函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

奇函数偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x

定义都有f(－x)＝－f(x)，那么函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做

f(x)就叫做奇函数偶函数

图象特征关于原点对称关于y轴对称

2.函数的周期性

(1)周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)

(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)

(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)

(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)

(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)

(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)

(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)

考点一判断函数的奇偶性

命题点用函数奇偶性定义判断

[例1](1)下列函数为奇函数的是()

A．y＝x B．y＝e x C．y＝cos x D．y=e x-e-x

解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，

f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D，

∵f(－x)＝e－x－e x＝－(e x－e－x)＝－f(x)，∴y＝e x－e－x为奇函数，故选D.

答案：D

(2)下列函数中为偶函数的是()

1

A．y＝x B．y＝lg|x|C．y＝(x－1)2D．y＝2x

解析：根据奇、偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D为非奇非偶函数．

答案：B

(3)函数f(x)＝3－x2＋x2－3，则()

A．不具有奇偶性B．只是奇函数C．只是偶函数D．既是奇函数又是偶函数

?3－x2≥0，

得x＝－3或x＝ 3.

解析：由?

?x2－3≥0，

∴函数f(x)的定义域为{－3，3}．

∵对任意的x∈{－3，3}，－x∈{－3，3}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．

答案：D

[方法引航]判断函数的奇偶性的三种重要方法

(1)定义法：

(3)性质法：

(1)f(x)＝(x ＋1)

1－x

1＋x 1＋x

1＋x (2)由 ＞0 －1＜x ＜1，定义域关于原点对称．

又 f(－x)＝lg ＝lg ( )-1

＝－lg

＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数． 1－x 1＋x

解析：当 x ≥0 时，f(x ＋2)＝－ 1

f ( ①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇· 奇”是偶，“奇÷奇”是偶；

②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶· 偶”是偶，“偶÷偶”是偶；

③“奇· 偶”是奇，“奇÷偶”是奇．

判断下列函数的奇偶性

1－x

； (2)f(x)＝lg .

解：(1)要使函数有意义，则 1－x

≥0，

解得－1＜x ≤1，显然 f(x)的定义域不关于原点对称，

∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

1－x

1＋x

1＋x 1 - x 1－x 1 + x

考点二 函数的周期性及应用

命题点

1.周期性的简单判断

2.利用周期性求函数值

[例 2] (1)下列函数不是周期函数的是(

)

A ．y ＝sin x

B ．y ＝|sin x|

C ．y ＝sin|x|

D ．y ＝sin(x ＋1)

解析：y ＝sin x 与 y ＝sin(x ＋1)的周期 T ＝2π，B 的周期 T ＝π，C 项 y ＝sin|x|是偶函数，x ∈(0，

＋∞)与 x ∈(－∞，0)图象不重复，无周期．

答案：C

(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于 x ≥0，都有 f(x ＋2)＝－

时，f(x)＝log 2(x ＋1)，则求 f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．

，

f (x )

∴f(x ＋4)＝f(x)，即 4 是 f(x)(x ≥0)的一个周期．

∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log 22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－ 1

)

＝－1，

1 f (x )

，且当 x ∈[0,2)

②f(x＋a)＝(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；

③f(x＋a)＝－

1

，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．

－a

－a－a －1－1

＞0，故不等式可化为

－1

∴f(－2017)＋f(2019)＝0.

答案：0

[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．

(2)判断函数周期性的几个常用结论．

①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.

1

f(x)

f(x)

1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－

1

f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2017)＋f(2019)＝________.

解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2017)＝1，f(2019)＝－1，∴f(－2017)＋f(2019)＝0.答案：0

2．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2017)＋f(2019)的值．

解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝1，

∴f(－2017)＋f(2019)＝2.

考点三函数奇偶性的综合应用

1.已知奇偶性求参数

命题点 2.利用奇偶性、单调性求解不等式

3.利用奇偶性求解析式或函数值

2x＋1

[例3](1)若函数f(x)＝2

x

是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为()

A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)

2－x＋12x＋1

解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2

－x

＝－2

x

.化简可得a＝1，

2x＋12x＋12x＋1－3(2x－1)2x－2

则2

x

＞3，即2

x

－3＞0，即

2x－12x＜0，即

1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.

答案：C

1＋x2

2

1

(1＋x2)2(1＋x2)2

ax＋b12

(2)函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(

2

)＝5.

①确定函数f(x)的解析式；

②用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；

③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.

解：①∵在x∈(－1,1)上f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(x)＝

a

ax

1＋x2.

122x

又∵f(

2

)＝5，∴＝5.解得，a＝1.∴f(x)＝1＋x

2

1＋4

，经检验适合题意．

②证明：由f′(x)＝

1＋x2－2x21－x2

＝.x∈(－1,1)时，1－x2＞0，∴f′(x)＞0

∴f(x)在(－1,1)上为增函数．

?－1＜t－1＜1

③由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．∴

?－1＜－t＜1

?t－1＜－t

1

得0＜t＜2.

(3)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝() A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)

解析：当x＜0时，－x＞0，

f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，

f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．

答案：C

[方法引航](1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)在定义域内恒成立，建立参数关系.

(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.

1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

1

解析：a－1＋2a＝0，∴a＝3.

1

f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0，∴a＋b＝3.

1

答案：3

2．定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，且f()＝0，则满足f(

2

x)＜0的x的A.(-∞,)?(2,+∞)∪(2，＋∞) B.(,1)∪(1,2)

C.(0,)∪(2，＋∞)

D.(,1)∪(2，＋∞)

＞2，即

1

x＞2

或

＜0＝f(

＜0的x的集合为(0,)∪(2，＋∞)．

3．已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f()+f(-)的值为()

解析：选A.由题意知，f(x)－1＝－x＋log2

1－x

，f(－x)－1＝x＋log

2

＝x－log

2

＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则f()－1＋f(-)－1＝0，所以f()+f(-)＝2.

1

集合为()

1

2

1

2

解析：选C.由题意可得f

所以

1

1

2

1

2

＝f

1

)，又f(x)在[0，＋∞)上递减，

2

11

x＜－2，解得0＜x＜2或x＞2，所以满足不等式f

1

2

1－x11

1＋x22

1

A．2B．－2C．0D．2log

23

1＋x1－x

1＋x1－x1＋x

1111

2222

[方法探究]

“多法并举”解决抽象函数性质问题

[典例](2017·山东泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．

[分析关系]①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)隐含了用什么结论？什么方法探究？

②f(x＋2)＝－f(x)，隐含了什么结论？用什么方法探究．

③若f(x)的图象关于x＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？

④f(x)在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？

⑤f(2)，f(0)从何处计算．

[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．

(赋值法)：令x＝y＝0，∴f(0)＝0.

令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．

第三步：由f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)

?f(x＋4)＝f(x)，

(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．

第四步：f(x＋2)＝－f(x)?f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)

又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．

第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，

∴[1,2]上为减函数．(对称法)

第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)

[答案]①②③④

[回顾反思]此题用图象法更直观．

[高考真题体验]

1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()

A．f(x)g(x)是偶函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.

f(－x)＝－f(x)；当 x ＞2时， f ( x + ) = f ( x - ) .则 f(6)＝(

)

＝4x ，则 f (- ) ＋f(1)＝________.

∵f(x)＝4x ，x ∈(0,1)，∴ f (- ) ＝ f (-

+ 2) = f (- ) = - f ( ) ＝－4 ? 2＝－2.∴ f (- ) ＋f(1)＝－2.

?－4x 2＋2，－1≤x ＜0， 3

解析：由已知易得 f (- ) ＝ - 4 ? (- )2 + 2 = 1 ，又由函数的周期为 2，可得 f ( ) ＝ f (- ) ＝

2．(2016· 高考山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x ＜0 时，f(x)＝x 3－1；当－1≤x ≤1 时，

1 1 1

2 2

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．2

1

解析：选 D.由题意可知，当－1≤x ≤1 时，f(x)为奇函数，且当 x ＞2时，f(x ＋1)＝f(x)，所以

f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而 f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以 f(6)＝2.故选 D.

3．(2016· 高考四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜x ＜1 时，f(x)

5

2

解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值．

∵f(x)为奇函数，周期为 2，

∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.

5 5 1 1 2 2 2 2

1 5 2

答案：－2

4．(2015· 高考课标全国卷Ⅰ)若函数 f(x)＝xln(x ＋ a ＋x 2)为偶函数，则 a ＝________.

解析：由题意得 f(x)＝xln(x ＋ a ＋x 2)＝f(－x)＝

－xln( a ＋x 2－x)，所以 a ＋x 2＋x ＝ 1

a ＋x 2－x

，解得 a ＝1.

答案：1

5．(2014· 高考四川卷 )设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x ∈[－1,1)时， f (x)＝

?

则 f ( ) ＝________. ?x ， 0≤x ＜1， 2

1 1 3 1

2 2 2 2

1.

答案：1

课时规范训练

A 组 基础演练

x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数 y ＝ ( ) x ，是非

A ．y ＝2|x|

B ．y ＝lg(x ＋ x 2＋1)

C ． y = 2 x + 2- x

D ．y ＝lg 1

x 则 f ( ) ＝(

) 解析：选 D.因为 f(x)是周期为 3 的周期函数，所以 f ( ) ＝ f (- + 3) = f (- ) ＝4× (- )2

－2

1．下列函数中为偶函数的是(

)

A ．y ＝x 2sin x

B ．y ＝x 2cos x

C ．y ＝|ln x|

D ．y ＝2－

解析：选 B.因为 y ＝x 2 是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以 A 选项为奇函

数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数 y ＝ln x 的图象在 x 轴下方部分翻折到

1

2

奇非偶函数．

2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )

x ＋1

解析：选 D.选项 D 中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故 y ＝lg 1 x ＋1

不是奇函数

也不是偶函数，选项 A 为偶函数，选项 B 为奇函数，选项 C 为偶函数．

3．若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(3)－f(4)等于( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

解析：选 A.由 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数知 f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2， f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1，故选 A.

1

4．已知函数 f(x)为奇函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x 2＋x ，则 f(－1)＝(

)

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

1

解析：选 A.当 x ＞0 时，f(x)＝x 2＋x ，

1

∴f(1)＝12＋

1＝2.

∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.

?4x 2－2，－2≤x ≤0

5．设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x ∈[－2,1)时，f(x)＝?

， ?x ，0＜x ＜1

5

2

1 A ．0

B ．1

C.2

D ．－1

5 1 1 1 2 2 2 2

＝－1，故选 D.

f (x ) f (x ＋2) f

6．函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x ＋2)＝ 1 f (x )

，若 f(1)＝－5，则 f(f(5))＝________.

解析：f(x ＋2)＝ 1 1

，∴f(x ＋4)＝ ＝f(x)，

∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝ 1 1

f (1)

＝－

5.

1

答案：－

5

7．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，(2)＝1，且对任意的 x ∈R ，都有 f(x ＋3)＝f(x)，则 f(2 017) ＝________.

解析：由 f(x ＋3)＝f(x)得函数 f(x)的周期 T ＝3，

则 f(2 017)＝f(1)＝f(－2)，又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(2 017)＝f(2)＝1.

答案：1

8．函数 f(x)＝e x ＋x(x ∈R)可表示为奇函数 h (x)与偶函数 g (x)的和，则 g (0)＝________. 解析：由题意可知 h (x)＋g (x)＝e x ＋x ①，

用－x 代替 x 得 h (－x)＋g (－x)＝e －x －x ，因为 h (x)为奇函数，g (x)为偶函数，所以

－h (x)＋g (x)＝ e - x - x

②.

由(①＋②)÷2 得 g (x)＝

e x ＋e －x e 0＋e 0

2 ，所以 g (0)＝ 2 ＝1.

答案：1

9．已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x ∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求 f(x)的解析式．

解：设 x ∈(0，＋∞)，∴－x ∈(－∞，0)，∴f(－x)＝xlg(2＋x)，

∵f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝xlg(2＋x)，∴f(x)＝－xlg(2＋x)．

又∵当 x ＝0 时，f(0)＝0，适合 f(x)＝－xlg(2＋x)

?－xlg (2＋x )

x ∈[0，＋∞) ∴f(x)＝?

?－xlg (2－x )

x ∈(－∞，0)

a

10．已知函数 f(x)＝x 2＋x (x ≠0，常数 a ∈R)．

(1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数 f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数 a 的取值范围．

解：(1)函数 f(x)的定义域为{x|x ≠0}，

当 a ＝0 时，f(x)＝x 2(x ≠0)，显然为偶函数；

2 ，由 f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知

3 2 当 a ≠0 时，f(1)＝1＋a ，f(－1)＝1－a ，

因此 f(1)≠f(－1)，且 f(－1)≠－f(1)，

a

所以函数 f(x)＝x 2＋x (x ≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．

a 2x 3－a

(2)f ′(x)＝2x －x 2＝ x 2 ，当 a ≤0 时，f ′(x)＞0，则 f(x)在[2，＋∞)上是增函数；当 a ＞0

时，令 f ′(x)＝ 2x 3－a a a

x 2 ≥0，解得 x ≥ 3 ≤2，解得

0＜a ≤16.

综上，实数 a 的取值范围是(－∞，16]．

B 组 能力突破

1．若 f(x)是定义在 R 上的函数，则“f(0)＝0”是“函数 f(x)为奇函数”的 (

)

A ．必要不充分条件

C ．充分不必要条件

B ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选 A.f(x)在 R 上为奇函数?f(0)＝0；f(0)＝0 f(x)在 R 上为奇函数，如 f(x)＝x 2，故选

A.

2．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g (x)满足 f(x)＋g (x)＝ a x - a - x ＋2(a ＞0，且 a ≠1)．若 g (2)＝a ，则 f(2)等于( )

15 17

A ．2

B. 4

C. 4

D ．a 2

解析：选 B.∵f(x)为奇函数，g (x)为偶函数，

∴f(－2)＝－f(2)，g (－2)＝g (2)＝a ，

∵f(2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①

∴f(－2)＋g (－2)＝g (2)－f(2)＝a －2－a 2＋2，②

15

由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f(2)＝a 2－a －2

＝ 4 .

3．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )

A ．f(－25)＜f(11)＜f(80)

B ．f(80)＜f(11)＜f(－25)

C ．f(11)＜f(80)＜f(－25)

D ．f(－25)＜f(80)＜f(11)

解析：选 D.由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又 f(x －4)＝－f(x)?f(x －8)＝－f(x －4)＝f(x)，

故函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数．

f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，

f(80)＝f(0)，故 f(－25)＜f(80)＜f(11)．

4．定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x 均有 f(x)＝f(x ＋2)＋f(x －2)且 f(2 016)＝2 016，则 f(2 028)

＝________.

解析：∵x ∈R ，f(x)＝f(x ＋2)＋f(x －2)，

∴f(x ＋4)＝f(x ＋2)－f(x)＝－f(x －2)，∴f(x ＋6)＝－f(x)，∴f(x ＋12)＝f(x)，

则函数 f(x)是以 12 为周期的函数．又∵f(2 016)＝2 016，

∴f(2 028)＝f(2 028－12)＝f(2 016)＝2 016.

答案：2 016

5．函数 f(x)的定义域为 D ＝{x|x ≠0}，且满足对于任意 x 1，x 2∈D ，有 f ( x 1 ? x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ． (1)求 f(1)的值；

(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果 f(4)＝1，f(x －1)＜2，且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．

解：(1)∵对于任意 x 1，x 2∈D ，有 f(x 1· x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)， ∴令 x 1＝x 2＝1，得 f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

1

(2)令 x 1＝x 2＝－1，有 f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝2f(1)＝0.

令 x 1＝－1，x 2＝x ，有 f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(3)依题设有 f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，

∴f(x －1)＜2 f(|x －1|)＜f(16)．又 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

∴0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17 且 x ≠1.

∴x 的取值范围是{x|－15＜x ＜17 且 x ≠1}．

《函数的奇偶性与周期性》教案

教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？ 对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？ 生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？ 数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数

二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用

三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．

考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 .

函数的奇偶性与周期性练习题

函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ．

函数的奇偶性及周期性综合运用

函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],

奇偶性教案

1.3.2《函数的奇偶性》教学设计 一、教材分析 “奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。 二、学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。 三、教学目标 【知识与技能】1．能判断一些简单函数的奇偶性。2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。

四、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和几何意义。难点：判断函数奇偶性的方法和格式。 五、教学方法 引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件 七、教学过程 （一）设疑导入、观图激趣：出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。

函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1

2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域，

《函数的单调性与奇偶性》教学设计(人教A版必修)

1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计 【教学目标】 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义； 3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】 1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： ① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等. ② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即

1.10基本初等函数奇偶性和周期性

1．10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点：①能够正确判断函数的奇偶性和周期性；②运用基本初等函数的性质解题。 一．基础练习 1． 写出下列函数中，奇函数是________；偶函数是________；非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2． 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++，系数,,,a b c d 满足__________时，()f x 是奇函数； 满足___________时，它是偶函数． 3． 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(2)f =________． 4． 函数sin 2y x =的周期是________；tan y x π=的周期是________． 5． 已知函数()f x 是定义在（-3，3）上的奇函数，当03x << ()f x 图象如右，则不等式 ()0f x x >的解集是____________． 二、例题讲解 例1：判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()2||3f x x x =-- （2）22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--，实数a 的范围是____________．

函数的奇偶性和周期性

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级：高二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性，并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义：设() y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有，则称函数() y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有，则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0，则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法： ①定义法：首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称，则为非奇非偶函数 若对称，则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法：设() f x，() g x的定义域分别是 12 , D D，那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上： 奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 典型例题 例1、（判断奇偶性）判断下列函数的奇偶性 （1）35 ()35 f x x x =+（2）2 ()3||1 f x x x =-+（3） 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? （4）()|1||1| f x x x =+--

函数的奇偶性与周期性试题(答案)

函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1

高中数学_函数的奇偶性教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1.4《函数的奇偶性》 一、教材分析 （一）教材所处的地位和作用 函数的奇偶性是普通高中标准实验教科书数学必修一B版第二章函数的第4小节，函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称感受奇函数和偶函数的图像特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。从知识结构上，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础。起着承上启下的作用。 （二）学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题． （三）教学目标 基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标： 【知识与技能】 1．理解函数奇偶性的概念和图象特征。 2．能判断一些简单函数的奇偶性。

【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。 （四）教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。 “函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x) 成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。 难点：对函数奇偶性概念理解与认识。 二、教法与学法分析 （一）教法 根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 考点梳理 一、函数的奇偶性 （探究：奇、偶函数的定义域有何特点？若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称，反之，若函数的定义域不关于原点对称，则函数无奇偶性。） 二、奇、偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 2、在公共定义域内， （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数。（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。 （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0。 （探究：若f(x)是偶函数且在x=0处有定义，是否有f(x)=0?不一定，

如f(x)= 21x +，而f(0)=1。） 三、函数的周期性 一般的，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 （探究：若偶函数f(x)满足对任意的x R ∈,都有f(2+x)=f(-x)，那么函数f(x)是周期函数吗？ 是周期函数，()()(),(2)() (2)(),()=2f x f x f x f x f x f x f x f x T ∴-=+=-∴ += 是偶函数， 又所以是以为周期的函数） 例题解析 要点1：函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的一般方法 （1）首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称，否则，既不是奇函数也不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断： ()()()()-()()f x f x f x f x f x f x -=?-=?为偶函数， 为奇函数。 ②等价形式判断：

函数的单调性奇偶性和周期性和对称性之间的关系

函 数 的 对 称 性 一个函数的自对称 定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。就是该函数的对称轴是x a =。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。就是该函数的对称点是(,0)a 。 定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x += 对称。就是该函数的对称轴是2 a b x +=。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点( ,0)2a b +对称。就是该函数的对称点是(,0)2 a b +。 还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于( ,)22a b m +这个点对称。 周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数. 它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1() f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=) (11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。 习 题 1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。 2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点） 3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根? 4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值. 5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02 f x f x ++=且5 ()4 f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52 x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数 例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。 （1）f(x)是奇函数，则有f(-x+a)= f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)= （2）函数f(x-1)是偶函数，求y=f(x)的对称轴。

函数的奇偶性教学设计优秀

一．教材分析 1 . 教材的地位与作用 内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节; 函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用; 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。 2 . 学情分析 已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识； 在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识； 高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；

高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。 二．目的分析 教学目标知识与技能目标： ……理解函数奇偶性的概念 ……能利用定义判断函数的奇偶性 过程与方法目标： ……培养学生的类比，观察,归纳能力 ……渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再 从具体到一般的研究方法 情感态度与价值观目标： ……对数学研究的科学方法有进一步的感受 ……体验数学研究严谨性，感受数学对称美 重点与难点 重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断 难点：函数奇偶性概念的探究与理解 三．教法、学法 教法 借助多媒体和几何画板软件 以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式遵循研究函数性质的三步曲 学法

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性

函数的奇偶性及周期性

函数的奇偶性及周期性 1．函数的奇偶性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [小题体验] 1．下列函数中为偶函数的是() A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x|D．y＝2－x 答案：B 2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________. 答案：－1 3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________. 答案：x(1－x) 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－

x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． [小题纠偏] 1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－1 2 解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1 3.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝1 3 . 2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝ ? ???? －4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ????32＝________. 解析：由题意得，f ????32＝f ????－12＝－4×????－122＋2＝1. 答案：1 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－ x ； (4)(易错题)f (x )＝4－x 2 |x ＋3|－3 ； (5)(易错题)f (x )＝????? x 2＋x ，x >0， x 2－x ，x <0. 解：(1)∵由? ???? x 2－1≥0， 1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}． 又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，

高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案)

§2.3函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称 奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值 时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．( × ) (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) (4)若函数f (x )＝x (x －2)(x ＋a ) 为奇函数，则a ＝2.( √ ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0.( √ ) 2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1 x ，则f (－1)等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A 解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是() A ．－13B.13C.12D ．－12 答案 B 解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13 . 4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 答案 A 解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，

(完整版)函数的奇偶性教学设计

《函数的奇偶性》教学设计 深圳市第一职业技术学校数学科-----黄美德 课标分析 函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化．它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶函数的图像关于ｙ轴对称，奇函数的图像关于坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析． 教材分析 教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例．最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶性． 教学目标 1. 通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括能力． 教学重难点 1．. 理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性． 2. 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的． 学生分析 这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y ＝kx，反比例函数，（k≠0），二次函数y＝ax2，（a≠0），故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原

函数的奇偶性与周期性专题练习

函数的奇偶性与周期性专题练习 一、选择题 1.(2019·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝ x sin x 为偶函数. 答案 B 2.(2019·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数 解析 易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数， 又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数， 所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数. 答案 A 3.已知函数f (x )＝x ? ?? ??e x －1e x ，若f (x 1)x 2 B.x 1＋x 2＝0 C.x 10时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇函数偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做 偶函数 图象特征关于原点对称关于y轴对称 2. (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√) (7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√) (9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一判断函数的奇偶性

第二课时 函数的奇偶性(二)

第二课时函数的奇偶性( 二) 课标要求素养要求 1.掌握函数奇偶性的简单应用 . 2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件. 1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养. 2.通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养. 新知探究 被誉为“上海之鸟”浦东国际机场的设计是一个硕大无比展开双翅的海鸥，它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，一些函数的图象也有着如此美妙的对称性. 问题这种对称性体现了函数的什么性质？ 提示函数的奇偶性. 奇函数、偶函数性质 (1)奇函数的图象关于原点对称，若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数. (2)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a

2.若对f(x)定义域内任意的x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝a＋b 2 对称.(√) 3.若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最大值－M.(×) 提示奇函数的图象关于原点对称，在[a，b]上有最大值M，则在[－b，－a]上有最小值－M. [微训练] 1.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则() A.f(3)0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 解析当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，所以f(x)＝－x－1. 答案－x－1 [微思考] 若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？ 提示不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数. 题型一利用奇偶性求解析式