拉格朗日条件极值
拉格朗日乘子法的简单证明(不知道对不对)
应用例题：已知有一个体积为a 的铁块。把这个铁块打造成一个长方体，求其表面积s 的极小值。 解:依据题意有如下关系式
)1(a xyz = )2()(2222z y x s ++=
构造函数M 如下：
)3()()(2),,,(222a xyz c z y x c z y x M -+++=
只要求M 函数的极值，即为s 的极值。
)4(04=+=??cyz x x M )5(04=+=??cxz y y M
)6(04=+=??cxy z z M )7(0=-=??a xyz c
M 以上四个方程可解出四个未知数x ，y ，z ，c 。将(7)带入(4)，(5)，(6)后得：
)8(4442
22z y x ac ===-
可得: )9(431
a z y x ac
====- )01(431
-a c -=
此时，面积s 为：
)9(632a
s =
证明过程：拉格朗日乘子法，拉格朗日条件极值。
已知，自变量x 和y 符合关系式(1)，求表达式(2)的极值。
)1(0),(==y x F z )2(),(y x f )3(?)(y =x
解:若可以从(1)式中求出y 的表达式(3)，则可以把(3)式带入(2)式。此时，就变成求单个自变量的函数极值问题，即为(4)式。
)4(0))(,())(,(=+=dx dy x y x f x y x f dx dz y x
对(1)进行全微分，可得(5)式,进而得到(6)式。
)6()5(0
),(Y x y x F F dx dy dy F dx F y x dF -==+=
将(6)式带入(4)式可得(7)式。 )7(0))(,())(,())(,())(,(=-=-=x y
y x y x y x F F x y x f x y x f F F x y x f x y x f dx dz
)8(),()
,(y x F y x f y y -=λ
设极值点坐标为(x 0,y 0),则此时将极值点坐标带入(7)，并采用(8)式记号后得(9)式 )9(0),(),()
,(),(),(),(000000000000=-=-=y x F y x f y x F y x F y x f y x f dx dz x x y x y x λ
)9(0),(),(0000=-=y x F y x f dx dz x x λ 反过来，我们假设存在(10)式，则将极值点的坐标(x 0,y 0)带入后可得(10)式等于0。 )10(0?),(),(==-=y x F y x f dx dz x x λ
依据(8)式定义知当坐标(x 0,y 0)确定后λ(x 0,y 0)为一常数(但此前λ(x,y)为变数)。 类似可得(11)式
)11(0),(),(0000=-=y x F y x f dy
dz y y η 反过来，我们假设存在(12)式，则将极值点的坐标(x 0,y 0)带入后可得(12)式等于0。 )12(0?),(),(==-=y x F y x f dy dz y y η
)31(),()
,(y x F y x f x x -=η
对于符合限制条件的自变量，在极值点处有(14)式成立,进而可得(15)式 )15()14(0
),(Y x
y x f f dx dy dy f dx f y x df -==+=
在极值点处(6)式和(15)式同时成立。对比(6)式和(15)式后得出(16)式。 )16(Y x
Y x f f F F -=-
因此，(6)式中的λ和(13)式中η相等。
以上事实提示我们可以预先构造出如下函数
)71()
,(),(),,(y x F y x f y x g μλ+= 通过以上分析可知，在g 函数的极值(x 0,y 0)处，则必有以下三式同时成立 )81(0=??+??=??x
F x f x g μ )91(0=??+??=??y F y f y g μ
)20(0),(==??y x F g μ
在极值点的时候，以上三个式子联立可以求得x 0,y 0,μ
拉格朗日条件极值
拉格朗日乘子法的简单证明(不知道对不对) 应用例题：已知有一个体积为a 的铁块。把这个铁块打造成一个长方体，求其表面积s 的极小值。 解:依据题意有如下关系式 )1(a xyz = )2()(2222z y x s ++= 构造函数M 如下： )3() ()(2),,,(222a xyz c z y x c z y x M -+++= 只要求M 函数的极值，即为s 的极值。 )4(04=+=??cyz x x M )5(04=+=??cxz y y M )6(04=+=??cxy z z M )7(0=-=??a xyz c M 以上四个方程可解出四个未知数x ，y ，z ，c 。将(7)带入(4)，(5)，(6)后得： )8(4442 22z y x ac ===- 可得: )9(431 a z y x ac ====- )01(431 -a c -= 此时，面积s 为： )9(632a s = 证明过程：拉格朗日乘子法，拉格朗日条件极值。 已知，自变量x 和y 符合关系式(1)，求表达式(2)的极值。 )1(0),(==y x F z )2(),(y x f )3(?)(y =x 解:若可以从(1)式中求出y 的表达式(3)，则可以把(3)式带入(2)式。此时，就变成求单个自变量的函数极值问题，即为(4)式。 )4(0))(,())(,(=+=dx dy x y x f x y x f dx dz y x 对(1)进行全微分，可得(5)式,进而得到(6)式。 )6()5(0),(Y x y x F F dx dy dy F dx F y x dF -==+=
将(6)式带入(4)式可得(7)式。 )7(0))(,())(,())(,())(,(=-=-=x y y x y x y x F F x y x f x y x f F F x y x f x y x f dx dz )8(),() ,(y x F y x f y y -=λ 设极值点坐标为(x 0,y 0),则此时将极值点坐标带入(7)，并采用(8)式记号后得(9)式 )9(0),(),() ,(),(),(),(000000000000=-=-=y x F y x f y x F y x F y x f y x f dx dz x x y x y x λ )9(0),(),(0000=-=y x F y x f dx dz x x λ 反过来，我们假设存在(10)式，则将极值点的坐标(x 0,y 0)带入后可得(10)式等于0。 )10(0?),(),(==-=y x F y x f dx dz x x λ 依据(8)式定义知当坐标(x 0,y 0)确定后λ(x 0,y 0)为一常数(但此前λ(x,y)为变数)。 类似可得(11)式 )11(0),(),(0000=-=y x F y x f dy dz y y η 反过来，我们假设存在(12)式，则将极值点的坐标(x 0,y 0)带入后可得(12)式等于0。 )12(0?),(),(==-=y x F y x f dy dz y y η )31(),() ,(y x F y x f x x -=η 对于符合限制条件的自变量，在极值点处有(14)式成立,进而可得(15)式 )15()14(0 ),(Y x y x f f dx dy dy f dx f y x df -==+= 在极值点处(6)式和(15)式同时成立。对比(6)式和(15)式后得出(16)式。 )16(Y x Y x f f F F -=- 因此，(6)式中的λ和(13)式中η相等。 以上事实提示我们可以预先构造出如下函数
初中数学最值问题典型例题(含答案分析)
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。 A B A' ′ P l
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
拉格朗日极值
习题8-4 1. 求下列各函数在所给的限制下的极大值或极小值 (a) f(x,y)=xy ; x+3y=6。 解：令()63,-+=y x y x g 故()0,=y x g 令拉格朗日函数为()()()()63,,,,-++=+=y x xy y x g y x f y x F λλλ 6 33-+=+=+=y x F x F y F y x λλλ 令?? ???=-+=+=+063030y x x y λλ 将λ消掉可得??????==?=-+=-1306303y x y x y x ()31,3=f 取一满足063=-+y x 的点()2,0代入()302,0,<=f f 故知()31,3=f 为绝对极大值 (b) f(x,y)=x 2+2y 2 ; x –2y+1=0。 解：令()12,++=y x y x g 故()0,=y x g 令拉格朗日函数()()()()12,,,,22+-++=+=y x y x y x g y x f y x F λλλ 1 2242+-=-=+=y x F y F x F y x λλλ 令?????=+-=-=+01202402y x y x λλ 将λ消掉可得??? ?????????=-=?=+-=+3131012044y x y x y x 3 131,31=??? ??-f 取一满足012=+-y x 的点()0,1-代入()3 110,1,> =-f f 故知3 131,31=??? ??-f 为绝对极小值
(c) f(x,y)=x 3–y 3 ; x –y=3。 解：令()3,--=y x y x g 故()0,=y x g 令拉格朗日函数()()()()3,,,,33--+-=+=y x y x y x g y x f y x F λλλ 33322--=--=+=y x F y F x F y x λλ λ 令?? ???=--=--=+03030322y x y x λλ 将λ消掉可得y x =或y x -= 当y x =则0303=-?=--y x 矛盾 当y x -=则2 32303-=?= ?=--x y y x 42723,23-=??? ??-f 取一满足03=--y x 的点()0,3代入()4 27270,3,-> =f f 故知42723,23-=??? ??-f 为绝对极小值 (d) f(x,y)=2x+y –z ; x 2+y 2+z 2=24。 解：令()24,222-++=z y x y x g 故()0,,=z y x g 令拉格朗日函数 ()()()() 242,,,,,,222-+++-+=+=z y x z y x z y x g z y x f y x F λλλ 242112222-++=+-=+=+=z y x F z F y F x F z y x λλλλ 令???????=-++=+-=+=+0 240210102222z y x z y x λλλ
导数练习题及答案：函数的极值
利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2-
令0)(='x f ，得1±=x ． 当1- 一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-无条件极值知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。 模块十四 多元函数微分学的应用 一、无条件极值 1、基本概念 设D 是二元函数(,)z f x y =的定义域，()000,P x y 是D 的内点，若存在0P 的邻域0()U P ，使得对任意异于0P 的点()0,()x y U P ∈均有()00,(,)f x y f x y <（或()00,(,)f x y f x y >），则称函数(,)z f x y =在点0P 处取得极大值（或极 小值），点0P 称为函数(,)z f x y =的极大值点（或极小值点），极大值点 与极小值点统称为极值点. 2、常用公式、定理 (1）极值的必要条件： 定理：设函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有偏导数，且在该点能够取到极值，则有0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==. (2）极值的充分条件： 定理：设函数(,)z f x y =在00(,)x y 点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==.令 （1）若20AC B ->，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有极值.当0A >时 取得极小值；当0A <时取得极大值. （2）若20AC B -<，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点不能取到极值. （3）若20AC B -=，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点可能有极值，也可能没有极值. 【例1】：设可微函数(,)u f x y =在点00(,)x y 取得极小值，则下列结论中正确的是（）. ()A 0(,)f x y 在0y y =处的导数等于0 ()B 0(,)f x y 在0y y =处的导数大于0 ()C 0(,)f x y 在0y y =处的导数小于0 ()D 0(,)f x y 在0y y =处的导数不一定存在 答案：().A 【例2】：设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0). ()A 不是(,)z f x y =的连续点；()B 不是(,)z f x y =的极值点 ()C 是(,)z f x y =的极大值点；()D (,)z f x y =的极小值点 答案：().D 【例3】：计算下列函数的极值 （1）22(,)4()f x y x y x y =---；（2）222(,)(2).x f x y e x y y =++ 答案：（1）8 极大值;（2）1515e 极小值. 【例4】：求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. 答案：1e -极小值. 【例5】：设函数()1cos y y z e x ye =+-，证明：函数(,)z f x y =有无穷多个极大值点，而无极小值点. 第八节多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2 243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任 一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从 几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。 例２函数2 2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函 数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y 求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误！未找到引用源。，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ，称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一： 设()f x 在点0x 连续，在点错误！未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误！未找到引用源。时，如果： (1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)错误！未找到引用源。由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误！未找到引用源。不变号，那么0x 不是极值点。 判别方法二： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值； (2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。 判别方法三： 设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ，则： （1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)( 第十八章 隐函数定理及其应用 §4条件极值 以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制. 例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长?宽?高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长?宽?高分别为z y x ,,，则表面积为 .)(2),,(xy yz xz z y x S ++= 依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件 .V xyz = （1） 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题. 结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．． )(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? （2） 的限制下，求目标函数．．．．．．．．．． ),,,(21n x x x f y = （．3．）． 的极值．．．.． ☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值 1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出 xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到 .)1 1(2), ,(),(xy x y V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3 22 1V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =. 注． ：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法 . 习题8-3答案 （A ） 1、求下列函数的极值： （1）极小值点（0,1）；极小值z=0; (2)求函数333z x y xy =+- 的极值. 解：解方程组得22330330z x y x z y x y ??=-=??????=-=???，解得驻点(0,0),(1,1) 由于222226,3,6z z z x y x x y y ???==-=????，故在(0,0)处290AC B -=-<，函数z 不取得 极值；在(1,1)处有2 270AC B -=>，且60A =>，函数z 在点(1,1)处取得极值，且极小值为1z =-。 (3)极大值点（0,0），极大值1；且（0,0）点为不可导点 (4)极小值点（5,2），极小值30 2 要设计一个容积为a 的长方体形无盖水池 . 确定长、宽和高 , 使水池的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水池的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 xyz a =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . (,,,)2()()F x y z xz yz xy xyz a λλ=+++- 对F 求偏导数, 并令它们都等于0: 20,20,2()0,0.x y z F z y yz F z x xz F x y xy F xyz a λλλλ=++=? ?=++=? ?=++=? ?=-=? 求上述方程组的解, 得3 3 4 22,2x y z a a λ=== =- . 依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为3 4 a , 长与 宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值233(2)S a =. 3.提示：分别以x 、y 表示矩形的长、宽，则 222x y p +=（约束条件）,所求圆柱体体积为2 V x y π= 构造辅助函数2(,,)(222)F x y x y x y p λπλ=++-，则 2220, 20,2220.x y F xy F x F x y p λπλπλ=+=?? =+=?? =+-=? 解得2x y =，代入约束条件得： 23x p = 13y p =；为唯一的驻点，有实际意义知为最值点。 4.求函数u xyz =在条件22 2124 x y z ++=之下的极值。 解：构造辅助函数22 2(,,,)(1)24 x y F x y z xyz z λλ=++ +-，则 222 0, 0, 220,10.24x y z F yz x y F xz F xy z x y F z λλλλ=+=? ??=+=??=+=??=++-=? ? 前三个式子联立去掉λ，得22 224x y z ==，结合第四个式子得到结果为2221 243 x y z ===。所以驻点有八个（+，+，+）（+，+，-） （+，-，+）（+，-，-）（-，+，+）（-，+，-）（-，-，+）（-，-，-）。其中1、4、6、7点为极大值点，2、3、5、8为极小值点。 (其中在三个式子联立去掉λ的过程中不需要考虑λ=0，或者x =0，y =0及z=0,因为此 时它们的函数值为0，不是极值点。 5、在半径为R 的半球内求一体积为最大的内接长方体。 解：设此半球的方程为2 2 2 2 ,0x y z R z ++=≥，内接长方体在第一象限的一个顶点坐标为(),,x y z ，则内接长方体体积22224,V xyz x y z R =++=。考虑函数 高数（下）复习题（2016.6） 1 、已知两点1M ，2(1,3,0)M ，求向量12M M 与x ，y ，z 轴三个方向的方向余弦。 （1cos 2α=-，1 cos 2 β= ，cos γ=） 2、设三角形两邻边为23=-++a i j k ，=-+b j k ） 3、在空间直角坐标系中，方程组22 4z x y z ?=+?=?代表怎样的图形。 （4z =平面上以点（0，0，4）为圆心，2为半径的圆周） 4、设两平面062=-+-z ky x 与0642=-++z y x 相互垂直，求k 的值。（k =10） 5、求两直线 11141x y z -+==-与123221x y z ++-== -的夹角。（4 π） 6、（1）设()y x z x e =+，求(1,0)d z ；（2）设1 (,,)z x f x y z y ?? = ??? ，求(1,1,1)d f 。 解：（1）ln ln()y z x x e =+，1[ln()]y x y x z x e z x e =+++，(1,0)2ln 21x z ∴=+； 1()y x y y z x x e e -=+?，所以(1,0)1y z =，从而(1,0) d (2ln 21)d d z x y =++。 （2）1111z x x f z y y -?? =? ? ?? ，(1,1,1)1x f =；112 1()z y x x f z y y -??=?- ??? ，(1,1,1)1y f =-； 121 ln ()z z x x f y y z ??=?- ??? ，(1,1,1)0z f =，(1,1,1) d d d f x y ∴=-。 7、（1）已知方程22240x y z z ++-=，求 z x ??，z y ??； （2）求由方程ln z x z y =所确定的隐函数(,)z f x y =的全微分d z 。 解：（1）两边对x 求导，得2240x x x zz z +-=，所以2x x z z =-，同理2y y z z =-。 （2）设(,,)ln z F x y z x z y =-，则1x F =，y z F y =，ln 1z z F y =--， 多元函数条件极值的几种求解方法 摘 要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Multivariate function of several conditional extreme value solution Abstract This paper mainly discusses the multivariable function conditional extreme value problem solving, including the unconditional extreme value, conditional extreme value concept of multivariate function is introduced, and several methods of solving condition limit the wraparound, including direct generation into law, Lagrange multiplier method, methods of cauchy inequality, including Lagrange multiplier method also introduces the differential and second-order partial derivative namely Hesse matrix method, etc. This paper introduces the multivariable function about solving several methods of conditional extreme value, which can provide in solving the relevant question readers may be reference when, find the appropriate way to solve the problem. Meanwhile introducing method also has some deficiencies in its done, and further discussion. Key words Extreme; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality 第八节 多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的 任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。 从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。 例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处 函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为 负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点 ),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点 ),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 1. 求使得2()ln f x x x =-最小的x 值。 解：'1()20f x x x =-= 求得可能的极值点是x = "21()2f x x =-- 恒小于0. 所以使得2()ln f x x x =-最小的x 2. 求使221122 ()10124f X x x x x =---为极值的极值点x 。 解：12'12'1220120 1280 x x f x x f x x =--==--=由上述两个方程得出的可能极值点为[]***12,0,0T T X x x ??==?? 二阶导数矩阵为 *"20,1212,8X f --??=??--?? 用塞尔维斯特判据来检验，有 200-<, 20,12det 16012,8--??=>??--?? 故*"X f 为负定，在[]*0,0T X =处，()f X 为极大。 3求.使222123121323()55484f X x x x x x x x x x =+++--为极值的极值点x 。 解：123'123' 213'31210480 244010840 x x x f x x x f x x x f x x x =+-==+-==--=由上述三个方程得出的可能极值点为 []****123,,0,0,0T T X x x x ??==?? 二阶导数矩阵为 *"10,4,84,2,48,4,10X f -????=-????--?? 用塞尔维斯特判据来检验，有 100> 10,4det 04,2??>????10,4,8det 4,2,4808,4,10-????-=>????--?? 故*"X f 为正定，在[]*0,0,0T X =处，()f X 为极小。 多元函数条件极值的几种求解方法 摘要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 1前言 函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。 函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。 微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。 同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是 第十五章 极值和条件极值 §1. 极值和最小二乘法 一 极值 定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≤ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。 定义 2 设D 是2R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果()00,0f x y x ?=?，()00,0f x y y ?=?，则称()00,x y 是f 的一个驻点。 根据费玛定理，可知 定理1 二元函数的极值点必为0f f x y ??==??的点或至少有一个偏导数不存在的点。 注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。 例：z xy =在()0,0点。 例：z x =在()0,0点。 怎样进一步判断是否有极值？ 定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点， ),(0022y x x f A ??=，),(0022y x y f C ??=，),(002y x y x f B ???=，2A B H AC B BC ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值；（2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值；（3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值；（4）若0H =，则须进一步判断。 例：求)1(b y a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。 例：求333z axy x y =--的极值。 多元函数的最大（小）值问题 设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。若这样的点0M 位于 第十九讲最值问题初步 极端分析法, 赋值法又称特殊值法，给代数或者方程式的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到解题目的 最值原理 ,根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。 拆数问题把数字变换分解的方法叫做拆数问题 1.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块? 【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖． 则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少． 这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块． 方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖， 有 61 61 61 61 a b c a b d a c d b c d ++≥ ? ?++≥ ? ? ++≥ ? ?++≥ ? ① ② ③ ④ ，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥81 1 3 ,因为 a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82． 评注：不能把不等式列为 a b c60 a+b+d60 a+c+d60 b+c+d60 ++? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ① ② ③ ④ ，如果这样将①+②+③+④得到 3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决. 2．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值． 【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小． 则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93． 则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20． 所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483． §4条件极值 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。我们 知 道 点 ) ,,(z y x 到点 ) ,,(000z y x 的距离为 202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0 ),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题. 又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值 2 2221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21)0(>i x 的限制下，求 函数f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）. 例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值. 对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出 xy V z = , 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy x y V y x F ++=)1 1(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有 3 22 1V z = , 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.考研数学高数资料—无条件极值
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)
求极值与最值的方法
高等数学第18章第4节条件极值
条件极值答案
最新高等数学(下)复习题(、6有答案)
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数求极值拉格朗日乘数法资料全
最优控制第二章习题答案
多元函数条件极值的几种求解方法
第十五章 值和条件极值
小四数学最值问题初步含答案
条件极值及拉格朗日乘数法