立体几何周练
命题人---王利军
一、选择题(每小题5分,共60分)
1、线段AB 在平面α内,则直线AB 与平面α的位置关系是
A 、A
B α? B 、AB α?
C 、由线段AB 的长短而定
D 、以上都不对
2、下列说法正确的是
A 、三点确定一个平面
B 、四边形一定是平面图形
C 、梯形一定是平面图形
D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三
个交点
3、垂直于同一条直线的两条直线一定
A 、平行
B 、相交
C 、异面
D 、以上都有可能
4、在正方体1111ABCD A BC D -中,下列几种说法正确的是
A 、11AC AD ⊥
B 、11D
C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角
D 、11AC 与1BC
成60角
5、若直线l ∥平面α,直线a α?,则l 与a 的位置关系是
A 、l ∥a
B 、l 与a 异面
C 、l 与a 相交
D 、l 与a 没有
公共点
6、下列命题中:(1)、平行于同一直线的两个平面平行;(2)、平行于同一平面的两个平面
平行;
(3)、垂直于同一直线的两直线平行;(4)、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数
有
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点,如果与
EF GH 、能相交于点P ,那么
A 、点必P 在直线AC 上
B 、点P 必在直线BD 上
C 、点P 必在平面ABC 内
D 、点P 必在平面ABC 外
8、a ,b ,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若a ∥M ,b ∥M ,则a ∥b ;②
若b ?M ,
a ∥
b ,则a ∥M ;③若a ⊥
c ,b ⊥c ,则a ∥b ;④若a ⊥M ,b ⊥M ,则a ∥b .其中正确命题
的个数有
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
9、一个棱柱是正四棱柱的条件是
A 、底面是正方形,有两个侧面是矩形
B 、底面是正方形,有两个侧面
垂直于底面
C 、底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D 、每个侧面都是全等矩形的四
棱柱
10、在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个
B 1
C 1
A 1
D 1B A
C D 三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是
A 、23
B 、76
C 、45
D 、56
11、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ,α内一点C 到β的距离为3,
点C 到棱AB 的距离为4,那么tan θ的值等于
A 、34
B 、35
C
D 12、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ,点P 、Q 分别在侧棱AA 1和
CC 1上,AP=C 1Q ,则四棱锥B —APQC 的体积为 A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V 13.设α、β、r 是互不重合的平面,m ,n 是互不重合的直线,给出四个命题: ①若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β ②若α⊥r ,β⊥r ,则α∥β
③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β ④若m ∥α,n ⊥α,则m ⊥n
其中正确命题的个数是 ( )
A .1
B .2
C .3
D .4
14.△ABC 是边长为1的正三角形,那么△ABC 的斜二测平面直观图C B A '''?的面积为
( )
A .43
B .83
C .86
D .16
6 15.设正方体的表面积为242cm ,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是
( )
A .π3
43cm B .π63cm C .π383cm D .π3323cm 16.四面体S ABC -中,各个侧面都是边长为a 的正三角形,
,E F 分别是SC 和AB 的中点,则异面直线EF 与SA 所成的角等于( )
A .090
B .060
C .045
D .030
17.三个平面把空间分成7部分时,它们的交线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.1条或2条
18.在长方体1111ABCD A BC D -,底面是边长为2的正方形,高为4,
Q
P C'
B'A'C B A
则点1A 到截面11AB D 的距离为( )
A .
83 B . 38
C .43
D . 34 19.直三棱柱111ABC A B C -中,各侧棱和底面的边长均为a ,点D 是1CC 上任意一点,
连接11,,,A B BD A D AD ,则三棱锥1A A BD -的体积为( )
A .361a
B .312
3a C .36
3a D .3121a 20.下列说法不正确的....
是( ) A .空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形;
B .同一平面的两条垂线一定共面;
C .过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内;
D .过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
二.解答题
1.(本题满分12分) 在三棱锥V —ABC 中,VA=VB=AC=BC=2,AB=32
,VC=1,
求二面角V —AB —C 的大小.
3
主视图左视图
俯视图
A
C
D
Q D
B
P
C
A
N
M
2.已知某几何体的三视图如下图所示,其中俯视图为正三角形,设D为AA1的中点。
(1)作出该几何体的直观图并求其体积;
(2)求证:平面
11
BB C C⊥平面
1
BDC;
(3)BC边上是否存在点P,使//
AP平面
1
BDC?
若不存在,说明理由;若存在,证明你的结论。
3. 如图(1)是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,请在图(2)的正方
体中将MN和PB画出来,并就这个正方体解决下面问题。
(1)求证://
MN平面PBD;(2)求证:AQ⊥平面PBD;
(3)求PB和平面BMN所成的角的大小(选做).
4.如图所示,在直三棱柱111C B A ABC -中,
⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点。
(Ⅰ)求证://1C B 平面BD A 1;(Ⅱ)求证:⊥11C B 平面11A ABB ;
(Ⅲ)设E 是1CC 上一点,试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ,
并说明理由。
参考答案
一:ACDDD BCBDD DBCDA CCCBD
16.C 取SB 的中点G ,则2a G E G F ==,在△SFC 中,EF =,045EFG ∠= 17C 此时三个平面两两相交,且有三条平行的交线
18C 利用三棱锥111A AB D -的体积变换:111111A AB D A A B D V V --=,则1124633
h ??=??
19B 11211332A A BD D A BA a V V Sh --===?=20. D 一组对边平行就决定了共面;同一平面的两条垂线互相平行,因而共面; 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;把书本的书脊垂直放在桌上就明确
三、解答题 本大题共4小题,每小题10分,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
1.(本题满分10分)
解: 取AB 的中点O ,连接VO ,CO-------------------------------------1分
因为△V AB 为等腰三角形
∴VO ⊥AB--------------------------------------------1分
又因为△CAB 为等腰三角形
∴CO ⊥AB---------------------------------------------1分
则∠VOC 为二面角V —AB —C 的平面角------------------------------2分
∵AB=32
,∴AO=3----------------------------------------------- 1分
又V A=2 则在R t △VOA 中,VO=1------------------------------------1分
同理可求:CO=1------------------------------------------1分
又已知VC=1
则△VOC 为等边三角形,∴∠VOC=0
60-------------------------------1分
∴二面角V —AB —C 为060.------------------------------------------1分
2(1)解:由题意可知该几何体为直三棱柱,其直观图(略)
∵几何体的底面积S =3h =,故几何体的体积V =
(2)证明:连结1B C 交1BC 于E 点,则E 为1B C 与1BC 的中点,连结DE 。
∵ 1AD A D =,11AB AC =,1190BAD DAC ∠=∠=,
∴ Rt ABD ?≌11Rt DAC ?,∴ 1BD DC =,∴ 1DE BC ⊥。
同理1DE B C ⊥,∴ DE ⊥平面11BB C C ,∴平面1BDC ⊥平面11BB C C 。 (3)解:取BC 的中点P ,连结AP ,则//AP 平面1BDC ,下面加以证明:
连结PE ,则PE 与AD 平行且相等,
∴ 四边形APED 为平行四边形,∴ //AP DE ,∴//AP 平面1BDC 。
3. 解:MN 和PB 的位置如右图所示;
(1)由ND 与MB 平行且相等,得四边形NDBM 为平行四边形
∴ //MN DB
∵NM ?平面PDB ,故//MN 平面PDB 。
(2)∵QC ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD ,∴BD QC ⊥
又在正方形ABCD 中BD AC ⊥,故BD ⊥平面AQC , AQ ?平面AQC ,故AQ BD ⊥,同理可得AQ PB ⊥,故AQ ⊥平面PBD
(3)连结PQ 交MN 于点E ,由PE MN ⊥,PE MB ⊥,MB MN M =,
得PE ⊥平面NMB ,连结BE ,则PBE ∠为PB 和平面BMN 所成的角。
在Rt PEB ?中12
PE PB =,故30PBE ∠=.即PB 和平面BMN 所成的角为30。
4.(Ⅰ)证明:如图,连接1AB 与B A 1相交于M 。 则M 为B A 1的中点连结MD ,又D 为AC 的中点 MD C B //1∴又?C B 1平面BD A 1
//1C B ∴平面BD A 1……4分
(Ⅱ)B B AB 1= ∴四边形11A ABB 为正方形 11AB B A ⊥∴又⊥1AC 面
BD A 1B A AC 11⊥∴⊥∴B A 1面11C AB ……6分
111C B B A ⊥∴又在直棱柱111C B A ABC -中111C B BB ⊥ ⊥∴11C B 平面A ABB 1。……8分
(Ⅲ)当点E 为C C 1的中点时,平面⊥BD A 1平面BDE ……9分
D 、
E 分别为AC 、C C 1的中点1//AC DE ∴1AC 平面BD A 1⊥∴DE 平面BD A 1又?DE 平面BDE ∴平面⊥BD A 1平面BDE ……12分
线面角的求法 1.直接法 :平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的元素,它可以起到联系各线段的作用。 例1 ( 如图1 )四面体ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点,求(1)BC 与平面SAB 所成的角。(2)SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:(1) ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影, ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 (2) 连结SM,CM ,则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH /SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7/7 (“垂线”是相对的,SC 是面 SAB 的垂线,又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理,其思路是:先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或作出交线的垂线,则得面的垂线。) 2. 利用公式sin θ=h /ι 其中θ是斜线与平面所成的角, h 是 垂线段的长,ι是斜线段的长,其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 ( 如图2) 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ,求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解:设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ,∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1/3 S △AB 1C 1 ·h= 1/3 S △BB 1C 1 ·AB,易得h=12/5 ,
一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、在同一平面的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面的一条直线平行,则这条直线和这个平 面平行 3、两面平行,则其中一个平面的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义:如果一条直线和平面的任何一条直线都垂直,则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面的两条相交线垂直,则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直,那么在一个平面垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 90角 1、定义:成? 2、直线和平面垂直,则该线与平面任一直线垂直 3、在平面的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线 垂直 4、在平面的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影 垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 90 1、二面角的平面角为?
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行 3、两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义:成? 90角 2、直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是:? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是:? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是:? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是:? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心:内切圆的圆心,角平分线的交点 2、外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点 3、重心:中线的交点 4、垂心:高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行; (3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;