2021年变力做功的求解方法
变力做功的求解方法
欧阳光明（2021.03.07）
物理与电子信息工程学院物理学
[摘要]功是物理学中最常见的物理量，变力做功的求解方法也是贯穿大学物理的重点和难点之一，它在力学、理论力学中都占有十分重要的地位。本文分别用图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同方法对物理学中变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法的应用。通过对这些方法和实例的讨论，以使我能对变力做功的求解方法有更深刻的理解和巩固，进一步提高我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。[关键词]变力功图像法等效代换法
1 前言
功是物理学中最常见的物理量，对于变力做功的求解，教材上通常采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因每小段很小，所以每小段可视为一方向不变的位移，而在这小位移上的力也可视为恒力。又因小位移为无穷小量，可认为它与轨迹重合，称之为元位移，而力在元位移上做的功称之为元功。这样就顺利的将求解变力做功的问题转化为了求无数多个元功之和。然而，求解变力做功的方法并不是唯一的，在很多实际问题中也可以根据实际寻找最为简便有效的方法。对此，本文将分别从图像法、微元法、等值法、平均力法、动能定理、功能原理等不同角度对变力做功的求解方法进行较全面、系统的研究，并以实例说明这些方法的应用。
2用图像法求变力做功
功是描写力对空间的积累作用的，它的大小可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图2.2.1力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积．如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。
图2.2.1力-位移图象
在F-x图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功，即功是力对位移的积累效应。如果已知在位移x内F随位移变化的图象，可以根据图象与x轴所围成的面积求出变力F对物体做的功，这种求功的方法称为图像法。
线性变化的力是一种特殊情况的变力，作用力是位移的线性函数kx
F=，它的力-位移图象是一条倾斜的直线，直线下方的梯形或三角形的面积表示为线性变力的大小。
在功的求解问题中，当已知力与位移的函数关系或力与位移的关系曲线时，就可以用图像法求解。如重心位置变化时的重力所做的功；弹簧伸缩时弹力所做的功；打击木桩时的阻力所做的功，它们的力与位移都成线性关系：kx
F=。在求这些力做的功时，由于很容易找到力和位移的函数关系，作出x
F-图线，可以用图像法很简单的进行求解。
利用图像法求解功的思路是：首先确定研究对象，进行受力分析，找出力与位移之间的函数关系式；根据题意及关系式作出x
F-图线；最后利用几何关系求出图线和坐标轴围成的面积，即为所求力
的功。
例1：质量为m 的质点在外力的作用下沿x O 轴运动，已知0=t 时质点位于原点，且初速度为零，设外力F 随距离性地减小，且0=x 时，0F F =;当L x =时，0=F 。试求质点从0=x 运动到L x =处的过程中，力F 对质点所做功和质点在L x =处的速率[1]。
分析与解：当0=t 时，;,0,0000F F x v ===并且外力随距离增大而减小；又当L x =时，0=F 。所以当质点从0=x 运动到L x =处的过程中，变力F 所做的功转化为质点运动的动能。因此我们用图像发求变力所做的功，再则求出质点在L x =处的速度。
由于力F 随距离的增加而减小，所以建立以ox 轴为横轴，oF 轴为竖轴的平面坐标系，如图所示：
图2.2.2例1示意图
设变力F 做功为W ，质点运动到L x =处的速度为v ，所以：图中阴影部分的面积对应的就是变力F 做的功，即
又由于变力F 所做的功转化为质点的动能，已知质点的质量为m ；则：
解得力F 对质点所做的功为：
质点在L x =处的速度为：
由此可见，当力和位移成线性关系时，可用图像法简单、直观的求解变力做功。
3从能量转化的角度求变力做功
贯穿功和能全部的知识重点是“功是能量变化的量度”。功是过
程量，能是状态量，不同的过程决定不同的状态变化，或者说由于不同性质的力做功引起不同性质能量的变化。所以在求解变力做功时，可以把问题转化为求解动能的改变量或者机械能的改变量。
3.1 用动能定理求变力做功
质点在一定时间的运动过程中，其动能改变的数值等于在同样时间内外力对该质点做的功。因此，在功的计算中，如果一个物体受到几个力的作用，除了变力外，其他力对物体不做功或做功之和为零，就可以利用动能定理直接求解变力做的功，即由其做功的结果----动能的变化求变力F 的功：k E W ?=。动能定理求变力做功适用
于多个力做功，但只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功又容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功[2]。
如在人通过定滑轮拉物体的过程中，求绳对物体的拉力所做的功。物体始、末状态的动能已知为零，以绳为研究对象，受到人的拉力和物体对绳的拉力，根据动能定理即可求得绳对物体的拉力所做的功等于人对绳的拉力所做的功。又如要求人通过定滑轮拉物体的过程中滑动摩擦力做的功，先求出其它力如重力、支持力、拉力等做的功，再找出始、末状态的动能，利用动能定理即可求解。
利用动能定理求解的思路如下：首先明确研究对象，对研究对象做受力分析；再确定物理过程，研究在所确定的物理过程中那些力做功，并求出外力做功的代数和；再确定研究过程的初、末状态的动能；最后根据动能定理列方程，结合其它有关规律分析求解。
例2：如图所示，用同种材料制成的一个轨道，A 段为1/4圆弧，
半径为R ，水平放置的BC 段长为R ，一小物块质量为m ，与轨道间动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A 点由静止下滑时恰好运动到C 点静止，求物块在AB 段克服摩擦力做的功[3]？
图3.1 例2示意图
分析：物块由A 运动到B 的过程中共受三个力作用：重力G 、支持力N,摩擦力f 。由于轨迹是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力，但支待力时刻垂直速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。
解答：设在B 点时速度为B v ,A 点时速度为A v ，由动能定理知k E W ?=外，其中有f W W W G +=外，2B 2A 2B k mV 2
1mV 21mV 21=-=?E 。所以： 2B f mV 21mg =+W R （1）物块由B 运动到C
的过程中，重力和支持力不做功,.仅有摩擦力做功，设为f W '。 由动能定理得：2
B
f mV 210-='W （2） 又R W m
g f μ-='.（3）
由（1）（2）（3）可得：
R R R W mg )1(mg mg f μμ-=-=。
在求解变力做功的问题中，利用动能定理只需考查一个物体运动过程的始末两个状态有关物理量的关系，对过程的细节不予细究，与牛顿定律观点比较，这正是它的方便之处。
3.2用功能原理求变力做功
功能原理是力学中的基本原理之一，它描述了物体系统的机械能增量等于一切外力非保守力对系统所作的总功和系统内非保守力所作的总功的代数和。即任何物体，系统外力非保守力对其作的总功+系统内非保守力做的总功 = 系统的机械能（动能与势能之和）的增量。
12E E W W -=+内非外非（3.5）
该原理对一切惯性参考系都成立，所以求变力做的功可以根据功能关系求解。只有非保守力做功，才能使机械能发生变化。起重机提升重物，非保守力做了正功，才使重物的动能和势能增加，若重物上升一定高度又逐步匀速下降，钓钩对重物做负功，重力势能减小。保守力做功会引起系统动能放入改变，但不会引起系统机械能的改变。
若多个力对系统做功，如果这些力中只有一个变力做功，且其它的力所做的功及系统的机械能增量都比较容易解时，就可用功能原理求得变力所做的功。
如在用力F 匀速提起一物体的过程中，要求F 做的功时,由于物体的重力势能要变化，求出它的变化量,即为F 所做的功。人通过定滑轮匀速拉物体的过程中，求人做的功，物体重力势能的增量即为人做的功。
功能原理求解功的思路：首先确定研究对象是一物体或系统,分析受力情况，确定研究过程的初、末状态的机械能,最后列方程求解。
例3：在下图中，劲度系数为k 的轻弹簧下端固定，沿斜面放置，斜面倾角为。质量为m 的物体从与弹簧上端相距为a 的位置以初速
度沿斜面下滑并使弹簧最多压缩b。求物体与斜面之间的摩擦因数[4]。
图3.2 例3示意图
解析：将物体、弹簧、地球视为一个系统，重力和弹力是保守内力，正压力与物体位移垂直不做功，只有摩擦力
F为非保守内力
k
且做功。根据系统的功能原理，摩擦力做的功等于系统机械能的增量，并注意到弹簧最大压缩时物体的速度为零，即有
以及
可以解得
从功能关系的角度来审视一个物理过程，分析这一过程中各个力做功情况,及其相应的能量转化情况，是一条重要的解题思路。特别是在一个复杂的运动过程中，只要选好始、末状态，并把握好过程中各力所做的功，再用功能关系列式，就能化繁为简，化难为易。其实，功能原理与动能定理并无本质的不同，它们的区别仅在于功能原理中引入了势能而无需考虑内保守力的功，这正是功能原理的优点。
W=求恒定功率下的变力做功
3.3用t P
功率的定义式变形公式t P
W=中没有要求恒力条件，所以利用此式只要给出功率与过程经历的时间都可以计算出功率保持不变的情况下变力所做的功。
这种方法通常用于求机械做功的问题，如汽车的运动等。汽车以额定功率起动时，力F是变力，求某段时间内汽车牵引力做的功可以根据t P
W=来计算。
例4：质量为M 的汽车，沿平直的公路加速行驶，当汽车的速度为1v 时，立即以不变的功率行驶，经过距离，速度达到最大值2v .设汽车行驶过程中受到的阻力始终不变，求汽车的速度由1v 增至2v 的过程中所经历的时间及牵引力做的功[5]。
分析：汽车以恒定功率加速的运动是加速度逐渐减小的变加速运动，此过程中牵引力是变力，当加速度减小到0时，即牵引力等于阻力时，速度达到最大值。由于汽车的功率恒定，故可用t P W =来计算牵引力做的功。
解答：设汽车从1v (初态)加速至2v (末态)的过程所经历的时间为
t ，行驶过程中所受的阻力为f ，牵引力做的功为t P W =。对汽车加速过程用动能定理有
22fs t 2122Mv Mv P -=-（1） 又2f v P =
（2）
联立（1）、（2）式，解得： 在求解变力做功的问题中，利用t P W =只需考查一个物体运动过程的功率大小与过程经历的时间长短，这也正是它的方便之处。 4 用等效代换法求变力做功
在求解变力做功的一些题目中，整个运动过程中的“动态”是非常复杂的，而我们往往只需要把握住“始”和“终”时刻的状态，定性地分析过程，运用等效的观点，将整个过程等效为一个相对简单的过程，从而方便求解。这种求功的方法称为等效代换法。
4.1用微元法求变力做功
对于变力做功的求解也可以采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因小段很小，每段可视为一方向不变的位移，在这小位移上的力也可视为不变的。那小位移为无穷小量，可认为与轨迹重合，称元位移，力在元位移上的功称元功。这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和，即微元法求解变力做功。此法常应用于求解力的大小不变、方向改变变力做功问题（如滑动摩擦力做功，空气阻力做功）。
在某一位移区间，力随位移变化的关系为）（x f =F ，求该变力的功可用微元法，即将位移区间分成n （n ?→?∞）个小区间n x ，在每个小区间内将力视为恒力，求其元功n
x F W i i =，由于功是标量，具有
“可加性”，那么总功等于每个小区间内元功之代数和∑=n i i W 1的极限。
即变力在这段位移中所做的功为∑==n
i i W W 1lim ，在数学上，确定元功
相当于给出数列通项式，求总功即求数列n 项和，当数列n ?→?
∞时的极限[6]。
当物体在变力作用下做曲线运动时，若力的方向与速度在同一直线上或与物体运动的切线方向成某一固定角度，且力与位移的方向同步变化时，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可以认为恒力做功，总功即为每个小元段做功的代数和。如在圆形轨道上拉一物体，此时拉力方向与速度在一条直线上，求拉力所做的功；物体做曲线运动时，求滑动摩擦力做的功；物体做平抛运动时，求重力做的功；通过定滑轮拉一物体，求拉力做的功时都可采用微元法。
利用微元法求解功的基本方法是：首先隔离选择恰当微元作为突破整体研究的对象，微元可以是一小段线段，一小段圆弧，一小块面积，一小段时间……但应具有整体对象的基本特征。再将微元模型化，在某一段小位移内的力视为恒力，并运用相关的公式r W Fd d =，求解这个微元与所求物体的关联。最后将一个微元的求解
结果推广到其他微元，并充分利用个微元间的对称关系，矢量方向关系，近似极限关系，对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理解答。
例5：一对质量分别为1m 和2m 的质点，彼此之间存在万有引力
的作用。设1m 固定不动，2m 在1m 的引力作用下由a 点经某路径l 运
动到b 点。已知2m 在a 点和b 点时距1m 分别为a r 和b r ，求万有引力的
功[7]。
图4.1 例5示意图
解析：在上图中，取1m 为坐标原点，某时刻2m 对1m 的位矢为r ，
引力F 与r 方向相反。当2m 在引力作用下完成元位移dr 时，引力做
的元功为： 由图可见，()dr dr dr =-=-θπθcos cos ，此处dr 为位矢大小的增量，故上式可以写为：
这样，质点由a 点运动到b 点引力做的总功为：
“微元法”的使用，在整个物理学上都意义巨大。
4.2 用平均力法求变力做功
当作用在物体上的力的方向不变，其大小随位移作线性变化时，可用力对该段位移的平均值代替定义式中的值求功。
在功的计算中，力与位移成线性关系：b kx F +=，且力的方向不变，其X F -图象如图3.5所示，则图中阴影部分的面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即()12212x x F F W -+=，也就是说，变力F 由F 1线性地变到F 2的过程中所做的功等于该过程的平均力
22
1F F F +=所做的功。
图4.2线性力的x F -图像
利用平均值等效法求功的思路：首先求在某一段位移始、末两时刻受到的力，求其平均值，再计算平均力所做的功，即为变力在这段位移内的功。
如在打击木桩的过程中，木桩把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与木桩进入的深度成正比，是一个变力，因此只要求出这个变力的平均值所做的功，就可求得变力做的功。在弹簧被拉伸或被压缩的过程中，弹力F 的大小改变而方向不变时，由于弹力与位移成正比，力的大小随位移按线性规律变化，能够求出变力对位移的平均值22
1F F F +=。在整个过程中弹力做的功等于平均值F 在这一过
程中所做的功。
例6：要把长为l 的铁钉钉人木板中，每打击一次消耗的能量为0E ,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进人木板的深度成正比，比例系数为k ，则钉子全部进入木板需要打击几次?
分析：在把打子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而转化为系统内能，而阻力与钉子进入木板的深度成
正比，先求出生阻力的平均值，便可求出阻力做的功。
解答：钉子在整个过程中受到的平均值为：
钉子克服阻力做的功为：
设全过程共打击n 次，则消耗的总能量：
即 ：
注意:在具体的数据运算中n 只能取整数。
平均值等效思维具有一定的灵活性和技巧性，须在认真分析物理特征的基础上，进行合适的等效变换，才能获得简捷的求解方法。
4.3 用等值法求变力做功
当某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算恒力的功求出变力的功。而恒力做功又可以用公式θcos FS W =计算，从而使问题变的简单。如例2中所求的绳的拉力对物体所做的功，由于绳拉物体的力的方向不断变化，故绳拉物体的力为变力F ，但此时力对物体所做的功与手拉绳的力F 做的功相等。F 为恒力，F 作用点的位移与物体的位移相连，即：???? ??-=2
1sin 1sin 1θθh S ，则绳对物体的拉力F 所做的功???
? ??-===21'sin 1sin 1θθFh FS W W 。在磁场中，洛伦兹力对物体不做功，在求解变力做功时，如果此变力刚好等于洛仑兹力，还可以将变力转化为洛仑兹力，求出变力的功。
例7：如图3.3所示，在空间有匀强磁场，磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为B 。光滑绝缘空心的细管MN 的长度为L ，管M 端有一质量为m 、带正电q 的小球p 。开始时小球p 相对管静止，管带着小球p 沿垂直于管长度方向以恒定速度u 向图中右方水平运
动，不计重力。小球p 从管的M 端运动到N 端的过程中，管壁对小球做的功是多少[8]？
图4.3 例7示意图
分析与解：由于管壁对小球的力是变力，不能直接用功的公式求解，而管壁对小球的作用力等于洛仑兹力的分力。此题可采用等值法将变力做功转化为恒力做功求解。首先找到和管壁相等的恒力，分析小球的受力可知，如图3.4：小球在竖直方向受洛仑兹力的一个分力F 1，向左为洛仑兹力的另一个分力F 2。在水平方向向右为管壁
对小球的作用力F 。由于洛仑兹力对小球不做功，所以洛仑兹力的分力做功之和为零，即在竖直方向洛仑兹力的分力做的功，数值上等于洛仑兹力在水平方向分力做功的值，即21W W =。小球在水平方
向做匀速直线运动，管壁对小球的作用力所做的功在数值上等于洛仑兹力在水平方向的分力所做的功，水平方向上洛仑兹力的分力Bqv F =2，v 是变化的，F 2是变力，将变力做功转化为恒力做功。由
BqvL L F W ==11，21W W =，即可计算出
F 做的功。 图4.3例7小球受力示意图
等效方法是解决物理问题的常用方法之一，它是通过对问题中的某些因素进行变换或直接利用相似性，移用某一规律进行分析而得到相等效果，利用等效法从而使问题变得简单易解。
5 结束语
变力做功的求解方法并不是唯一的，本文分别从图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同角度对变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法
的应用。通过对以上方法和实例的讨论，使我对变力做功的求解方法有了更深刻的理解和巩固，并且进一步提升了我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。
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Method for solving the variable force acting
Ke Dingrong
Institute of Physics and Electronic Engineering physics 06200145 [Abstract]Work is one of the most common physical variables in physics, variable method for solvingthe force is doing work through the physics of the important and difficult one, its mechanics, theoretical mechanics plays an important role in both. This paper used the image method, kinetic energy theorem, functional theory, micro-element method, the average force method, the equivalent law in different ways to change forces acting on the physics of the solution method was more comprehensive and systematic research, along with examples of The application of these methods. Through discussion of these methods and examples, so that I can become a force acting in the solution of a deeper understanding and consolidation ofImprove my flexibility in the use of these methods to solve practical problems.
[Key words]Variable forceWorkImage MethodEquivalent substitution method
五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功 一.微元法思想。 当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w ?=来求解，但是可以 将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的 质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中摩擦力所做的功。 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大 小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解； 但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直 线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做 的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1 把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一 段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别 为 ， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 二、平均值法 当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值2 21F F F +=，再由αc o s L F W =计算变力做功。如：弹簧的弹力做功问题。 例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运 动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则 小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．02 1x F m C ．04x F m π D ．204 x π 【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为 04m F x π．C 答案正确． 图2
三.功能关系法。 功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。 例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体， 物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经 过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系 一定是： A ．E K B -E KA =E K C -E KB B ．E KB -E KA
电流计算公式
、静电学 1.两种电荷、电荷守恒定律、元电荷：(e＝1.60×10-19C）；带电体电荷量等于元电荷的整数倍 2.库仑定律：F＝kQ1Q2/r2（在真空中）｛F:点电荷间的作用力(N)，k:静电力常量k＝9.0×109N?m2/C2，Q1、Q2:两点电荷的电量(C)，r:两点电荷间的距离(m)，方向在它们的连线上，作用力与反作用力，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引｝ 3.电场强度：E＝F/q（定义式、计算式)｛E:电场强度(N/C)，是矢量（电场的叠加原理），q：检验电荷的电量(C)｝ 4.真空点（源）电荷形成的电场E＝kQ/r2 ｛r：源电荷到该位置的距离（m），Q：源电荷的电量｝ 5.匀强电场的场强E＝UAB/d ｛UAB:AB两点间的电压(V)，d:AB两点在场强方向的距离(m)｝ 6.电场力：F＝qE ｛F:电场力(N)，q:受到电场力的电荷的电量(C)，E:电场强度(N/C)｝ 7.电势与电势差：UAB＝φA-φB，UAB＝WAB/q＝-ΔEAB/q 8.电场力做功：WAB＝qUAB＝Eqd｛WAB:带电体由A到B时电场力所做的功(J)，q:带电量(C)，UAB:电场中A、B两点间的电势差(V)(电场力做功与路径无关),E:匀强电场强度,d:两点沿场强方向的距离(m)｝ 9.电势能：EA＝qφA ｛EA:带电体在A点的电势能(J)，q:电量(C)，φA:A点的电势(V)｝ 10.电势能的变化ΔEAB＝EB-EA ｛带电体在电场中从A位置到B位置时电势能的差值｝ 11.电场力做功与电势能变化ΔEAB＝-WAB＝-qUAB (电势能的增量等于电场力做功的负值) 12.电容C＝Q/U(定义式,计算式) ｛C:电容(F)，Q:电量(C)，U:电压(两极板电势差)(V)｝ 13.平行板电容器的电容C＝εS/4πkd（S:两极板正对面积，d:两极板间的垂直距离，ω：介电常数） 常见电容器〔见第二册P111〕 14.带电粒子在电场中的加速(V o＝0)：W＝ΔEK或qU＝mVt2/2，Vt＝(2qU/m)1/2 15.带电粒子沿垂直电场方向以速度Vo进入匀强电场时的偏转(不考虑重力作用的情况下) 类似平抛运动平行电场方向:初速度为零的匀加速直线运动d＝at2/2，a＝F/m＝qE/m 垂直电场方向:匀速直线运动L＝Vot(在带等量异种电荷的平行极板中：E＝U/d) 二、恒定电流 1.电流强度：I＝q/t｛I:电流强度(A），q:在时间t内通过导体横载面的电量(C），t:时间(s）｝ 2.欧姆定律：I＝U/R ｛I:导体电流强度(A)，U:导体两端电压(V)，R:导体阻值(Ω)｝ 3.电阻、电阻定律：R＝ρL/S｛ρ:电阻率(Ω?m)，L:导体的长度(m)，S:导体横截面积(m2)｝ 4.闭合电路欧姆定律：I＝E/(r+R)或E＝Ir+IR也可以是E＝U内+U外 ｛I:电路中的总电流(A)，E:电源电动势(V)，R:外电路电阻(Ω)，r:电源内阻(Ω)｝ 5.电功与电功率：W＝UIt，P＝UI｛W:电功(J)，U:电压(V)，I:电流(A)，t:时间(s)，P:电功率(W)｝ 6.焦耳定律：Q＝I2Rt｛Q:电热(J)，I:通过导体的电流(A)，R:导体的电阻值(Ω)，t:通电时间(s)｝ 7.纯电阻电路中:由于I＝U/R,W＝Q，因此W＝Q＝UIt＝I2Rt＝U2t/R 8.电源总动率、电源输出功率、电源效率：P总＝IE，P出＝IU，η＝P出/P总｛I:电路总电流(A)，E:电源电动势(V)，U:路端电压(V)，η：电源效率｝ 9.电路的串/并联串联电路(P、U与R成正比) 并联电路(P、I与R成反比) 电阻关系R串＝R1+R2+R3+ 1/R并＝1/R1+1/R2+1/R3+ 电流关系I总＝I1＝I2＝I3 I并＝I1+I2+I3+ 电压关系U总＝U1+U2+U3+ U总＝U1＝U2＝U3 功率分配P总＝P1+P2+P3+ P总＝P1+P2+P3+ 三、磁场 1.磁感应强度是用来表示磁场的强弱和方向的物理量,是矢量，单位T),1T＝1N/A?m 2.安培力F＝BIL；(注：L⊥B) {B:磁感应强度(T),F:安培力(F),I:电流强度(A),L:导线长度(m)} 3.洛仑兹力f＝qVB(注V⊥B);质谱仪〔见第二册P155〕｛f:洛仑兹力(N)，q:带电粒子电量(C)，V:带电粒子速度(m/s)｝
新教材高中物理 科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况 新人教版必修第二册
科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况 功的计算，在中学物理中占有十分重要的地位．功的计算公式W ＝Fl cos α只适用于恒力做功的情况，对于变力做功，则没有一个固定公式可用，但可以通过多种方法来求变力做功，如等效法、微元法、图象法等． 一、求解变力做功的几种方法 法1.用公式W ＝F － l cos α求变力做功 如果物体受到的力是均匀变化的，则可以利用物体受到的平均力的大小F －＝F 1＋F 2 2来计 算变力做功，其中F 1为物体初状态时受到的力，F 2为物体末状态时受到的力． 【典例1】 用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d ，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为( ) A ．(3－1)d B ．(2－1)d C. 5－1d 2 D. 22 d 【解析】 根据题意可得W ＝F －1d ＝kd 2d ，W ＝F － 2d ′＝kd ＋k d ＋d ′2 d ′，联立解得d ′ ＝(2－1)d (d ′＝－(2＋1)d 不符合实际，舍去)，故选项B 正确． 【答案】 B 法2.用图象法求变力做功 在F - x 图象中，图线与x 轴所围的“面积”的代数和表示F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t 图象求位移的原理相同． 【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索，
从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2 ) 【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值： F －＝250＋2002 N ＝225 N 故该过程中拉力做功：W ＝F － h ＝2 250 J. 方法二 由F - h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W ＝250＋200 2×10 J ＝2 250 J. 【答案】 2 250 J 法3.用微元法求变力做功 圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了． 【典例3】 如图所示，质量为m 的质点在力F 的作用下，沿水平面上半径为R 的光滑圆槽运动一周．若F 的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F 对质点做的功． 【解析】 质点在运动的过程中，F 的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl 1、Δl 2、Δl 3、…、Δl n ，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F (Δl 1＋Δl 2＋…＋Δl n )＝2πRF . 【答案】 2πRF . 变式训练1 如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k ＝200 N/m 的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x 1＝0.2 m ，木块开始运动，继续拉弹簧，木块
电场力做功常用计算方法之令狐文艳创作
电场力做功常用计算方法 令狐文艳 电场力做功的计算是将电、力以及能量等相关知识点综合在一起来考查的，因此在高考中常常出现。同时由于涉及到的知识点比较多，常常令我们感觉有些难度，见了就害怕。其实对于这类题目虽然计算方法很多，但只要我们进行归纳总结，找出这些方法的基本思路和共同点，解题时就有了头绪。知道如何着手解题，做起来就容易多了。 解决电场力做功的问题我们必须认识到这是涉及“电场”、“力”、“功”三个方面的问题，因此这类题目我们就可以依据这三个方面的特点来解题。下面我们就根据这些特点总结出常用的几种计算电场力做功的方法。 方法及特点 根据功与力的关系和功与能的关系，可以将功
的计算转化为对力或能量的计算。在知道电场的主要参数后电场力和电势能都很容易计算出来，因此问题就能够解决。下面我们来看看具体的方法和它们的特点： 1、 利用功的定义计算：W FScos θ= 由于力F 是电场力，因此可以用F qE =计算，故有W qEScos θ=。在中学阶段由于数学限制，式中F 必须为恒力，即E 不变才可以计算，故该方法仅在匀强电场中适用。 2、 利用公式AB AB W qU =计算。电荷q 从A 点运动 到B 点，电势为变化AB U ，则电场力做功可 以用上式求解。对于匀强电场还可使用W qEd =。 3、 根据“功是能量改变的量度”使用公式 W ε=-?计算，其意义为电场力做功等于电势能的减小量，在一直电荷电势能时使用这种方法较为简便。 4、 利用动能定理进行计算。知道电荷动能的改
变量，减去除电场力之外的力所做的功即可 得到。这种方法在知道粒子在电场中的运动 状态时使用较好。 依据题目的特点选取适当的方法解题，问题就很容易解决，下面我们来看看解题的思路。 经典体验（1） 如图，地面上方有匀强电场， 取场中一点O为圆心在竖直面 内作半径为R=0.1m的圆，圆 平面与电场方向平行。在O点 固定电量Q=5×10-4C的负点电荷，将 质量为m=3g，电量为q=2×10-10C的 带电小球放在圆周上的a点时，它恰 好静止。若让带电小球从a点缓慢移 至圆周最高点b时，外力需作多少 功？ 体验思路：要求外力做功，由于在整个过程中 外力未知，故不能使用功的定义来
变力做功的计算
变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020
变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。 一、微元法 对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 图1 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。 图2
正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 。 误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。必须注意本题中的F是变力。 小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。 ［发散演习］ 如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少 图3 答案：。 二、图象法
电场力做功与电势能
电场力做功与电势能、电势差的关系 一知识归纳： 1.电场力做功与带电体的运动路径无关，只与其初末位置有关。（类比重力势能） 2.电势能：带电体由于处于电场中而具有的能量叫电势能 E p (1)标量 (2)具有相对性：其大小是相对于零势能面的 (3)某点电势能的大小：等于将带电体由该位置移动到零势能面电场力做的功。 3.电场力做功与电势能的关系： 4.电势：带电体在某点的电势能与其电荷量的比值。 φ Φ=E P /q （1）标量 （2）其大小只与电场自身有关，与其它无关。 （3）具有相对性：其大小是相对于零电势面的。 （往往认为无穷远处，大地电势为零） （4）电势沿电场线方向降低最快。 （5）若规定无穷远处为正电荷：正电荷产生的电场其电势均为正，负电荷产生的电场其电势均为负，且越靠近正电荷其电势越大，越靠近负电荷其电势越小。 5.电势差：电场中某两点间电势的差值。 注：E E E W PB PA P AB -=?-= =q q φφB A -=q U A B 又因为匀强电场中 Eqd W AB =（d ：沿着电场线的距离） 所以Ed U AB =（仅适用于匀强电场中，非匀强电场可定性分析） 6.计算电场力做功方法：
（1）直接计算：根据公式先计算大小，后判断正负 任意电场：Uq W= 匀强电场：Eqd W AB=（d：沿着电场线的距离） （2）间接计算：动能定理、能量守恒间接推出电场力做的功 7.等势面：电场中无数个电势相等的点所围成的面。 （1）电场线总是有高等势面指向低等势面。 （2）当电势差相同时，两等势面间间距越大则两等势面间平均场强越小。 8.判断电势能变化： （1）电场力做正功电势能降低，反之负功增加。 （2）正电荷在电势越高的地方电势能越大； 负电荷在电势越小的地方电势能越大。 （3）电场线：（当只有电势能和动能间相互转化时） ①正电荷沿着电场线，电场力做正功，电势能降低，动能增加，速度增加 电势降低； ②正电荷逆着电场线，电场力做负功，电势能增加，动能降低，速度降低 电势增加； ③负电荷沿着电场线，电场力做负功，电势能增加，动能降低，速度降低 电势降低； ④负电荷逆着电场线，电场力做正功，电势能降低，动能增加，速度增加 电势降低； 二.习题演练 1.在电场中，A、B两点的电势差 > U AB,那么将一个负电荷从A移动到B的过 程中（） A.电场力做正功，电势能增加 B.电场力做负功，电势能增加
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
求变力做功的几种方法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下： 一、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。 例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h， 已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面 由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时 细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A 点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的 功。 分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳 的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小 虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向 都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为： 二、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为： A 0焦耳 B 20π焦耳 C 10焦耳 D 20焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个 小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故 B正确。
电场力做功常用计算方法
电场力做功常用计算方法 电场力做功的计算是将电、力以及能量等相关知识点综合在一起来考查的，因此在高考中常常出现。同时由于涉及到的知识点比较多，常常令我们感觉有些难度，见了就害怕。其实对于这类题目虽然计算方法很多，但只要我们进行归纳总结，找出这些方法的基本思路和共同点，解题时就有了头绪。知道如何着手解题，做起来就容易多了。 解决电场力做功的问题我们必须认识到这是涉及“电场”、“力”、“功”三个方面的问题，因此这类题目我们就可以依据这三个方面的特点来解题。下面我们就根据这些特点总结出常用的几种计算电场力做功的方法。 方法及特点
根据功与力的关系和功与能的关系，可以将功的计算转化为对力或能量的计算。在知道电场的主要参数后电场力和电势能都很容易计算出来，因此问题就能够解决。下面我们来看看具体的方法和它们的特点： 1、利用功的定义计算：W FScosθ =由于力F是电场力，因此可以用F qE=计 算，故有W qEScosθ =。在中学阶段由于数学限制，式中F必须为恒力，即E 不变才可以计算，故该方法仅在匀 强电场中适用。 2、利用公式AB AB =计算。电荷q从A W qU 点运动到B点，电势为变化 U，则 AB 电场力做功可以用上式求解。对于 匀强电场还可使用W qEd =。 3、根据“功是能量改变的量度”使 用公式Wε =-?计算，其意义为电场力
做功等于电势能的减小量，在一直电荷电势能时使用这种方法较为简便。 4、利用动能定理进行计算。知道电荷动能的改变量，减去除电场力之外的力所做的功即可得到。这种方法在知道粒子在电场中的运动状态时使用较好。 依据题目的特点选取适当的方法解题，问题就很容易解决，下面我们来看看解题的思路。 经典体验（1） 如图，地面上方有 匀强电场，取场中 一点O为圆心在竖 直面内作半径为 R=0.1m的圆，圆平面与电场方 向平行。在O点固定电量Q=5
考物理复习二轮专题《求变力做功的几种方法》.doc
考物理复习二轮专题《求变力做功的几种方法》 一、知识讲解 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位， 中学阶段所学的功的计算公式 W=FScosa 只能用于恒力做功情况， 对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用， 当 F 为变力时， 用 动能定理 W= E k 或功能关系求功，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这种方法的依据是： 做功的过程就是能量转化的过程， 功是能的转化的量度。 如果知道某一过程中能量转化的数 值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。 下面是对这种方法的归纳与总结下面对变力 做功问题进行归纳总结如下： 1、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。 而恒力做功又可以用 W=FScosa 计算，从而 使问题变得简单。 例 1、如图，定滑轮至滑块的高度为 h ，已知细绳的拉力为 F （恒定），滑块沿水平面由 A 点前进 S 至 B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角 分别为α和β。求滑块由 A 点运动到 B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对 绳的拉力 F 等于 T 。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该 问题是变力做功的问题。 但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下， 人对绳做 的功就等于绳的拉力对物体做的功。 而拉力 F 的大小和方向都不变， 所以 F 做的功可以用公 式 W=FScosa 直接计算。 由图 1 可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中 , 拉力 F 的作 用点的位移大小为： S S 1 h h S 2 sin sin W T W F F . S Fh ( 1 1 ) sin sin 2、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时， 若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角 不变， 且力与位移的方向同步变化， 可用微元法将曲线分成无限个小元段， 每一小元段可认 为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例 2 、如图所示，某力 F=10N 作用于半径 R=1m 的转盘的边缘上，力 F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一 致，则转动一周这个力 F 做的总功应为： A 、 0J B 、 20π J C 、10J D 、20J. 分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为 与力在同一直线上，故 W=F S ，则转一周中各个小元段做功的代数和为 W=F × 2π R=10× 2 π J=20 π J ，故 B 正确。 3、平均力法
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下： 一、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。 例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h， 已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面 由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细 绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点 运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳 的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小 虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是 变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向 都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为： 二、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这 个力F做的总功应为： A0焦耳B20π焦耳 C 10焦耳D20焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个 小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20π J，故B正确。 三、平均力法
求变力做功的六种方法
求变力做功的六种方法 都匀市民族中学：王方喜 在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式Pt W=、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。 一、运用微元积累(求和)法求变力做功 求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。 例1 如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功． 图1-1 【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即 Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ） ＝Ｆ2πＲ 【总结】 变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。 【检测题1-1】 如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？ 图1-2【检测题1-2】 小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求： (1)全过程中篮球克服空气阻力做的功； (2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程． 二、运用平均力等效法求变力做功 当力的方向不变，而大小随位移线性 ．．变化时(即Ｆ＝ｋx＋ｂ)，可先求出力的算术平均值2 2 1 F F F + =，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。用平均值求变力做功的关键是先判断変力F 与位移x是否成线性关系。 例2. 要把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？ 【分析和解答】 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。 钉子在整个过程中受到的平均阻力为：
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要] 功是物理学中最常见的物理量，变力做功的求解方法也是贯穿大学物理的重点和难点之一，它在力学、理论力学中都占有十分重要的地位。本文分别用图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同方法对物理学中变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法的应用。通过对这些方法和实例的讨论，以使我能对变力做功的求解方法有更深刻的理解和巩固，进一步提高我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。 [关键词] 变力功图像法等效代换法 1 前言 功是物理学中最常见的物理量，对于变力做功的求解，教材上通常采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因每小段很小，所以每小段可视为一方向不变的位移，而在这小位移上的力也可视为恒力。又因小位移为无穷小量，可认为它与轨迹重合，称之为元位移，而力在元位移上做的功称之为元功。这样就顺利的将求解变力做功的问题转化为了求无数多个元功之和。然而，求解变力做功的方法并不是唯一的，在很多实际问题中也可以根据实际寻找最为简便有效的方法。对此，本文将分别从图像法、微元法、等值法、平均力法、动能定理、功能原理等不同角度对变力做功的求解方法进行较全面、系统的研究，并以实例说明这些方法的应用。 2 用图像法求变力做功 功是描写力对空间的积累作用的，它的大小可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图2.2.1力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积．如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。
几种求变力做功的常用方法
几种求变力做功的常用方法 摘要：在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教 学的难点。本文举例说明在高中阶段求变力做功的常用方法，比如用等效转换、 平均值及F-s图像、动能定理及功能关系、功率的表达式W=Pt、微元法、转换参 考系等方法来求解变力做功。 关键词：変力功等效平均值图像动能定理功能关系功率微元 法参考系 对于功的定义式W=Fscosα，其中的F是恒力，适用于求恒力做功，其中的s 是力F的作用点发生的位移，α是力F与位移s的夹角。在高中阶段求变力做功 问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。求变力做功的方法很多，比如用等效转换、平均值及F-s图像、动能定理及功能关系、功率的表达式 W=Pt、微元法、转换参考系等方法来求解变力做功。 一、等效转换法 求某个过程中变力做的功，可以通过等效转换法把求该变力做功转换成求与 该变力做功相同的恒力功，此时可用功定义式W=Fscosα求恒力的功，从而可知 该变力的功。等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。 例1：如图所示，某人用恒定的力F拉动放在光滑水平面上的物体。开始时 与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平 面间的夹角为β。已知图中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT 对物体所做的功。 解析：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。 由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为：，所以绳对物体做功：。 二、平均力法及图像法 1.如果一个过程中，若F是位移s的线性函数时，即F=ks+b时，可以用F的平均值 F=(F1+F2)/2来代替F的作用效果来计算。关键是先判断变力F与位移s是否成线性关系，然 后求出该过程初状态的力F1和末状态的力F2，再求出平均力和位移，然后由W=Fscosα求其功。 2.对于力与位移方向在同一条直线上，大小随位移变化的力，在F-x图像中，图线与坐标 轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F-x图像，图线与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。 例2:如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光 滑的水平面上。弹簧劲度系数为k，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块 前进x，求拉力对木块做了多少功？ 解析：在缓慢拉动过程中，力F与弹簧弹力大小相等，即F=kx。当x增大时，F增大， 即F是一变力，求变力做功时，不能直接用Fscosα计算，可以用力相对位移的平均值代替它，把求变力做功转换为求恒力做功。F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于 弹力，即F=kx。因该力与位移成正比，可用平均力F=kx求功，故W=F·x=kx2。 此题也可用图像法：F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力，即 F=kx，作出F-x图，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，结果也是 W=F·x=1/2kx2。 三、动能定理法及功能关系法
变力做功的计算
变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。 一、微元法 对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然 后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 图1 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元 段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。 图2
正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 。 误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。必须注意本题中的F是变力。 小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用 计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。 ［发散演习］ 如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少？ 图3 答案：31.4J。 二、图象法 在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。经过一段时间物体发生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的功W ＝Fs，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图4（a）所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图4（b）所示）。
高中物理变力做功的解法总结
变力做功的解法 一、化变力为恒力求变力功 变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Fl cos α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中． 1.如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β.已知图中的高度是h，求绳的拉力F T对物体所做的功．假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计． 二、用平均力求变力功 在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的， 即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝F1＋F2 2的恒力作用，F1、F2分别为 物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝F l cos α求此力所做的功． 2.把长为l的铁钉钉入木板中,每打击一次给予的能量为E0,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比,比例系数为k.问此钉子全部进入木板需要打击几次？
三、用F-x图象求变力功 在F-x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况． [典例3] 放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态．现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m的位移，其F-x图象如图所示，求上述过程中拉力所做的功． 四、用动能定理求变力功 动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动,既适用于求恒力功也适用于求变力功.因使用动能定理可由动能的变化来求功,所以动能定理是求变力功的首选. 4.如图甲所示,一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点,从t＝0时刻开始物块受到如图乙所示规律变化的水平力F的作用并向右运动,第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0,第5 s末物块刚好回到A点,已知物块与粗糙水平面间的动摩擦因数μ＝0.2,求:(g＝10 m/s2) (1)A与B间的距离; (2)水平力F在前5 s内对物块做的
变力做功的六种常见计算方法[1]
变力做功的六种常见计算方法在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScosα，但是学生在应用时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。 方法一：用动能定理求 若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。 例题1：如图所示。质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。 解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv22/2R。此题中，当半径由R 变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定理，求得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv12—0.5mv22=0.25RF。 方法二：用功率的定义式求 若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。 例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。假设机车受到的阻力为恒力。求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。 方法三：平均力法 如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。 例题3：如图所示。 轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。用水平力缓慢的拉物体，在弹簧的弹性限度范围内，使物体前进距离x，求这一过程中拉力对物体所做的功。 解析：物体在缓慢运动过程中，拉力是从零开始均匀增大的，呈线性变化，所以整个过程中，拉力的平均值是F=0.5（0+kx）。因此，拉力对物体所做的功W=Fx=0.5（0+kx）×x=0.5kx2。 方法四：F——S图像法 利用图像中的“面积”求。在F——S图像中，在S内的图像跟S 轴所夹图形的“面积”，等于力F在位移S上所做的功。 例题4：在例题3中，可以利用此法求出结果。 解析： 做出拉力的F——S图像，如图所示。
求变力做功的方法总结
［变式训练］1、如图7所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为，已知滑轮到水平面的高度为，的长度 ，求滑块从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。 分析与解：在本题中，只有绳子拉力对滑块做功，该拉力大小 虽然不变，但方向时刻改变（与水平方向的夹角逐渐增大），故属 于变力做功，不能直接求解。但如果将研究对象由滑块转变为绳的 另一端，因为人的拉力为恒力，所以是恒力做功，显然这个恒力做功与绳子对滑块拉 力做功是相等的，故可以用人对绳子做的功代换绳子拉力对滑块的功。则有。由几何关系可求得s,联 立即得。 小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉 直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和，化曲为直的思想在物理学研究中有很重要的应用，研究平抛运动和单摆的运动时，都用到了这种思想。 ［变式训练］2、木块A做匀速圆周运动，向心力F大小保持不变的作用，且10牛，木块A位于半径为1米的转盘的边缘上，则转动一周力F做的总功应为： A、0焦耳 B、20 n焦耳 C、10焦耳 D、20焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故△△ S,则转一周中各 个小元段做功的代数和为X 2 n 10X 2 n 20 n J,故B 3、平均力法 例3、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击 第一次时，能把铁钉击入木块内1,问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等） 1、将变力转化为恒力做功 在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用求解。例1、如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的 轻绳和水平面间的夹角为a,当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为B。已知图中的高度是h,绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力对物体所做的功。 分析：拉力在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意 可知，人对绳做的功等于拉力对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。由可知，在绳与水平面的夹角由a变到B的过程中，拉力F的作用点的位移为：2、微元求和法 例2、如图所示，某人用力F转动半径为R的转盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。 分析与解：在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力 F总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F在每瞬时与转盘转过的极小 位移……都与当时的F方向同向，因而在转动一周过 程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即:
- 求解变力做功的十种方法
- 求解变力做功的四种方法
- 变力做功的计算
- (完整版)五种方法搞定变力做功问题
- 变力做功的六种常见计算方法[1]
- 考物理复习二轮专题《求变力做功的几种方法》.doc
- 变力做功的计算
- 求变力做功的几种方法
- 新教材高中物理 科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况 新人教版必修第二册
- 几种求变力做功的常用方法
- 变力做功的求解方法
- 求变力做功的几种方法
- 2 第七章 习题课 求解变力做功的四种方法
- 求变力做功的几种方法
- (完整版)专题求变力做功的几种方法
- 专题求变力做功的几种方法
- 五种方法搞定变力做功问题
- 五种方法搞定变力做功问题
- 求变力做功的方法总结
- 求解变力做功的十种方法