凸函数
毕业论文（设计）
课题名称指数凸函数的性质及应用
学院理学院
专业数学与应用数学（S）
班级2011级2班
指导教师黄金莹
学生姓名肖坤
佳木斯大学教务处
指数凸函数的性质及应用
肖坤
佳木斯大学理学院数学系
2015年6月
摘要
指数凸函数是一类重要的函数，对于凸函数的研究，目前已近很深入。指数凸函数与凸函数之间存在着平行关系，对于指数凸函数的研究，我们可以类比凸函数的概念、性质及内容进行研究。首先本课题主要研究了指数凸函数的概念、性质和指数凸函数在不等式中的应用；其次根据指数凸函数的判定定理及概念、性质判断一些基本初等函数的指数凸性；最后建立一些关于指数凸函数的不等式，以方便后面研究Jensen不等式、Hadamard不等式及不等式的证明, 我们可以根据指数凸函数的概念和性质建立一些新的不等式，并对此进行研究，例如可以建立均值不等式。对指数凸函数的研究，无疑将大大扩充我们研究不等式的范畴，同时，也是对凸分析理化的一种有益的深化和推广。
关键词:凸函数；指数凸函数；判定定理；Hadamard不等式
Abstract
Index convex function is a kind of important function.Scientists have so far conducted very in-depth researches into convex function.More or less,a sort of parallel relationship exists between different convex functions.we can carry out our researches on the analogy of the concept,nature and content of convex function.firstly,this research project mainly fouses on the concept and properties of convex function and the application of convex function in inequalities.Secondly,some basic elementary function's index convexity is judged based on the decision theorem of index convex function as well as its concept and properties.Finally,some inequalities about index convex function are established to facilitate futher researches into Jensen inequality,Hadaard inequalities and inequality certification,we can according to the index of the concept and properties of convex function,set up some new inequalities and in study,for example, we can build the mean inequality.Undoubtedly,research into the index convex function will greatly expand our research scope of inequalities,and at the same time,it also contributes to deepening and promoting the convex analysis of physicochemistry.
Key words: convex function; index of convex function; decision theorem; Hadamard inequalities
目录
摘要.............................................................................................................................................. I Abstract. (Ⅱ)
第1章绪论 (1)
第2章凸函数的基础知识 (2)
2.1凸函数的概念和性质 (2)
2.1.1凸函数的概念 (2)
2.1.2凸函数的性质 (3)
2.2凸函数的一些结论 (6)
2.2.1凸函数的判定定理 (6)
2.2.2与凸函数相关的不等式 (8)
第3章指数凸函数的性质及应用 (11)
3.1指数凸函数的概念和性质 (11)
3.1.1指数凸函数的概念 (11)
3.1.2指数凸函数的性质 (13)
3.2. 常见函数的指数凸性 (17)
3.2.1 指数凸函数的判定定理 (17)
3.2.2 基本初等函数的指数凸性 (19)
3.3 指数凸函数的Hadamard不等式 (25)
结论 (28)
致谢 (29)
参考文献 (30)
附录1 (31)
附录2 (35)
第1章绪论
在数学学科中，研究生产、生活中的多快好省这类问题的理论被称为最优化理论，更宽泛的称谓叫做运筹学与控制论，其在经济、工程、管理、规划等方面有着广泛的应用，本课题《指数凸函数的性质及应用》是这一重要应用数学方向的基础性研究.
最优化理论的诞生以1970年Rockafellar所写的《凸分析》为标志.多快好省问题在数学中被抽象为变量的最值问题，凸分析就是用凸集与凸函数作为工具讨论最值的存在性与唯一性的一门学问.凸分析的一个简单而典型的例子是面积固定的矩形铁板制作开口水箱，怎样裁剪使得容积最大.2
f 是最典型的凸函数.
x
(x
)
随着最值问题研究的深入和现实问题的复杂化，人们发现问题并不总是以凸性的形式呈现的，大量的非凸优化问题等待解决.解决方式要么是将非凸向凸归结，要么将凸向非凸推广.
在将凸推广到非凸过程中，国内外学者在近二十年内把凸函数做了各种推广，创建了大量的具体广义凸函数，解决了一些非凸优化问题.我们课题组注意到了上述各类广义凸函数的共有特征，将它们进行抽象化处理，率先开展了指数凸函数的研究.
首先，介绍了凸函数的基础知识，从凸函数的概念和性质，以及凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式等不等式方面的一些结论开始研究，让读者对凸函数有了大致的了解.
其次，开始介绍的是本课题的主要研究内容，根据开始对凸函数方面的研究，由指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，类比推理到指数凸函数的概念、性质及在不等式方面的应用上.首先研究的是指数凸函数的概念和性质，我们又该如何判断一个函数是指数凸函数的方法.
最后,研究指数凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式以及常见基本初等函数的指数凸性，根据指数凸函数的Jensen不等式建立一些新的不等式.
第2章 凸函数的基础知识
本章主要介绍了凸函数的概念、性质、判定定理以及凸函数在不等式中的应用，但对于凸函数的研究，目前已经很深入了，尤其是在不等式方面的研究备受关注.
2.1 凸函数的概念和性质
为了更好的研究本课题要研究的指数凸函数内容，我们可以依据指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，先深入了解一下凸函数的概念和性质，进而研究指数凸函数.下面我们将给出凸函数的概念和计算方面的性质.
2.1.1 凸函数的概念
函数2)(x x f =图像的特征是：曲线2)(x x f =上任意两点间的弧段总在这两点线的下方.我们可以这样定义：设函数)(x f 在区间[]b a ,上有定义，若曲线)(x f y =上任意两点间的弧段总位于连接两点的直线之下，则称函数)(x f 是凸函数.
以上定义只是对凸函数作了直观的描述，下面给出精确的定义.
定义2.1.1 设)(x f 在区间I 上有定义，若对I 上的任意两点21,x x 和任意的实数 )1,0(∈λ，总有
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ (2-1) 则称f 为I 上的凸函数.
若对I 上的任意两点21,x x 和任意的实数)1,0(∈λ，总有
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ (2-2) 则称f 为I 上的凹函数.]1[
2.1.2 凸函数的性质
性质2.1.1 若函数)(x f 为凸函数，则)(x f -为凹函数.反之亦然.
证明：因)(x f 是凸函数，由凸函数的定义 2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
在上式两边同时乘以-1得：
)]()[1(])([])1()([2121x f x f x x f --=-≥-+-λλλλ
故)(x f -为凹函数.同理可得)(x f 为凹函数，则)(x f -为凸函数.]2[ 性质2.1.2 若函数)(x f 为凸函数，则：
1）若0≥α，则)(x f α为凸函数；
2）若0≤α，则)(x f α为凹函数.
证明：因)(x f 是凸函数，由凸函数的定义 2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
1）当0≥α时，在上式两边同时乘以α得：
)]()[1()]([)]()1()([])1([212121x f x f x f x f x x f αλαλλλαλλα-+=-+≥-+ 即)(x f α为凸函数.
2）当0<α时，在上式两边同时乘以α得：
)]()[1()]([)]()1()([])1([212121x f x f x f x f x x f αλαλλλαλλα-+=-+≤-+ 即)(x f α为凹函数.
性质2.1.3 若函数)(),(x g x f 为凸函数，则函数)()()(x g x f x h +=为凸函数.
证明：因函数)(),(x g x f 是凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
)()1()(])1([2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+
则
])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-++-+=-+
)()1()()()1()(2121x g x g x f x f λλλλ-++-+≤
)]()()[1()]()([2211x g x f x g x f +-++=λλ
)()1()(21x h x h λλ-+=
即)()()(x g x f x h +=为凸函数.
性质2.1.4 设)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增（递减）的凸函数，则 )()()(x g x f x h =是[]b a ,上的凸函数.
证明：因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，则对任意的[]b a x x ,,21∈，有
0)]()()][()([1212≥--x g x g x f x f
整理得
)()()()()()()()(22111221x g x f x g x f x g x f x g x f +≤+ (2-3) 又因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由指数凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
)()1()(])1([2121x g x g x x g λλλλ-+≥-+
所以
])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+
)]()1()()][()1()([2121x g x g x f x f λλλλ-+-+≤
)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= 再由（2-3）式可知
])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+
)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= )()()1()]()()()()[1()()(2222211112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+≤
)()())1()(1()()())1((2211x g x f x g x f λλλλλλ-+-+-+=
)()()1()()(2211x g x f x g x f λλ-+=
)()1()(21x h x h λλ-+=
即)()()(x g x f x h =是[]b a ,上的凸函数.]3[
性质2.1.5 若函数)(),(x g x f 为凸函数，则)}()(max{)(x g x f x h =亦为凸函数. 证明：因为函数)(),(x g x f 为凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()()()1()(])1([212121x h x h x f x f x x f λλλλλλ-+≤-+≤-+
)()1()()()1()(])1([212121x h x h x g x gf x x g λλλλλ-+≤-+≤-+
从而有
]})1([],)1([max{])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+
)()1()(21x h x h λλ-+≤
所以)]}(),(max{[)(x g x f x h =为凸函数.]4[
性质2.1.6 若函数)(x f 为凸函数，11:R R →?为单调增长的凸函数，则))((x f ?亦为 凸函数.
证明：因函数)(x f 为凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有
)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
又11:R R →?为单调增加的凸函数，所以
))(()1()(())()1()(()))1(((212121x f x f x f x f x x f ?λλ?λλ?λλ?-+≤-+≤-+ 即))((x f ?为凸函数.
2.2 凸函数的一些结论
如果给定一个函数，要判断是凸函数还是凹函数，我们讲依据什么结论来判断？这里将给出凸函数的判定定理，用来判断一个函数是否是凸函数.
2.2.1 凸函数的判定定理
定理2.2.1 （凸性判别法）设函数)(x f 是区间I 上的可导函数，则下列论断相互等价
1）函数)(x f 是区间I 上的凸函数；
2）函数)(x f '是区间I 上的增函数；
3）对区间I 上任意的两点21,x x ，有
))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥
证明：)2)1?在区间I 上的任取两点)(,2121x x x x <，对充分小的正数h ，由于h x x x h x +<<<-2211，有
h
x f h x f x x x f x f h h x f x f )()()()()()(22121211-+≤--≤--
因)(x f 是区间I 上的可导函数，令+→0h 时可得
)()()()(21
2121x f x x x f x f x f '≤--≤
' 所以)(x f '是区间I 上的增函数. )3)2?在以)(,2121x x x x <为端点的区间上，用拉格朗日中值定理和)(x f '是区间I 上的增函数得
))(())(()()(1211212x x x f x x f x f x f -'≥-'=-ξ
移项后的))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥且当21x x >时仍可得相同的结论.
)1)3?任取区间I 上的两点)(,2121x x x x <， )10()1(213<<-+=λλλx x x ，由3）并利用))(1(2131x x x x --=-λ与))(1(1232x x x x --=-λ得
))(()1()())(()()(213331331x x x f x f x x x f x f x f -'-+=-'+≥λ
))(()())(()()(123332332x x x f x f x x x f x f x f -'+=-'+≥λ
分别用λ和λ-1乘以上述两式并相加.使得
))1(()()()1()(21321x x f x f x f x f λλλλ-+=≥-+
则)(x f 是区间I 上的凸函数.
定理2.2.2 （凸性判别法）设函数)(x f 在区间I 上具有二阶导数，则
1）当0)(≥''x f 时，函数)(x f 为区间I 上的凸函数；
2）当0)(≤''x f 时，函数)(x f 为区间I 上的凹函数.
定理2.2.3 设函数)(x f 是区间I 上的二阶可导函数，则在I 上的)(x f 为凸函数的充要 条件是
I x x f ∈≥,0)(
证明：1）必要性：因为函数)(x f 为I 上的凸函数，则)(x f '是区间I 上的增函数，即
I x x f ∈≥'',0)(
2）充分性：因为I x x f ∈≥'',0)(， 所以)(x f '是区间I 上的增函数，即)(x f 为I 上的凸函数.]5[
2.2.2 与凸函数相关的不等式
定理2.2.4 （凸函数的Jensen 不等式）若函数)(x f 在区间I 上有定义，且对于任意的I x i ∈及满足∑==n
i i 11λ，0>i λ ,n i ,,2,1 =，有
∑∑==≤n
i i i n i i i x f x f 11)()(λλ 成立
那么称)(x f 在区间I 上凸函数.
证明：当1=n 时，等式显然成立；
假设当k n =时成立，即对任意的)2,1(0,k i x I x i i =≥∈且满足∑==k
i i x 11，此时有
)()(11i k
i i i k i i x f x f ∑∑==≤λλ不等式成立；
此时我们要证明当1+=k n 时，∑∑==≤n
i i i n i i i x f x f 11)()(λλ成立，
即 )()(111
11++=+=+=∑∑k k i k
i i k i i i x x f x f λλλ
)()(111
++=+≤∑k k k i i i x f x f λλ
)()(111++=+≤∑k k i k
i i x f x f λλ
∑+==1
1)(k i i i x f λ
即1+=k n 时不等式成立，结论正确.]6[
定理2.2.5 （凸函数的Hadamard 不等式）若函数)(x f 为[]b a ,上的凸函数，则
2)()()(1)2(b f a f dx x f a b b a f b a +≤-≤+?]7[
证明：由题意知，函数)(x f 在[]b a ,上可积.
一方面，根据定积分概念和凸函数的Jensen 不等式，有
∑?=∞→--+-=-n i n b a n a b a b n i a f a b dx x f a b 1
))((lim 1)(1 ∑=∞→-+=n
i n a b n
i a f n 1))((1lim )))((1(lim 1∑=∞→-+≥n i n a b n
i a n f ∑=∞→--+-=n i n n
a b a b n i a a b f 1)))((lim 1( )2
()1(b a f x d x a b f b a +=-=? 另一方面，我们令b a x )1(λλ-+=，解得a
b x b --=λ 即
b a
b a x a a b x b x b a x --+--=∈?],,[ 于是
??--+---=-b a b a dx b a
b a x a a b x b f a b dx x f a b )(1)(1 ))()((1??--+---≤b a b a dx a b a x b f dx a b x b a f a
b 2)()(b f a f += 综上所述的两个方面，结论成立.
例2.2.1 设52
3≤≤x ，证明1923153212<-+-++x x x 证明：由于函数x y =在区间[)+∞,0上是凸函数，由凸函数的定义2.1.1，我们有 x x x x x x x 31532113153212-+-++++=-+-++ 4
31532114x x x x -+-++++≤ 142+=x
由于x x x 315,32,1--+不可能同时取等号，从而有
1921423153212≤+<-+-++x x x x
例2.2.2 证明不等式c b a c
b a
c b a abc ≤++3)(.
证明：设0,ln )(>=x x x x f ，由x x f 1)(=
'可见x x x f ln )(在0>x 时为严格的凸函数，由凸函数的定义2.1.1，我们有
)]()()([3
13(c f b f x f c b a f ++≤++ 从而
)ln ln ln (3
13ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++ 即有
c b a c b a c b a c b a ≤++++3(
又因为不等式3
3c b a abc ++≤成立，所以c b a c b a abc c b a ≤++3)(.]8[ 以上内容就是对凸函数的性质与应用的一些研究，接下来开始研究本课题的核心内容，利用指数凸函数和凸函数之间存在的平行关系，类比出指数凸函数的性质与应用.
第3章 指数凸函数的性质及应用
本章主要介绍了指数凸函数的概念、性质、判定定理以及在不等式中的应用.从本章的内容来看，不仅让我们了解指数凸函数的基本知识和内容，也让我们理解了研究指数凸函数的数学意义.指数凸函数是凸函数的分支，内容上存在着平行关系.指数凸函数和凸函数一样，可以广泛的应用于其它领域，特别是在不等式中的应用.
3.1 指数凸函数的概念和性质
对于指数凸函数而言，并没有给出严格的定义，以及相关的性质与应用，但是我们可以根据凸函数的定义、性质及应用，类比建立一个新的不等式模型，定义为指数凸函数.那么我们该如何建立呢？接下来将研究指数凸函数的概念和性质.
3.1.1 指数凸函数的概念
我们在研究指数凸函数的概念时，先来关注余弦函数x cos 在区间)2
,0(π上的不等式链. 我们根据凸函数的性质可以知道x cos 在区间2
,0(π是递减的凹函数，同时它也是对数凹函数和几何凹函数.可以得到如下结果：
33cos 3
cos 3cos cos cos cos cos cos ABC C B A C B A C B A ≤++≤++≤ 其中
3c o s c o s c o s c o s 3C B A C B A ++≤可由x c o s 作为对数凹函数直接得到，33cos cos cos cos ABC C B A ≤可由x cos 作为几何凹函数直接得到]9[，那么对于正弦函数x sin 在区间2,0(π
会有怎样的情况呢？接下来我们会慢慢进行研究. 由正弦函数x sin 在区间2
,0(π是递增的凹函数也是几何凹函数，借助于均值不等式，可以得到如下两组结果：
3
sin 3sin sin sin sin sin sin 3C B A C B A C B A ++≤≤
3
sin sin sin sin sin 33C B A ABC C B A ++≤≤ 因此我们想要形成类似于余弦函数x cos 在区间)2
,0(π上的不等式链，那么我们就需要研究上述两组不等式中的中间两项3
sin sin sin C B A ++与3sin ABC 的大小关系，如何来比较这两者之间的大小关系，我们就需要建立指数凸函数的概念、性质知识. 下面我们给出指数凸函数的定义与指数凸函数的Jensen 不等式. 定义3.1.1 设函数)(x f 为区间),0(+∞?I 上的函数，称函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数，如果对I x x ∈?21,和)1,0(∈λ，有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-
设函数)(x f 为区间),0(+∞?I 上的函数，称函数)(x f 是区间I 上的指数凹函数，如果对I x x ∈?21,和)1,0(∈λ，有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥-
类比凸函数的Jensen 不等式（定理2.2.4）我们可以得到指数凸函数的Jensen 不等式. 定理3.1.1 （指数凸函数的Jensen 不等式）函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数当且仅当,,2,1,),1,0(n i I x q i i =∈?∈?， ∑==n i i q
11，有
)()()()(22112121n n q n q q x f q x f q x f q x x x f n +++≤ ]10[
注：定义3.1.1是定理3.1.1的一个特例，对于定理3.1.1可以利用数学归纳法证明. 证明：当1=n 时，不等式显然是成立.
假设当k n =时成立，即
)()()()(22112121k k q k q q x f q x f q x f q x x x f k +++≤
只需证1+=k n 时成立
))(()(11111211211121121++++++-+++-+=k k k q k q k q k q k q k q k k q q k k q k q q q k q q x x x x x f x x x f
))()()(
()()(11
1112211++++++++++++≤k k k k k k k k k k x f q q q x f q q q q q x f q x f q i n i i x q ∑==1
即1+=k n 时也成立，结论得以证明.
3.1.2 指数凸函数的性质
对于指数凸函数的性质，我们可以类比凸函数的一些计算性质，得出相应的指数凸函数在计算方面的性质.
性质3.1.1 若函数)(x f 为指数凸函数，则)(x f -为指数凹函数，反之亦然. 证明：函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对区间I 上任意的两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，总有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-
在上式的两边同时乘以1-，不等式方向改变，则有
))()(1())(()(21121x f x f x x f --+-≥--λλλλ
故)(x f -为指数凹函数.同理有函数)(x f 指数凹函数，则)(x f -为指数凸函数. 性质3.1.2 若函数)(x f 为指数凸函数，则
1）若0≥α，则)(x f α为指数凸函数；
2）若0≤α，则)(x f α为指数凹函数.
证明：因函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对区间I 上任意的两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，总有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-
1）当0≥α时，在上式两边同时乘以一个正数α，有
))()(1())(())()1()(()(2121121x f x f x f x f x x f αλαλλλααλλ-+=-+≤- 即0≥α时，)(x f α为指数凸函数.
2）当0≤α时，在上式两边同时乘以一个负数α，有
))()(1())(())()1()(()(2121121x f x f x f x f x x f αλαλλλααλλ-+=-+≥- 即0≤α时，)(x f α为指数凹函数. 性质3.1.3 若函数)(),(x g x f 为指数凸函数，则函数)()()(x g x f x h +=为指数凸函数. 证明：因函数)(),(x g x f 是指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ有
)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤- )()1()()(21121x g x g x x g λλλλ-+≤-
则
)()()(121121121λλλλλλ---+=x x g x x f x x h )()1()()()1()(2121x g x g x f x f λλλλ-++-+≤ =)]()()[1()]()([2211x g x f x g x f +-++λλ =)()1()(21x h x h λλ-+ 即)()()(x g x f x h +=为指数凸函数. 性质3.1.4 设)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增（递减）的指数凸函数，则 )()()(x g x f x h =是[]b a ,上的指数凸函数. 证明：因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，则对任意的[]b a x x ,,21∈，有
0)]()()][()([1212≥--x g x g x f x f
凸函数的性质与应用
学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用 指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日
目录 摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)
函数的性质与应用 学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授 摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言 我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义 定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 https://www.wendangku.net/doc/ec2922878.html,work Information Technology Company.2020YEAR
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式 最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).
多元凸函数的判定
多元凸函数的判定 1 引言 凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用. 人们对一元凸函数性质和判定方法已经有了丰富的研究，但随着凸函数应用范围的不断扩展，多元凸函数越来越多的被研究. 一元函数凸性的判定方法也被推广到多元函数，文献[4]将凸函数与导函数之间的关系推广，给出了用梯度判定多元函数凸性的方法，文献[5]将凸函数与二阶导数之间的关系推广，给出了用黑塞矩阵判定多元函数凸性的方法. 而多元函数的梯度与黑塞矩阵在计算中往往比较繁琐，本文将着力研究多元函数凸性判定方法的改进，使凸函数判定的计算更加简洁，应用更加方便. 2 定义及引理 本节主要介绍本文用到的定义及引理. 定义2.1[2] 设n R D ?，如果D 中的任意两点的连线也在D 内，则称D 为n R 中的凸集. 即对任意21,P P ，数)1,0(∈λ，总有 D P P ∈-+21)1(λλ. 定义 2.2[1] 设n R D ?为非空凸集,f 为定义在D 上的函数,若对任意 )1,0(,,21∈∈λD P P ，总有 )()1()())1((2121P f P f P P f λλλλ-+≤-+， (1) 则称f 为D 上的凸函数. 反之，如果总有 )()1()())1((2121P f P f P P f λλλλ-+≥-+， (2) 则f 为D 上的凹函数. 若上述(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 定义]2[3.2 )(P f 是定义在n R D ?上的多元函数，若在点),,,(210n x x x P ???存在对所有自变量的偏导数，则称向量))(,),(),((00021P f P f P f n x x x ???为函数)(P f 在点0P 的梯度，记作
函数的凸性及应用文献综述
函数的凸性及应用文献综述 文献综述 函数的凸性及应用 一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点) 凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义,最早是由Jersen给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同,在大学的数学分析或高等数学教材中,常常只研究具有二阶导数的凸函数。本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸,进一步给出凸函数的应用。对于凸函数的应用,本文拟将主要介绍以下的几点:凸函数在证明Jensen不等式时的应用;凸函数在Hadamard不等式中的证明的应用;凸函数在分析不等式中的应用等。 二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述) 凸函数具有一些非常优良的性质[1],有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义,经过近百年努力,凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展,在现代学习应用函,和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸函数是一类非常重要的函数．数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用,所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。 2.1凸函数的定义 2.1.1凸函数一些基本定义 通过数学分析的学习,对于函数和的图像,我们很容易看出它们之间的不同点:曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线则相反,在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数,我们把前一种特性的曲线称为凸的,后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。 数学分析[2]给出了凸函数的基本定义:设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数总有,则称为上的凸函数。 葛丽萍[3]介绍了以下的结论:若区间上的任意三点,总存在,这个条件是为上的凸函数的充要条件,该证明在数学分析中已经详细的给出了。同理,通过推广,可以得出另一个更进一步的充要条件:在区间上的任意三点,有成立,则为上的凸函数。并且若为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件为。 2.1.2严格凸函数的定义 江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间上严格凸函数的判定方法。
对数性凸函数的性质及应用解读
对数性凸函数的性质及应用 王传坚 (楚雄师范学院数学系2003级1班) 指导老师郎开禄 摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。 关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用. The research and application on some properties of logarithmatic convex function Wang Chuanjian (Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000) Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function by studying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic. Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application. 导师评语： 凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏 根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根 引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性 质的一些应用. 受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用. 王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实 际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果 的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文 规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.
函数的凸性
有关函数的凸性问题 柴全水 （新绛中学 山西 043100） 在高中数学的函数部分，我们在研究函数性质时，除了研究学习函数的单调性、奇偶性、周期性等这些性质外，特别还要注意到函数的凸性性质，下面我从三方面来谈函数的凸性问题（图象、代数定义、导数） 一． 首先从图象上直观认识函数的凸性问题 ①图为上凸增函数 ②图为上凸减函数 ③图为下凸增函数 ④图为下凸减函数 二． 代数定义上凸、下凸函数 y ＝f(x)在区间I 上连续任取x 1 , x 2∈I . 且λ＞0 （λ∈R ）, 若f ( )＞（或＜） 恒成立，则f(x)在区间I 上为上凸（或下凸）函数 。 函数上凸、下凸性质可推广为Jensen （琴森）不等式 设f(x)在区间I 上是下凸函数，则对任意x i ∈I 及p i ＞0（i ＝1，2…n ） 有 ， 其中等号当且仅当x 1=x 2=…=x n 时成立。若f(x)在区间I 上是上凸函数，则不等号反向。 例1：（2005年鄂，理6）在y=2x ，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x ，这四个函数中，当0
凸函数的性质及其应用
摘要 高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。 同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。 本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。 关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题
Abstract Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines. Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's. The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply. Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem
保持函数凸性的几种变换
保持函数凸性的几种变换 及变量代换在数学中的应用 摘要 变量代换是一种常见而有效的解题方法,在解决一些数学问题方面发挥了重要的作用.本文主要总结了变量代换法在初等数学和高等数学中的应用.凸性是函数的一种重要性质,在不等式证明中有广泛的应用.现在许多人致力于函数凸性概念的推广.这些广义的凸函数在一定程度上保留了凸函数的某些性质.本文当中介绍了几类广义凸函数,例如几何平均凸函数,对数凸函数,几何凸函数等.通过变量代换的方法证明了这些函数的性质,并由此建立了若干新的不等式,使某些不等式证明问题作为特例得以解决,这样做使我们避免了在证明过程中构造函数这一难题. 关键词：变量代换；函数凸性；几何平均凸函数；对数凸函数；几何凸函数
目录 引言 (1) 第1章变量代换在初中代数中的早期渗透 (2) 1.1结合简单的分式方程教学,进行变量代换的初步渗透 (2) 1.2在无理方程的教学中,进一步渗透变量代换思想 (3) 1.3变量代换在其他方面的一些应用 (3) 第2章变量代换法在解题中的妙用 (5) 2.1在求解函数表达式中的应用 (5) 2.2在求函数极限中的应用 (6) 2.3在积分中的运用 (7) 2.4在微分方程中的应用 (8) 第3章函数凸性引申及应用 (10) 3.1预备知识 (10) 3.2几何平均凸性的应用 (11) 3.3对数凸性的应用 (12) 3.4几何凸性的应用 (13) 结束语 (16) 参考文献 (17)
引言 以高等数学知识为背景的“高观点题”在近几年高考或竞赛中层出不穷,它 们以新符号、新概念的形式出现,或以高等数学中的定理为依托.这些题目从不同 的角度抓住了初、高等数学的衔接点,立意新、背景深,深受命题老师的喜爱.而作 为高中数学主体内容之一的函数更是受到命题老师的青睐.以函数的凸性为背景 的试题更是一大热点,虽然这一内容在高中教材中没有明确指出,但是通过第二课 堂借助此内容启发学生对知识进行纵向探究及横向发散都是大有裨益的. 在学习数学的过程中,我们常常觉得一些公式、等式的变化很难理解,在解题 时,对于一些形式繁杂、怪异的数学表达式往往感到很难下手,于是思想上对数学 产生畏惧、厌倦情绪,要消除这些障碍,除了需要掌握好相应的数学知识外,我们还 需要掌握必要的数学思维方法或解题方法,变量代换法是众多数学方法中易于掌 握而行之效的方法.
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which
凸函数
凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。 凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。 凸函数的主要性质有： 1.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数β≥0，函数βf 也是定义在S上的凸函数; 2.若f1和f2为定义在凸集S上的两个凸函数，则其和f=f1+f2仍为定义在S上的凸函数; 3.若fi(i=1，2，…，m)为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数βi≥0，函数βifi也是定义在S上的凸函数; 4.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对每一实数c，水平集 Sc={x|x∈S，f(x)≤c}是凸集 微积分 如果f和g是凸函数，那么m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x）也是凸函数。 如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x) = g(f(x））是凸函数。
凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f(x）是凸函数，那么g(y) = f(Ay + b）也是凸函数。 初等运算 1、如果f和g是凸函数，那么m(x)=max{f(x)，g(x)}和 h(x)=f(x)+g(x)也是凸函数。 2、如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x)=f(g(x))是凸函数。 3、凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f（x）是凸函数，那么g(y)=f(Ay+b)也是凸函数 举例 函数f(x) = x²；处处有，因此f是一个（严格的）凸函数。 绝对值函数f(x) = | x | 是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。 当1 ≤p时，函数f(x) = | x | p是凸函数。 定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0函数x3的二阶导数为6x，因此它在x ≥0的集合上是凸函数，在x ≤0的集合上是凹函数。
函数凹凸性的性质判定及应用
函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳数学计算机科学学院 摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及 判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二 元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一 元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的 函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的 情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论 了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍 了它们应用。 关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;
凸函数及其在证明不等式中的应用
本科毕业论文 题目凸函数及其在证明不等式中的应用 系别数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 指导教师吴开腾 评阅教师 班级 2004级2班 姓名冀学本 学号 064 2008 年５月２７日
目录 摘要 .............................................................. 错误!未定义书签。Abstract......................................................... 错误!未定义书签。1引言 ............................................................ 错误!未定义书签。 2 凸函数的等价定义 ........................................... 错误!未定义书签。凸函数三种定义的等价性的讨论.................................. 错误!未定义书签。 定义1?定义2................................................. 错误!未定义书签。 定义1?定义3................................................. 错误!未定义书签。判定定理与JESEN不等式.......................................... 错误!未定义书签。3．性质 .......................................................... 错误!未定义书签。4凸函数在不等式证明中的应用 .............................. 错误!未定义书签。利用凸函数定义证明不等式....................................... 错误!未定义书签。 利用凸函数性质证明不等式...................................... 错误!未定义书签。结束语............................................................ 错误!未定义书签。参考文献......................................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................................. 错误!未定义书签。
凸函数判定方法的研究
凸函数判定方法的研究 鸡冠山九年一贯制学校 张岩 2013年12月15日
目录 摘要 (ii) 关键词 (ii) Abstract (ii) Key words (ii) 前言 (iii) 一、凸函数的基本理论 (1) 1、预备知识 (1) 2、凸函数的概念及性质 (2) 二、凸函数的判定方法 (4) （一）一元函数凸性的判定方法 (4) 1、利用作图判断函数凸性 (4) 2、其它判定方法 (5) （二）多元函数凸性的判定方法 (8) 1、多元凸函数的有关概念 (8) 2、多元函数凸性的判定方法 (9) 三、凸函数几个其他判定方法 (12) 四、总结 (14) 参考文献 (14) 致谢 (15)
凸函数判定方法的研究 摘要:凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图像，而且可以用于不等式的证明。同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。本文首先给出了凸函数的一些基本概念和结论，然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。 关键词：凸函数；梯度；Hesse 矩阵；泰勒定理 Abstract: Convex function is a kind of very important functions, with the help of its convexity we can accurately describe the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied to many fields. Therefore, the topic we concern about is deserved to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexity of functions. Finally, some new principles are also given. Key words：Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem
凸函数的性质
凸函数的性质 【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】 通常称函数)(x f 在区间),(b a 内是“下(上)凸函数”，若对于),(b a 内任意两点1x 和 2x )(21x x ≠与任意)1,0(∈t ，都满足“琴生(Jesen)不等式” 1212() [(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x >+-<+- (※) 或 () 11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+ (※※) [其中1t 和2t 为正数且121=+t t ] 它的特别情形(取2 1 = t )是 ()()()121222f x f x x x f >++?? < ??? ()21x x ≠ (※※※) 在§2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义.。我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的。正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※※)定义了下(上)凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。请读者注意．．．．．，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。 因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。 （一）琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一， 设231x x x <<，则21 21 3112323x x x x x x x x x x x --+--=（根据解析几何中的定比分点公式（*））。 根据琴生不等式(※※)， )(3x f )()(2121311232x f x x x x x f x x x x --+--< [注意1 213212321,x x x x t x x x x t --=--=] 图一
凸函数的性质及其应用论文
凸函数性质及其应用 摘 要 本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用. 关键词 凸函数的积分性质;凸函数的不等式 Abstract In this article ，first we list several kind of definitions for convex functions ，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality. Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions 凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用. 1 凸函数的定义及其相互关系 定义 1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅 当:12,,(0,1)x x I λ?∈?∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“≤”改成“<”则是严格凸函数的定义. 定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,x x I ?∈有 1212()().22x x f x f x f ++?? ≤ ? ?? 定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当： 1,2,...,n x x x I ?∈,有1212......()()......().n n x x x f x f x f x f n n +++++?? ≤ ? ?? 定义 4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下,则成 ()f x 为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线()f x 为严格凸的. 引理1 定义2与定义3等价. 引理2 若()f x 连续,则定义1，2，3等价. 2 凸函数的性质
凸函数的性质及其应用
中文题目：凸函数的性质及其应用 英文题目：The Property and Applications of Convex Functions 完成人： 指导教师： 系（院）别：数学与信息科技学院 专业、班级：数学与应用数学0602班 完成时间：二〇一〇年六月 河北科技师范学院数信学院制
目录 中文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 凸函数的定义 (2) 2.2凸函数的运算性质 (2) 2.3 Jesen不等式 (2) 3 本文的主要结果 (3) 3.1 凸函数的连续性 (3) 3.2 凸函数的微分性质 (3) 3.3 凸函数的积分性质 (6) 3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用 (7) 结束语 (12) 参考文献 (12) 英文摘要 (13) 致谢 (13)
凸函数的性质及其应用 (河北科技师范学院数学与信息科技学院 数学与应用数学专业0602班) 指导教师： 摘 要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发,讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。并且讨论了凸函数Jesen 不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。 关键词: 凸函数；不等式；证明 1 引言 凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、 多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出【3】 。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数有 着十分重要的作用【4】 。人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究,凸函数的性质也有所发展。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是 最重要的【7】 。 凸函数的定义,最早是由Jenser 给出。本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念 已在许多数学分支中得到了广泛应用【8】 。凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在 现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用【10】 。由于凸函数具有较好的几何和代数性质, 在数学规划中有着广泛的应用背景, 一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选 择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了【11】 。另外, 由于凸函数理论的广泛性, 因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。 2 预备知识 2.1 凸函数的定义 定义1 【10】 设()f x 在区间I 内有定义,如果对任意的1x , 2x ∈I , (1x ≠2x ) ,总有 1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+ , 则称函数()f x 是区间I 内的凸函数,并称()f x 在I 内的图形是向下凸的;如果对任意的1212,()x x I x x ∈≠,对(0,1)λ?∈,总有 12 12[(1)](1)()() f x x f x f x λλλλ-+>-+, 则称函数()f x 是区间I 内的凹函数,并称()f x 在I 内的图形是向上凸的。若式子中的不等式改为严格不等式, 则相应的函数称为严格凸（凹） 函数。 定义2 【 10】 设()f x 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点1212,()x x x x ≠ ,恒有