∠1和∠2是内角 D. ∠5和∠6是内错角 （3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,则图中共有 同位角 对，内错角 对，同旁内角 。 三、平行线的判定 例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2 ∴ _____∥_____， （ ） ② ∵ ∠2＝_____ ∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180o ∴ ____∥_____， （ ） ∴ AC ∥FG ， （ ） 变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B ∴ ∥_____， （ ） ∵ ∠1/∠2 ∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180o， ∴ AB ∥EF ( ) 例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，求AB ∥CD , A B C D G 1 3 2 C A B E D 1 A B C D E F 1 2 3 1 2 3 4 5 7 6
1 D F C B A 2 E 平行线的判定与性质的综合运用 专题 一、推理填空题 1．已知：如图，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，将说明∠1＝∠2成立的理由填写完整. 解：∵ DE ∥BC （ ） ∴∠ADE ＝_______（ ） ∵∠ADE ＝∠EFC （ ） ∴_______＝_______ （ ） ∴DB ∥EF （ ） ∴∠1＝∠2（ ） 2.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A ＝∠ 3.求证：AC ∥DE 证明：∵∠1＝∠2（ ） ∴AB ∥＿＿＿＿( ) ∴∠A ＝∠4( ) 又∵∠A ＝∠3（ ） ∴∠3=＿＿＿＿（ ） ∴AC ∥DE （ ） 3.已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ．且∠1＝∠3．求证：AB ∥DC ． 证明：∵∠ABC ＝∠ADC ， .2 1 21ADC ABC ∠=∠∴( ) 又∵BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ， .2 1 2,211ADC ABC ∠=∠∠= ∠∴ ( ) ∴∠______＝∠______．( ) ∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝∠______．(等量代换) 43 21 A B C E
∴______∥______．( ) 二、证明题 4.如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37o，求∠D 的度数． 5.如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，求∠α的度数。 6．如图，CD AB //，AE 平分BAD ∠，CD 与AE 相交于F ,E CFE ∠=∠。求证：BC AD //。 7.如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB 有怎 样的位置关系，为什么 A B C D E α21 F E D C B A 2 1 F E D C B A F E D C B A
相交线与平行线 一、目标与要求 1.理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认; 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程; 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力。 二、重点 在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角; 两条直线互相垂直的概念、性质和画法; 同位角、内错角、同旁内角的概念与识别。 三、难点 在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角; 对点到直线的距离的概念的理解; 对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质; 能区分平行线的性质和判定，平行线的性质与判定的混合应用。 四、知识框架 五、知识点、概念总结 1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 3.对顶角和邻补角的关系
4.垂直：两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。 5.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 6.垂足：如果两直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，它们的交点叫做垂足。 7.垂线性质 (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 8.同位角、内错角、同旁内角： 同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 9.平行：在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。 10.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 11.命题：判断一件事情的语句叫命题。 12.真命题：正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立。 13.假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题。
平行线的判定定理和性质定理 [一]、平行线的判定 一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由： （1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：E D∥CF． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C 图９ A D C B O 图５ 图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B
平行线的判定与性质练习 2013.3 一、选择题 1．下列命题中，不正确的是____ [ ] A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______ [ ] （2题）（3题）（5题） A．∠ACB=∠BAC B．∠ABC+∠BAE=180° C．∠ACB+∠BAD=180° D．∠ACB=∠BAD 3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件: (1)∠1=∠2， (2)∠3=∠6， (3)∠4+∠7=180°， (4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a∥b的条件是_________[ ] A．(1)(3) B．(2)(4) C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4) 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[ ] A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[ ] A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠3=∠4 D．∠A=∠C
6．如图，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 (6题) (8题) (9题) 7．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定 8．如图，AB∥CD，那么（） A．∠1=∠4 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠5 9．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（） A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180° 10．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（） A．30° B．60° C．90° D．120° （10题）（ 11题） 二、填空题 11．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据． (1)∠1=∠2，________________________．(2)∠A=∠3，________________________．(3)∠ABC+∠C=180°，________________________． 12．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________． 13．同垂直于一条直线的两条直线________．
平行线的性质知识点总结、例题解析 知识点1【平行线的性质】 （1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等． ∵AB∥CD ∴∠2=∠3 （2）性质2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补． ∵AB∥CD ∴∠2+∠4=180° （3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简称：两直线平行，内错角相等。 ∵AB∥CD ∴∠1=∠2 【例题1】如图，已知DE∥BC，∠B=80°，∠C=56°，求∠ADE和∠AEC的度数。 【答案】∠ADE=80°；∠AEC=124°
【例题2】如图，平行线AB。CD被直线AE所截，若∠1=110°，则∠2等于（） A、70 B、80 C、90 D、110 【答案】A 【例题3】如图，已知AB∥CD，∠1=150°，∠2=______ 【答案】30° 【例题4】在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上:若∠1=55°，则∠2的度数是_______ 【答案】35°
【例题5】如图所示，已知∠AOB=50 °，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC=______ °，∠PDO=______° 【答案】50 ，50 ； 【例题6】如图所示，OP∥QB∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为________ 【答案】10° 【例题7】如图，已知AB∥CD，AE∥CF，求证：∠BAE=∠DCF 【答案】证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠DCA．（两直线平行，内错角相等） ∵AE∥CF， ∴∠EAC=∠FCA．（两直线平行，内错角相等）
平行线四大模型 平行线的判定与性质 I、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行. 判定方法I : 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2: 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3: 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简称：同旁内角互补，两直线平行， 若已知/仁/2,则AB//CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知/仁/3,则AB//CD（内错角相等，两直线平行）; 若已知/ 1+ / 4= 180。，贝U AB// CD（同旁内角互补，两直线平行）. 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2、平行线的性质 禾U用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质. 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简称：两直线平行，内错角相等 性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补
模型二“猪蹄”模型（ M 模型） 点P 在EF 左侧，在 AB CD 内部 | “猪蹄”模型 结论 1 :若 AB// CD 则Z P =Z AEF +Z CFR 结论 2:若Z P =Z AEP Z CFP 贝U AB// CD 模型三 “臭脚”模型 A 3 A z C / c F 点P 在EF 右侧，在 AB CD 外^ “臭脚”模型 结论 1 :若 AB// CD 则 Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 结论 2 :若Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 贝U AB// CD 模型四“骨 折”模型 ”8 A _________ D C P 在EF 左侧，在 _________ 1 点 圧AB CD 外部 ? L F “骨折”模型 结论 1 ：若 AB// CD 则 Z P =Z CFP Z AEP 或Z P =Z AEP Z CFP 本讲进阶 平行线四大模型 结论 2 :若/ P +Z AEP Z PF(= 360。，贝U AB// CD
平行线的判定和性质测试题 一、填空题：l 1、如右图，直线 a 、b被直线l所截， a ∥b， 170 ，2 则 2a . 1 2、两条直线被第三条直线所截，总有()b A 、同位角相等 B 、内错角相等C、同旁内角互补D、以上都不对 3、如图 1，下列说法正确的是 () A 、若 A B ∥ CD，则∠ 1=∠ 2 C、若∠ 1=∠2，则 AB ∥CD B、若 AD ∥ BC，则∠ 3=∠ 4 D、若∠ 1=∠ 2，则 AD ∥ BC （ 1）（2）（3）（4） 4、如图 2，能使 AB ∥ CD 的条件是 () A 、∠ 1=∠ B B、∠ 3=∠ A C、∠ 1+∠ 2+∠ B=180 °D、∠ 1=∠A 5、如图 3,AD ∥ BC,BD 平分∠ ABC ，若∠ A ＝ 100°，则∠ DBC 的度数等于 () A 、100°B、 85°C、 40°D、 50° 6、如图 4 所示， AC⊥ BC ， DE ⊥ BC， CD⊥ AB, ∠ ACD ＝ 40°，则∠ BDE 等于 () A 、 40° B 、 50°C、 60°D、不能确定 7、如图 5 所示，直线L 1∥ L 2， L 3⊥ L 4，有三个命题：①∠1+∠3=90°，②∠ 2+∠3=90°，③∠ 2=∠ 4．下列说法中，正确的是() A 、只有①正确B、只有②正确C、①和③正确D、①②③都正确 A E D B1C F （ 5） （ 6） 8、如图 6，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若 1 50°，则AEF = () A 、 110° B 、115°C、 120°D、 130° 二、解答题 A D E A 1、如图，AD∥BC , A C ,说明AB∥ DC . 2、如图，已知DE ∥BC， 1 2 ，CD AB 于点D，说明： FG AB D1E F B C
授课主题平行线 教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论； 2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理 3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论； 教学重点平行线的判定及性质 教学容 【知识梳理】 要点一、平行线 1．定义：在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 要点诠释： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点二、直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD（错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁角互补，两直线平行） 要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 要点三、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，错角相等； 性质3：两直线平行，同旁角互补.
一、学习内容：平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理 二、学习目标： 1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理 2.能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中． 三、学习重难点 重点：平行线的判定性质公理及定理. 难点：推理过程的规范化表达. 四、学习方法：教师精讲点拨与学生自主探究相结合 五、使用课时：2课时 六、学习导航 考点一 平行线的判定公理 1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角. 例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？ 当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。 例2．请将下面的空补充完整 1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（） 若∠3=∠4，则_________∥_________（） 若∠5=∠B，则_________∥_________（） 若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（） 2．如右图，∠1+∠2=180°（已知） ∠3+∠2=180°（） ∴∠1=_________ ∴AB∥CD（） 课堂练习： 1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°, 求证：AB∥C D． 2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．
求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD ． （1） （2） 3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180o之间的关系式． 4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ， 求：∠ EDC 和 ∠BDC 的度数。 达标训练： 一．选择题 1．下列命题中，不正确的是( ) A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题 5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________． α γ βE D C B A