【好题】高考数学模拟试题及答案
【好题】高考数学模拟试题及答案
一、选择题
1．设5sin
7
a π
=，2cos
7b π=，2tan 7
c π=，则（ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
2．()62111x x ?
?++ ???
展开式中2x 的系数为（ ） A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
3．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆
229x y +=内的概率为（ ）
A ．
536
B ．
29
C ．
16
D ．
19
4．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在
[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．
54
钱 B ．
43
钱 C ．
32
钱 D ．
53
钱 6．函数3
2
()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞
C ．(,0)-∞
D ．(0,2)
7．已知向量(
)
3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ?=，则b =（ ）
A ．312?
????
B ．1
32?
?? C ．133,44??
?
???
D ．()1,0
8．已知函数()32cos 2[0,]2
f x x x m π
=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是
A ．（1,2）
B ．[1,2）
C ．（1,2]
D ．[l,2]
9．2n n + (2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k + 时,()() ()2 22 2(k 1)k 1k 3k 2k 3k 2k 2(k 2)+++= ++< ++++=+=(k+1)+1, 所以当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)和(2),可知对于任何n∈N * ,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确 C ．归纳假设不正确 D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确 10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A ．产品的生产能耗与产量呈正相关 B ．回归直线一定过 4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 D ．t 的值是3.15 11．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 12．在ABC ?中，A 为锐角，1 lg lg()lgsin 2b A c +==-，则ABC ?为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 二、填空题 13．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥?? +≤??≤? ，则32z x y =-的最小值是__________． 15．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1 ()tan 2 g x x = 的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________． 16．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________． 17．已知0x >，0y >，0z >，且36x z ++=，则32 3x y z ++的最小值为 _________． 18．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法， 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 _______名学生． 19．高三某班一学习小组的,,, A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________. 20．设α为第四象限角，且sin3 sin α α ＝ 13 5 ，则2 tan＝ α________. 三、解答题 21．在ABC ?中，内角A，B，C的对边a，b，c，且a c >，已知2 BA BC ?=， 1 cos 3 B=，3 b=，求： （1）a和c的值； （2）cos() B C -的值. 22．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 1 2 3 1 x t y t ? = ?? ? ?=- ?? （t为参数）.在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲 线C的极坐标方程是22sin 4 π ρθ ?? =+ ? ?? . （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设点() 0,1 P-.若直l与曲线C相交于两点,A B,求PA PB +的值. 23．若不等式2520 ax x +->的解集是 1 2 2 x x ?? << ?? ?? ，求不等式22 510 ax x a -+->的解集． 24．如图,四棱锥P ABCD -中，// AB DC， 2 ADC π ∠=， 1 2 2 AB AD CD ===，6 PD PB ==，PD BC ⊥． （1）求证：平面PBD⊥平面PBC； （2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3 π ？若存在，求 CM CP 的值；若不存在，说明理由． 25．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )b x x =，函数()f x a b =?. （1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间. 26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=?， 11 30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是11,AC A B 的中点. （1）证明：EF BC ⊥； （2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 因为 ， ，所以， ，且，所以 ， ，所以 , 故选D. 2．C 解析：C 【分析】 利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】 根据二项式定理展开式通项为1C r n r r r n T a b -+= ()()()66622 111111x x x x x ??++=++?+ ??? 则()6 1x +展开式的通项为16r r r T C x += 则()62111x x ??++ ??? 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ??+? ??? 则()62111x x ??++ ??? 展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C 【点睛】 本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题. 3．D 解析：D 【解析】 掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种, ∴P= 41369=. 故选D 4．B 解析：B 【解析】 【分析】 计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】 由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824?=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=， 因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5．B 【解析】 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则 22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又 225, a d a d a a d a d -+-+++++=1a ,则4 42263 3a a d a a ??-=-?-== ???,故 选B. 6．D 解析：D 【解析】 【分析】 对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】 32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=- 减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】 本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键. 7．B 解析：B 【解析】 【分析】 设()(),0b x y y =≠，根据题意列出关于x 、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b 的坐标. 【详解】 设(),b x y =，其中0y ≠ ，则3a x y b ?= += 由题意得2210x y y y ?+=+= ≠??，解得122x y ?=?? ??=?? ，即13,2b ?= ??. 故选：B. 【点睛】 本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题. 8．B 解析：B 【解析】 【分析】 试题分析：利用辅助角公式化简函数为 ()3sin 2cos 2f x x x m =+-,令,则,所以此时函数即为 .令 有 ,根据题意可知 在 上有两个解, 根据在函数图像可知, . 考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像. 9．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设n k = 21k k k +<+ 2(1)(1)(1)1k k k +++++成立，即1n k =+时成立，故选D ． 点睛：数学归纳法证明中需注意的事项 (1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误． (3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式. 10．D 解析：D 【解析】 由题意，x = 3456 4 +++=4.5， ∵?y =0.7x+0.35， ∴y =0.7× 4.5+0.35=3.5， ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选D ． 11．A 解析：A 【解析】 试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数． 解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为 所以中间一组的频数为160×0.2=32 故选A 点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是 ． 12．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由1 lg lg()lgsin 2b A c +==-22lg lg 22 b b c c =?=且2 sin 2A = ，又因为A 为锐角，所以45A =，由22b c =，根据正弦定理，得22sin sin sin(135)cos sin 22 B C B B B = =-=+，解得cos 090B B =?=，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定. 二、填空题 13．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+ 【解析】 设()y f x =，则21 ()2f x x x '=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线2 1 y x x =+ 在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=?-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是 000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不 存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 14．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线 解析：6 【解析】 【分析】 画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322 z y x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值． 【详解】 画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示． 由32z x y =-可得322 z y x =-． 平移直线322z y x = -，结合图形可得，当直线322 z y x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由题意得A 点坐标为(2,0)， ∴min 326z =?=， 即32z x y =-的最小值是6． 故答案为6． 【点睛】 求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式： a z y x b b =-+，通过求直线的纵截距z b 的最值间接求出 z 的最值．解题时要注意：①当 0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；②当 0b <时，截距 z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b 取最小值时，z 取最大值． 15．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐 解析： 3π 【解析】 【分析】 画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】 画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1 tan 2y x y x =?? ?=?? ，解得π3,3B ?? ? ???，所以13 3π π2ABC S ?=?? =. 【点睛】 本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题. 16．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案 为 解析：1 2 - 【解析】 【详解】 因为， 所以，① 因为， 所以，② ①②得， 即， 解得 ， 故本题正确答案为 17．【解析】【分析】利用已知条件目标可转化为构造分别求最小值即可【详解】解：令在上递减在上递增所以当时有最小值：所以的最小值为故答案为【点睛】本题考查三元函数的最值问题利用条件减元构造新函数借助导数知识 解析： 374 【解析】 【分析】 利用已知条件目标可转化为2 323 3345334x y z x x y ?++=-++ ??，构造()3 3f x x x =-，()2 334524g y y ??=-+ ? ??? ，分别求最小值即可. 【详解】 解：32 3x y z ++= () 32363x y x y ++-- 2 3334534x x y ?=-++ ?? 令()3 3f x x x =-，()2 33454g y y ?=+ ? ?， ()()()2'33311f x x x x =-=-+，0x >， ()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增， 所以，()()min 12f x f ==- 当33 y = ()g y 有最小值：()min 454g y = 所以，32 3x y z ++的最小值为4537244 -+ = 故答案为 37 4 【点睛】 本题考查三元函数的最值问题，利用条件减元，构造新函数，借助导数知识与二次知识处理问题.考查函数与方程思想，减元思想，属于中档题. 18．60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】∵该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一年级本科生中抽取学生人 解析：60 【解析】 【分析】 采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】 ∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4 300604556 ?=+++. 故答案为60. 19．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画 解析：画画 【解析】 以上命题都是真命题， ∴对应的情况是： 则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球， ∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件， ∴C在散步， 则D在画画， 故答案为画画 20．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同 解析：－3 4 【解析】 因为 3 sin sin α α ＝ () 2 sin sin αα α + ＝ 22 sin cos cos sin sin αααα α + ＝ () 22 221 sin cos cos sin sin αααα α +- ＝ 2 4sin cos sin sin ααα α - ＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝13 5 ，所以cos 2α＝ 4 5 . 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－3 5 ，tan2α＝－ 3 4 . 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 三、解答题 21．（1）3,2a c ==；（2）2327 【解析】 试题分析：（1）由2BA BC ?=和1 cos 3 B = ，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解 ，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ?中，利用同角基本关系得 22 sin .3 B = 由正弦定理，得42 sin sin 9 c C B b = = ，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27 cos 1sin 9 C C =-= ，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ?=得， ，又1 cos 3 B = ，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+?=. 解 ，得a=2，c=3或a=3，c=2. 因为a>c,∴ a=3，c=2. （2）在ABC ?中，22122 sin 1cos 1()3B B =-=-= 由正弦定理，得22242 sin sin 339 c C B b = =?= ，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1( )99 C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223 393927 ?+?= . 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 22．（1310x y --=，22 (1)(1)2x y -+-=；（2）231. 【解析】 【分析】 （1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用2 2 2 ,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】 （1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得 直线l 10y --=. 将曲线C 的极坐标方程化为2 sin 22ρθθ??=+ ? ??? . 即2 2sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x. 故曲线C 的直角坐标方程为()()22 112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()2 2 112x y -+-=中，得 2 2 11222t ???-+-=? ?????? . 化简，得(2 130t t -++=. ∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2. 由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知, 12121PA PB t t t t +=+=+=. 【点睛】 本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 23．132x x ?? -< ? 【解析】 【分析】 由不等式的解集和方程的关系，可知 1 2 ，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可. 【详解】 解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为 1 2 ，2； 由根与系数的关系得552 21a a ?-=????-=??解得2a =-． 所以原不等式化为2530x x +-<解得132 x -<< 所以不等式解集为132x x ??-<< ???? 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值. 24．（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CM CP =λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于1 2 ，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】 （1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2 ADC π ∠=, 所以BD = 又因为4,4 CD BDC π =∠= ．根据余弦定理得BC = 所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥. 又因为BC PD ⊥, PD BD D ?=,且BD ,PD ?平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ?平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为PB PD ==, 所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD 平面PBD BD =， PE ⊥平面ABCD . 如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CM CP λλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM , 易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =. 设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM 由00n AB n AM ??=??=? 得20(2)(43)20y x y z λλλ=??-+-+=?，不妨取(2,0,2)n λλ=-. 因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412 224(2)λλλ=+-， 解得2 ,23 λλ= =-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且2 3 CM CP =. 【点睛】 本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做． 25．(1) T π= ；26k x ππ = +（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36 ππ-和2[ ,]3 π π 【解析】 【分析】 （1）化简得()1 sin 262 f x x π??=++ ?? ?，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,3 6 k k π π ππ-+ ] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解. 【详解】 解：（1）()2 3sin cos cos f x a b x x x =?=+ 3111sin2cos2sin 22262x x x π? ?= ++=++ ?? ? 所以()f x 的周期22 T π π==, 令26 2 x k π π π+ =+ （k Z ∈），即26 k x ππ = +（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26 k x ππ =+（k Z ∈）. （2）令2222 6 2 k x k π π π ππ-≤+ ≤+ （k Z ∈） 解得36 k x k π π ππ- ≤≤+ （k Z ∈），由于(] ,x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时， 得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ??-- ?? ?，,36ππ??-????和2,3ππ?? ???? . 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 26．（1）证明见解析；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 (1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直； (2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】 (1)如图所示，连结11,A E B E ， 等边1 AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥， 由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ?平面11A B E ，故EF BC ⊥. (2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -. 设1EH =，则3AE EC == 1123AA CA ==3,3BC AB ==， 据此可得：()()() 1330,3,0,,0,0,3,3,02A B A C ?? - ? ??? ， 由11AB A B =可得点1B 的坐标为1333,322B ?? ??? ， 利用中点坐标公式可得：333,344F ?? ??? ，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ?? = ??? 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，则： ()()13333 ,,330223333,,,,002222m A B x y z x y z m BC x y z x y ????=?-=+-=? ? ???? ? ??? ?=?-=-+= ?? ???? ， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为() 1,3,1m =，333,344EF ?? = ??? 此时 4 cos ,53552 EF m EF m EF m ?= = = ?? ， 设直线EF与平面1A BC所成角为θ，则 43 sin cos,,cos 55 EF m θθ ===. 【点睛】 本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020 【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,，若1ABF ?为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<），则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 （ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1- D ．1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点，记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??，则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== （1）求1n a 和4n a ； （2）设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. （1）求动点P 的轨迹方程； 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 22017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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