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凸函数的性质及其应用

杨贞标（2008051136）

（黔南民族师范学院数学系,贵州都匀 558000）

摘要:凸函数是重要的函数,是证明不等式的重要工具,是运筹学的理论基础之一.本文给出了凸函

数的多种定义,几何意义,性质及其应用.

关键词:凸函数;Jensen 型不等式;凸规划

The Properties and Applications of Convex Function

YANG Zhen-biao (2008051136)

(Departmen of Mathematics, Qiannan Normal College for Nationalities, Duyun 558000, Guizhou)

Abstract: Convex Function is an important function, which is an important tool of proving inequally, It is

also one of the basic theories to the operational research. In this paper it includes some different definitions, the geometric meaning ,properties and the applications.

Keywords: Convex Function; Jensen Type Inequality; Convex Programming

凸函数是一类非常重要的函数,在证明不等式和非线性规划中有着广泛的应用.本文中首先给出凸函数的多种定义,凸函数的几何意义及其性质,并将凸函数推广到Jensen 型不等式和n 维欧式空间上. 1 凸函数的定义

定义1 如果函数()f x 在[],a b 上连续,对[],a b 上任意不同的两点1x ,2x 有

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≤

则称函数()f x 是[],a b 上的凸函数.

定义 2 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上的任意两点1x ,2x 和任意实数(0,1)λ∈总有

1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-

则称函数f 是I 上的凸函数.

定义3 如果函数()f x 在[],a b 上连续,任意123,,[,]x x x a b ∈且123x x x <<有

31212131

()()

()()f x f x f x f x x x x x --≤

-- 则称函数()f x 是[],a b 上的凸函数.

定义4 如果函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 上可导,对0,[,]x x a b ?∈有

'000()()()()f x f x x x f x ≥-+

则称函数()f x 是[],a b 上的凸函数.

定义 5 如果函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 上二次可导且''()0f x ≥,则称函数()f x 是[],a b 上的凸函数.

定义6 设()f X 为定义在n 维欧氏空间n E 中某个凸集c R 上的函数.若对任何实数(01)?

(1)(2)(1)(2)[(1)]()(1)()f X X f X f X ?+-?≤?+-?

则称函数()f X 是定义在c R 上是凸函数.

注:①若函数()f x 为凸函数,则()f x -为凹函数.

②将上述定义中的≥或≤改为>或<,则是严格凸函数的定义.

2 凸函数的几何意义

设函数()f x 为凸函数,图如(图一)所示. 令123x x x <<则有

32212133131

x x x x

x x x x x x x --=

+-- 由定义2与定义3有

32212133131

()(

)x x x x

f x f x x x x x x --=+-- 3221133131

()()x x x x

f x f x x x x x --<

+-- 即

313221213132

()()()()

()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---<<---

上式说明了凸函数的几何意义.弦AB 的斜率小于弦AC 的斜率,弦AC 的斜率小于弦BC 的斜率.

即AB AC BC k k k <<.

y = f (x )

x3x2

(图一) 3 凸函数的性质

性质1 若函数()f x 为区间[,]a b 上的凸函数,则对于0t >,有()tf x 在[,]a b 上也是凸函数.

证明: 因为()f x 是区间[,]a b 上的凸函数.

所以对于(0,1)λ?∈和[]12,,x x a b ?∈有

1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-

对上式两端同时乘以(0)t t >得

1212[(1)]()(1)()tf x x t f x tf x λλλλ+-≤+-

所以()tf x 在[,]a b 上是凸函数.

性质2 若函数()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数,则函数()()f x g x +在区间[,]a b 上也是凸函数.

证明:因为函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 上均为凸函数. 所以取12,[,]x x a b ?∈和(0,1)λ?∈有

1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- 1212[(1)]()(1)()g x x g x g x λλλλ+-≤+-

对上述两式相加得

12121122[(1)][(1)][()()](1)[()()]f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+

所以函数()()f x g x +在区间[,]a b 上是凸函数.

性质3 若函数()?μ是单调递增的凸函数, 函数()f x μ=也是单调递增的凸函数,则复合函数[()]f x ?也是凸函数.

证明:因为函数()?μ是单调递增的凸函数,函数()f x μ=也是单调递增的凸

函数.

所以''''''()0,()0,()0,()0u x x ?μ?μμ≥≥≥≥ 所以''''''''()()()()()x x x ??μμ?μμ=+ 所以''()0x ?≥

所以函数[()]f x ?是凸函数.

性质4若函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 上是非负单调递增的凸函数,则函数

()()()h x f x g x =在区间[,]a b 上也是凸函数.

证明:因为函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 上是非负单调递增.

所以取12,(,)x x a b ?∈且12x x <和(0,1)λ?∈有

1221[()()][()()]0f x f x g x g x --≤

12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+

又因为函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 上是凸函数.

所以2121[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (1)

2121[(1)]()(1)()g x x g x g x λλλλ+-≤+- (2)

又因为()0,()0f x g x ≥≥. 将上述两式(1)与(2)相乘得

2121[(1)][(1)]f x x g x x λλλλ+-+-

2222122111()()(1)[()()()()](1)()()f x g x f x g x f x g x f x g x λλλλ≤+-++-

所以函数()()()h x f x g x =在区间[,]a b 上是凸函数.

4 凸函数的应用

应用 1 证明不等式（一元凸函数），在定义2的基础上,将凸函数推广到Jensen 不等式上.

定理1（Jensen 不等式）若函数()f x 为区间[,]a b 上的凸函数,则对任意

[,]i x a b ∈, 0(1,2,,)i i n λ>=??? , 11n

i i λ==∑ 有

()()n n

i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ (3)

证明:(应用数学归纳法证明)

当n=2时,由定义2可知命题显然成立. 假设n=k 时命题成立.

即对于任意12,,,[,]k x x x a b ???∈及10(1,2,,),1k

i i i i k αα=>=???=∑

都有1

()()k k

i i i i i i f x f x αα==≤∑∑

现设121,,,,[,]k k x x x x a b +???∈及1

0(1,2,,,1),1k i i i i k k λλ+=>=???+=∑.

令1(1,2,,)1i

i k i k λαλ+=

=???-则1

i i α==∑. 由数学归纳法假设可推得

112211()k k k k f x x x x λλλλ++++???++

11221111

[(1)

]1k k

k k k k x x x f x λλλλλλ++++++???+=-+-

1112211(1)()()k k k k k f x x x f x λαααλ+++≤-++???++ 1112211(1)[()()()]()k k k k k f x f x f x f x λαααλ+++≤-++???++

11211111

(1)[()()()]()111k k k k k k k k f x f x f x f x λ

λλλλλλλ++++++=-++???++---

()k i i i f x λ+==∑

这就证明了对于任何正整数(2)n n ≥,凸函数()f x 总有不等式（3）成立. 例1 证明不等式3

()

a b c

a b c abc a b c ++≤,其中,,a b c 均为正数.

证明:设()ln ,0f x x x x =>.

由于()f x 的一阶导数和二阶导数为'''1

()ln 1,()f x x f x x

=+= 可见, ()ln f x x x =在0x >时为严格凸函数. 由Jensen 不等式有

1()[()()()]33a b c f f a f b f c ++≤++

代入()ln f x x x =得

1ln (ln ln ln )333a b c a b c a a b b c c ++++≤++ 即()3

a b c a b c a b c a b c ++++≤

又由于33

a b c

abc ++≤

所以3

()

a b c a b c abc a b c ++≤.

例2 证明n 个正数的倒数算术平均值不小于这n 个正数的算术平均值得倒

数.

证明:设1

()(0)f x x x

=<<+∞

由于()f x 的一阶导数和二阶导数为: '''23

(),()f x f x x x =-=

. 所以在(0,)+∞上'''

2312()0,()0f x f x x x

=-<=>. 所以1

()f x x

在(0,)+∞上是凸函数. 在Jensen 不等式中取1

(1,2,,)i i n n

λ==???,则得

1111

()()n

i i i i f x f x n n ==≤∑∑ 代入函数1

()(0)f x x x

=<<+∞得

12121111

()n n

n x x x n x x x ≤++???+++???+

即

121211111

()n n

x x x n x x x n

≤++???+++???+

所以命题得证.

通过上述例题可以看出,运用凸函数证明有关不等式,可以将证明过程复杂的问题转化为证明过程比较简单的问题,可以将证明难度比较大的问题转化为证明过程证明比较容易的问题.在运用凸函数证明有关不等式时关键是寻找合适的凸函数.

应用2 凸规划（多元凸函数），由定义6可知,将凸函数推广到n 维欧氏空间中,凸函数的性质在n 维欧氏空间中依然成立,将n 维欧氏空间中的凸函数应用到非线性规划中.

定义7 非线性规划数学模型的一般形式是

min ()

..()0(1,2,,)

()0(1,2,,)i j f X s t h X i m g X j l ??

==?????≥=????

(4)

其中, 12(,,,)T n X x x x =???是n 维欧氏空间n E 中的点（向量）,目标函数()f X 和约束函数(),()i j h X g X 为X 的实函数.如果（4）的约束集X 是凸集,目标函数()f X 是X 上的凸函数,则（4）叫做非线性规划,或简称为凸规划.

定理2 (n 维欧氏空间中凸函数的判定)要判定一个函数是不是凸函数,可以直接依据定义;对于可微凸函数,也可以利用下述两个条件.

（1）一阶条件

设c R 为n E 上的开凸集,()f X 在c R 上可微,则()f X 为c R 上的凸函数的充要条件是:对任意两点(1)c X R ∈和(2)c X R ∈,恒有

(2)(1)(1)(2)(1)()()()()T f X f X f X X X ≥+?-

（2）二阶条件

设c R 为n E 上的开凸集,()f X 在c R 上二阶可微,则()f X 为c R 上的凸函数的充要条件是:对所有*c X R ∈,其黑塞（Hesse ）矩阵半正定(正定).其中

2222

1121222221

22*222

()()()()()

()()()()()n n n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x f X f x f x f x x x x x x ??

??????????????

???

????

???????????=?

???????????

????

???

??????

????????

为()f X 在点*X 处的黑塞（Hesse ）矩阵.

例3 证明22

12()f X x x =+为凸函数.

证明:方法一(用一阶条件证明)

任取两个点(1)11(,)T X a b =和(2)22(,)T X a b =,有

(1)22(2)22

(1)112211(),(),()(2,2)T f X a b f X a b f X a b =+=+?=

现看下式是否成立

2122

222

211112

1(2,2)a a a b a b a b b b -??+≥++ ?-??

22222222111211212222a b a b a a a b b b +≥++-+-

222121()()0a a b b -+-≥

可知上式成立.

即(2)(1)(1)(2)(1)()()()()T f X f X f X X X ≥+?-

所以22

12()f X x x =+为凸函数.

方法二(用二阶条件证明)

因为2122

121()()()

2,2,2f X f X f X x x x x x ???===??? 2222

21221

()()()

2,0f X f X f X x x x x x ???===????? 所以其黑塞（Hesse ）矩阵为: 220()02f X ??

?= ???

因为2()f X ?正定.

所以22

12()f X x x =+为凸函数

例4 验证下列（5）是凸规划

222

123123131212

112321233123min (,,)222()0

..()216()0

f x x x x x x x x x x x x

g x x x x s t g x x x x g x x x x ?=+++-++?=+-≤??

=++≤??=--+≤?

（5）

解:(用二阶条件验证)

只需要验证123123(,,),(),(),()f x x x g x g x g x 是凸函数. 因为123(,,)f x x x 的黑塞（Hesse ）矩阵为:

2411()120104f x -??

???=-??

????

2()f x ?的各阶顺序主子式分别为:

40>,

701

-=>-,4

111

202601

--=> 所以2()f x ?为正定矩阵,123(,,)f x x x 是凸函数. 因为1()g x 的黑塞（Hesse ）矩阵为:

21200()020000g x ??

???=??

????

所以21()g x ?为半正定矩阵, 1()g x 是凸函数. 又因为23(),()g x g x 是线性函数

所以123123(,,),(),(),()f x x x g x g x g x 都是凸函数. 所以(5)是凸规划.

通过上述例题可以看出,运用凸函数验证非线性规划是否是凸规划,只需要验证其目标函数和约束函数的黑塞（Hesse ）矩阵半正定(正定), 线性函数既是凸函数又是凹函数.

5 结束语

通过本文中给出了凸函数的定义,凸函数的几何意义及其性质,对凸函数的性质给予证明,并将凸函数推广到Jensen不等式和n维欧式空间上.可知凸函数的应用领域非常广泛，特别是在证明不等过程中,运用其证明不等式显得非常巧妙和简练.由于Jensen不等式的应用仅仅限于一元凸函数而言,所以将其推广到n维欧氏空间中应用于凸规划,将区间扩充到凸集的范围,实现多元凸函数的应用.

参考文献:

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册.第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001(2008重印).

[2]张筑生.数学分析新讲(第二册)[M].北京:北京大学出版社,1997.

[3]牛均华,周健律.数学分析选讲[M].广州:广东科技出版社,1986.

[4]毛羽辉.数学分析选论[M].北京:科学出版社,1991.

[5]邵士敏,何怡生.高等数学基础[M].北京:科学出版社,1991.

[6]华罗庚.高等数学引论[M].北京:科学出版社,1982.

[7] 刘玉连,傅沛仁.数学分析讲义(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[8]胡运权,郭耀煌.运筹学[M].北京:清华大学出版社,2007.

指导教师:张维讲师

4 对数函数及其性质(1)

高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 4、对数函数及其性质（1）一、教材分析本小节主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计

凸函数的性质与应用

学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2009级姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日

目录摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)

函数的性质与应用学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院数学与应用数学指导教师: *** 职称: 副教授摘要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格

知识讲解对数函数及其性质提高

对数函数及其性质【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠．【要点梳理】要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x ．要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．要点二、对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象

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数学教案-指数函数与对数函数的性质及其应用.doc

数学教案－指数函数与对数函数的性质及其应用教案课题：指数函数与对数函数的性质及其应用课型：综合课教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。重点：指数函数与对数函数的特性。难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。教学方法：多媒体授课。学法指导：借助列表与图像法。教具：多媒体教学设备。教学过程：一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。

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函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1）图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1)

x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x

对数性凸函数的性质及应用解读

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对数函数图像及其性质

《对数函数及其性质》学校：广西师范大学院系：数学科学学院作者：学号：对数函数及其性质一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的， GUANGXINOPMAL UNlVEPSITY 人教A版第二章第2.2.2节

针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计：第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。二、学情分析（一）学习的知识起点学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。（二）学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a 的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受对数函数中底数a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。三、教材分析（一）教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质, 掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一, 对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作

对数函数性质及练习(有答案)

对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征：特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ．解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质

(1)图象与性质谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上

凸函数的性质及其应用

摘要高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题

Abstract Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines. Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's. The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply. Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem

《对数函数及其性质》教案及设计说明

对数函数及其性质教学设计三亚市第四中学邓影课题：对数函数及其性质使用教材：人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）》第二章第2.2.2节第一课时一、教材分析 1．本节教材的地位和作用基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 2．教学重难点重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。二、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生实际情况及其认知结构心理特征制定教学目标如下： 1．知识与技能：（1）理解对数函数的概念；（2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法：（1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力；（2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力；（3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养；

3．情感、态度与价值观：在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。三、教法学法 1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟. 在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式．．．”教学方法。将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。其理论依据为建构主义学习理论。它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。 2. 学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。 3. 教学手段本节课我选择计算机辅助教学。增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务． 4.教学流程

特征函数的概念及意义

特征函数的概念及意义目录：一．特征函数的定义。二．常用分布的特征函数。三．特征函数的应用。四．绪论。一．特征函数的定义设X 是一个随机变量，称 ()() itX e t E =?, +∞<<∞-t , 为X 的特征函数. 因为＝１Ｘit e ，所以() itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的. 当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为 ()∑+∞ ==1k k itx p e t k ?, +∞<<∞-t . 当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()?+∞ ∞-=dx x p e t k itx ?, +∞<<∞-t . 与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数. 二．常用分布的特征函数 1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =?

2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x 1x =-==-，，其特征函数为 ()q pe t it +=?，其中p 1q -=. 3、泊松分布()λP ：()λλ-= =e k k X P k ！，k=0,1，，其特征函数为 ()()∑+∞ =---===0k 1e e k ikt it it e e e e k e t λλλλλ?！ . 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为 ()?????<<-=.;, 0, 1其他b x a a b x p 所以特征函数为 ()() ? --= -=b a iat ibt itx a b it e e dx a b e x ?. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为 ()2 221x e x p -= π ， +∞<<∞-x . 所以特征函数为 ()() ? ?∞+∞-∞+∞ ---- - ∞== dx it x t x itx e e dx e x 22 22 222121 π ? =? -∞+-∞--- - =it it t t t e dz e e 2 2 2 22221π . 其中 ? -∞+-∞-- =it it x dz e π22 2 . 三．特征函数的应用 1、在求数字特征上的应用求() 2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2 t i 2 2e t σμ ?=,

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 https://www.wendangku.net/doc/c010448353.html,work Information Technology Company.2020YEAR

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).

对数函数性质及练习(有答案)

\ 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征：特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． , 【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ．解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质

根式函数的性质及其应用

根式函数b ax y += 2的性质及其应用摘要：关键词： 1、引言高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题. 下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉. 2、性质归纳性质1（定义域） R 性质2（值域） ),[+∞b 性质3（单调性）在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增性质4（奇偶性）偶函数性质5（对称性）关于y 轴对称将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得性质6（特殊性） ① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数有了性质作辅助，遇题便有章可依. 3、典例分析例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a 证明：设函数14)(2 +=x x f ，它的图象是双曲线14 12 2 =-x y 的上支(如右图)

)(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2 (2)()(b a f b f a f +≥+ ∴ 124214142 22+?? ? ??+≥+++b a b a 即得2214142 2≥+++b a 证毕. 推广：若),,2,1(n i R x i i =∈，且11 =∑=n i i x ，则有21 2bn a b ax n i i +≥+∑= 例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立. ② 若b a ≠，原不等式等价于2|1 414|22≤-+-+b a b a 设函数14)(2 +=x x f ，则b a b a -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()14,2+a a P ，() 14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率，即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1 44)(2'+= x x x f ，∴ 2| |2| |41 4||4|)(|2'<< += x x x x x f ∴ 2|1 414| 22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间. 例3 当b a <<0时，求证：()14414142 22+-> +-+a a b a a b 证明：原不等式等价于 1 441 4142 22+>-+-+a a a b a b 设函数14)(2 +=x x f ，则a b a b -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在 ()b a ,上存在一点ξ，使得 )() ()('ξf a b a f b f =--.

函数凹凸性的性质判定及应用

函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;

必修1随堂练.2对数函数的图象及性质的应用

【金版教程】2015-2016高中数学 2.2.2.2对数函数的图象及性质的应用随堂练习新人教A 版必修1 1.[2015·宁夏银川高一期中]已知y ＝(14 )x 的反函数为y ＝f (x )，若f (x 0)＝－12，则x 0＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．2 D.12 [解析] y ＝(14)x 的反函数是f (x )＝log 14 x ， ∴f (x 0)＝log 14 x 0＝－ 12. ∴x 0＝(14)－12 ＝[(12)2] －12 ＝2. [答案] C 2．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) [解析] 题目中隐含条件a >0. 当a >0时，t ＝2－ax 为减函数，故要使y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a >1，且t ＝2－ax 在x ∈[0,1]时恒为正数，即2－a >0，故可得1log 53>0， 1>log 53>0， ∴log 54>(log 53)2 即a >b . 又∵log 45>1>log 54，即c >a . ∴c >a >b . [答案] D 4．[2014·天津高考]函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)

凸函数的性质及其应用

中文题目：凸函数的性质及其应用英文题目：The Property and Applications of Convex Functions 完成人：指导教师：系（院）别：数学与信息科技学院专业、班级：数学与应用数学0602班完成时间：二〇一〇年六月河北科技师范学院数信学院制

目录中文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 凸函数的定义 (2) 2.2凸函数的运算性质 (2) 2.3 Jesen不等式 (2) 3 本文的主要结果 (3) 3.1 凸函数的连续性 (3) 3.2 凸函数的微分性质 (3) 3.3 凸函数的积分性质 (6) 3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用 (7) 结束语 (12) 参考文献 (12) 英文摘要 (13) 致谢 (13)

凸函数的性质及其应用 (河北科技师范学院数学与信息科技学院数学与应用数学专业0602班) 指导教师：摘要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发,讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。并且讨论了凸函数Jesen 不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。关键词: 凸函数；不等式；证明 1 引言凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出【3】。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数有着十分重要的作用【4】。人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究,凸函数的性质也有所发展。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是最重要的【7】。凸函数的定义,最早是由Jenser 给出。本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用【8】。凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用【10】。由于凸函数具有较好的几何和代数性质, 在数学规划中有着广泛的应用背景, 一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了【11】。另外, 由于凸函数理论的广泛性, 因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。 2 预备知识 2.1 凸函数的定义定义1 【10】设()f x 在区间I 内有定义,如果对任意的1x , 2x ∈I , (1x ≠2x ) ,总有 1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+ , 则称函数()f x 是区间I 内的凸函数,并称()f x 在I 内的图形是向下凸的;如果对任意的1212,()x x I x x ∈≠,对(0,1)λ?∈,总有 12 12[(1)](1)()() f x x f x f x λλλλ-+>-+, 则称函数()f x 是区间I 内的凹函数,并称()f x 在I 内的图形是向上凸的。若式子中的不等式改为严格不等式, 则相应的函数称为严格凸（凹）函数。定义2 【 10】设()f x 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点1212,()x x x x ≠ ,恒有