第二十四讲平面向量的数量积

名师作业?练全能 第二十四讲 平面向量的数量积

班级 _______ 姓名 __________ 考号 _________ 日期 _________ 得分 __________ 括号内.)

1. (2019-重庆)已知向量a, 〃满足a ?b=0, lal=l, 01=2,则\2a —b\=( )

A. 0

B.2y/2

C. 4

D.8

解析：因为l2a —bl 2

=(2a —b)2

=4a 2

^b 2

—4a b=4a 2

+b 2

=4+4=89 故I2a —b\=2>j29 选 B.

答案：B

A ?等边三角形

B ?直角三角形

B. 等腰非等边三角形

C. 三边均不相等的三角形

解析：???半、芈分别为与AB 、AC 同向的单位向量，且学+芈与ZBCA 的平分线

LABI IACI

L4BI L4CI

共线，

(f f 、

AD A (J

又 I ----------- ?BC=0, ..AB —AC.

—? —? \IAB\ \AC\) AB AC

1

T - , = 1 X 1 X cos A =y, OVA V7t, \AB\ L4CI

:.A=^.：. △ABC 为等边三角形.

答案：A

—? —? —*

3. (2019-海淀)在边长为羽的正三角形ABC 中，设AB=c, BC=a, CA=b.贝ija ?b+0?c +cm 等于()

A ? 一3 B.O C ? 1

D.2

2托 解

析:a b+b c+c a=b (a+c)+c a=b (—b)+c a = —b 2

+c a=—2+yl2 y[2<03^= —2.已知非零向量AB 与AC 满足 AB —*

AC

\AC\)

?BC=0 且则 AABC 为(

SBI L4CI

答案:A

4. 已知平而向量Q、b、c满足01=1, lbl=2, ld=4,且向量a、b、c两两所成的角相

等，则S+b+cl=( )

A?W B.7或迈

C. 7

D.7或⑴

解析：???“、b、c成等角,:.a. b、c两两成0。或120%当a、b、c两两成0。时.\a+b +cl=l+2+4=7；当a、b、c 两两成120。时，\a+b+c\2=a2+b2+c2+2a b+2a c+2b c= 1+4+16—2—4一8=7, S+b+cl=。选择D?

答案：D

5. (2019-湖南卷)若非零向量a, D满足01=01, (2a+b)-b=Q,则a与b的夹角为( )

A. 30°

B.60°

C? 120° D.150°

解析：(2n+〃)?b = 2a?〃+胪=2kr卩cos〈a, b) +?2=0=>cos〈a, b) =—￡ 所以a f b 夹角为120。，故选C?

答案：c

6. 设a、b、c是单位向量,且a b=0,则(a-c).(b-c)的最小值为( )

A?一2 B.V2-2

C?一1 D.l —

解析：Ta上=0, (a—c) (b—c)=a b—ac—b c+c2= 1 —c\a+b),

求原式的最小值，即求c?(a+〃)的最尢值,而当c与a+b共线且同向时，c (a+b)有最大值返

?\(a~c) (b—c)的最小值为

答案：D

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.)

7. 直角坐标平面内三点A(12)、B(3, — 2)、C(9,7),若￡、F为线段BC的三等分点，

则AEAF= __________ ?

—*

解析:VBC=(6,9),

一 1 —— 2_

A BE=|BC= (2,3), BF=#BC=(4,6)?

5=(2, -4),

:.AE=AB+BE=(4f -1), AF=AB+BF=(6,2),

???AE

?AF=4X6+(-l)X2 = 22?

答案：22

8?如图，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2), BD=(—3,2)，贝MDAC= ___________ .

解析：

如图，设AC、相交于点O,

???A￡MC=( —1,2)?(1,2)=— 1+4=3.

答案：3

9. (2019-r东卷)若向量a=(l,l, x), 6=(1,2,1), c=(l,l,l),满足条件(c-a) (2b)=-2t 贝lj x= .

解析：c—a=(0,0,1—x), 2A = (2,4,2), (C—a)-(2b)=2( 1 —x) = — 2 =>x=2.

答案：2

10. (2019-江苏南京模拟)如图，在正方形ABCD中，已知AB=2. M为BC的中点，若

N为正方形内(含边界)任意一点，贝UM-AN的最大值是

解析：如图.建立坐标系.

AM=（2,1）.设AN=（x, y）,其中0

—?—>

???AM?AN=2A?+yW6,其中x=2, y=2时，

—> —>

AMAN取得最大值.

答案：6

三、解答题：（本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤?）

11. 设A、B为圆以+护=1上两点，0为坐标原点（A, O, B不共线）.

_1

严

iOD

1,2). 5C4C=(1,2),

3

刁

-

/f^M\

—> —* —> —*

（1） 求证：OA + OB 与04 — 0B 垂直；

（2） 当厶0A=务 厶OB=e, &丘（_中,3且0A ?0B=|时，求sin0的值. —> —> —? —?

解析:⑴证明：由IOAI = IOBI=1 得IOA|2=IOB|2=1 —> ―? 则 OA2=0B —1 ―? —?

—> —? —? —

OA 2-OB 2=O 9（OA +OB ）?（OA -OB ）=O

—> —? —? —*

则0A + 0B 与0A-0B 垂直.

（2）由 厶0A=￡ 得OA = （cos 扌，sin 扌）

又 厶0B=&, /. OB=(cos9, sin&)

由 0A ?0B=g 得 cos 扌 cos&+sin$in&=g 即 cos(￡ _0

Y vev￡「.ov 扌-ev 克

A -f A =-l -

12?若e 〃是两个不共线的非零向量，reR

/. sin&=

=sinjcos(~6

(1) 若a, b起点相同，/为何值时，a, tb, *a+b)三向量的终点在一直线上？

(2) 若lal=0l且a与〃夹角为60。, f为何值时,\a-tb\的值最小?

解析：(1)设a—tb=m[a—^(a+b)]9加WR,

化简得(扌加_ 1》=(#_/》，

??./=*时，a, tb, g(a+b)的终点在一直线上.

(2)\a—tb\1=(a — tb)2=\a\1+t2\b\2—2t\a\-\b\cos6()c=(\+t2—t)\a\2.

.?.当/=*时，\a—tb\有最小值乎⑷.

13?如图，在RtAAfiC中，已知BC=a.若长为2“的线段P0以点A为中点，问P0与

BC的夹角&取何值时，BP CQ的值最大？并求岀这个最大值.

解析：解法一：TAB丄AC,

:.ABAC=0.

—* —> —?—* —> —* —> —>

\9AP=-AQ9 BP=AP-AB9 CQ=AQ-AC9

—> —> —* —* —* —?

:.BPCQ=(AP-AB)(AQ-AC)

—> —* —> —> —* —?—> —>

=APAQ-APAC-ABAQ+ABAC

—* —> —> —?—> I —?—>

= -a2-APAC+ABAP=-a2-AP(AC-AB)=-a2+^PQBC=-a2+a2cos09

—> ——? —*

故当cos0=l,即&=0(PQ与BC方向相同)时，BP CQ最大，其罠大值为0.

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.

Ta与〃不共线，???

1

2

*

设\AB\=C9 L4CI=/儿则A(0、0), B(c,O), C(0, b)9且\PQ\=2a, \BC\=a. 设点P的坐标为(x, y),

—? ―?—?—*

则0(-X, -y), BC=(-C9 /?), PQ=(—2X9一2y), BP=(x-c9 y), CQ=(-x9—y -b).

—* —?

??? BP? CQ=(x-c)( -x) +y( —y—b)

=—(x2+y2) 4- ex—by.

八PQ?BC cx_by

■ ?COS0== 2 ,

—— cr

\PQ\-\BC\

—* —*

ex—by=a2cos39 :?BP?CQ= —a2+a2cosO.

—* —* —?—>

故当cos^= 1,即0=O(PQ与BC方向相同)时，BP CQ最大，其最大值为0.

平面向量的数量积及运算律测试题

平面向量的数量积及运算律同步练习 一、选择题： 1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( ) A.－６ B.６ C.３ D.－３ 2．若AP 31 = PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．3 4- 3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120?，则-|a b|等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ．36 4．若| |＝2sin15°，| |＝4cos375°、 ， 夹角为30°，则 · 为（ ） A ． 2 3 B ．3 C ．32 D ．21 5．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16，0 D ．4，0 7．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 8．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=?=? （ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．6 5π 10．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 11．设)4 1,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ，且,2 0,||π θ<

专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题

培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，

设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

(完整版)平面向量的数量积练习题.doc

平面向量的数量积 一．选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 （ ） A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（ ） A ． B ． 4 C ． D ． 2 6 3 r r 60 0 r r ） 3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 a 3b （ A ． 7 B ． 10 C ． 13 D ． 4 4 ．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ） ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（ ） A ． ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为 时， a 在 e 方向上的投影为（ ） 3 A ． 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量，则 2a b 和 3a 2b 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（ ） A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 （ ） A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20

最新25平面向量数量积的坐标表示汇总

25平面向量数量积的 坐标表示

平面向量数量积的坐标表示（1） 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。 ⑶能用所学知识解决有关综合问题。 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与ｂ，作?Skip Record If...?＝a，?Skip Record If...?＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫a与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。 C 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1）e?a = a?e =|a|cosθ；2）a⊥b?a?b = 0 3）当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = -|a||b|。 特别的a?a = |a|2或?Skip Record If...? 4）cosθ =?Skip Record If...?；5）|a?b| ≤ |a||b|

5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(?Skip Record If...?a )?b =?Skip Record If...?(a ?b ) = a ?(?Skip Record If...?b ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，试用 ?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的坐标表示?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，那么 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 又?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 即?Skip Record If...??Skip Record If...? 2.平面内两点间的距离公式 （1）设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?或?Skip Record If...?。 （2）如果表示向量?Skip Record If...?的有向线段的起点和终点的坐标分别为?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 1)

25平面向量的数量积典例精析

平面向量的数量积典例精析 例1 平面内有向量OA OB OP →→→===(,),(,),(,)175121，点X 为直线OP 上的一个动点。 （1）当XA XB OX →→→?取最小值时，求的坐标； （2）当点X 满足（1）的条件和结论时，求cosAXB 的值。 分析：因为点X 在直线OP 上，向量OX OP →→与共线，可以得到关于OX →坐标的一个关系式；再根据XA XB →→?的最小值，求得OX →；而cosAXB 是向量XA XB →→ 与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决。 解：（1）设OX x y →=(,) 点在直线上 向量与共线 又即X OP OX OP OP x y x y OX y y ∴=∴?-?==∴=→→→→ (,) ,(,) 2112022 又XA OA OX OA →→→→=-=,(,)17 ∴=--=-=--→→→→XA y y XB OB OX y y (,) (,)127521同样 于是XA XB y y y y y y y y →→?=--+--=-++-+()()()()12527141258722 =-+=--5201252822y y y () 由二次函数的知识，可知当y ＝2时，XA XB y →→?=--5282 ()有最小值-8。此时OX →=(,)42； （2）当OX →=(,)42，即y ＝2时，有XA →=-(,)35，XB XA →→=-=(,),1134，XB → =2。

XA XB AXB XA XB XA XB →→→→→→?=-?+?-=-∴=?=-?=-()()cos 31518 8342 41717 说明：由于X 是OP 上的动点，则向量XA XB →→ ,均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积XA XB →→?也处在不确定的状态，这个数量积由XA XB →→与的模XA XB →→ 与及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y 的函数。 另外，求出XA XB →→与的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。 例2 设平面内有两个向量a b ==<<<(cos ,sin ),(cos ,sin ),ααββαβπ且0。 （1）证明()()a b a b +⊥-； （2）若两个向量ka b +与a kb -的模相等，求βα-≠∈的值(,)k k R 0。 分析：题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到()()a b a b +?-=0，即可证明（1），再利用|ka b +|与|a kb -|相等，确定βα-的值。 证明：（1） a b ==(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ ∴+=++-=--a b a b (cos cos ,sin sin ),(cos cos ,sin sin )αβαβαβαβ ∴+?-=+-++-=-+-=+-+=-=∴+⊥-()() (cos cos )(cos cos )(sin sin )(sin sin ) cos cos sin sin (cos sin )(cos sin ) ()() a b a b a b a b αβαβαβαβαβαβ ααββ2222222211 （2）ka b ka b k a ka b b a kb a kb +=+=+?+-=-22222222()||||,||() =-?+||||a ka b k b 2222 由已知||||ka b a kb +=-22 ，可得到 ()||()||,(*)k a ka b k b 22221410-+?+-= 注意到||cos sin ||cos sin a b =+==+=222211ααββ， a b ?=+=-cos cos sin sin cos()αβαβαβ

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析 耿素兰山西平定二中(045200 ) 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、 基本运算和性质为主， 解决此类问题 要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 uuu uuu 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O uuv uur uuu uuu 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC xOA yOB,其中 y 的最大值是 C 点变化的变量，建立目标 x y 与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 ，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(丄，一3)， 2 2 C(cos ,sin ) uuur 取最小值时，求 OQ. uuu uuiu uuu 分析：因为点 Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于 OQ 坐标的一个 uju uuu uur 关系式，再根据QAgQB 取最小值求OQ. 分析：寻求刻画 解:设 AOC umr Q OC uuu xOA uuu yOB, (cos ,sin x 上 2 、3y 2 cos sin 因此，当 cos .3sin 2sin( 評 3) 。 3时，x y 取最大值 uuu UJU 例 2、已知 OA (1,7), OB 2。 uur (5,1),OP (2,1),点Q 为射线OP 上的一个动点，当QAgQB uuu uuu 即 1 心)y( ^,

uur 解：设OQ uuu xOP uuu (2x,x),(x 0)，则 QA uuu (1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)

【四维备课】高中数学《平面向量的数量积》教学设计新人教A版必修

2.4《平面向量的数量积》教学设计 【教学目标】 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入： 1．向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 使b =λa . 2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22.e u u r 3．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得.a xi yj 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,).a x y 4．平面向量的坐标运算 若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a . 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB 5．a ∥b (b 0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 6．线段的定比分点及λ P 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ， 使 P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分点坐标公式： 若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（ 1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系： ①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式： 在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a 1111. 10．力做的功：W = |F | |s |cos ， 是F 与s 的 夹角. 新授课阶段 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2 时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤180 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ， C

平面向量的数量积练习题(含答案)

平面向量的数量积 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－1 2 C.1 2 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.? ?? ?? 79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ?? ??－7 9，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( ) A ．－3 2 B ．－2 3 C.2 3 D.32 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与 向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

平面向量的数量积运算

考点71 平面向量的数量积运算 1．（13天津T12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE = , 则AB 的长为 . 【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算. 【难易程度】简单 【参考答案】 12 【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC =AD AB + ，12 BE BC CE AD AB =+=- ， ∴AC BE =221122 AD AB AD AB AD AB -+- 211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ? =+-= ，（步骤1） ∴1 2 AB = .（步骤2） jxq59 2.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60 ，c ＝t a ＋(1－t )b 若b c ＝0，则t ＝__________. 【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】2t = 【试题解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b c ＝t a b ＋(1－t )|b |2.（步骤1） 又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60 ，b ⊥c ，∴0＝t |a | |b |cos 60 ＋(1－t )， 0＝ 1 2 t ＋1－t .∴t ＝2.（步骤2） 3.（13江西T12）设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π 3 ,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________. 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】 52

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析 耿素兰 山西平定二中（045200） 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y + 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(, )22 B -，(cos ,sin ) C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ∴=+-即 cos 2sin y x θθ?-=?? = cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 π θ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP === 点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个 关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥ ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1

2 2 (12)(52)(7)(1) 520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解：,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 2 2 ()() () BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+ 求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-== 求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+ ，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b = 。 设a b c -= ，则a =b c + ， c b c b c b -≤+≤+ ， ∴13a ≤≤ 。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i = 的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与 图 2 图3

吉林省辽源市高考数学一轮专题：第25讲 平面向量的数量积

吉林省辽源市高考数学一轮专题：第 25 讲 平面向量的数量积
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） AD,BE 分别是 （）
的中线，若
， 且 与 的夹角为
，则
A.
B.
C.
D.
2. （2 分） (2017 高一下·新余期末) 在△ABC 中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E 是线段 AC 的三等分点， 则 ? 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.﹣ 3. （2 分） (2017 高一上·白山期末) 已知非零向量 ， ，满足| |=4| |，且 ⊥（2 ﹣ ）， 则 与 的夹角是（ ）
A.
B.
C.
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D. 4. （2 分） 已知 A. B. C.
,则 与 夹角为（ ）
D. 5. （2 分） (2017·湖北模拟) 若向量 ， 满足 夹角为（ ） A. B.
，且 ⊥（ + ）则 与 的
C. D. 6. （2 分） 在 A.1 B. C. D.2
中，已知
， 则 的值为（ ）
7. （2 分） (2020·南昌模拟) 已知双曲线
的离心率为 2， ， 分别是双曲
线的左、右焦点，点
，
，点 为线段
上的动点，当
取得最小值和最大值时，
第2页共9页

的面积分别为 ， ，则 A.4 B.8 C. D.
（）
8. （2 分） 已知向量 A.2 B.4
若
，则
C.
D.
9. （2 分） (2019 高三上·临沂期中) 已知向量 夹角的余弦值为（ ）
，满足
A. B.
C.
D.
10. （2 分） (2019 高三上·宁波期末) 在空间直角坐标系中，
原点，满足
，则下列结论中不正确的是（ ）
A.
的最小值为-6
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的最小值为（ ） ，则向量 与 的 为坐标

平面向量数量积及运算基础练习题

精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]

2.4平面向量的数量积

2.4 平面向量的数量积 教案A 第1课时 教学目标 一、知识与技能 1．掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 二、过程与方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 三、情感、态度与价值观 通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力． 教学重点、难点 教学重点：平面向量数量积的定义． 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用. 教学关键：平面向量数量积的定义的理解． 教学方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 学习方法 通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算． 教学过程 一、创设情境，导入新课 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W 可由下式计算： W=| F | | s | cosθ， 其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）． 故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念． 二、主题探究，合作交流 提出问题 ①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？ ②由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？ 师生活动:已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即 a·b=|a||b|cosθ（0≤θ≤π）． 其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影． 在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意: （1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘 1

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算的解题方法与策略 平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法 上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数 量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举 数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。 1.利用数量积运算公式求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛, 即(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ·b ＋b ２ 上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中 可以直接应用. 例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ·b ＋b ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３ ∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ·b ＋b ２＝2２－2×（－3） ×５２＝35， ∴｜a －b ｜＝35． 例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°). 解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ·b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜·｜b ｜ｃｏ ｓθ＋｜b ｜ ２ ∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２， ∴ｃｏｓθ＝40 23，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y ) 又（xa +yb ）⊥a ?(xa +yb )·a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0 即25x +24y ＝０ ① 又｜xa +yb ｜=1?｜xa +yb ｜２＝１?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１ 整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ② 由①②有24xy +25y ２＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =±7 5 再代回①得：??? ????=-=???????-==75 3524753524y x y x 和

13平面向量数量积最值问题的求解策略教师版

平面向量数量积最值问题的求解策略 近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径. 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y + 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(2B -，(cos ,sin )C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)(,22 x y θθ∴=+-即 cos 2sin y x θθ?-=?? = cos 2sin()6x y πθθθ∴+==+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 πθ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1

2 2 (12)(52)(7)(1)520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解： ,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 22 ()()()BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-==求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b =。 设a b c -=，则a =b c +， c b c b c b -≤+≤+， ∴13a ≤≤。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =的几何意义为121 i PP PP 等于1 2PP 的长度与 图 2 图3