《南方凤凰台》2020江苏高考总复习 一轮配套精练--答案
高考总复习 一轮配套精练 数学文科
答案详析
第一章 集合与常用逻辑用语 第1课 集合的概念与运算
A 应知应会
1. {2，4，5} 【解析】因为全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，所以?U A ＝{2，4，5}．
2. {0，1} 【解析】因为A ＝{x||x|<2}＝{x|－2 3. {－1，0，1} 【解析】因为A ＝{0，1}，B ＝{－1，0}，所以A ∪B ＝{－1，0，1}． 4. 5 【解析】A ∪B ＝{－1，0，1，2，7}，所以集合A ∪B 中元素的个数为 5. 5. 0 【解析】因为A ＝{1，3}，B ＝{a 2＋2，3}，且A ∪B ＝{1，2，3}，所以a 2＋2＝2，即a ＝0. 6. 1 【解析】因为B ?A ，所以a ∈A ，所以a ＝a ，解得a ＝1或a ＝0(舍去)． 7. 【解答】因为A ＝{x|x 2－1≤0}＝{x|－1≤x ≤1}，B ＝{x|0 又?U A ＝{x |1 ②当a ≥0时，A ＝{x|2－a ≤x ≤2＋a}，B ＝{x|x ≤1或x ≥4}， 由A ∩B ＝?，得???? ?2－a>1，2＋a<4，a ≥0， 解得0≤a<1. 综上所述，a 的取值范围为(－∞，1)． B 巩固提升 1. {2，6} 【解析】因为全集I ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，3，5}，所以?I A ＝{2，4，6}，又因为B ＝{2，3，6}，所以(?I A)∩B ＝{2，6}． 2. {－1，0，1} 【解析】由并集的定义可得A ∪B ＝{－1，0，1，2，3，4}，结合交集的定义可知(A ∪B)∩C ＝{－1，0，1}． 3. [－2，1) 【解析】由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2，所以A ＝{x|－2≤x ≤2}；由1－x>0，得x<1，所以B ＝{x|x<1}，故A ∩B ＝{x|－2≤x<1}． 4. {x|x ＜0} 【解析】因为集合B ＝{x|x ＜0}，所以A ∩B ＝{x|x ＜0}． 5. －2 【解析】因为A ＝B ，所以a 2＝4，解得a ＝±2.又因为a<0，所以a ＝－2. 6. (－∞，－1]∪[5，＋∞) 【解析】因为?U B ＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A ?(?U B)，所以a ＋1≤0或a ≥5，解得a ≤－1或a ≥5. 7. 【解答】(1) 由题可知???x ＝4， y ＝3， 所以?????x ＝16，y ＝3，故x ＋y ＝19. (2) 假设存在实数x ，使得B ?A ，则2－x ＝3或2－x ＝x. 若2－x ＝3，则x ＝－1，不合题意； 若2－x ＝x ，则x ＋x －2＝0，解得x ＝1，不合题意． 故不存在实数x ，使得B ?A. 8. 【解答】(1) 当a ＝0时，A ＝{x|0≤x ≤3}，B ＝{x|－3≤x ≤2}， 所以?R B ＝{x |x ＜－3或x ＞2}， 所以A ∪B ＝{x |－3≤x ≤3}，A ∩(?R B )＝{x |2＜x ≤3}． (2) 因为A ∩B ＝A ，所以A ?B ， 所以?????a ≥－3，a ＋3≤2， 解得－3≤a ≤－1， 所以实数a 的取值范围为[－3，－1]． 第2课 四种命题和充要条件 A 应知应会 1. 逆否命题 2. ②③ 【解析】①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题． 3. 充分不必要 【解析】因为q ：x ≤1或x ≥4，所以p 是q 的充分不必要条件． 4. 0 【解析】由题意可得? ????x<1，x ≥a 或?????x ≥1，x 值是0. 5. 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n ＝0，得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n.因为n ∈N *，方程有整数解，所以n ＝3或4，故当n ＝3或4时方程有整数解． 6. ????－12，43 【解析】解不等式|x －m|<1，得 m －1 ?13，12? (m －1，m ＋1)，故???m －1≤1 3， m ＋1≥1 2 且等号不同时成立，解得－12≤m ≤4 3. 7. 【解答】由x 2－5x ＋6≥0，得x ≥3或x ≤2. 因为命题q 为假，所以x ≤0或x ≥4. 则{x|x ≥3或x ≤2}∩{x|x ≤0或x ≥4}＝{x|x ≤0或x ≥4}． 所以满足条件的实数x 的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞)． 8. 【解答】由x 2＋x －6<0，得－3 B 巩固提升 1. 必要不充分 【解析】由2a >2b ，解得a>b ，由“lg a>lg b”解得a>b>0，所以“2a >2b ”是“lg a>lg b”的必要不充分条件． 2. 充分不必要 【解析】若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λn 2<0成立，所以为充分条件；当m ·n <0时，m 与n 不一定共线，所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”不一定成立，所以不是必要条件．综上可知，“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件． 3. (1，4) 【解析】当1≤x ≤2时，|f(x)－a|<2恒成立，即f(x)－2 时，f(x)＋2的最小值是4，f(x)－2的最大值是1，所以1 4. 1，－1(答案不唯一) 【解析】使“若a>b ，则1a <1 b ”为假命题，举一反例即可，只需 取a ＝1，b ＝－1即可满足， 所以满足条件的一组a ，b 的值为1，－1(答案不唯一)． 5. ①②④ 【解析】①因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①是真命题；②其逆否命题为真，故②是真命题；③“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题为“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”是真命题． 6. ????0，12 【解析】因为p ：12≤x<1，q ：a ?0≤a<12 . 7. 【解答】因为集合A ＝{x|x 2－6x ＋8<0}＝{x|2 (1) 当a ＝0时，B ＝?，不合题意． 当a>0时，B ＝{x|a 3≤a ≤2. 当a<0时，B ＝{x|3a ??? ?3a ≤2，a ≥4，无解． 综上，实数a 的取值范围为???? 43，2. (2) 要满足A ∩B ＝?， 当a>0时，B ＝{x|a 3或a ≥4. 当a<0时，B ＝{x|3a 综上，实数a 的取值范围为????－∞，2 3∪[4，＋∞)． 8. 【解答】因为命题p 是真命题，所以0 所以A ＝??????x ??mx －1x <0＝? ????? x ??0 由题意知B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝{x |log 12 x >1}＝??? ? ??x ? ?0 ??1 m ≤4，1m >12 .② 由①②得m ＝1. 第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 A 应知应会 1. 假 2. ?x ∈R ，x 2－x ＋1≠0 3. ②③ 【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③非q 为真命题，则p ∧(非q)为真命题；④非p 为假命题，则(非p)∨q 为假命题． 4. [－3，0] 【解析】因为命题p “?x ∈R ，2ax 2＋ax －3 8>0”为假命题，所以对任意的x ∈R ， 都有2ax 2＋ax －3 8≤0.当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，a <0，且Δ＝a 2＋3a ≤0，所以－3≤a <0. 综上，实数a 的取值范围是[－3，0]． 5. ????12，23 【解析】命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，即3a 2≤1，解得a ≤2 3.命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在R 上为减函数，即 0＜2a －1＜1，解得 12＜a ＜1.若“p ∧q ”为真命题，则有a ≤23且12＜a ＜1，所以12＜a ≤2 3 ，即实数a 的取值范围是??? ?12，23. 6. [2，＋∞) 【解析】依题意知p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2. 因此由p ，q 均为假命题得? ????m ≥0， m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 7. 【解答】由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)·(ax －1)＝0，所以x ＝－2a 或x ＝1 a .若只有一个 实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，即Δ＝(2a)2－8a ＝0，因为a>0，所以a ＝2.因为“p ∨q ” 是假命题，所以p ，q 均为假命题，所以???????? ?－2a >1，??? ?1a >1， a ≠2，a>0， 解得0 1)． 8. 【解答】p ：－1≤x ≤5. (1) 因为p 是q 的充分条件，所以[－1，5]是[1－m ，1＋m]的子集，所以???? ?m>0，1－m ≤－1，1＋m ≥5，解 得m ≥4. 所以实数m 的取值范围为[4，＋∞)． (2) 当m ＝5时，q ：－4≤x ≤6.由题意知p 与q 一真一假． 当p 真q 假时，由? ????－1≤x ≤5， x<－4或x>6，得x ∈?. 当p 假q 真时，由? ????x<－1或x>5， －4≤x ≤6， 得－4≤x<－1或5 所以实数x 的取值范围为[－4，－1)∪(5，6]． B 巩固提升 1. ④ 【解析】由指数函数图象恒过点(0，1)，函数y ＝a x ＋ 1＋1的图象是由y ＝a x 先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以函数y ＝a x ＋ 1＋1的图象恒过点(－1，2)，故命题p 为真命题；命题q ：直线m 与平面β的位置关系也可能是m ?β，故q 是假命题，所以p ∧(非q)为真命题．故④正确． 2. 1 【解析】因为“?x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，所以“?x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0” 是真命题，所以Δ＝4－4m <0，解得m >1，故a 的值是1. 3. ????23，1 【解析】令f(x)＝x 2－4ax ＋3a 2，根据题意可得? ????f （1）＝1－4a ＋3a 2 ≤0，f （2）＝4－8a ＋3a 2 ≤0，解得2 3 ≤a ≤1，所以实数a 的取值范围是????23，1. 4. ①③ 【解析】①命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以“p ∧(非q)”为假命题，故①正确；②当a ＝b ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确的结论为①③. 5. ①② 【解析】对于①，由存在x ∈[0，2]，使x 2－a ≥0成立，可得a ≤4，因此为充分不必要条件，故①正确；②显然正确；对于③，若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个假命题，所以③错误． 6. (－∞，1] 【解析】由题意知，f(x 1)min ??? ?x 1∈????12，1≥g(x 2)min (x 2∈[2，3])，因为f(x)＝x ＋4x ，x ∈????12，1，所以f′(x)＝1－4 x 2<0，所以f(x)在????12，1上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝5，又因为g(x)在[2，3]上的最小值为g(2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1. 7. 【解答】(1) 若p 为真命题，则ax 2＋2x ＋a>0的解集为R ， 则a >0且4－4a 2<0，解得a >1. 若q 为真命题，则a 4 ≥1，即a ≥4. 因为“p ∧(非q )”为真命题，所以p 为真命题且q 为假命题， 所以实数a 的取值范围是(1，4)． (2) 解不等式(x －m )(x －m ＋2)<0，得m －2 因为A ∩B ＝A ，则A ?B ，所以m －2≥1，即m ≥3. 故实数m 的取值范围为[3，＋∞)． 8. 【解答】(1) 由题意得f′(x)＝3x 2＋2ax ＋1≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，所以Δ＝4a 2 －12≤0，解得－3≤a ≤ 3. 所以实数a 的取值范围为[－3，3]． (2) 若q 真：因为g′(x)＝e x －1≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立， 所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，则g(0)＝a ＋1>0?a>－1. 由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题知p ，q 一真一假． 若p 真q 假，则???－3≤a ≤3， a ≤－1，解得a ∈[－3，－1]； 若p 假q 真，则???a<－3或a>3， a>－1， 解得a ∈(3，＋∞)． 综上所述，a 的取值范围为[－3，－1]∪(3，＋∞)． 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第4课 函数的概念及其表示法 A 应知应会 1. 0或－2 【解析】令x 2＋2x ＋3＝3，解得x ＝0或－ 2. 2. 5x ＋1x 2 【解析】令t ＝1x (t ≠0)，所以x ＝1t ，所以f(t)＝1t 2＋5 t ，所以f(x)＝5x ＋1x 2 . 3. 13 【解析】由题意知g ????13＝ln 13＜0，所以 g ????g ????13＝eln 13＝13 . 4. ③ 【解析】①中，g(x)＝x 2＝|x|≠x ；②中，g(x)＝(x －1)0＝1(x ≠1)；③中，f(x)＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)；④中，f(x)＝x 2－9 x ＋3 ＝x －3(x ≠－3)．故③中表示同一函数． 5. 2 【解析】因为f(x)＝?????x ，x ≥1，1 x ，0 ，x ≤0， 所以f(－2)＝2 －2 ＝1 4，f ??? ?14＝4，f(4)＝4＝2，所以f(f(f(－2)))＝2. 6. 1 【解析】令3x －1＝－7 10，得x ＝10，所以f ????－710＝lg 10＝1. 7. 【解答】(1) 设f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)， 则a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1， 所以?????2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1， 解得a ＝12，b ＝12. 因此f(x)＝12x 2＋1 2 x. (2) 由已知得? ??f （x ）＋2f ???? 1x ＝2x ＋1， f ????1x ＋2f （x ）＝2x ＋1， 消去f ????1x ，得f(x)＝4＋x －2x 2 3x ＝43x －23x ＋13 . (3) 设t ＝2x ＋1(t>1)，则x ＝2 t －1 ， 所以f(t)＝lg 2t －1(t>1)，故f(x)＝lg 2 x －1 (x>1)． 8. 【解答】由题意知此框架的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长为2x ，宽为a ，半圆的直径为2x ，半径为x ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝l 2－π 2x －x ，所 以y ＝πx 22＋(l 2－π 2 x －x)·2x ＝－????2＋π2x 2＋lx. 根据实际意义知l 2－π2x －x>0，因为x>0，解得0 2＋π，即函数y ＝－????2＋π2x 2＋lx 的定义域是{x|0 2＋π }． B 巩固提升 1. 2x －1 【解析】由g(x ＋2)＝f(x)，得g(x ＋2)＝2x ＋3.令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入可得g(t)＝2t －1，从而g(x)＝2x －1. 2. 6 【解析】当0 4.此时f ????1a ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1>1，所以f(a)＝2(a －1)，f(a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a ＋1)，得2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ????1a ＝6. 3. 9 【解析】因为f ????19＝log 3 19＝－2，所以f ????f ????19＝f(－2)＝????13－2 ＝9. 4. f(x)＝1516x －916x ＋18(x ≠0) 【解析】用1 x 代替x ，得3f ????1x ＋5f(x)＝3x ＋1， 所以???3f （x ）＋5???? 1x ＝3 x ＋1，①3f ??? ?1x ＋5f （x ）＝3x ＋1，② 由①②得f(x)＝1516x －916x ＋1 8 (x ≠0)． 5. [－3，2] 【解析】由表格数据作出二次函数的草图，结合数据与图象即可发现不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]． 6. (－2，1) 【解析】作出函数f(x)＝???? ?2x ＋1，x>0，0，x ＝0，2x －1，x<0的图象如图所示，所以f(x)是定义 域为R 的奇函数也是增函数， 所以不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0，即f (x 2－2)＜f (－x )，x 2－2＜－x ，解得－2＜x ＜1，所以原不等式的解集为(－2，1)． (第6题) 7. 【解答】(1) 因为0＜c ＜1，所以c 2＜c. 由f(c 2)＝98，得c 3＋1＝98，所以c ＝1 2 . (2) 由(1)得f(x)＝???12x ＋1，0 2， 2－4x ＋1，1 2≤x<1. 当0＜x ＜12时，12x ＋1>28＋1，解得24＜x ＜1 2； 当12≤x ＜1时，2－ 4x ＋1>28＋1，解得12≤x ＜58. 所以不等式的解集为??? ??? x ?? 24 8. 【解答】(1) 由题意及函数图象，得??? 402 200 ＋40m ＋n ＝8.4，60 2 200＋60m ＋n ＝18.6， 解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2) 令x 2200＋x 100 ≤25.2，得－72≤x ≤70. 因为x ≥0，所以0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70 km /h . 第5课 函数的定义域与值域 A 应知应会 1. {x|x>3} 【解析】要使函数有意义，则有x －3>0，所以x>3，故函数的定义域为{x|x>3}． 2. [2，＋∞) 【解析】要使函数f(x)有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f(x)的定义域为[2，＋∞)． 3. {1，4} 【解析】当x ＝－1时，f(x)＝1；当x ＝2时，f(x)＝4，所以f(x)的值域是{1，4}． 4. [0，2] 【解析】－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，所以0≤－x 2＋4x ≤2，所以0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2. 5. [4，＋∞) 【解析】当m ＝0时，不符合题意，所以? ????m>0， Δ＝m 2 －4m ≥0，解得m ≥4. 6. [－3，＋∞) 【解析】当x>1时，f(x)∈(0，1)；当x ≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，所以f(x)∈[－3，＋∞)． 7. 【解答】(1) 因为集合A 表示函数f(x)＝1 x ＋2＋lg (3－x)的定义域，所以?????x ＋2>0，3－x>0， 即 A ＝(－2，3)，所以?U A ＝(－∞，－2]∪[3，＋∞). (2) 因为A ∪B ＝B ，所以A ?B ，所以a ≥3. 故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 8. 【解答】令f(x)＝mx 2＋x ＋1. (1) 由题意知f(x)≥0在R 上恒成立． ①当m ＝0时，f (x )＝x ＋1≥0在R 上不恒成立； ②当m ≠0时，要满足题意，必有?????m >0，Δ＝1－4m ≤0， 所以m ≥1 4. 综上所述，实数m 的取值范围是??? ?1 4，＋∞. (2) 由题意知，f (x )＝mx 2＋x ＋1能取到一切大于或等于0的实数． ①当m ＝0时，f (x )＝x ＋1可以取到一切大于或等于0的实数； ②当m ≠0时，要满足题意，必有? ????m >0， Δ＝1－4m ≥0， 所以0 4 . 综上所述，实数m 的取值范围是??? ?0，14. B 巩固提升 1. [－4，0)∪(0，1) 【解析】函数的定义域必须满足条件 ?????x ≠0，x 2 －3x ＋2≥0， －x 2－3x ＋4≥0， x 2 －3x ＋2＋－x 2 －3x ＋4>0， 解得x ∈[－4，0)∪(0，1)． 2. (0，1] 【解析】由? ????2x ≥0，2x －1≥0，解得x ≥1 2，即函数的定义域为????12，＋∞，函数y ＝2x －2x －1＝ 1 2x ＋2x －1 ，令t(x)＝2x ＋2x －1，则t(x)在????12，＋∞上单调递增，当x ＝12时，t(x)min ＝1，即t(x)≥1，所以y ＝1 t ∈(0，1]，即函数的值域为(0，1]． 3. [－5，－1] 【解析】因为1≤f(x)≤3，所以1≤f(x ＋3)≤3，所以－6≤－2f(x ＋3)≤－2，所以－5≤F(x)≤－1. 4. [0，1] 【解析】由题意知kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0在R 上恒成立．当k ＝0时，显然成立；当k >0时，Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0，得0 5. [－1，2] 【解析】因为y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]， x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f(x)的定义域为[－1，2]． 6. 15 【解析】因为A ?[8，16]，所以8≤f(x)≤16对任意的x ∈[1，3]恒成立，所以 ? ????a ≤16x －x 2 ，a ≥8x －x 2对任意的x ∈[1，3]恒成立，当x ∈[1，3]时，16x －x 2∈[15，39]，8x －x 2∈[7，15]，所以? ????a ≤15，a ≥15，故a ＝15，即a 的值为15. 7. 【解答】(1) 当x ∈????12，2时，f(x)＝a －1 x ，所以函数f(x)在????12，2上是增函数．所以f(x)的值域为? ???a －2，a －1 2， 结合题设有???a －2＝1 2， a －1 2＝2， 所以a ＝5 2. (2) 当x ∈[m ，n](m x ， 所以函数f(x)在[m ，n]上是减函数， 所以f(x)的值域为????a ＋1n ，a ＋1m ， 假设存在实数a ，使得函数f(x)的定义域与值域均为[m ，n]， 则??? a ＋1 n ＝m ，a ＋1 m ＝n. 两式相减，得1m －1 n ＝n －m ，即n －m mn ＝n －m ， 因为m 综上所述，存在实数a ＝0满足题设，此时mn ＝1. 8. 【解答】(1) f(x)＝ x ＋1 x ＋3 ，x ∈[0，a](a>0)． (2) 由(1)知函数f(x)的定义域为????0，14. 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈????1，32， 则f(x)＝F(t)＝t t 2－2t ＋4 ＝ 1 t ＋4t －2. 因为当t ＝4 t 时，t ＝±2?????1，32. 又当t ∈????1，32时，y ＝t ＋4 t 单调递减， 故F(t)单调递增，所以F(t)∈???? 13，613. 所以函数f(x)的值域为???? 13，613. 第6课 函数的单调性 A 应知应会 1. ????－∞，34 【解析】令u ＝2x 2－3x ＋1＝2????x －342 －18 . 因为u ＝2????x －342－18在????－∞，34上单调递减，函数y ＝????13u 在R 上单调递减，所以y ＝??? ?132x 2 －3x ＋1 在? ???－∞，3 4上单调递增． 2. (3，＋∞) 【解析】依题意得不等式f(x)＜f(2x －3)等价于x ＜2x －3，解得x ＞3，即x 的取值范围是(3，＋∞)． 3. 5 【解析】依题意可得函数图象的对称轴方程为x ＝a －12×2 ＝1，所以a ＝5. 4. ????0，32 【解析】y ＝－(x －3)|x|＝? ????－x 2＋3x ，x>0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象如图所示，观察图象可知函数的单调增区间为??? ?0，3 2. (第4题) 5. ????12，＋∞ 【解析】设x 1>x 2>－2，则f(x 1)>f(x 2)，又f(x 1)－f(x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1 x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1（x 1＋2）（x 2＋2）＝（x 1－x 2）（2a －1） （x 1＋2）（x 2＋2）>0.由x 1－x 2>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，知2a －1>0， 所以a>1 2 . 6. 3 【解析】因为y ＝????13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1，1]上的减函数，所以f(x)＝????13x －log 2(x ＋2)是在区间[－1，1]上的减函数，所以最大值为f(－1)＝3. 7. 【解答】设x 1，x 2是任意两个正数，且0＜x 1＜x 2， 则f(x 1)－f(x 2)＝????x 1＋a x 1－????x 2＋a x 2＝x 1－x 2 x 1x 2(x 1x 2－a)． 当0＜x 1＜x 2≤a 时，0＜x 1x 2＜a ， 又x 1－x 2＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)， 所以函数f(x)在(0，a]上是减函数； 当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2＞a ，又x 1－x 2＜0， 所以f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)， 所以函数f(x)在[a ，＋∞)上是增函数． 综上可知，函数f(x)＝x ＋a x (a ＞0)在(0，a]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 8. 【解答】(1) 任取x 1 则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2 x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f(x 1) f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2 x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ） . 因为a>0，x 2－x 1>0，所以要使f(x 1)－f(x 2)>0， 只需(x 1－a)(x 2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1]． B 巩固提升 1. [3，＋∞) 【解析】设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调增区间为[3，＋∞)． 2. (－∞，0)∪(1，＋∞) 【解析】因为f(x)为R 上的减函数，且f ????1x ＞f (1)，所以1 x ＜1.当x ＜0时，显然成立；当x ＞0时，得x ＞1，所以实数x 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 3. －6 【解析】由函数f(x)的图象可知，函数f(x)在(－∞，－a 2]上单调递减，在[－a 2， ＋∞)上单调递增，又函数f(x)的单调增区间是[3，＋∞)，所以－a 2 ＝3，解得a ＝－6. 4. [0，1) 【解析】由题意知g(x)＝???? ?x 2 ，x>1，0，x ＝1，－x 2，x<1，其图象如图所示，由图象知单调减区 间是[0，1)． (第4题) 5. [－2，0) 【解析】因为当x ≥1时，f(x)＝－x 2＋2ax －2a 是减函数，所以a ≤1.当x ＜1时，函数f(x)＝ax ＋1是减函数，所以a ＜0，分界点处的值应满足－12＋2a ×1－2a ≤1×a ＋1，解得a ≥－2，所以－2≤a ＜0. 6. (－∞，0) 【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，若f(x ＋1) ?? ??2x<0， 2x 解得x<0，所以满足f(x ＋1) (第6题) 7. 【解答】(1) 由2f(1)＝f(－1)，得22－2a ＝2＋a ，解得a ＝2 3 . (2) 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2， f(x 1)－f(x 2)＝ x 2 1＋1－ax 1－ x 2 2＋1＋ax 2＝ x 2 1＋1－ x 22＋1－a(x 1－x 2)＝ x 21－x 2 2 x 21＋1＋x 2 2＋1 －a(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)? ????x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . 因为0≤x 1＜x 21＋1，0＜x 2＜x 2 2＋1， 所以0＜x 1＋x 2 x 21＋1＋x 22 ＋1＜1. 又因为a ≥1，所以f(x 1)－f(x 2)＞0， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减． 8. 【解答】(1) 当a ＝1时，f(x)＝2x －1 x ，任取0 则f(x 1)－f(x 2)＝2(x 1－x 2)－????1x 1 －1x 2 ＝(x 1－x 2)·??? ?2＋1x 1x 2 .因为0 所以f(x)的值域为(－∞，1]． (2) 若a ≥0，y ＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a.若a ＜0，f(x)＝2x ＋－a x ， 当 －a 2 ≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ； 当 －a 2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f(x)在? ???0，－a 2上单调递减，在 ? ?? ?－a 2，1上单 调递增，无最大值，当x ＝ －a 2 时取得最小值2－2a. 第7课 函数的奇偶性 A 应知应会 1. 2 【解析】因为偶函数的定义域应当关于原点对称，故t －4＝－t ，解得t ＝ 2. 2. 12 【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即1 2－x －1＋a ＝－12x －1 －a ，化简 得2a ＝1，解得a ＝1 2 . 3. 奇函数 【解析】显然f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称．又因为f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 4. 27 【解析】由f(－7)＝－17，得g(－7)＝－22，根据g(x)为奇函数，得g(7)＝22，又f(7)＝g(7)＋5，所以f(7)＝22＋5＝27. 5. －2 【解析】因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又因为当x <0时，f (x )＝log 2(2－x )，所以f (2)＝－f (－2)＝－log 2(2＋2)＝－2，故f (0)＋f (2)＝－2. 6. (－∞，2] 【解析】由f(x)在R 上是奇函数且在(－∞，0]上单调递增，知f (x )在R 上单调递增．又f (－1)＝－2，则f (1)＝2，所以f (2x －3)≤2＝f (1)，所以2x －3≤1，即x ≤2. 7. 【解答】因为f(x)是定义在R 上的奇函数， 可得f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0. 当x >0时，－x <0，由已知得f (－x )＝x lg(2＋x )， 所以－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x )(x >0)． 所以f (x )＝? ????－x lg （2－x ），x <0， －x lg （2＋x ），x ≥0. 即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 8. 【解答】(1) 当a ＝0时，f(x)＝x 2， 对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 有f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 当a ≠0时，f(x)＝x 2＋a x ，f(－1)＝1－a ，f(1)＝1＋a ， 所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， 所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当a ＝0时，f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(x)为非奇非偶函数． (2) 设2≤x 1 ＋a x 1－x 2 2－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1 ＋x 2)－a]，要使函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，则f(x 1)－f(x 2)<0恒成立． 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>4， 所以a 又因为x 1＋x 2>4，所以x 1x 2(x 1＋x 2)>16， 所以实数a 的取值范围是(－∞，16]． B 巩固提升 1. 1 【解析】由题知y ＝ln (x ＋a ＋x 2)是奇函数，所以ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (－x ＋a ＋x 2)＝ln (a ＋x 2－x 2)＝ln a ＝0，解得a ＝1. 2. －3 【解析】因为f(x)为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－ 3. 3. [1，3] 【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x －2)≤1，即f(1)≤f(x －2)≤f(－1)，因为f(x)在R 上单调递减，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，故x 的取值范围为[1，3]． 4. [－1，3] 【解析】易知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝2，所以f(x －1)≤2 ＝f(2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3. 5. (－5，0)∪(5，＋∞) 【解析】由于f(x)为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝???? ?x 2 －4x ，x >0，0，x ＝0， －x 2－4x ，x <0. 由f (x )>x ，可得???? ?x 2 －4x >x ，x >0或? ????－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5 0)∪(5，＋∞)． 6. ④ 【解析】依题意知性质(1)反映函数f(x)在定义域上为奇函数，性质(2)反映函数f(x)在定义域上为减函数．①f(x)＝1 x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调减 区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，排除①；②f(x)＝x 2 为定义域上的偶函数，排除②；③f(x)＝2x －1 2x ＋1 ＝1－2 2x ＋1 的定义域为R ，由于y ＝2x ＋1在R 上为增函数，故函数f (x )为R 上的增函数，排 除③；④根据f (x )＝? ??? ?－x 2，x ≥0，x 2，x <0的图象，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数， 故④为“理想函数”． 7. 【解答】(1) 显然f(x)的定义域是R ，关于原点对称． 在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )中， 令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )． 令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0， 所以f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2) 由f (－3)＝a ，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，及f (x )是奇函数，得f (12)＝2f (6)＝4f (3)＝－4f (－3)＝－4a . 8. 【解答】(1) 由题意得－3x ＋13x ＋1＋1＝3x ，化简得3·(3x )2＋2·3x －1＝0，解得3x ＝－1(舍去) 或3x ＝1 3 ，从而x ＝－1. (2) 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0， 所以－3－ x ＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x ＋a 3x ＋1＋b ＝0， 化简并变形得(3a －b)(3x ＋3－ x )＋2ab －6＝0. 要使上式对任意的x 恒成立，则3a －b ＝0且2ab －6＝0， 解得?????a ＝1，b ＝3或?????a ＝－1，b ＝－3，因为f(x)的定义域是R ， 所以? ????a ＝－1，b ＝－3不合题意，所以a ＝1，b ＝3， 所以f (x )＝－3x ＋13x ＋1＋3＝13? ? ??－1＋23x ＋1， 对任意x 1，x 2∈R ，x 1 有f (x 1)－f (x 2)＝13????23x 1＋1－23x 2 ＋1＝2 3· 3x 2－3x 1（3x 1＋1）（3x 2＋1）. 因为x 1 因此f (x )在R 上单调递减． 因为f (t 2－2t ) 第8课 函数的图象和周期性 A 应知应会 1. 2.5 【解析】由f(x ＋2)＝－f(x)，得f(x ＋4)＝f((x ＋2)＋2)＝－f(x ＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5. 2. y ＝(x －1)2＋3 【解析】把函数y ＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2的图象，再向上平移1个单位长度，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3的图象． 3. 116 【解析】f(2)＝f(3)＝f(4)＝????124＝116 . 4. (－∞，0]∪(1，2] 【解析】y ＝f(x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得到y ＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴方程为x ＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上单 调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)的大致图象如图所示．不等式(x －1)f(x)≤0可化为 ?????x>1，f （x ）≤0或? ????x<1，f （x ）≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1，2]． (第4题) 5. 1 【解析】f(x ＋2)＝f(x)?T ＝2，由f ????－52－f ????92＝0，得f ????－12＝f ????12，4－12＋a ＝1 4－log 212?a ＝34，因此f(4a)＝f(3)＝f(－1)＝4－ 1＋34 ＝1. 6. 【解答】(1) y ＝ 2x －1x －1＝2（x －1）＋1x －1＝2＋1 x －1 . 先作出函数y ＝1x 的图象，再把函数y ＝1 x 的图象向右平移1个单位长度后得到函数y ＝ 1x －1的图象，最后把函数y ＝1x －1的图象向上平移2个单位长度后得到函数y ＝2＋1 x －1 的图 象，如图(1)所示． (2) y ＝(x ＋1)|x －2|＝? ????－x 2＋x ＋2，x<2， x 2－x －2，x ≥2.函数的图象如图(2)所示． (3) 首先作出函数y ＝2x 的图象，在y 轴右边的保持不变，去掉y 轴左边的图象，再把y 轴右边的图象对称地翻折到y 轴左边，即得函数y ＝2|x|的图象，最后把函数y ＝2|x|的图象向 左平移1个单位长度后得到函数y ＝2|x ＋ 1|的图象，如图(3)所示． 图(2) 图(3) (第6题) 7. 【解答】(1) 由函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，知f(x ＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x ＋2)． 又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 故f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 即函数f (x )是以4为周期的周期函数． (2) 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝0. 当x ∈[－1，0)时，－x ∈(0，1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x . 故当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－－x . 当x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1，0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4. 从而当x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4. B 巩固提升 1. 4 【解析】由f(x)·f(x ＋2)＝13，得f(x ＋2)＝ 13 f （x ） ，所以f(x ＋4)＝f((x ＋2)＋2)＝13 f （x ＋2） ＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数． 2. 1 【解析】由题意可知f ????32＝f ????2－12＝f ????－12＝－4×??? ?－1 22 ＋2＝1. 3. (－1，1] 【解析】如图，作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，当x ＝1时，两图象相交，由图象知不等式的解集为{x|－1＜x ≤1}． (第3题) 4. g(x)＝3x － 2 【解析】设g(x)上的任意一点A(x ，y)，则该点关于直线x ＝1的对称点为 B(2－x ，y)，而该点在f(x)的图象上．所以y ＝??? ? 132－x ＝3x － 2，即g(x)＝3x － 2. 5. [0，2) 【解析】方法一：由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f(x)＝|2x －2|的图象如图所示，由图易得值域为[0，2)． 方法二：因为x ∈(－1，2)，所以2x ∈????12，4，2x －2∈????－3 2，2，所以|2x －2|∈[0，2)．因为y ＝f(x －1)是由f(x)向右平移1个单位长度得到的，所以值域不变，所以y ＝f(x －1)的值域 为[0，2)． (第5题) 6. 1 516 【解析】因为函数y ＝f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[－2，0]时，f(x)＝2x ＋1，所以函数的值域为[－3，1]，对任意x i ，x j (i ，j ＝1，2，3，…，n)，都有|f(x i )－f(x j )|≤f(x)max －f(x)min ＝4，要使n ＋x n 取得最小值，尽可能多让x i (i ＝1，2，3，…，n)取得最值，且f(0)＝1，f(2)＝－3，因为0≤x 1＜x 2＜…＜x n ，|f(x 1)－f(x 2)|＋|f(x 2)－f(x 3)|＋…＋|f(x n －1 )－f(x n )|＝2 020，所以n 的最小值为2 020 4 ＋1＝506，相应的x n 最小值为1 010，则n ＋x n 的 最小值为1 516. 7. 【解答】(1) 因为f(x ＋2)＝－f(x)， 所以f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)． 所以f(x)的最小正周期为4. (2) f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 又因为f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1. 8. 【解答】 (1) 因为f(4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4. (2) 因为f(x)＝x|4－x|＝?????x 2－4x ，x ≥4， －x 2＋4x ，x<4. 即f(x)＝? ????（x －2）2 －4，x ≥4， －（x －2）2 ＋4，x<4， 所以函数f(x)的图象如图所示． 由图象知函数f(x)有两个零点． (3) 从图象上观察可知，f(x)的单调减区间为[2，4]． (4) 从图象上观察可知，不等式f(x)>0的解集为{x|0 (5) 由图象可知若y ＝f(x)与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0 (第8题) 第9课 二次函数、幂函数 A 应知应会 1. 13 【解析】设幂函数为f(x)＝x α，由图象经过点????－2，－18，得－1 8＝(－2)α，所以α＝－3，所以f(x)＝x －3 ，令x － 3＝27，得x ＝13 . 2. [－6，12] 【解析】y ＝2(x －2)2－6，当x ＝2时，y 取得最小值，为－6；当x ＝－1时，y 取得最大值，为12. 3. 2 【解析】由题意知m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，f(x)＝x － 3，符合题意；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，f(x)＝x 0，不合题意．综上，m ＝2. 4. {x|－4≤x ≤4} 【解析】由f ????12＝22?α＝12 ，故f(|x|)≤2?|x|1 2≤2?|x|≤4，故其解集 为{x|－4≤x ≤4}． 5. [7，＋∞) 【解析】易知函数f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x ＝a －1 2，因为函 数f(x)在区间????12，1上为增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2，所以f(2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f(2)≥7. 6. 7 【解析】因为f(0)＝4，所以a ＋2b ＝4，即a ＝4－2b ，所以f(1)＝ab ＋a ＋2b ＋1＝ab ＋5＝(4－2b)b ＋5＝－2b 2＋4b ＋5＝－2(b －1)2＋7，所以当b ＝1时，f(1)的最大值为 7. 7. 【解答】作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图所示．由图象可知，要使函数在[0，m]上取得最小值2， 则1∈[0，m]，从而m ≥1， 当x ＝0时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝3， 所以要使函数的最大值为3，则m ≤2， 故实数m 的取值范围为[1，2]． (第7题) 8. 【解答】(1) 由题意知f(－1)＝a －b ＋1＝0，且－b 2a ＝－1，所以a ＝1，b ＝2，所以f(x) ＝x 2＋2x ＋1，其单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)． (2) f(x)＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立， 即x 2＋x ＋1＞k 在[－3，－1]上恒成立． 设g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，有k ＜g(x)min . 因为g(x)在[－3，－1]上单调递减， 所以g(x)min ＝g(－1)＝1. 所以k ＜1，即k 的取值范围为(－∞，1)． B 巩固提升 1. ? ?? ? ??a ? ?a<－1或23 2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m ＝1. 因为f (x )＝x －1 3 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， 所以(a ＋1)－13<(3－2a )－1 3等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解 得a <－1或23 2 . 故a 的取值范围为? ?? ? ??a ?
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