华师大版-数学-九年级上册-第25章 随机事件的概率 全章教案

第二十五章随机事件的概率

25.1.1什么是概率

教学目标:

〈一〉知识与技能

1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值

2.在具体情境中了解概率的意义

〈二〉教学思考

让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系.

〈三〉解决问题

在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念.

〈四〉情感态度与价值观

在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育.

【教学重点】在具体情境中了解概率意义.

【教学难点】对频率与概率关系的初步理解

【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件

【教学过程】

一、创设情境，引出问题

教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.

学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……

教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币）

追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？

由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大

在学生讨论发言后，教师评价归纳.

用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大.

质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？

引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下.

说明：现实中不确定现象是大量存在的，新课标指出：“学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础.

二、动手实践，合作探究

1．教师布置试验任务.

（1）明确规则.

把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行.

（2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来..

2．教师巡视学生分组试验情况. 注意：

（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难.

（2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3.各组汇报实验结果.

由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因.

在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性， 引导他们小组合作，进一步探究.

解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作. 4．全班交流.

把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P 140

要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图.

想一想1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？

注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动. 想一想2（投影出示）

随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？

在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.

说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难.通过以上实践探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小

n 图25.1-1

（概率）.鼓励学生在学习中要积极合作交流，思考探究.学会倾听别人意见，勇于表达自己的见解.

为了给学生提供大量的、快捷的试验数据,利用计算机模拟掷硬币试验的课件，丰富学生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律性--大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近 .

其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表（看书P 141表25-3）.

通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示, 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率.

在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度.

5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？

学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5. 教师归纳：

（1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样.

（2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等.

说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构，为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫.

三、评价概括，揭示新知

问题1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作用？

学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值（或常数）估计或去描述.

通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高.

归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小.

那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般地，在大量重复试验

中，如果事件A 发生的频率n m

会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率（probability ）,

记作P （A ）= p.

注意指出：

1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去

估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.

想一想(学生交流讨论)

问题2．频率与概率有什么区别与联系?

从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.

说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础. 当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教学应把握教学难度，注意关注学生接受情况.

四．练习巩固，发展提高.

学生练习

1．书上P143.练习.1. 巩固用频率估计概率的方法.

2．书上P143.练习.2 巩固对概率意义的理解.

教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题.

五．归纳总结，交流收获：

1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对知识掌握条理化、系统化.

2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价值与合作交流学习的意义.

【作业设计】

（1）完成P144 习题25.1 2、4

（2）课外活动分小组活动，用试验方法获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率.

教学反思：

25.1.2在复杂情况下列举所有机会均等的结果 (第一课时)

知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。

过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。重点：随机事件的特点

难点：对生活中的随机事件作出准确判断

教学程序设计

一、创设情境，引入课题

1．问题情境

下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？

(1)太阳从西边下山；

(2)某人的体温是100℃；

(3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)；

(4)水往低处流；

(5)酸和碱反应生成盐和水；

(6)三个人性别各不相同；

2．引发思考

我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？

二、引导两个活动，自主探索新知

活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：

（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？

（2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？

（3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？

（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？

根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。

【设计意图：“抽签”这个活动是学生容易理解或亲身经历过的，操作简单省时，又具有很好的经济性，最主要的是活动中含有丰富的随机事件，事件（3）就是一个典型的事件，它的提出，让学生产生新的认知冲突，从而引发探究欲望】

活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：

（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？

（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？

（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？

（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？

【设计意图：随机事件对学生来说是陌生的，它不同于其他数学概念，因此要理解随机事件的含义，由学生来描述随机事件的概念，进行活动2很有必要，便于学生透过随机事件的表象，概括出随机事件的本质特性，从而自主描述随机事件这一概念】

提出问题，探索概念

（1）上述两个活动中的两个事件（3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？

（2）怎样的事件称为随机事件呢？

【设计意图：教师让学生充分发表意见，相互补充，相互交流，然后引导学生建构随机事件的定义，充分发挥学生的主观能动性。】

三、应用练习，巩固新知

练习：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。

（1）两直线平行，内错角相等；

（2）刘翔再次打破110米栏的世界纪录；

（3）打靶命中靶心；

（4）掷一次骰子，向上一面是3点；

（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同；

（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；

（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球

（8）物体在重力的作用下自由下落。

（9）抛掷一千枚硬币，全部正面朝上。

【设计意图：第（9）题可能出现不同答案，这是意料之中的，意在让学生明白，只要可能性存在，

哪怕可能性很小，我们也不能认定它为不可能事件；同样，尽管某些事件发生的可能性很大，也不能等同于必然事件。】

四、小结并布置作业。

教学反思

25.1. 2在复杂情况下列举所有机会均等的结果 (第二课时)

知识技能：通过“摸球”这样一个有趣的试验，形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。

过程和方法：历经“猜测—动手操作—收集数据—数据处理—验证结果”，及时发现问题，解决问题，总结出随机事件发生的可能性大小的特点以及影响随机事件发生的可能性大小的客观条件。

情感态度和价值观：在试验过程中，感受合作学习的乐趣，养成合作学习的良好习惯；得出随机事件发生的可能性大小的准确结论。需经过大量重复的试验，让学生从中体验到科学的探究态度。

教学重点：对随机事件发生的可能性大小的定性分析

教学难点：理解大量重复试验的必要性。

一、创设情境，引入课题

1、摸球试验：袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。

2、提出问题：我们把“摸到白球”记为事件A，把“摸到黑球”记为事件B，提问：

（1）事件A和事件B是随机事件吗？

（2）哪个事件发生的可能性大？

【设计意图：“摸球”试验操作方便、简单且可重复，又为学生所熟知，学生做起来感觉亲切，有趣，并且容易依据生活经验猜到正确结论，这样易于激发学生的学习热情。】

二、分组试验、收集数据，验证结果

【设计意图：设计“10次摸球”和“20次摸球”，意在引起结果的变化。】

注：结果1指事件A发生的次数多，结果2指事件B发生的次数多。

3、提出问题

（1）“10次摸球”的试验中，事件A发生的可能性大的有几组？“20次摸球”的试验中呢？

（2）你认为哪种试验更能获得较正确结论呢？

（3）为了能够更大可能地获得正确结论，我们应该怎样做？

【设计意图：对“10次摸球”得到正确结论的组数和“20次摸球”得到的正确结论的组数进行比较，使学生明白，增加摸球次数更宜于接近正确结论，本小节也可以让学生再进行“40次摸球”试验。】

4、进行大量重复试验，验证猜测的正确性。

教师请同学们进行400次重复的“摸球”试验，教师提问：

如果把刚才各小组的20次“摸球”合并在一起是否等同于400次“摸球”？这样做会不会影响试验的正确性？

【设计意图：让学生养成动脑筋，想办法的学习习惯，明白小组合作的优势。】 5、对表中的数据进行分析，得出结论。

提问：通过上述试验，你认为，要判断同一试验中哪个事件发生可能性的较大，必须怎么做？ 先让学生回答，回答时教师注意纠正学生的不准确的用语，最后由教师总结：要判断随机事件发生的可能性大小，必须经过大量重复试验。

【设计意图：本小节是教学难点，这个结论由学生得出，体现了自主学习的理念，有利于学生思维的发展。】

6、对试验结果作定性分析。

在经过大量重复摸球以后，我们可以确定，事件A 发生的可能性大于事件B 发生的可能性，请同学们分析一下其原因是什么？

【设计意图：这是本节课的主要内容之一，是本节课的出发点，也是本节课的归宿，把这个问题留给学生，也是体现了以学生为主体，让学生自主探索、自主学习的理念。】

三、练习反馈

1、一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其它都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？

2、一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我们能否说翻到偶数页的可能性就大？

3、袋子里装有红、白两种颜色的小球，质地、大小、形状一样，小明从中随机摸出一个球，然后放回，如果小明5次摸到红球，能否断定袋子里红球的数量比白球多？怎样做才能判断哪种颜色的球数量较多？

4、已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为3：7。如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？ 四、小结并布置作业。 教学反思

25.2.1用替代物做模拟实验（第一课时) 教学目标

1.理解P （A ）=

n m

(在一次试验中有n 种可能的结果，其中A 包含m 种)的意义. 2.应用P （A ）=n

m

解决一些实际问题．

复习概率的意义，为解决利用一般方法求概率的繁琐，探究用特殊方法—列举法 求概率的简便方法，然后应用这种方法解决一些实际问题. 重点难点

1.重点：一般地，如果在一次试验中，有几种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件A 包含其中的。种结果，那么事件A 发生的概率为P(A)= n

m

，以及运用它 解决实际间题．

2.难点与关键：通过实验理解P(A)=

n

m

并应用它解决一些具体题目 教学过程

一、复习引入

（老师口问．学生口答）请同学们回答下列问题． 1. 概率是什么？

2. P(A)的取值范围是什么？

3. 在大量重复试验中，什么值会稳定在一个常数上？俄们又把这个常数叫做什么？

4. A=必然事件,B 是不可能发生的事件,C 是随机事件．诸你画出数轴把这三个量表示出来． 老师点评：1，（口述）一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率

n

m

会稳定在某一个常数P 附近，那么这个常数P 就叫做事件A 的概率，记为P(A)=P ． 2.（板书）0≤P ≤1． 3.（口述）频率、概率． 二、探索新知

不管求什么事件的概率，我们都可以做大量的试脸．求频率得概率，这是上一节课也是刚才复习的内容，它具有普遍性，但求起来确实很麻烦，是否有比较简单的方法，这 种方法就是我们今天要介绍的方法—列举法，

把学生分为10组，按要求做试验并回答问题．

1.从分别标有1，2，3 ，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根．抽出的号码有多少种？其抽到1的概率为多少？

2.掷一个骰子，向上的一面的点数有多少种可能？向上一面的点数是1的概率是多少？ 老师点评:1.可能结果有1,2,3,4,5等5种杯由于纸签的形状、大小相同，又是随机 抽取的，所以我们可以认为：每个号被抽到的可能性相等，都是1/5.其概率是1/5。 2.有1,2,3,4,5,6等6种可能．由于股子的构造相同质地均匀，又是随机掷出的， 所以我们可以断言：每个结果的可能性相等，都是1/6，所以所求概率是1/6所求。 以上两个试验有两个共同的特点：

1.一次试验中，可能出现的结果有限多个.

2.一次试验中，各种结果发生的可能性相等.

对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能 的试验结果中所占的比分析出事件的概率．

因此，一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相 等，事件A 包含其中的、种结果，那么李件A 发生的概率为P(A)=

n

m 例1.小李手里有红桃1,2,3,4,5,6,从中任抽取一张牌，观察其牌上的数字．求下 列事件的概率．

(1)牌上的数字为3； (2)牌上的数字为奇数；

(3)牌上的数字为大于3且小于6.

分析：因为从6张牌子任抽取一张符合刚才总结的试验的两个特点，所以可用P(A)= n

m

来求解. 解：任抽取一张牌子，其出现数字可能为1,2,3,4,5,6,共6种，这些数字出现的可

能性相同．

（1）P （点数为3）=1/6；

（2）P(点数为奇数)=3/6=1/2；

（3）牌上的数字为大于3且小于6的有4，5两种． 所以 P （点数大于3且小于6）=1/3

例2:如图25-7所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颇色分为红、绿、黄三种颇色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会恰好停在指

针所指的位里（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率 (1）指针指向绿色； (2）指针指向红色或黄色 (3)指针不指向红色．

分析：转一次转盘，它的可能结果有4

.因此，它可以

应用“ P(A)= n m

”问题，即“列举法”求概率．

解，(1) P(指针，向绿色)=1/4；

(2) P(指针指向红色或黄色)=3/4； （3）P(指针不指向红色)=1/2

例3如图25-8所示是计算机中“扫雷“游戏的画面，在99?个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏颗地雷。 小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A 区域（画线部分），A 区域外的部分记为B 区域，数字3表示在A 区域中有3颗地雷，那么第二步应该踩A 区域还是B 区域？

分析：第二步应该踩在遇到地雷小的概率，所以现在关键求出在A 区域、B 区域的概率并比较。 解：（1）A 区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各藏颗地雷，因此，踩A 区

域的任一方格，遇到地雷的概率是8

3。 （2）B 区域中共有72999=-?个小方格，其中有7310=-个方格内各藏颗地雷。因此，踩B 区

域的任一方格，遇到地雷的概率是72

7

。

由于72

783>，所以踩A 区域遇到地雷的可能性大于踩B 区域遇到地雷的可能性，因而第二步应踩B

区域。

三、巩固练习

教材150P 练习，2，151P 练习 五、归纳小结

本节课应用列举法求概率。 六、布置作业

1、教材155P 综合运用5 教学反思

25.2.1用替代物做模拟实验（第二课时)

教学目标：

1．理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义。

2．会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有可能结果。

3．体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。

教学重点：正确理解和区分一次试验中包含两步的试验。

教学难点：当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。

一、比较，区别

出示两个问题：

1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？

2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，这样共有几种可能的结果？

要求学生讨论上述两个问题的区别，区别在于这两个问题的每次试验（摸球）中的元素不一样。

二、问题解决

1．例1 教科书第150页例4。

要求学生思考掷两枚硬币产生的所有可能结果。

学生可能会认为结果只有：两个都为正面，一个正面一个反面和两个都是反面这样3种情形，要讲清这种想法的错误原因。

让学生初步感悟列表法的优越性。

2．问题：“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？

同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。

3．课内练习：书本P151的练习。

三、小结

1．本节课的例题，每次试验有什么特点？

2．用列表法求出所有可能的结果时，要注意表格的设计，做到使各种可能结果既不重复也不遗漏。

四、布置作业：

教学反思：

25.2.1用替代物做模拟实验（第三课时)

教学目标：

1．进一步理解有限等可能性事件概率的意义。

2．会用树形图求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率。

3．进一步提高分类的数学思想方法，掌握有关数学技能（树形图）。

教学重点：正确鉴别一次试验中是否涉及3个或更多个因素。

教学难点；用树形图法求出所有可能的结果。

一、解决问题，提高能力

例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

（1）两个骰子的点子数相同；（2）两个骰子的点子数的和是9；（3）至少有一个骰子的点数为2。

分析：由于每个骰子有6种可能结果，所以2个骰子出现的可能结果就会有很多，我们用怎样的方法才能既不重复又不遗漏地求出所有可能的结果呢？这个问题要让学生充分发表意见，在次基础上再使学生认识到列表法可以清楚地列出所有可能的结果，体会其优越性。

列出表格。也可用树形图法。

其实，求出所有可能的结果的方法不止是列表法，还有树形图法也是有效的方法，要让学生体验它们各自的特点，关键是对所有可能结果要做到：既不重复也不遗漏。

板书解答过程。

思考：教科书第152页的思考题。

例2 教科书第152页例6。

分析：弄清题意后，先让学生思考从3个口袋中每次各随机地取出一个球，共3个球，这就是说每一次试验涉及到3个因素，这样的取法共有多少种呢？你打算用什么方法求得？

在学生充分思考和交流的前提下，老师介绍树形图的方法。

第一步可能产生的结果为A和B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行。

第二步可能产生的结果有C、D和E，三者出现的可能性相同且不分先后，从A和B分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C、D和E。

第三步可能产生的结果有两个H和I，两者出现的可能性相同且不分先后，从C、D和E分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和I。（如果有更多的步骤可依上继续）

第四步按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数。再找出符合要求的种数，就可以利用概率和意义计算概率了。

教师要详细地讲解以上各步的操作方法。

写出解答过程。

问：此题可以用列表法求出所有可能吗？

小结：教科书第153页左边的结论。

思考：教科书第153页的思考题。

二、练习，巩固技能

教科书第154页练习。

练习1是每次试验涉及2个因素的问题，共有36种可能的结果；

练习）

1．本单元学习的概率问题有什么特点？

2．为了正确地求出所求的概率，我们要求出各种可能的结果，那么通常是用什么方法求出各种可能的结果呢？

特点：一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的。

通常可用列表法求得各种可能结果，具体有直接分析列出可能结果，列表法和树形图法。

二、提高练习

教科书第155页习题25.2第9题。

这是一道正确理解概率意义的问题，在学生深入思考的基础上教师要着重分析解题的思路

教学反思：

华师大版九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)(a （a ≥0）；（2 ；（ 3） ??? ??<=>== )0___()0___()0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”： 根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数 项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，

华师大版九年级数学上册教案

22．1. 二次根式（1） 教学内容： 二次根式的概念及其运用 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一 个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质， 可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-

最新华东师大版九年级上册数学知识总结培训资料

最新华东师大版九年级上册数学知识总结

华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：?? ???<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根 号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根 式。 0,0).a b ?=≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

人教版九年级数学上册教案《圆》

《圆》 圆是常见的几何图形， 是平面几何中基本的图形之一，它具有独特的性质。本章是在学生在小学学过的圆的知识的基础上，系统研究圆的概念和性质，点与圆、 直线与圆的位置关系、正多边形和圆的关系，以及圆的弧长与面积的计算等问题。 本小节是圆这一章的第一节课，主要是研究圆的概念及其相关概念，本节内容是继续研究圆的性质的基础。教材一开始是让学生观察生活中有关圆的形象的物体，结合小学学过的有关圆的知识，通过用圆规画圆的方法导入圆的定义的。圆的定义方法有两种，一种是描述性定义，一种是集合性定义。圆的描述性定义，要让学生用自己的语言尝试表述，教师可以引导学生通过观察画加深理解；圆的集合定义，应通过观察、体会画圆的过程，引导学生从圆和点两个方面去思考得出圆的集合定义。得出圆的定义后，接着介绍圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等相关性质。教材中的例1是证明四点共圆，只要证明矩形的四个顶点到对角线的交点距离相等即可，进一步让学生体会圆的集合定义的应用。 【知识与能力目标】 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； 2.了解等圆、等弧的概念。

【过程与方法目标】 从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中，让学生体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系。 【情感态度价值观目标】 在探索圆的概念的过程中让学生体会数学知识无处不在，感受生活中处处有数学。 【教学重点】 对圆的两种定义的理解。 【教学难点】 对圆的集合定义的理解。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境，引入新课 问题1 观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？ 追问：你能再举出一些生活中类似的实例吗？ 设计意图：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，为学习圆的相关概念打下基础，同时还可以激发学生的学习热情。 二、探索新知，形成概念 问题2 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

华师大版九年级数学上册全册教案(用)

第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】 通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平 方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整 理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2 万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年 年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：

苏教版九年级数学《圆》教案

P O 苏教版九年级数学《圆》教案 宿城区埠子中学 蔡志慧 教学目标 1、理解圆的定义（圆的描述概念和圆的集合概念）； 2、掌握点和圆的三种位置关系； 3、会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系； 4、初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上。 教学重点：确定点和圆的三种位置关系以及圆的集合概念的理解 教学难点：点和圆的三种位置关系的理解和应用 教学过程： 一，探究新知 观察图形，议一议：车轮为什么是圆的？能否做成正方形或三角形？ 一切平面图形中，最美的是圆！ ——毕达哥拉斯[古希腊数学家 1、圆的描述定义： 把一条线段OP （用你手边的圆珠笔代替）的一个端点O 固定， 使线段OP 绕点O 在平面内旋转一周，另一个端点P 所形成的图形 是______。其中，定点O 叫______，线段OP 叫______。 以点O 为圆心的圆，记作______，读作______。

O 2、思考： 确定一个圆的两个要素是_______和________，以定点A 为圆心作圆，能作______个圆；以定长r 为半径作圆，能作______个圆；以定点A 为圆心、定长r 为半径作圆，能且只能作_______个圆。 二、观察、思考与小结： 1、请你在圆上任取3个点，分别量出这三个点到圆心的距离，你发现了什么? 小结：（1）圆上各点到圆心（定点）的距离都______定长______； 反之，到圆心的距离等于半径的点都在______上。 （2）满足上述两个条件，我们可以把圆看成是一个集合。 圆的集合定义：圆是________________________________。 2、请你在圆内任取3个点，你发现了什么? 小结：（1）圆内的点到圆心（定点）的距离都______定长______；反之，到圆心的距离 小于半径的点都在______。 （2）圆的内部可以看作是____________________________________。 3、请你在圆外任取3个点，你发现了什么? 小结：（1）圆外的点到圆心（定点）的距离都______定长______；反之，到圆心的距离 大于半径的点都在______。 （2）圆的外部可以看作是____________________________________。 如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么 点P 在圆内?_____________； 点P 在圆上?_____________； 点P 在圆外?_____________。 三、尝试与交流 1， 已知⊙O 的面积为25π，判断点P 与⊙O 的位置关系． （1）若PO=5.5，则点P 在 ； （2）若PO=4，则点P 在 ； （3）若PO= ，则点P 在圆上 2画一画 作图说明满足下列要求的图形: 1. 给定一个A 点，请作出到点A 的距离等于2cm 的所有点组成的图形. 2. 再给定一个B 点，使线段AB=3cm ，请作出到点B 的距离等于2cm 的所有点组成的图形. 3. 请作出到点A 和点B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形. 4. 到点A 和点B 的距离都小于2cm 的所有点组成的图形. 5. 到点A 的距离小于等于2cm,且到点B 的距离都大于等于2cm 的所有点组成的图形.

华师大九年级(上)教案 第25章 解直角三角形(全)

25.1 测量 教学目标 1、在探索基础上掌握测量。 2、掌握利用相似三角形的知识 教学重难点 重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 教学过程 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？

图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． 习题25．1 1．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米） （第1题） （第3题） 2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 小结与作业:

华师大版九年级数学上册课本教材

第25章解直角三角形 (2) §25.1 测量 (3) §25.2 锐角三角函数 (4) 1.锐角三角函数 (4) 2．用计算器求锐角三角函数值 (7) §25.3 解直角三角形 (9) 阅读材料 (13) 小结 (14) 复习题 (15) 课题学习 (18)

第25章 解直角三角形 测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题． 222c b a =+ a b B = tan

§25.1 测量 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容． 练习 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．

华师大版九年级数学上册教学计划

华师大版九年级数学上册教学计划 华师大版九年级数学上册教学计划范本 一、学生基本情况（基本知识、基本技能掌握情况，能力发展、学习心理情况） 上学期期末考试的成绩平均分为61.16分，最高分108.5，最低分12分，有23人几格，及格率为41.81%，全乡前10名有2人；11~20名有4人；21~30名有7人；31~40名有2人：41~50有4人；51~60有5人，总体来看，成绩一般，但缺乏中等生和尖子生。与前一期相比较，平均分、最高分、最低分有所提高，全乡前六十名人数个数未变(24人)，11~30名增加6人，但及格率下降八个百分点、全乡前十名减少2人。在学生所学知识的掌握程度上，一部分学生能够理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但个别学生连简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一步加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，半数以上学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，但有一部分学生缺乏学习数学的信心和毅力，根本就不学习数学，甚至不做数学作业。 二、本学期教学内容和教材特点 本掌期教学内容，共计五章，第二十二章《二次根式》，本章通过平方根的有关性质的回顾建立了二次根式的概念、性质和运算法则，

并在此基础上学习根式的化简、求值。第二十三章《一元二次方程》一章是与实际生活密切相关的内容，教材从与学生熟悉的实际情景出发，引入并展开有关知识，使学生体会到一元二次方程是反映现实世界数量关系和变化规律的一种重要的数学模型，并学会运用一元二次方程解决实际生活中的具体问题。该章的最后，还设置了实践与探索一小节，目的在于通过一两个实例，与学生一起解剖分析，尝试解决实际问题，逐步提高这种能力。第二十四章《图形的相似》的主要内容是相似图形的概念和性质、相似三角形的判定和应用、相似多边形、位似变换。在本章学习之前，已经研究了图形的全等以及图形的一些变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在这些内容的基础上研究相似三角形和相似多边形的性质与判定，并进一步研究一种特殊的变换（位似变换），结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力。第二十五章《解直角三角形》，本章是在图形相似的基础上，充分运用图形变换这一有效的数学工具探索发现直角三角形边角的关系。第二十六章《随机事件的概率》一章是在前几册统计内容的基础上，引入概率的随机事件的频率，统计定义的概率，古典定义及特点的关系。通过学习，应初步具备概率的运算能力。利用概率的基本知识，能够解决一些实际问题。概率论是研究现实世界中随机现象规律性的科学，是近代数学的重要组成部分，它在自然科学以及经济工作中都有着广泛的应用，具备一些概率论的`基本知识对于经济工作人员是十分必要的。由于学生刚刚接触随机事件的概率，对内容觉得新鲜和抽象，学习起来感到难。

浙教版九年级数学上册《圆》教案

《圆》教案 探索与思考： 探索（一）：车轮为什么是圆形的 1)如图，A 、B 表示车轮边缘上的两点，O 表示车轮的轴心，A 、O 之间的距离与B 、O 之间的距离有什么关系？ 2）C 是表示车轮边缘上的任意一点，要是车轮能够平稳滚动，C 、O 之间的距离与A 、O 之间的距离应满足 什么关系？ 3）在车轮的边缘上到点O 的距离与A .O 之间的距离相等的 点还有吗？如果有请在图中描出几个点. 4）圆形车轮为什么平稳? A 自我归纳：从运动的观点看圆的定义1： 等圆的定义： 探索（二）：投圈游戏 1)一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗?如果不公平，画出你认为公平的示意图. 23 52) . 自我归纳：从集合的观点看圆的定义2： 试根据圆的定义填空： 1、圆上各点到 的距离都等 于 . 2、到定点的距离等于定长的点都在 . 一个圆将其所在的平面分成几部分？它们分别是： 1)圆： 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

2）圆的内部: 可以看作是到圆心的距离 半径的点的集合. 3）圆的外部: 可以看作是到圆心的距离 半径的点的集合. 探索（三 ）： 投镖游戏 观察这5个点与圆的位置关系 1) 点A .B .C .D .E 到圆心的距离分别与圆的半径有怎样的大小关系？ 2) 如果点P 与⊙O 都在同一平面内，那么点P 与⊙O 可能有哪几种关系？ 3) 你能根据P 与⊙O 的位置关系，确定P 到⊙心O 的距离d 与圆的半径r 的大小关系吗？反过来，你能根据d 与圆的半径r 的大小关系，确定点P 与⊙O 的位置关系吗？ 4）在平面内点与圆的位置关系有三种： 当点在圆上是 ；反过来，当 时，点在圆上. 当点在圆内是 ；反过来，当 时，点在圆内. 当点在圆外是 ；反过来，当 时，点在圆外. 合作交流，成果展示 A 1、画图：已知Rt △ABC ，AB

华东师大版九年级数学上全册完整教案

华东师大初中九年级数学上册教案 21．1. 二次根式（1） 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方 等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方” 出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 五、 拓展

华师大九年级下数学教案章圆(20210217203527)

教学目标1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念， 2.让学生深刻认识圆中的基本概念。 教学重点圆中的基本概念的认识。 教学难点对等弧概念的理解。 教学过程 （一）情境导入：圆是如何形成的？ 请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图，线段OA 绕着它 固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） （二）问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50% 的同学步行上学，有20% 的同学坐公共汽车 上学，其他方式上学的同学有30% ，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。如图28.1.2线, 段OA、OB、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，.这个以点O 为圆

心的圆 叫作“圆O”，记为“⊙ O” 线段AB、BC、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC、BAC， 其中像弧B︵C这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 ∠AOB、∠AOC、∠BOC 就是圆心角。结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。 三、课堂练习 1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？ 4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。 5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。

2017年华东师大版九年级数学上册全册教案(含教学反思)

二次根式 21.1 二次根式 【知识与技能】 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目. 2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a. a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简. 3.理解2 【过程与方法】 1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. 2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题. 3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题. 【情感态度】 通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质. 【教学重点】 1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用. 3. 【教学难点】 利用“a（a≥0）”解决具体问题. 关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出

一、情境导入，初步认识 回顾： 当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根. 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根. 当a是负数时，a没有意义. 【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念. 二、思考探究，获取新知 概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有： （1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）. 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. 思考：2a等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律. 概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a. 三、运用新知，深化理解 1.x取什么实数时，下列各式有意义？ 2.计算下列各式的值：

(92页精品)华师大九年级数学教案 (全册)教学设计(上)

22．1. 二次根式（1） 教学内容: 二次根式的概念及其运用 教学目标:1、理解二次根式的概念, （a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题, 根据问题给出概念, 应用概念解决实际问题． 教学重难点关键:1．重点:（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键:（a ≥0）”解决具体问题． 教学过程:一、回顾 当a 是正数时, a 表示a 的算术平方根, 即正数a 的正的平方根． 当a 是零时, a 等于0, 它表示零的平方根, 也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时, a 没有意义． 二、概括: a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根, 也就是说, a （a ≥0）是一个非负数, 它的平方 等于a ．即有: （1） a ≥0（a ≥0）； （2）2 )(a =a （a ≥0）． 形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意:在二次根式 a 中, 字母a 必须满足a ≥0, 即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题: x 是怎样的实数时, 二次根式 1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义, 必须且只须被开方数是非负数． 解: 被开方数x-1≥0, 即x ≥1． 所以, 当x ≥1时, 二次根式 1-x 有意义． 思考: 2 a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值, 如2, -2, 3, -3, ……分别计算对应的a2的值, 看看有什么规律: 概括: 当a ≥0时, a a =2； 当a ＜0时, a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方, 运用这个性质, 可以将它“开方”出来, 从而达到化简的目的．例如: 2 2)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时, 下列各式有意义. （1） x 43-； （2） 23-x ； （3）2 ) 3(-x ； （4） x x 3443-+- 五、 拓展

新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：24.1圆的有关性质》公开课获奖教案_1

24.1.1圆教学设计 学习目标： 1、感受并发现圆的有关特征，理解圆的圆心、半径和直径等概念。 2、进一步积累认识图形的学习经验，培养学生的观察能力、动手操作能力、抽象概括能力和合作交流能力，增强空间观念，发展数学思考。 3、体验圆与生活的联系，从数学的角度感受圆的美，激发学生数学学习的热情和兴趣。 教学过程： （一）情境引入 前段时间我们学习了图形的旋转，图形的旋转创造了生活中的许多美。 思考：圆绕其圆心旋转任何度数都能和自身重合吗？ 圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。 展示图片（生活中的圆） 这一节课我们一起学习“圆”。 （二）学生自学 组织学生自学，并要求学生完成自学提纲里的问题。 自学提纲为：请同学们阅读课本78页至79页练习前的内容，并思考: 1. ①观察画圆的过程，你能概括出圆的定义吗？ ②圆的图形符号怎样来表示？ ③确定一个圆需要哪两个要素？ 2. ①从集合的角度怎样定义圆？ ②车轮为什么做成圆形的？ 3. ①理解圆的相关概念：弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧。 ②注意区别优弧和劣弧。 （三）检查自学效果 请学生回答自学提纲中的问题，检测学生是否真正理解这些知识点，再组织学生进行评价并纠错，在学生回答的过程中老师把主要知识点在黑板上予以呈现，部分答案利用多媒体展示。 （四）学以致用（变式练习） 想一想：通过七道题，先让学生独立思考，然后请学生汇报结果，再请学生评价并纠错，最后归纳解题方法。老师适时做以引导，方法上的总结。 1、判断下列说法的正误 (1)弦是直径；( ) (2)半圆是弧； ( ) (3)过圆心的线段是直径； ( ) (4)过圆心的直线是直径；( ) (5)半圆是最长的弧；( ) (6)直径是最长的弦；( ) (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;( (8)半径相等的两个圆是等圆.( ) 2、圆中最长的弦长为12cm,则该圆的半径为 3、下列说法错误的有（）个 ①经过P点的圆有无数个。 ②以P为圆心的圆有无数个。 ③半径为3cm且经过P点的圆有无数个。

华师版九年级上册数学最全最实用知识点大全

第21章 二次根式 1.二次根式：形如a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2a≥0，b≥0（b≥0，a>0）． 6.实数的大小比较和估计值 （1）大小比较的方法：平方法、倒数法、作差法。 （27.绝对值、二次根式、平方的和为0，那么每个加数分别为0 第22章 一元二次方程 1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：ax 2 +bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 =a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

12122112 11 (3)___________,(5)_____x x x x x x x x -=+=+=(1)n a x b ± =2222,(),a x mx n p x n a b a ==+=+==±若x 则若，则m 若则=b 提公因式法： 完全平方公式： 平方差公式： 十字相乘法： 2 2 24()24b ac b ax bx c a x a a -++=++22,102m n x x m m n --=--是的两个根，求的值2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法： （2） 因式分解法： （3） 两边同时加上一次项系数一半的平方）四开方． （4）公式法：一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2 －4ac ≥0时，x ＝____________. ( 5)换元法:2222 (21)3(21)40,()3()40x x x x x x +-+-=----= 3.配方法：将二次三项式配方： 4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式是__________． (1)b 2 －4ac ＞0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2 －4ac ＝0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2 －4ac ＜0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 5.一元二次方程根与系数的关系 （1）若一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ __________，x 1x 2＝__________. 注意：(1)22 2121212()2x x x x x x +=+-?（2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 注意：代入降次法也是常考题型，例： 6.一元二次方程的应用(审、设、列、解、验、答) （1）图形（面积、体积）问题（2）经济问题(3)增长率问题

华师大版九年级上册数学全章课后复习

专项训练（5） 九年级上册全章训练及答案 1.(2010.南京)=?a a 82_____________. 2.(2009.太原)用配方法解方程x 2-2x-5=0时,原方程应该变形为______ _____________________. 3.(2010.无锡)方程x 2-3x+1=0的解是____________________. 4.(2010.兰州)上海世博会的某纪念品原价168元,连续两次降价a ﹪后,售价为128元,则可列方程为__________________________. 5.(2010.河南)如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则下列结论:①BC=2DE;②△ADE ∽△ABC;③,AC AB AE AD =其中正确的个数为__________个. E D A B C h B A E D C A' B' C'D' E'O 第5题图 第6题 第7题 6.(2011.浙江宁波)如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h ,滑梯的坡角为 a ,那么滑梯的长l 为____________. 7.(2008.湖北荆州)如图所示,五边形ABCDE 和五边形A′B′C′D′E′是 位似图形,O 为位似中心,OD=21OD′,则AB B A ' '为__________. 8.(2012.鹤壁)一元二次方程3x 2-kx+k=0有两个相等的实数根,则k 的值为____________.

9.(2010.上海)一元二次方程x 2+6x+a =0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是________________. 10.(2010.焦作)若21,x x 是一元二次方程0572 =+-x x 的两个根,则 2 11 1x x +=___________. 11.(2011.新乡)关于x 的一元二次方程-x 2+(2k+1)x+2-k 2=0有实数根,则k 的取值范围是_________________. 12.(2011.安阳)如图,在正方形ABCD 中,M 是BC 边上的动点,N 在CD 上,且CN=4 1 CD,若AB=1,设BM=x,当x=_______时,以A 、B 、M 为 顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似. C A D B M N C' A'A B C 第12题 第13题 第14题 13.(2012.江苏)如图,在正方形网格中,=∠ABC sin ___________. 14.(2010湖南益阳)如图,将以A 为顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移到△A′B′C′,使B′与C 重合,连结A′B ,则=∠''tan BC A ___ _____________. 15.(2012.商丘)如图所示,某河堤的横断面是梯形ABCD,BC ∥AD,迎水坡AB 长13米,且,5 12 tan = ∠BAE 在河堤的高BE=_________米. 16.(2012.安阳)如图所示,在□ABCD 中,点E 为CD 的中点,连结BE,

九年级数学上册-圆的有关性质24.1.1圆教案新版新人教版

第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 【知识与技能】 1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义. 2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念. 【过程与方法】 通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆. 【情感态度】 结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解. 【教学难点】 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系. 一、情境导入,初步认识 圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象. 1.观察以上图形,体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形？ 2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的. 【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.

二、思考探究,获取新知 1.圆的描述性定义 问题1如教材79页图所示,通过用绳子和圆规画圆的过程,你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义,教师加以规范,有利于加深印象. 如右图：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”. 注意：圆指的是圆周,不是圆面. 【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义. 2.圆的集合定义 问题2我们以前学过“角平分线上的点到角的两边距离相等.”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.”“线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点的距离相等的点的集合.”由此你能类似地给圆从集合的角度进行定义吗？ 【教学说明】学生通过观察、类比、分析等方法给圆下定义,从而进一步体会圆的性质. 问：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么共同特征？ （2）到定点（圆心O）距离等于定长（半径r）的点有什么共同特征？ 通过上面两个问题我们就能得到圆的集合定义. 【归纳结论】圆心为O,半径为r的圆,可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 思考车轮为什么做成圆形的？如果车轮不是圆的（如椭圆或正方形等）,坐车人会是什么感觉？

2019年华师大版九年级数学上册期末试卷

华师大版九年级数学上册期末达标检测卷（一）一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列各式中是最简二次根式的是( )放入布袋中搅匀，从中随机摸出2个小球 D．布袋中装有仅有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后，从中摸出1个球，放回搅匀再摸出第2个球，那么“摸出两个白球”和“摸出一红一白”的概率相同 A.9 B.7 C.20 D.1 3 9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－3，3)，B(－6，0)，以原点O为位似中心，将△OAB 放大为原的2倍，得△到OA′B′，则△OA′B′的重心坐标是() 2．下列计算正确的是() A.2·3＝6 B.30＝310 C.8＋2＝10 D.（－5）＝－5 3．方程2(－3)＋5(3－)＝0的根是() 555 A．＝B．＝3C．＝，＝3D．＝－，＝3 2122122 9 4．广东)若关于的方程＋－a＋＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( ) 4 A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜2 5．(2015·成都)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，BD＝3，AE＝4，则EC的长为() A．1B．2C．3D．4 A．(－3，1)B．(－6，2)C．(－3，1)或(3，－1)D．(6，－2)或(－6，2) 10．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则 △FCB′与△B△′DG的面积之比为( ) A．9∶4B．3∶2C．4∶3D．16∶9 二、填空题(每题3分，共30分) 11．使二次根式5－2x有意义的的取值范围是________． 12．若最简二次根式23a－4与21－2a是同类二次根式，则a的值是________． a c 13．若＝－1是关于的一元二次方程a＋b＋c＝0(b≠0)的一个根，则＋的值为________． b b 14．某超市十月份的营业额为36万元，若十二月份的营业额比十月份的营业额增长了44%，则平 均每月增长的百分率是________． 15．现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同，若从盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰 第5题第6题第7题第9题第10题好相同的概率是________． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.如果AD＝8，BD＝4，那么tan A的 值是() 16．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再补充一个条件__________________，使得△ABC∽△ADE. 1 A. 2B. 2 2C. 3 3D.2 7．如图，沿AC的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，在A C上取一点 B，使得∠ABD＝148°.已知BD＝600米，∠D＝58°，点A，C，E在同一条直线上，那么开挖点E离 第16题第17题第18题第19题第20题 点D的距离是() 600 A．600sin58°米B．600tan58°米C.米D．600cos58°米 cos58° 8．下列说法或做法正确的是() A．某地“明天降雨的概率是75%”表示明天有75%的时间会降雨 B．班级里有24名女同学和26名男同学，每个同学都把自己的名字写在一张小纸条上，把小纸条 1 放入一个盒子中搅匀，从中随机抽取一张小纸条，那么抽到男同学名字的概率是 2 C．用重复试验的方法模拟“石头、剪刀、布”游戏时，选用仅有颜色不同的红、黄、蓝3个小球， BE2BF 17．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果＝，那么＝ BC3FD ________． 18．如图，在一块长为22m，宽为17m 的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m.若设道路宽为m，根据题意可列出方程为______________________________． 19．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则sin C的值为________． 2 2 2 2