物理竞赛中的数学知识

物理竞赛中的数学知识

一、重要函数 1． 指数函数

2． 三角函数

3． 反三角函数

反正弦Arcsin x ，反余弦Arccos x ，反正切Arctan x ，反余切Arccot x 这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。

二、数列、极限 1． 数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。 数列的一般形式可以写成 a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），… 简记为｛an ｝，

通项公式：数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

2． 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。通项公式a n =a 1+(n-1)d ，前n 项和11(1)

22

n n a a n n S n na d +-=

=+ 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。通项公式a n =a 1q

(n-1)

，前n 项和11(1)

(1)11n n n a a q a q S q q q

--=

=≠--

所有项和1

(1)1n a S q q

=<-

3． 求和符号

4． 数列的极限：

设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作A a n n =∞

→lim

否则称数列{}n a 发散或n n a ∞

→lim 不存在.

三、函数的极限：在自变量x 的某变化过程中，对应的函数值f (x )无限接近于常数A ，则称常数A 是函数f (x )当自变量x 在该变化过程中的极限。

设f (x )在x>a (a >0)有定义,对任意ε>0,总存在X >0,当x>X 时，恒有| f (x )-A |<ε，则称常数A 是函数f (x )当x →+∞时的极限。记为+∞

→x lim f (x )=A ，或f (x ) → A (x →+∞)。

运算法则

lim x x →[f (x )± g (x )]=0

lim x x →f (x ) ±0

lim x x →g (x )

lim x x →[f (x ) ? g (x )]=0

lim x x →f (x ) ?0

lim x x →g (x )

)

(lim )(lim )()(lim 0

0x g x f x g x f x x x

x x x →→→=，其中0lim x x →g (x )≠ 0.

四、无穷小量与无穷大量

1．若0)(lim 0

=→x f x x ，则称)(x f 是0x x →时的无穷小量。

（若,)(lim 0

∞=→x g x x 则称)(x f 是0x x →时的无穷大量）。

或：若0

lim x x →α(x )=0 ,则称α(x )当x → x 0时为无穷小。

在自变量某变化过程中，|f (x )|无限增大，则称f (x )在自变量该变化过程中为无穷大。记为

lim ().f x =∞

2．无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。 3．无穷小量的运算性质

（i ）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。 （ii ）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。 （iii ）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。 4．无穷小的比较

定义：设0

lim →x α (x )=0，0

lim →x β (x )=0，

1)若)

()

(lim

0x x x αβ→=0，则称当x → x 0时β (x )是比α (x )高阶无穷小。

2)若)

()

(lim

0x x x αβ→=∞，则称当x → x 0时β (x )是比α (x )低阶无穷小。

3)若)

()

(lim

0x x x αβ→=C (C ≠0)，则称当x → x 0时β (x )与α (x )是同阶无穷小，

4)若)

()

(lim

0x x x αβ→=1,则称当x → x 0时β (x )与α (x )是等价无穷小。

5．常用的等价无穷小为：

当x →0时： sin x ~x ，tan x ~x ，arcsin x ~x ，arctan x ~x ，1-cos x ~

221x ， 11-+n x ~x n

1

。 等价无穷小可代换

五、二项式定理

1． 阶乘： n!=1×2×3×……×n

2． 组合数：从m 个不同元素中取出n （n≤m ）个元素的所有组合的个数，叫做从m 个不同元素中取出n 个元素的组合数

3． 二项式定理

即

六、常用三角函数公式

sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝—sin α tan （π/2＋α）＝－cot α

sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ s i n ()s i n c o s c o s s A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- c o s ()

c o s

c o s

s i n s

A B A B A B -=+ sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-

=-=- 2

2tan tan 21tan A

A A

=

-

sin

2A =

cos 2A = s i n t a n 21c o s

A A A ==+ 和差化积公式

sin sin 2sin

cos 22a b a b a b +-+=? sin sin 2cos sin

22a b a b

a b +--=? cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=? cos cos 2sin sin

22

a b a b

a b +--=-? ()sin tan tan cos cos a b a b a b

++=

?

积化和差公式

()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--???? ()()1

cos cos cos cos 2

a b a b a b =++-???? ()()1s i n c o s s i n s i n 2a b a b a b =++-???? ()()1

c o s s i n s i n s i n 2a b a b a b =+--???

? 万能公式

22tan

2sin 1tan 2

a

a a

=

+ 2

2

1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 22t a n

2t a n 1t a n

2

a

a a

=-

典型物理问题

数列极限等应用

1． 蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心距离L 1=1m 的A 点处时，速度是V 1=2cm/s 。 试问蚂蚁继续由A 点到距巢中心L 2=2m 的B 点需要多长时间？ 2．

3

常见近似处理

1． 人在岸上以v 0速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少？

2． 如图所示，顶杆AB 可在竖直滑槽K 内滑动，其下端由凹轮M 推动，凸轮绕O 轴以匀角速度ω转动.在图示的瞬时，OA=r ，凸轮轮缘与A 接触，法线n 与OA 之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆AB 的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题)

3．三个芭蕾舞演员同时从边长为L 的正三角形顶点A,B,C 出发，速率都是v ，运动方向始终保持着A 朝着B,B 朝着C,C 朝着A 。经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？

4． 如图所示，半径为R 2的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R 1的圆柱上，母线互相垂直，设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动，试问稳定平衡时，R 1与R 2应满足什么条件?

5.一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑，一只猎犬以不变的速率2υ追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD=L ，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.

解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬

做匀速率曲线运动，根据向心加速度r r

a ,22

υ=

为猎犬所在处的曲

率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加速度大小，由于2υ大小不变，如果

求出D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t ?内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R ，则加速度 =

a R

22

υ

其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t ?时间内，设狐狸与猎犬分别 到达

D F ''与，猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ?/R

而狐狸跑过的距离是：1υt ?≈L α 因而2υt ?/R ≈1υt ?/L ，R=L 2υ/1υ

所以猎犬的加速度大小为=

a R

22

υ=1υ2υ/L

6．如图所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈，以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？

解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角θ?很小时，有近似关系式.sin θθ?≈? 若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ?为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为θ?，这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T （方向见图14

—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以A T 和B T 的大小相等，均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ?，根据牛顿第二定律有：R m T 22sin 2ωθ?=?；

因为L ?段很短，它所对应的圆心角θ?很小所以22sin θθ?=?

将此近似关系和π

θ

πθ22?=?

??=?m R m R m 代入上式得绳中的张力为π

ω22R

m T =

7． 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC ，光滑小球从顶点A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计. 在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值. 解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为 1l 、2l 、3l ，如图14—4—甲所示，小球从A 到B 的时间 记为1T ，再从B 到C 的时间为2T ，而从A 直接沿斜边到C

所经历的时间记为3T ，由题意知321T T T =+，可得1l ：2l ：3l =3：4：5， 由此能得

1T 与2T 的关系.

因为2112112

1

T gT l gT l ==

所以

2

1212T T l l = 因为1l ：2l =3：4，所以 123

2T T =

小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11T t =，

经各水平段所需时间之和记为2t ，则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=，最短的2t 对应t 的下限min t ，最长的2t 对应t 的上限.m ax t

小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需

时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC 重合）时2t 最短，其值即为2T ，故

min t =.3

5121T T T =+

2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降

小量1l ?，便接一段水平小量2l ?，这两个小量之间恒有αcot 12l l ?=?，角α即为∠ACB ，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l ?、2l ?均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1i t ?与)(2i t ?之间有如下关联：

αcot )()(1

2

12=??=??l l i t i t

于是作为)(2i t ?之和的2t 上限与作为)(1i t ?之和的1T 之比也为.cot α故2t 的上限必为

1T αcot ，即得：.3

7

cot 111max T T T t =+=α

这样:max t min t =7:5

求导与微分

一、导数的概念

1．导数定义

设y=f(x)在x 0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x ?,函数值有一相应改变量)()(00x f x x f y -?+=?,若极限

x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)

()(lim

lim

0000 存在,则称此极限值为函数y=f(x)在x 0点的导数,此时称y=f(x)在x 0点可导,用

??

???

?

==='

'00

0)

(,,)(x x dx x df x x dyx dy

x x y x f 或

或

或

表示.

若)(x f y =在集合D 内处处可导（这时称f(x)在D 内可导）,则对任意D x ∈0,相应的导数)(0x f '将随0x 的变化而变化,因此它是x 的函数,称其为y=f(x)的导函数,记作

??

?

?

?''dx x df dx

dy y x f )(,,)(或或

或

. 2．导数的几何意义

若函数f(x)在点x 0处可导,则)(0x f '就是曲线y=f(x)在点（x 0,y 0）处切线的斜率,此时切线方程为))((000x x x f y y -'=-.

当)(0x f '=0,曲线y=f(x)在点（x 0,y 0）处的切线平行于x 轴,切线方程为)(00x f y y ==. 若f(x)在点x 0处连续,又当0x x →时∞→')(x f ,此时曲线y=f(x)在点（x 0,y 0）处的切线垂直于x 轴,切线方程为x=x 0.

1．几个基本初等函数的导数 ⑴()0c '= ⑵1

x x

μ

μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-

2．导数的四则运算 （1）)(])([x u c x u c '?='?； （2）)()(])()([x v x u x v x u '+'='±；

（3）)()()()()]()([x v x u x v x u x v x u '?+'?'=?；

（4）)()()()()()()(2

x v x v x u x v x u x v x u '-'='

??

????

二、微分

1．微分的概念

设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义,若在其中给0x 一改变量x ?,相应的函数值的改变量y ?可以表示为

).0()

(0)()(00→??+?=-?+=?x x x A x f x x f y

其中A 与x ?无关,则称)(x f 在0x 点可微,且称A x ?为)(x f 在0x 点的微分,记为

.0

x A x x df

x x dy

?====

x A ?是函数改变量y ?的线性主部.

)(x f y =在0x 可微的充要条件是)(x f 在0x 可导,且)(00

x x f x x dy ?'==.当

x x f =)(时,可得x dx ?=,因此

.)(,)(00

dx x f dy dx x f x x dy

'='==

由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.

（2）微分的几何意义 当x 由0x 变到x x ?+0时,函数纵坐标的改变量为y ?,此时过0

x 点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.

当dy y ?时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.

2．微分运算法则 设)(),(x v x u 可微,则

)

()

()()()()()().()()()()]()([).()()]()([.

0)(),())((2x v x dv x u x du x v x v x u d

x du x v x dv x u x v x u d x du x du x v x u d c d x cdu x cu d -=+=?±=±==

三、不定积分

1．不定积分概念

【定义】(原函数) 若对区间I 上的每一点x ,都有

,)()()()(dx x f x dF x f x F =='或

则称F （x ）是函数f(x)在该区间上的一个原函数.

原函数的特性 若函数f(x)有一个原函数F(x ),则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为F （x ）+C 的形式,其中C 是任意常数.

【定义】(不定积分) 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分,记作?dx x f )(.若

F(x)是f(x)的一个原函数,则

?+=)()()(是任意常数C C

x F dx x f

2．不定积分的性质

（1）积分运算与微分运算互为逆运算.

()()????+=+='==.

)()()()(,

)()()()(C x F x dF C x F dx x F dx x f dx x f d x f dx x f dx

d

或或

（2）??

≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 常数

（3）???±=

±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f

3．基本积分公式

kdx kx c =+? 1

1x x dx c μμ

μ+=++?

c o s s i n x

d x x c

=+? sin cos xdx x c =-+?

四、定积分

【定义】(定积分) 函数)(x f 在区间[a,b ]上的定积分定义为

∑?=→??==n

i i

i

x b

a

x

f dx x f I 1

)(lim

)(ξ，

【定理】(牛顿-莱布尼茨公式) 若函数)(x f 在区间[a,b ]上连续，)(x F 是)(x f 在[a,b ]上的一个原函数，则

)()()()(a F b F a

b

x F dx x f b

a

-==?

.

上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式.

常见应用

1． 一石砌堤，堤身在基石上，高为h ，宽为b ，如图所示。堤前水深等于堤高h ，谁和堤身的单位体积重量分别为q 和γ，问欲防止堤身绕A 点翻倒，比值b/h 应等于多少？

2．一个半径为四分之一的光滑球面置于水平桌面上．球面上有一条光滑均匀的匀质铁链，一端固定于球面顶点A ，另一段恰好与桌面不接触，且单位长度铁链的质量为p ，求铁链A 端所受到拉力以及铁连所受球面的支持力．

3．质量为m 的均匀橡皮圈处于自然状态下的半径为r 1，弹性系数为k 。现将它保持水平套在半径为r 2的竖直圆柱上（r 2＞r 1），套上后橡皮圈的质量分布仍是均匀的，橡皮圈与柱面之间的静摩擦因数为μ。现在圆柱体绕竖直轴转动起来，如图所示：问要保持橡皮圈不滑下，圆柱转动的角速度ω不能超过多少？

常用数学知识汇总

一、三角函数公式 1.两角和公式

sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ s i n ()s i n c o s c o s s A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- c o s ()

c o s

c o s

s i n s

A B A B A B -=+ tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=

- tan tan tan()1tan tan A B

A B A B --=+

cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ?-+=+ cot cot 1

cot()cot cot A B A B B A ?+-=-

2.二倍角公式

sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=-

22tan tan 21tan A

A A

=

-

3.半角公式

sin

2A =

cos 2A =

sin tan

21cos A A A ==+

sin cot 21cos A A A

==- 4.和差化积公式

sin sin 2sin

cos 22a b a b a b +-+=? sin sin 2cos sin

22a b a b

a b +--=? cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=? cos cos 2sin sin

22

a b a b

a b +--=-? ()sin tan tan cos cos a b a b a b

++=

?

5.积化和差公式

()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--???? ()()1

cos cos cos cos 2

a b a b a b =++-???? ()()1s i n c o s s i n s i n 2a b a b a b =++-???? ()()1

c o s s i n s i n s i n 2a b a b a b =+--???

? 6.万能公式

22tan

2sin 1tan 2

a

a a

=

+ 2

2

1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 22t a n

2t a n 1t a n

2

a

a a

=- 7.平方关系

22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=

8.倒数关系

tan cot 1x x ?= sec cos 1x x ?= c sin 1cs x x ?=

9.商数关系

sin tan cos x x x =

cos cot sin x

x x

= 二、重要公式（1）0sin lim

1x x

x →= （2）()1

0lim 1x x x e →+= （3

）)1n a o >= （4

）1n = （5）lim arctan 2

x x π

→∞

=

（6）lim tan 2

x arc x π

→-∞

=-

（7）limarccot 0x x →∞

= （8）lim arccot x x π→-∞

= （9）lim 0x

x e →-∞

=

（10）lim x x e →+∞

=∞ （11）0

lim 1x

x x +

→=

三、下列常用等价无穷小关系（0x →）

sin x

x tan x x a r c s i n x x arctan x

x 2

11c o s 2

x

x -

()

ln 1x x + 1x e x - 1

l n x a x a

- ()11x x ?

+-?

四、导数的四则运算法则

()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ???

五、基本导数公式

⑴()0c '= ⑵1

x x

μ

μμ-= ⑶()sin cos x x '=

⑷()cos sin x x '=- ⑸()2

tan sec x x '= ⑹()2

cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-?

⑼()x

x

e

e

'= ⑽()ln x

x

a

a

a '= ⑾()1

ln x x

'=

⑿(

)

1

log ln x

a

x a '=

⒀()arcsin x '=

⒁()arccos x '=

⒂()21arctan 1x x '=

+ ⒃()

2

1arccot 1x x '=-+⒄()

1x '=

⒅

'

=

八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1

d x

x

dx μ

μμ-= ⑶()sin cos d x xdx =

⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2

tan sec d x xdx = ⑹()2

cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x

x

d e

e dx = ⑽()ln x

x

d a a

adx = ⑾()1

ln d x dx x

=

⑿(

)1

log ln x

a

d dx x a

=

⒀()arcsin d x =

⒁()arccos d x =

⒂()21arctan 1d x dx x =

+ ⒃()2

1

arccot 1d x dx x

=-+ 九、微分运算法则

⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =

⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2

u vdu udv

d v v -??= ???

十、基本积分公式

⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ

μ+=++? ⑶ln dx

x c x

=+? ⑷ln x

x

a a dx c a

=+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+?

⑻2

21sec tan cos dx xdx x c x ==+?? ⑼2

21csc cot sin xdx x c x ==-+??

⑽21arctan 1dx x c x =++? ⑾

arcsin x c =+

物理竞赛中数学习知识

物理竞赛中的数学知识 一、重要函数 1．指数函数 2．三角函数 1 -1 y=sinx -3π 2 -5π 2 -7π 2 7π 2 5π 2 3π 2 π 2 - π 2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x 1 -1 y=cosx -3π 2 -5π 2 -7π 2 7π 2 5π 2 3π 2 π 2 - π 2 -4π -3π -2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π 2 π π 2 - 3π 2 -π- π 2 o y x 3．反三角函数 反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。 二、数列、极限 1．数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。 数列的一般形式可以写成

a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），… 简记为｛an ｝， 通项公式：数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2． 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。通项公式a n =a 1+(n-1)d ，前n 项和11(1) 22 n n a a n n S n na d +-= =+ 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同 一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。通项公式a n =a 1q (n-1)，前n 项和11 (1)(1)11n n n a a q a q S q q q --= =≠-- 所有项和1 (1)1n a S q q =<- 3． 求和符号

历届全国初中物理竞赛(物态变化)

最近十年初中应用物理知识竞赛题分类解析专题3－-物态变化 一．选择题 １. （２０13全国初中应用物理知识竞赛)在严寒的冬季，小明到 滑雪场滑雪,恰逢有一块空地正在进行人工造雪。他发现造雪机在工作 过程中，不断地将水吸入,并持续地从造雪机的前方喷出“白雾”，而 在“白雾”下方,已经沉积了厚厚的一层“白雪”,如图１所示。对于 造雪机在造雪过程中,水这种物质发生的最主要的物态变化,下列说法 图1 中正确的是（） A.凝华Ｂ.凝固Ｃ.升华Ｄ.液化 答案:B 解析:造雪机在造雪过程中,水这种物质发生的最主要的物态变化是凝固,选项B正确。 2.(２0１2全国初中应用物理知识竞赛预赛)随着人民生活水平的提高，饭桌上的菜肴日益丰富，吃饭时发现多油的菜汤与少油的菜汤相比不易冷却。这主要是因为【】A、油的导热能力比较差Ｂ、油层阻碍了热的辐射 C、油层和汤里的水易发生热交换 D、油层覆盖在汤面，阻碍了水的蒸发 答案:D 解析：多油的菜汤不易冷却的原因是油层覆盖在汤面,阻碍了水的蒸发，选项D正确。 ３.（2012全国初中应用物理知识竞赛）我国不少地区把阴霾天气现象并入雾，一起作为灾害性天气,统称为“雾霾天气”。关于雾和霾的认识，下列说法中正确的是（) A．霾是大量的小水滴或冰晶浮游在近地面空气层中形成的 B．雾和霾是两种不同的天气现象 C.雾是由悬浮在大气中的大量微小尘粒、烟粒或盐粒等颗粒形成的 D．雾和霾是同一个概念的两种不同说法 解析:雾是大量的小水滴或冰晶浮游在近地面空气层中形成的,霾是由悬浮在大气中的大量微小尘粒、烟粒或盐粒等颗粒形成的,雾和霾是两种不同的天气现象，选项B正确。 答案:.Ｂ 4（20１１全国初中应用物理知识竞赛河南预赛)如图所示的4种物态变化中，属于放热过程的是，

物理竞赛所有公式

第一章 质点运动学和牛顿运动定律 1.1平均速度 v =t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim 0 △t →△t △r =dt dr 1. 3速度v=dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 1.6 平均加速度a = △t △v 1.7瞬时加速度（加速度）a=lim 0 △t →△t △v =dt dv 1.8瞬时加速度a=dt dv =2 2dt r d 1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 21at 2 1.14速度随坐标变化公式:v 2-v 02 =2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ???? ???-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 0220 0 1.17 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1.18 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1.19射程 X=g a v 2sin 2 1.20射高Y=g a v 22sin 20 1.21飞行时间y=xtga —g gx 2 1.22轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 1.23向心加速度 a=R v 2 1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 1.25 加速度数值 a=2 2n t a a + 1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相 同a n =R v 2 1.27切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv 1.28 ωΦR dt d R dt ds v === 1.29角速度 dt φ ωd = 1.30角加速度 22dt dt d d φ ωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =22 2)(ωωR R R R v == a t =αω R dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直 线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。 万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线

高中物理竞赛知识系统整理

物理知识整理 知识点睛 一．惯性力 先思考一个问题:设有一质量为m 的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？ 地面上的观察者认为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律； 车上的观察者觉得：小球以－a s 相对于小车作加速运动； 我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有 -a s 的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力的大小为 - ma s ；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用, 物理上把这个力命名为惯性力。 惯性力的理解 ： (1) 惯性力不是物体间的相互作用。因此，没有反作用。 (2)惯性力的大小等于研究对象的质量m 与非惯性系的加速度a s 的乘积，而方向与 a s 相反，即 s a m f -=* （3）我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空间加速度为a s ，物体受相对此参考系 加速度为a',牛顿定律可以写成：a m f F '=+* 其中F 为物理受的“真实的力”，f*为惯性力，是个“假力”。 （4）如果研究对象是刚体，则惯性力等效作用点在质心处， 说明：关于真假力，绝对空间之类的概念很诡异，这样说牛顿力学在逻辑上都是显得很不严密。所以质疑和争论的人比较多。不过笔者建议初学的时候不必较真，要能比较深刻的认识这个问题，既需要很广的物理知识面，也需要很强的物理思维能力。在这个问题的思考中培养出爱因斯坦2.0版本的概率很低（因为现有的迷惑都被1.0版本解决了），在以后的学习中我们的同学会逐渐对力的概念，空间的概念清晰起来，脑子里就不会有那么多低营养的疑问了。 极其不建议想不明白这问题的同学Baidu 这个问题，网上的讨论文章倒是极其多，不过基本都是民哲们的梦呓，很容易对不懂的人产生误导。 二．惯性力的具体表现（选讲） 1.作直线加速运动的非惯性系中的惯性力 这时惯性力仅与牵连运动有关，即仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。惯性力将具有与恒定重力相类似的特性，即与惯性质量正比。记为： s a m f -=* 2.做圆周运动的非惯性系中的惯性力 这时候的惯性力可分为离心力以及科里奥利力： 1）离心力为背向圆心的一个力： r m f 2ω=*

(完整word版)高中物理竞赛的数学基础

普通物理的数学基础 选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。 §1．函数及其图形 本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们只是把它们联系起来复习一下。 1．1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量 在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x和y，如果每当变量x取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y的对应值，我们就称y是x的函数，并记作 y=f(x），（A．1） 其中x叫做自变量，y叫做因变量，f是一个函数记号，它表示y和x数值的对应关系。有时把y=f（x）也记作y=y（x）。如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号， 如 （x）、ψ（x）等等。① 常见的函数可以用公式来表达，例如 e x等等。 在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面 切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a、b、c等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量。

在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量。 当y=f（x）的具体形式给定后，我们就可以确定与自变量的任一特定值x0相对应的函数值f（x0）。例如： （1）若y=f（x）=3+2x，则当x=-2时y=f（-2）=3+2×（-2）=-1． 一般地说，当x=x0时，y=f（x0）=3+2x0． 1．2函数的图形 在解析几何学和物理学中经常用平面 上的曲线来表示两个变量之间的函数关系， 这种方法对于我们直观地了解一个函数的 特征是很有帮助的。作图的办法是先在平面 上取一直角坐标系，横轴代表自变量x，纵 轴代表因变量（函数值）y=f（x）．这样一 来，把坐标为（x，y）且满足函数关系y=f （x）的那些点连接起来的轨迹就构成一条 曲线，它描绘出函数的面貌。图A-1便是上 面举的第一个例子y=f（x）=3+2x的图形，其中P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线。图A-2是第二个例子 各点连接成双曲线的一支。 1．3物理学中函数的实例 反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的。下面我们举几个例子。 （1）匀速直线运动公式 s=s0＋vt，（A．2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s随时间t变化的规律，在这里t相当于自变量x，s相当于因变量y，s是t的函数。因此我们记作s=s（t）＝s0＋vt，（A．3） 式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值。

《全国中学生物理竞赛大纲》2020版

《全国中学生物理竞赛大纲2020版》 (2020年4月修订，2020年开始实行) 2011年对《全国中学生物理竞赛内容提要》进行了修订，修订稿经全国中学生物理竞赛委员会第30次全体会议通过，并决定从2020年开始实行。修订后的“内容提要”中，凡用※号标出的内容，仅限于复赛和决赛。 力学 1.运动学 参考系 坐标系直角坐标系 ※平面极坐标※自然坐标系 矢量和标量 质点运动的位移和路程速度加速度 匀速及匀变速直线运动及其图像 运动的合成与分解抛体运动圆周运动 圆周运动中的切向加速度和法向加速度 曲率半径角速度和※角加速度 相对运动伽里略速度变换 2．动力学 重力弹性力摩擦力惯性参考系 牛顿第一、二、三运动定律胡克定律万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(不要求导出) ※非惯性参考系※平动加速参考系中的惯性力 ※匀速转动参考系惯性离心力、视重 ☆科里奥利力 3．物体的平衡 共点力作用下物体的平衡 力矩刚体的平衡条件 ☆虚功原理 4．动量 冲量动量质点与质点组的动量定理动量守恒定律※质心 ※质心运动定理 ※质心参考系 反冲运动 ※变质量体系的运动 5．机械能 功和功率

动能和动能定理※质心动能定理 重力势能引力势能 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式(不要求导出)弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律 碰撞 弹性碰撞与非弹性碰撞恢复系数 6．※角动量 冲量矩角动量 质点和质点组的角动量定理和转动定理 角动量守恒定律 7．有心运动 在万有引力和库仑力作用下物体的运动 开普勒定律 行星和人造天体的圆轨道和椭圆轨道运动 8．※刚体 刚体的平动刚体的定轴转动 绕轴的转动惯量 平行轴定理正交轴定理 刚体定轴转动的角动量定理刚体的平面平行运动9．流体力学 静止流体中的压强 浮力 ☆连续性方程☆伯努利方程 10．振动 简谐振动振幅频率和周期相位 振动的图像 参考圆简谐振动的速度 （线性）恢复力由动力学方程确定简谐振动的频率简谐振动的能量同方向同频率简谐振动的合成 阻尼振动受迫振动和共振(定性了解) 11．波动 横波和纵波 波长频率和波速的关系 波的图像 ※平面简谐波的表示式 波的干涉※驻波波的衍射(定性) 声波 声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声

高中数学知识应用竞赛试题

高中数学知识应用竞赛试题 1、（满分15分）《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表： 后的余额。例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元。 （1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0

甲方案：从北京出发飞往美国纽约，再从纽约飞往圣地亚哥。 乙方案：从北京出发飞往澳大利亚的弗里曼特尔，再从弗里曼特尔飞往圣地亚哥。 为简单起见，我们把北京的地理位置粗略地认为是：东经120度，北纬40度；纽约的地理位置大致是：西经70度，北纬40度；澳大利亚的弗里曼特尔的地理位置大致位置是：东经120度，南纬30度：智利的圣地亚哥的地理位置大致是：西经70度，南纬30度。假设飞行航线走的都是球面距离，请你比较这两种方案哪一个飞行距离更短些？说明理由。 4、（满分15分）用车床加工某种圆柱形零件，是在圆柱形零件的轴旋转和车刀直线运动的过程中切削完成的。我们把零件放置一周车刀沿零件轴线所移动的距离称走刀量，把刀刃切削零件的深度称为吃刀深度。现在要把长800mm，直径为10mm的轴的一端加工成长为400mm，直径为8mm的轴，如图所示。 已知走刀量是0.1mm，吃刀深度是0.2mm，轴的转速是每分钟800转；工人从车床上卸下一根加工好的轴，再装上一根待加工的轴需要10秒钟；每位工人每天的有效工作时间是7.55小时。 某车间有12台车床，24名工人，现要在5天内完成加工1980个这种零件。如果加工零件过程中其余操作时间忽略不计，请你提供一个能够按时完成任务的生产方案，并说明理由。 5、（满分20分）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产用地。但根据前几年抗洪救灾的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划。为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：（1）若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降。为了保证防洪能力不会下降，除了填湖费用外，还需要增加排水设

物理竞赛公式大全

第一章 质点运动学和牛顿运动定律 1.1平均速度 v = t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim 0 △t →△t △r =dt dr 1. 3速度v= dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 1.6 平均加速度a = △t △v 1.7瞬时加速度（加速度）a=lim 0△t →△t △v =dt dv 1.8瞬时加速度a= dt dv =22 dt r d 1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 2 1at 2 1.14速度随坐标变化公式:v 2 -v 02 =2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ??? ? ???-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 0220 0 1.17 抛体运动速度分量?? ?-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1.18 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1.19射程 X=g a v 2sin 2 1.20射高Y=g a v 22sin 20 1.21飞行时间y=xtga —g gx 2 1.22轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 1.23向心加速度 a=R v 2 1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 1.25 加速度数值 a=2 2 n t a a + 1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同 a n =R v 2 1.27切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv 1.28 ωΦR dt d R dt ds v === 1.29角速度 dt φ ωd = 1.30角加速度 22dt dt d d φ ωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =222)(ωωR R R R v == a t =αω R dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动 状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。 万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线 1.39 F=G 2 2 1r m m G 为万有引力称量=6.67×10-11 N ?m 2 /kg 2 1.40 重力 P=mg (g 重力加速度)

二十一届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单

第二十一届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单 一等奖（100名） 姓名性别学校年级姓名性别学校年级尤纪帆女首师大附中高二邱亦文女北京二中高二刘宇轩女首师大附中高二周钰斌男北京十五中高二李怡婷女朝阳外国语学校高二包涛尼男民大附中高二王沐烑女北京二中高二王一丁男牛栏山一中高二孙亦非男北京五中高一尹子朔男陈经纶中学高二张雨桥男北京八中高二沈畅男北京铁二中高一邓瀚辰男汇文中学高二刘曦瑞男北京八中高二潘乐怡女北京八中高一王波添男清华附中高二曲天泽男北京二中高二柳一欣女北京二中高二陈思蕊女北京十二中高二梁一栋男北京五十七中高二李宁政男陈经纶中学高二蔡恒屹男潞河中学高二辛宇正男陈经纶中学高二谭励彦男十一学校高二王筱男北京四中高二孙文杰女北京四中高二李济泽男景山学校高二董思尧男北京五中高一王燕杰男北京四中高二刘韫滕男民大附中高二李江皓男民大附中高二陈辰男景山学校高一贺禹杰男北京四中高二程锐杰男北京八中高一姚智铭男北京八中高一席浩诚男北京八中高一沈靖开男民大附中高二罗睿韬男北京九中高二杨天昊男北京一七一中高二王若晨女北京四中高一周浩男北京二中高二赵博熙男北京四中高一王震男北京二中高二都欣然女朝阳外国语学校高二刘心怡女北师大附中高一熊开元女清华附中高二刘宇轩男民大附中高一朱函琪男首师大附中高二刘发源男民大附中高二唐子涵女北京一六一中高二许一先男北京八十中高一桂子轩男北京十九中高一马欣仪女北京二中高一李藩女北京一零一中高二陆子恒男汇文中学高二王思雨女北京一七一中高二周永斌男民大附中高二蒋涵锐男八一学校高一刘逸洋女牛栏山一中高二金志扬男北京八中高一钱成男清华附中高一刘宇时男北京二中高一董子奇女北京四中高二王晨奥女北京二中高二何凯男北京五中高二马成男北京一零一中高二王秭祺男北京五中高一任悦妍女北京一七一中高二罗瑞辰男北京一六一中高二李原草男民大附中高二马礼骞男陈经纶中学高二汪之钧男大兴一中高二涂腾男景山学校高二周思耘女首师大附中高二杜鹏程男中关村中学高一张艺涵女北京四中高一阳超然男北京八十中高二于知衡男北理工附中高一付思成男北京二中高一向柯帆男民大附中高二何宜珊女北京一零一中高一王观嵘男北京二中高一康博睿男民大附中高二孙琢璠女北京五中高二韩明夏男北京十五中高一杨晨鹭女北京一七一中高二安宇佳女昌平二中高二张怡淼女牛栏山一中高二

物理竞赛中数学知识

物理竞赛中的数学知识 一、重要函数 1． 指数函数 2． 三角函数 3． 反三角函数 反正弦Arcsin x ，反余弦Arccos x ，反正切Arctan x ，反余切Arccot x 这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。 二、数列、极限 1． 数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。 数列的一般形式可以写成 a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），… 简记为｛an ｝， 通项公式：数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2． 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。通项公式a n =a 1+(n-1)d ，前n 项和11(1) 22 n n a a n n S n na d +-= =+ 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。通项公式a n =a 1q (n-1) ，前n 项和11(1) (1)11n n n a a q a q S q q q --= =≠--

所有项和1 (1)1n a S q q =<- 3． 求和符号 4． 数列的极限： 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作A a n n =∞ →lim 否则称数列{}n a 发散或n n a ∞ →lim 不存在. 三、函数的极限：在自变量x 的某变化过程中，对应的函数值f (x )无限接近于常数A ，则称常数A 是函数f (x )当自变量x 在该变化过程中的极限。 设f (x )在x>a (a >0)有定义,对任意ε>0,总存在X >0,当x>X 时，恒有| f (x )-A |<ε，则称常数A 是函数f (x )当x →+∞时的极限。记为+∞ →x lim f (x )=A ，或f (x ) → A (x →+∞)。 运算法则 lim x x →[f (x )± g (x )]=0 lim x x →f (x ) ±0 lim x x →g (x ) lim x x →[f (x ) ? g (x )]=0 lim x x →f (x ) ?0 lim x x →g (x ) ) (lim )(lim )()(lim 0 0x g x f x g x f x x x x x x →→→=，其中0lim x x →g (x )≠ 0. 四、无穷小量与无穷大量 1．若0)(lim 0 =→x f x x ，则称)(x f 是0x x →时的无穷小量。

高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案

高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案 试题 一、窗户造型（满分15分） 《中学生数学》杂志2000年第一期的封面是一幅欧洲教堂的照片，它是一座哥特式的建筑。建筑物上有一 个窗户的造型如下图所示。图中弧AB和弧AC分别是以C和B为圆心BC长为半径的圆弧．☉、☉ 和☉两两相切，并且☉、☉与弧AB相切，☉、☉与弧AC相切，☉、☉的 半径相等．如果使☉、☉充分大，记BC的长度为a，请你计算出☉的半径，并给出这个圆的作法． 二、买房贷款（满分20分） 根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》（第十一条）“借款人应和贷款银行制定还本付息计划，贷款期限在一年以上的，按月归还贷款本息”的规定，为方便贷款银行操作和选择，中国人民银行具体规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法，允许借款人和贷款银行在双方商议的基础上做出选择． 第一种办法是等额本息还款法，其还款方式已经在1999年第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题的第3题中作了介绍，并要求给出月均还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式．按照这些公式不难算出，一个人如果从银行得到买房贷款40万元，计划20年还清贷款，按规定贷款的年利率应为5.58％（折合月利率4.65％。），这时贷款人的月均还款额应为0.27696万元，还款总额为66.4717万元，利息负担总和为26.4717万元． 第二种办法是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），指在贷款期间内，每月除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金．这样一来，每月偿还的贷款的利息将随本金的减少而逐月递减．因此称之为等本不等息还款法．如果这个贷款人选择了等额本金还款法在20年内偿还他所借的40万元贷款，他只需要偿还本息总合62.413万元，其中利息负担的总合为22.413万元，比前一种还款方法少支

胥晓宇-数学物理竞赛心得体会

序言 物理集训队最后一天，宋老师说，“人过留名，雁过留声”，我学了这么多年的竞赛，在心态，学习，考试等方面都有一些心得，要是消逝在记忆之中，未免有些遗憾。所以愿意整理出这样一份心得体会，全都是肺腑之言，希望能对广大竞赛同胞们有所帮助。 那些对竞赛有成见的人就不要喷了。认为我讲的不对的（尤其是各位学长），欢迎在“评论”里面留下自己的看法，给大家更多的帮助。可能有一些措辞失当，还请见谅。 下面讲的会比较多，而且会比较散，有些部分大家可以自行跳过。 〇学习成就大事记（还是简单说一下吧，大家给点面子不要喷） 小学五年级仁华一班一号进入一流奥数圈子 初一数学初联一等 初三数学高联一等 高二数学进北京队，CMO满分金牌，集训队前十 高二物理高联一等 高三数学物理联赛均以第一名进队，随后CMO金牌，CPhO银牌（涉险过关，太幸运了）高三物理进入IPhO国家队 出国方面TOEFL110+，SAT2300+ 课内成绩高中不出年级前十，高二CMO前不出前三 一明心见性，直指本心 是亦不可以已乎？此之谓失其本心。 ——《孟子·告子上》 细细数来，初步接触竞赛，数学是小学三年级进入华校，物理是初二；而进入MO和PhO，那都是高中的事了。 很多人都会有疑问：学这么多年的竞赛，到底是为什么？ 实话实说，小学的时候学习数学竞赛，说的好听点，是出于好胜心和自尊心；说的实在点，就是好面子，听见别人夸奖心里高兴，自得。当然也有“兴趣”。注意，兴趣和自得之心是完全可以一致的。 但是到了中学，尤其是进入高中以后，上述心态固然存在（所谓本性难移是也），但更多的则是真正有求知欲，并且能在数竞中发现乐趣。我记的特别清楚的一次是去年的暑假，在上海旁听国家队培训的时候，有一个数论题。有两个参数m和k，让你证一个结论。我用了一个小时，一直对着m“使劲”，毫无斩获；后来灵机一动，对着k“使劲”，豁然而解。（好吧，没有原题就跟看笑话似的）当时就特别特别高兴，就有一种“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”的感觉。我觉得这就是数学竞赛中的乐趣。 当然了，我学物理竞赛也经历了这样的过程，到了高二的暑假，才渐渐体会到物理的乐趣。

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此文档下载后即可编辑 第一章 质点运动学和牛顿运动定律 1.1平均速度 v = t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim 0△t →△t △r =dt dr 1. 3速度v=dt ds = =→→lim lim 0 △t 0△t △t △r 1.6 平均加速度a =△t △v 1.7瞬时加速度（加速度）a=lim △t →△t △v =dt dv 1.8瞬时加速度 a=dt dv =2 2dt r d 1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标 x=x 0+v 0t+2 1 at 2 1.14速度随坐标变化公式:v 2-v 02=2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ???????-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 022 00 1.17 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1.18 抛体运动距离分量 ?? ? ?? -?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1.19射程 X=g a v 2sin 20 1.20射高Y=g a v 22sin 20 1.21飞行时间y=xtga — g gx 2 1.22轨迹方程 y=xtga —a v gx 2202 cos 2 1.23向心加速度 a=R v 2 1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 1.25 加速度数值 a=22n t a a + 1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同a n = R v 2 1.27切向加速度只改变速度的大小 a t =dt dv 1.28 ωΦR dt d R dt ds v === 1.29 角速度 dt φωd = 1.30 角加速度 22dt dt d d φ ωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =22 2)(ωωR R R R v == a t =αω R dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。 万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线 1.39 F=G 2 21r m m G 为万有引力称量 =6.67×10-11N ?m 2/kg 2

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高中数学知识应用竞赛试题及参考答案 试题 1、（满分汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B 两辆汽车发生交通事故。事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系： 如果仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？ 2.（满分北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为时，它的体重大约是多少（选择答案：25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。 3. （满分受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时间与水深关系表： (1)请在坐标纸上，根据表中的数据，用连续曲线描出时间与水深关系的函数图像； （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 4．（满分末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可是奖励券，或二者合计），就送励券；满，就送40元奖励券，满300元，就送60元奖励券；...。当日，花钱最多的一顾客用现金70000元，如果按照酬宾方式，

(完整版)高中物理竞赛中的高等数学

高中物理竞赛中的高等数学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律，因此经常遇到的物理量大多数是变量，而要研究的正是一些变量彼此间的联系．这样，微积分这个数学工具就成为必要的了．考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的．所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要．至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，可在通过高等数学课程的学习去完成． §1．函数及其图形 1．1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量 在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x 和y ，如果每当变量x 取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y 的对应值，那么称y 是x 的函数，并记作：y =f (x )，（A ．1）；其中x 叫做自变量，y 叫做因变量，f 是一个函数记号，它表示y 和x 数值的对应关系．有时把y =f (x )也记作y =y (x )．如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，也可以用其它字母作为函数记号，如?(x )、ψ(x )等等．① 常见的函数可以用公式来表达，例如()32y f x x ==+，21 2ax bx +，c x ，cos2x π，ln x ，x e 等等． 在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面出现的13 2 2 e π、 、、、和a b c 、、等，它们叫做常量；常量有两类：一类如1 3 2 2 e π、 、、、等，它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a 、b 、c 等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量．在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a 、b 、c ）代表任意常量，最后面几个（x 、y 、z ）代表变量． 当y =f (x )的具体形式给定后，就可以确定与自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0)．例如： （1）若y =f (x )=3+2x ，则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1．一般地说，当x =x 0时，y =f (x 0)=3+2x 0． （2）若()c y f x x ==，则当0x x =时，00()c f x x =． 1．2 函数的图形 在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系，这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的．作图的办法是先在平面上取一直角坐标系，横轴代表自变量x ，纵轴代表因变量（函数值）y =f (x )．这样一来，把坐标为（x ，y ）且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线，它描绘出函数的面貌．图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形，其中P 1，P 2，P 3，P 4，P 5各点的坐标分别为：（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线．图A -2是 第二个例子()c y f x x ==的图形，其中P 1，P 2，P 3，P 4，P 5各点的坐标分别为： 1(,4)4c 、1 (,2)2 c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c ，各点连接成双曲线的一支． 1．3 物理学中函数的实例 反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的．下面举几个例子． （1）匀速直线运动公式：s =s 0＋vt ．（A ．2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律，在这里t 相当于自变量x ，s 相当于因变量y ，s 是t 的函数．因此记作：s =s (t )＝s 0＋vt ，（A ．3） 式中初始位置s 0和速度v 是任意常量，s 0与坐标原点的选择有关，v 对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值．图A -3是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线．易知它的斜率等于v ．

第二十届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单

第二十届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单 一等奖（88名） 姓名性别年级学校姓名性别年级学校 林左男高二朝阳外国语学校房捷轩男高一北京一零一中周梦怡女高一北京五中李滟蔚女高一人大附中 张诗雯女高一汇文中学何凯男高一北京五中 黄天行男高一汇文中学杨浥文女高一北京二中 王思雯女高二首师大附中石玉峰男高三东直门中学 邓凌浩男高二民大附中谭励彦男高一十一学校 张子研男高一海淀进校附属实验学校李聪睿女高一北京八十中 刘向北男高一首师大附属回龙观育新学校彭江祎男高二北京十二中 许文灏女高二北京一七一中赵嘉莹女高一北京五中 孙弘业男高二牛栏山一中许轩卓男高二密云二中 刘云鹏男高二北大附中刁畅女高二牛栏山一中 臧玉喆男高二北京一七一中蔡亚伦男高一北京二中 刘雨航男高二十一学校秦梦陶女高一清华附中 王奕然男高一北师大附中孟雨凡男高二八一学校 岳璞阳男高一北京十五中张凯风男高一汇文中学 郑晏陶男高一北京二中李雪桐男高一北京五中 昕琦男高二民大附中陈瀚玮男高二牛栏山一中 屠俊天男高二北京五中张一清男高一北京一七一中冯一辰男高一北方交大附中余诗跃男高一中关村中学 付博文男高一民大附中简捷女高一京源学校 权衡男高二朝阳外国语学校周昊辰男高二北京三十五中郭世圆男高二北京一零一中夏铭轩男高二朝阳外国语学校陈冬宇男高一北京二中赵云男高一京源学校 杜懿中男高二北京一七一中李宗泽男高一北师大附中 李祥泽男高二北京二中张宇伦男高二北京一零一中宋心仪女高二北京二中程诗灏男高一北京八十中 邱亦文女高一北京二中陈柏健男高二昌平二中 李天琦男高一景山学校王斌男高二昌平二中 贾泓翰男高二密云二中张朴哲男高二牛栏山一中 魏英暄女高二民大附中史天依男高二大峪中学 李修凡男高二大兴一中李润男高一北京五十七中刘鹿鸣男高一北京四中朱玥华女高二北师大实验中学刘孟琦女高三东直门中学徐沛然男高一北京二中 袁慧华女高二北师大实验中学胡凌女高一人大附中 关美格女高一北京八中王右葭女高一北京四中 姜腾男高二北师大实验中学高楚琪女高二北京二中 张博然男高一人大附中胡茗智男高一民大附中 曹广川男高二牛栏山一中范一凡女高一朝阳外国语学校尹子朔男高一陈经纶中学李国盛男高一汇文中学 吴英图男高二北师大附属良乡中学王子睿涵女高三东直门中学 闫朔男高二延庆一中袁佳音女高二牛栏山一中 李怡然女高二大兴一中郑佳怡女高二牛栏山一中 李博文男高二北京二中刘天启男高二朝阳外国语学校唐仡夫男高一东直门中学侯东良男高二北京一七一中

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一) 高中数学竞赛讲义（一） ──集合与简易逻辑 一、基础知识 定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。 定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。 定义3 交集， 定义4 并集， 定义5 补集，若称为A在I中的补集。 定义6 差集，。 定义7 集合记作开区间，集合 记作闭区间，R记作 定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有： （1）（2）； （3）（4） 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即 （3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有 定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设，求证： （1）； （2）； （3）若，则 [证明]（1）因为，且，所以 （2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以 （3）设，则 （因为）。 2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。 例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足 ，求集合M（用A，B表示）。